CC BY
4
МАШИНОСТРОЕНИЕ
УДК 514.7
DOI: 10.25206/1813-8225-2023-188-5-12 EDN: VFCPSL
К. Л. ПАНЧУК Т. М. МЯСОЕДОВА
Омский государственный технический университет, г. Омск
ПОВЕРХНОСТЬ НЕЛИНЕЙНОГО ВРАЩЕНИЯ
В работе рассмотрены геометрическая схема, математическая модель и алгоритм формообразования поверхности нелинейного вращения. Известно, что в евклидовой геометрии и механике преобразование вращения является линейным, при этом расстояние и угол являются его инвариантами. Авторами предложена геометрическая схема нелинейного вращения, в которой осью вращения служит гладкая пространственная кривая, а объектом вращения является также гладкая линия. Доказаны несколько предложений, лемма и теорема, которые позволяют формировать исходные данные в задаче нелинейного вращения, решением которой являются параметрические уравнения гладких поверхностей. Результаты исследований позволяют расширить многообразие циклических поверхностей в существующей классификации аналитических поверхностей. Они также могут быть полезными при создании САПР, в которых предусматривается проектирование поверхностных форм изделий машиностроения, строительства, архитектуры и других практических областей, на основе циклических поверхностей.
Ключевые слова: гладкая кривая, подвижный трехгранник, поверхность нелинейного вращения, алгоритм формообразования, циклическая поверхность.
Введение. В геометрии и кинематике известно понятие «вращение». В евклидовой геометрии оно связано с ортогональным преобразованием «вращение», в результате применения которого геометрический объект приобретает новое положение на плоскости или в пространстве, достигаемое поворотом вокруг точки или прямой линии. В кинематике рассматривается вращательное движение твердого тела вокруг точки — центра вращения или вокруг прямой линии — оси вращения, сопровождаемое кинематическими характеристиками точек тела: скоростями и ускорениями. При вращении объекта вокруг прямой линии каждая его точка описывает круговую траекторию в некоторой плоскости. Множество таких плоскостей представляет собой пучок с несобственной осью, перпендикулярной оси вращения объекта, т.е. пучок параллельных плоскостей. Представляет интерес более сложный случай, когда плоскости круговых траекторий точек образуют нелинейный пучок, что возможно в случае криволинейной оси вращения, для которой этот
пучок представляет собой множество её нормальных плоскостей. При этом осью вращения и центром круговой траектории точки объекта служит соответствующая касательная и её точка касания с криволинейной осью. Известно несколько работ, посвященных исследованию нелинейного вращения и его практическим приложениям. В работах [1, 2] рассматривается алгебраический подход для построения обобщенной поверхности вращения, основанный на введении функций, формирующих алгоритм аналитического описания взаимосвязи геометрий двух линий — линий центров вращения и линии радиусов. При этом вне рассмотрения оставлен анализ влияния геометрии и взаимного расположения указанных двух линий на геометрию конструируемой обобщенной поверхности вращения. В работах [3, 4] введено понятие «квазивращение», как обобщение понятия «вращение», применительно к криволинейной оси вращения, в качестве которой используются кривые второго порядка. В работах не рассматривалось использо-
Рис. 1. Схема образования траектории вращения точки M
вание пространственных кривых в качестве осей вращения.
В настоящей работе предлагается геометрическая схема формообразования поверхности нелинейного вращения для общего случая задания базовых элементов схемы, а именно криволинейной оси вращения и образующей линии. Рассмотрены числовые примеры, иллюстрирующие работу алгоритма формообразования в соответствии с предложенной схемой. Предложенная поверхность нелинейного вращения относится к классу циклических поверхностей, широко используемых в качестве динамических поверхностей, взаимодействующих с рабочей средой (газы, жидкости, сыпучие материалы). Они принадлежат к многообразию кана-ловых поверхностей [5, 6], использование которых в современной промышленности часто сопряжено с возникновением новых практических задач, например, оптимальное размещение каналовых поверхностей в ограниченных и сложноорганизо-ванных пространствах [7, 8]. При этом в качестве заданной принимается ось каналовой поверхности, а образующий поверхность элемент представляет собой линию или дискретный ряд точек, ограничивающих форму поверхности по условиям окружающей её пространственной обстановки. Для решения таких задач требуются новые подходы, методы и алгоритмы формообразования каналовых, в том числе циклических, поверхностей.
Математическая модель поверхности нелинейного вращения. Рассматривается геометрическая схема формообразования поверхности нелинейного вращения (ПНВ) и даётся её аналитическое описание. Для этих целей используется известный в дифференциальной геометрии метод подвижного (сопровождающего) трёхгранника Френе, изложенный в фундаментальных работах математиков-геометров: В. Бляшке [9], Э. Картана [10], Д. Н. Зейли-гера [11] и мн. др. В отечественных исследованиях в области инженерной геометрии и её практических приложений этот метод достаточно широко представлен в работах [5, 6, 12—16].
1. Вращение точки относительно криволинейной оси. Вращение точки выполняется в нормальной плоскости заданной криволинейной оси вокруг центра — точки кривой, через которую проходит нормальная плоскость. В качестве оси нелинейного вращения используется гладкая кривая д:
О(*) = {*(*),№#)}> * е [¿о, *п] е ^ О7*) = Ф 0. Схема вращения точки приведена на рис. 1.
1.1. Плоскость вращения точки. Построим подвижный трехгранник кривой д в её точке О:
Рис. 2. Проекции
областей допустимых положений точки
T (T) = {тт, ут ,zr}=]£^,
= {,'((} y'()),z'(t)}r
B(t) = {т y z } = ЛЛсЛЛ1 B(t) ^ yB,zB} веЛсЛЛ)|
( dt
N(t) = {xN,yN,zN} = Bx T.
)" (t) т) ТЛ T {} '' {t) ' y t и ) t* () ) } '
Принадлежность тоски 7УТ(хм,ум,тА1) ic нормальной плоскости (v, (t) лннии q вырожаесся уравнением:
с.C= лТ)Д — вы)Т=о ,
(1)
где G ={xM , Тя^я}-
Из уравнения F({T = 0) еледует значение параметра t = (q е [To ,TJ, коTHqTое соответствует заданной точке M и опредегтнот положение нормальной плоскости (v, ß).
Очевидно, не для тажуой точки M пространства можно постросоь ^рольную пеоокость (v, ß) . Рие 2 дает некоторое прндстав1 кнкение о сути этой проблемы. Предположим, что q — сегмент плоской кри-оолистйHt:( ос-( вращелия. Титл— исе ^смат^иные плоскости сеямтхтс t[ обуазуюн отс-с пучка плоскостей, огибаю щей которых служит отсек цилиндрической пнсерхгтонти с нощеыяляющей линией в форме сетменяа эстлюоье се лилии д. Очевидно, допустимые пяложення точное! еТВ дтя выполнения ею иранкения отнесиеелноо оегыянта кpивoлснлй-ной оси q ^¿ioxHO/^iiHTO в вех васнях пеостихнетоа И3, ортогональные проекц=т кото=ых на плоскости оси веатхениа q отмнеееят злких ©}
В случае етш иен нолинетнаго вращтния и — пространствян=е^5я кривтЯ] то положение точек пространства, дон кооорых допустимонелинейное вращениях относикентио q( анреуелеется более сложной геометрической ксенфилypaциой, разделяющейпро-странство на допудтимые и недопустимые области коложтнна этно еооек, Котфигурация включает следующие элементы: пространственную ось вра-оеиыя q} нелинетн—й пичыо нормальных плоскостей оси q и торсовую поверхность, огибающую этих нормальных плоскостей.
1.2. Расстяяние между точками пространства ори их втащ^ии относительно криволинейной оси. Вектор Тм точки M имеет следующие про-ещии в локальной системе координат Qxuß, образованной ортами подвижного трехгранника: ея = {тя = 0, vя, ßя } . Матрица перехода из неподвижной декартовой системы координат Oxyz в подвижную локальную систему координат Qruß
с началом в точке О и обратная матрица имеют соответственно в сд:
в ^г Ст еСг' Сг см св
Н^)т си См Ув е H-1(í) м Уг Ум Ув . (2)
_с в Ус е в 3 _ мг ем ев _
Ит схемы на рис. т следует:
и? м= Аб1 • гс + ДД> т. м АА(ИлР б т ,
или в раивер нуто а всд з:
в^ и = Т "
С1У м
_ Рис _
Уг Уд Ув
сс с
УибД ем бс е
(3)
где И — иадиус - веитор томин М в си сте се ко ординат Охух. Очеви.но,
е М ел/
м ИУ б д/ и ^
таС + смССт + Р
Т(С) = Т> ^/(И) =ес оС08(?то:271 )> Р(С) и е. • 81п( ) • 2п) > ) е [ТД] .
(4)
Ур авненит мот кторти см се ( V т (3) в. ащеи ия точки М в искалтно II систезме 2оа>рдинат Отив имеют следующи й е и. :
В уравнении (4) имеет место: у(М) = у(М ( = ^, X), Л(м) = в5 (М)(Т = Ьт Л), где ЬО — значение параметра полученное изуравнения (1). Уравнения окружности (4) позволяют получить уравнение трубчатой поверхности при гм = сопбV:
С(£Д) = А-1(Ь) • г1М)(Х) + Т),
^м)| = \Тм\ = ГМ = ИНЦй(3, Г(М) = {Г(М) = 0 V(M), Р(ММ)} .
Предложение 1) по ворот двух различных точек евклидовт пространства относительно гладкой кривой оси нм ммвньм мглы изменяет ра^стояние между точками, если томько ттчки нм принадлежат Vдной и той же мор мамьной п=оскести кривой.
Доказательстве^ Пусть М1 и М2 — точки в нормаль ных плосктстях с(етаетствеено (у^ в1) и (у2, в2) исходной кр иvOl0инийнo— о см враще ния q (рис. 3). Расстоян=е ммжду н и( ми рОМе,М2). Повернем обе точкм на одмн и тот же угол, ф — ка^ую в своей нормнъной й/окосли (ун }1) и(у2, в2)соответ-ственно. Поворот ммшо лним относительно центров С = (о,,р,) И п и й = (оо,ро) И п покруговым траекториям. Укажем расстоянит р(а-Г'и М.0 полученное в результате ратмых поворотов точек М1 и М2. Докажем, что р(М1, М2) ф р(М'1, М'2). Предположим, что р(М1, М2) = р(.М'1, М'2). Две четверки точек в пространстве, а тменно: М= (02,01,М1 и М,2,О'2,О'1,М,1, можно представить как аршины образующихся тетраэдров М^О^О^,М 1 и М'2,О'2,О,1,М,1, полученных один из другого некото](^ым движением с сохране-ниемрасстояния р(М1 , М2) = р(М'1, М'2). В этом движении общем реб° о тетраэдров О1О2 неподвижно, а пары точек М1 и Мр М2 и М'2 образованы вращением на один и тот же угол ф относительно центров О1 и О2, птинaвoeжаш1ихребру. В соответствии с известной в теоретической механике теорией движения твердого тела, движение тела определя-
Рис. 3. К доказательству неравенства р(М1, М2) ф р(М'1, М'2)
ется движением его трех различных точек, не принадлежащих одной прямой.
В рассматриваемом случае две точки 0{ и С?9, как и все точки прямой (01( С?9), закреплены. Поэтому движение твердого тела — тетраэдра М1,М9,С?9,С?1, для всех остальных его точек представляет собой вращение вокруг неподвижной оси (01( С?9), в котором сохраняется расстояние для любой пары его различных точек, в том числе р(М1Г М9) = р{М\, М\). Но поскольку (01( С?9) — ось вращения, то плоскости кмуемвых рий всех точек тетраэдра М1,М2,О2,О1 должны быть перпендикулярны оси вращеним (ем £=), ме, до^кны образовывать пучок параллельных плоскостей, и в этом пучке имеет место (о,, в,) || (оо, во). Получаем противоречие, поскольку нормальные плоскости исходной прост=ан -ственной кривоУ q оУратуют нeлимeйный oyvoк, в котором =лoткoтти (ег1, Л^ и (Vм = не пмоaглeнтo ны. Тауим о=рнсоо],, пре=пс^лонж^е(1ие о тем, (то р(М1Г
М2)= р{№т М' = неверно) (Поэеол+^ С)-, ЛИ2) = vГ^ТГC, м (
2. Hнлднeймoе вт^ясvш[e линии- Heдиеййнve вращмние линин коск o([нoпaLeaесeтс[((т^ecкvс[(е }(нс-ов^ва точ^м, г^peдc^l-с^}с^^+т сoLеoе[ v^<г—ен^е наЖ( дой её тО)ки [Гсс]][(Г[)и0(Г5Л1эCÍ[v ЗГ[C[ciHH(Tс[ к(миволинрй-ной оли. Ндлинеí^нoе винсцй!нже лио1сл1 с(о]0}]lи]гoп(г!,v еекото>елю оошллеоее(^ооел )сг^вe рхномкoтof)}vю вс^-зовёсг г^ове^х; но с тью ]и^ниI}^eГ1v(lo г^о вра гve}ни^ 1ПН13). ТeлевooCpaенoсть ^13(^1oel.^ия на1зм^^ия «мое!l^]гсгос^ь^ и^линeí^нoсо в ращения» о o}^cлo()^7)(знa с:7гс1д1;l)V)):lси]\си об^то^т<^льс та :
1. ]гio]:[мa}7)тнме плосьсс^с^тIV1ЭИ)B}^71^)Т^ейм13 ос^и в(ащ^ния, которлом пр^инс^^у^о^жат кр}^го)ль^1 е ораоо^-то р л и тоо е а обра (ую мeс^ ле[ее[и, oбlсalзг^^т нмлин ей-н[l^í^ I^yч}oк.
"2) Оеpаеoм смяеoí^ л^]лн^и п)Э}] её вращен™ от-нс^сительнел о^риволи^^х^но!^ о)и являете) кри-мия (см. зизиук^ мопреины íс ^измес 1) .
]nиc]^ь крмь^^яя лг^}н-ия (оМратующая) q:
М1 (Я) = ^(^)]Я)|рМ1)}1 о о [я.-
вМ)ГIЦяеомв относите^но ]^ли^гL^[:>я[ кpивoлинeйняй оси е.: И-(1) = {х^уОеПО)}] (ни ^.о^], oLT(Г) г 0 (н—(
В этом вращении ^oг(oя м я М(0) принадлежит иc^J)^[алE^нoу ПIPOг^к;oсти ^) Р) оои в.^ащения С0я^1 ) веё точке О. Выразим это oBoтоятeбьcтаo уравн(^ни(ее:
М'(1) = 00 г 0 0
О) (() • М(я( -с[>(г)) = т .
(5)
Из }^(яa^т[П)([ (=) тлеоует (Т)][--отI0ио)яьк^ая зависимость I = /(¿), при этом выполняетсяусловие
/'(() = -1)0 г 0. Деймтви=ельно, )^)гe]Д1([)oосo:ж:итт, что /(¿) =
= 0. Тогда /(¿) = а, где т — = ототораяконстанта. В таком случае вектор-функцио М ( I) = М !/(()) = М(( = а) будет представлен^ собой ммквтоpый постоянный вектор, соответствующий точке пространства, для которого характерно м'(1) = 0.Но поскольку изначально была введена не точка, а гладкая линия д:
Рис. 4. Схема образования ПНВ
С(1) = {х(1),у(1),г(1)}, 7 е [70, /п ] е К , С'(1)*0, то из полученного противоречия следует справедливость утверждения того, что /'(¿) ф 0 . Таким образом, доказано предложение 2: функция /(£) из уравнения (5) является гладкой.
Рассмотренное предложение обеспечивает гоме-оморфное соответствие числовых отрезков и [£0,£л] , из которого следует такое же соответствие точек пространственных кривых линий ОЩ и С (1).
Исходя из принятой схемы формообразования ПНВ (рис. 4), получаем
B)t ) = A(t) -(cm) - Q (t))
(6)
где гЛ — радимс-вектор точми образующей лилии С (1- в локальной системе координат ОтуР, Л(Щ) — матрица (2) перехода от неподвржнкй системы координат ОхуЕ к локальной системе координат ОтуР подвижного тр 1хчранники- об-азованного ор-тами Т((), Д() и N(((). Определим угловое доложение текущей точки М абразующей кривой пинии С (1- в
Р((0)
локальной системе координат QxvP: tg(q(tQ)) =
v(tQ) '
где ) и у(Ь0) — л-картовы координаты точки М в локальной системе координат, — текущеезна-чение параметра Щ в точке О на оси вращения ПП(Л-, соответствующее значению 1М параметра 1 = /(£) точки М наобразующей Т); ] 1-.
Уравненне тнкущев к)угов<гй тргектории см точки M при t = t , tQ e]t0,tn], рteeет ви-)
cm (Q e = rtfC-cosy^,!);
P ( BQ,t) == а i BQ) • =0 yi вр>Л)
(с)
где г((0) = \гЦн) | , а(ОИ) — а(=0 м 2пф • X, е o [0,1] . у-ов-нение непнерычного cíbmh,^:^)^тва окружностей {сM } с [истемо ьооо]:(1д](}нат Oxyz имtei В1ед:
3Х]НХ) = A_1(]) -г1: (,X)eH((H( ,
(8)
где Г (ОД) = {т = С:»^ нч )ír ,Q0H) } . Уравн оле (t ) on и сыв авт ПНН с образующе0 линией G(C( и кфиворин)й-ной свсьнн Q (щ Схема алгерттмг форм)о.разомнм ПНВ прсднтавлвна xa jtdhot. X.
Обратимня. к у^военсю (6). Оно описывисес к=и-вую д, пртнаднежашую вормал2Н2Й плооаосои (v, а) крнволимвйнхй оси Q( t). Эта кривая пре дставляет собой след обраиуещйй еании ф ( Ф ). формирое змь.1:й[ г проуессе аоследоватмльного nepoc-ченоя нормальной -нохйссти [л/, (3) морвижного среeгpе-нике { синией G( С) ( уз арзвнвпиа )6( следует:
где у
o ] (G(3(M) ез и/ (Г)Вм Х{3) • =a в ] с e- Q'),
To ад — = cg жa — ан
—, X —-. G 3 - 3. —---[ H —-.
ав at ní ч ав
(9)
Рассмотри] обе! слахаемахй в —равнеnao (T — Мно-житхус О' в—а 0, (всоскол—^о э,.i|o псс:симвво,^н^ста e(^n^Е:^исJ1(3I-фуаав()из^, ;эк^]]зe^,в^<aмIíз котсфой являовтся направляющие косинус^1 о ртов °(t),B(И и N(t) пго трёхг иanни^а ос a t^^t) . ]0/):)[Oiаe]eсeл)) (g (3 (3)) к ф (i)) — э то ненуле вой вектор на пр ямой, ш и^дин^ющейсо-ответственн H o B^(í) вв MnyCC3i() линий
И а /3. ) анено ]^((о_ ззке; ai ер есе каю п^их ся межу собой. Производз^ые .Оф], О — 2:а:ж1^ая не равнззв :в1уяю: G[ и ф не ]иив(вн(ы нулю, поскольку изначально рассматриваюттся гдадкие линии Q ]О) и G (С), где
Рис. 5. Схема алгоритма формообразования ПНВ
1 = f(t); О/ т 0 по njDiEi.z^ohio 2. Сножитель (л/ • 0't - Q() опись) вает рг^зноеto дв^л каca-тельньех to етторов в соответсввргшьзх ыочкых M в G (О(Т)З и QQ в Q (f), кет орая мононт блю нулы-вым т^олоT>°]N)T)4Q0 нр влизет, с тером на(эаврн0тр0 А' • (G (О(Т)) т Q(f)) т 0 ) нанезвльген ) т 0 . Таким ыбразом, доклыано праывоыенре 3: стеы Т(Т) редкой образу»сцей НО(I), ртрмир^тмый в нормальсой плоскости (v, Р) тладотН око в.ащентя Q(]) , явхются гладкойлине е й.
Уртвнетил (т) пр>и фикснрввлнтьм знатеыии параметра ] в н в [0Д] опнлытает некоторую пространств енн(> д]о ивую в свсыетзе координат Oxyz-
рис. 6. Фрррообразсвание ПНВ иаос60ве вращеоия щ)омoil линои
wее,]] в н) в А ы(Т) • ](),] в н) + Q(T).
(10)
Эта кривая полученк нп образующей линии уТ(1) поворотом каждой ен тонко в иоответствую-щей этот тонке нормапьной слоскости (V, С кри-волинейнойоси р? (р наугол н(И, 1 п и[ п фр[ е Кп • и. Вектор-фуокция ([[.Г = и) в уравнен ей (10) описывает плоскую кривую да — след кривой (10) в нормальной плосрости (v, ГС Кск по:кс(^<анс выше, уравнение кривой да может быть записано в проекционное виде
ер, а п и[ п [од п сг[,(3(|,г а = и[}
в локальной сиснеме координат где
ПНВ
Рис.7.Формообразование ПНВ на оенттт -ращения кривдй линии
с(Т, ] в а) в г(8). сos \|т(б, ] в q); Pt 0 н н) = с(() • pin б(0, 0 н н| .
.to == соп.
Р о ссм оссим ср онзсодоосн р) H == н
(= 'о'(t, H. lo н|, P'0,H .о р)} ,
oot, h х t = tH н xt
н F(t) • с о p б(t. H = о( - 6-t| (in 6b(3 (p н a( • (p'(t) . -p-^t lt|
X 6
= F(i) • piny),0 = to) -ь ^^°|сб)=^\б0,= to н| • c1.11.6).
Олевидн о] т(0 и Т = c'(i) и 0 = поикольку из предло-стенио 3 соедует Л( -) и1 т ' Кром} того, из гладкост и функции o(t) =) Оор)Т(,Р (б)} следует гладк ость функции
Ф = агс^д| | ^^ отрезке . В результате получа-
ем, что 7([И = а) в 0. Таким образом, дсказано предложение 4: след г([И = а) кривой линии М2),И = а), Гэормируемаш в нормальной плоскости (V, Р) гладкой к]эивол.н.йной оси О р), овляется гладкой к. ивой.
Ратсм ит. им примеры.
Пример 1 . Задама криволинейная ось q уравнением тт=( = Ию2 , ^000 - ^ЮИ-26: - [0^1]. образующая т^]иния д зад^н,^ уравиением при^мо.0 .[^[ь^ии (2(1) = {.207 + (5^.1^0,],1.5^ - l.l^(rJ) е- ^0.-1]. Требуется построит] ПНВ.
Решенит. Cзамo .^(з:^):[]::ит,:^l)^ еэC)P[,[C)Clбразо-вания ПН. п[)^(зиc1,cL]^лeни н^<т рсикзз. П. ]-[<+ уриов-нению (П) 0,:[1зеде70^ем с1)0^кеионаеьную зави-
2 ■+ 23)
симость параметров 8 =6° /(i): l =
■+■ 2/)
основании урав=атия ('°г( сП^ор>]еир"((^егрсл[ лск^цая
кругоса51 аектория <ор) точки М oЛ)=c^;^0Pк^)яИ ей тли -нии при / = Ра , Яа а )Рт, fj : ом = Н • aop(2n • 0), (3 — = Н ■ pin^27- • H,^1
Н =
2,е
аи0 о 2-
СИ244Н0 -= ]нot0(е^ее^иip(( -р с^^р = е4С2) --( = nHtQa(синае! -2 ^тг2ин) еза2^то,
где H аа [тй] .Испоа(ьзуя з^^исимость (8), определяем уравзЕиетгинн сс=омой ПНВ.
=2 (си, -0|, 3=24, --|, zz(], -=| |, t а ^т,]], H а )0,]]]'
Bнlз0lтлиoa)p2^í] ртз^гьтатов вг^][Ч1^САений приве-денана рис. 6.
Пример 1. Зодан= о)о:EP=олинейная о<^ь вращения q ур2внением 2^(И | = 05тр2, йттр, = 4тр2}, t а [т,]]. Образующая линия g задана уравнением р(l) = 'ет:2 О ет, = нтт: - ст, l}° l е )тн] - Требуется построить ПНВ.
Решение. Уравнение ПНВ определяется в соответствии с алгоритмом, приведенным на рис. 5. По уравнению (5) выразим функциональную зависимость параметров l = f(t):
1 =
•^S^li4 + 255) -1 4i(l 17!19i - 4:6^5) - (i ■+■ 1257) 125i
По у(^;ав:н(знн[22 (6) р=дел^1ем ^радиус-вектор г^) тоткп обра^^гющей ^^нии СИ(/(£)) в локальной сисе еме 1)^оо]()1[т1и^ сп:' Оту Р : С.) = (хт (?), уг (?), Zp р)[. Исходя изуравнений(7) и(8),определяем уравнение ПНВ: V) = (5.:^, А), , ), t е [0,1^, X е: [0,1].
Вивуализацио результатов вычислений приведена на рис. 7.
Предложение 4 позволяет сформулировать лемму.
Лемма: кривая линия Ш(ОД = а), как текущее положе=ие гладкой образующей кртво й С (1- при её вращении относительно гладкой криволинейной оси ПЛ-, ЯВ(ШеТСЯ ГОЭДКО0 кривой.
Действительно, из уравнения (10), с учетом вы-шеизложе=аб го,следует
W '(t, X = а) =
dW
dt
= (л-1(t])' • r(t, X = a) + A"1 (t ) • T (t, X = a) + Q'(t) * 0 ■
Предх°жения 3,4и лемма позвоалют сформулировать и доказать теорему.
neopeMQ : iioq в ращении гладкой кривой линии относительно гладкой кривхлииеПной оси[ образуется глезпоя ПНВ, если эти линии не имеют общих точек.
Доказательство. Из уравнения ПН.- (8) следуот существование на ней координат ной сети ( t, X ( , с и-стоящей из семейства лиаий (t) оредитавлякощеао собой множество гладких линиП Н(t,X = и),a я [0,1], и семейства гладких линий (X), представляющего собой множество окружн осе ей НЩ = 3=, X), ( 0 я [t0,3t [. Следовательно, в любой точке (t, X) на ПНВ существует вектор нормали N = [Щ ', Щ' ] кповерхности, отличный от нулевого вектора.
Выводы. Исследование закономерностей и особенностей формообразования одних из наиболее востребованных на практике нормальных циклических поверхностей (НЦП) позволило получить следующие результаты:
1. Разработаны общая геометрическая схема и общий алгоритм формообразования ПНВ, которые позволяют существенно расширить многообразие известных НЦП [17 — 22].
2. Доказанные в работе предложения, лемма и теорема определяют требования к исходным данным в задаче формообразования НЦП как ПНВ.
3. Рассмотренные вычислительные примеры подтверждают работоспособность и вычислительную эффективность предложенного алгоритма формообразования НЦП.
Предложенное математическое описание процесса формообразования НЦП, использующее параметрические уравнения получаемых поверхностей, может быть успешно применено в создаваемых САПР, в которых предусматривается проектирование поверхностных форм изделий машиностроения, строительства, архитектуры и других практических областей, на основе циклических поверхностей.
Библиографический список
1. Григорьев М. И. Построение обобщенных поверхностей вращения // Семинар «DNA&CAGD». Избранные доклады. 2007. С. 1-7. URL: http://dha.spb.ru/PDF/ GeneralizedRevolution.pdf (дата обращения: 27.02.2023).
2. Григорьев М. И., Малозёмов В. Н. Составные кривые и поверхности Безье. Аналитический подход. Lambert Academic Publishing, 2010. 132 с. ISBN 978-3-8433-0323-1.
3. Беглов И. А., Рустамян В. В. Метод вращения геометрических объектов вокруг криволинейной оси // Геометрия и графика. 2017. № 3. С. 45-50. DOI: 10.12737/article_59bfa4eb0 bf488.99866490. EDN: ZGWEMP.
4. Beglov I. A. Computer geometric modeling of quasirotation surfaces // Journal of Physics: Conference Series. 2021. Vol. 1901. P. 012057. DOI: 10.1088/1742-6596/1901/1/012057.
5. Осипов В. А. Машинные методы проектирования непрерывно-каркасных поверхностей. Москва: Машиностроение, 1979. 248 с.
6. Осипов В. А., Осипова Л. И. Теоретические основы кар-касно-кинематического метода направляющей линии // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. 1980. №4. С. 48-53.
7. Маркин Л. В., Корн Г. В., Куи М. Х. [и др.]. Дискретные модели геометрического моделирования компоновки авиационной техники // Труды МАИ. 2016. № 86. 16 с. EDN: VUDSTD.
8. Хтун Н. Н. Разработка и исследование рецепторных геометрических моделей телесной трассировки: автореф. дис. ... канд. техн. наук. Москва, 2014. 26 с.
9. Бляшке В. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна. В 2 т. Т. 1. Элементарная дифференциальная геометрия. Москва; Ленинград: Объединенное науч.-техн. изд-во НКТП СССР, 1935. 330 с.
10. Картан Э. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия, изложенные методом подвижного репера / пер. с фр. С. П. Финикова Москва: Изд-во Платон, 1998. 366 с.ISBN 5-80100-297-9.
11. Зейлигер Д. Н. Комплексная линейчатая геометрия. Москва; Ленинград: Гос. техн.-теорет. изд-во, 1934. 196 с.
12. Якубовский А. М. Некоторые вопросы конструирования поверхностей с помощью трехгранника Френе // Труды Ун-та дружбы народов им. П. Лумумбы. Москва, 1967. Т. 26. С. 23-32.
13. Panchuk K. L., Niteyskiy A. S. Contact of the Ruled Nondevelopable Surfaces // Proceedings of the 16th International Conference on Geometry and Graphics, 4-8 August 2014. Innsbruck: University Press, 2014. Р. 216-223.
14. Нитейский А. С. Конструирование торсовой поверхности методом подвижного трехгранника Френе // Омский научный вестник. 2013. № 2 (120). С. 151-153. EDN: RNEIEX.
15. Корчагин Д. С., Панчук К. Л. Метод геометро-динамического формообразования линейчатых полос // Вестник КузГТУ. 2013. Вып. 6 (100). C. 89-92. EDN: RUDWXJ.
16. Korchagin D. S., Panchuk K. L. Forming of the Spline Similar Linear Strip // Proceedings of the 16th International Conference on Geometry and Graphics, 4-8 August 2014. Innsbruck: Innsbruck University Press, 2014. P. 428-436.
17. Кривошапко С. Н. Энциклопедия аналитических поверхностей [более 500 поверхностей, 38 классов: математикам, инженерам, архитекторам]. Москва: URSS, 2009. 556 с. ISBN 978-5-397-00985-0.
18. Кривошапко С. Н., Иванов В. Н. Классификация циклических поверхностей // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2006. № 2. С. 25-34.
19. Krivoshapko S., Hyeng C. Geometrical research of rare types of cyclic surfaces // International Journal of Research and Reviews in Applied Sciences. 2012. Vol. 12, no. 3. Р. 346-359. DOI: 10.1088/1742-6596/1901/1/012057.
20. Bock Hyeng Ch. A., Yamb E. B. Application of Cyclic Shells in Architecture, Machine Design, and Bionics // International Journal of Modern Engineering Research. 2012. Vol. 2, no. 3. P. 799-806.
21. Иванов В. Н., Шмелева А. А. Геометрия и формообразование тонкостенных пространственных конструкций на основе нормальных циклических поверхностей // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2016. № 6. С. 3-8. EDN: WYOLRL.
22. Иванов В. Н., Рынковская М. И. Применение циклических поверхностей в архитектуре зданий, конструкций и изделий // Вестник Российского университета дружбы народов. Сер. Инженерные исследования. 2015. № 3. С. 111-119. EDN: ULXYJH.
ПАНЧУК Константин Леонидович, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры «Инженерная геометрия и САПР» Омского госу-
дарственного технического университета (ОмГТУ), г. Омск.
SPIN-код: 5623-0008 AuthorID (РИНЦ): 501163 ORCID: 0000-0001-9302-8560 AuthorID (SCOPUS): 55857766100 ResearcherID: S-2788-2017 Адрес для переписки: [email protected] МЯСОЕДОВА Татьяна Михайловна, кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры «Инженерная геометрия и САПР» ОмГТУ, г. Омск. SPIN-код: 6056-6455 AuthorID (РИНЦ): 686836
ORCID: 0000-0002-9641-9417
AuthorID (SCOPUS): 57201776004
ResearcherID: E-7505-2014
Адрес для переписки: [email protected]
Для цитирования
Панчук К. Л., Мясоедова Т. М. Поверхность нелинейного вращения // Омский научный вестник. 2023. № 4 (188). С. 5-12. DOI: 10.25206/1813-8225-2023-188-5-12.
Статья поступила в редакцию 27.06.2023 г. © К. Л. Панчук, Т. М. Мясоедова
UDC 514.7
DOI: 10.25206/1813-8225-2023-188-5-12 EDN: VFCPSL
K. L. PANCHUK T. M. MYASOYEDOVA
Omsk State Technical University, Omsk, Russia
THE SURFACE
OF NON-LINEAR ROTATION
The paper considers a geometric scheme, a mathematical model and an algorithm for shaping a non-linear rotation surface. It is known that in Euclidean geometry and mechanics the transformation of rotation is linear, while distance and angle are its invariants. The authors proposed a geometric scheme of non-linear rotation, in which the axis of rotation is a smooth spatial curve and the object of rotation is a smooth line. Several propositions, a lemma and a theorem are proved, which allow one to form the initial data in the problem of nonlinear rotation, the solution of which is the parametric equations of smooth surfaces. The research results make it possible to expand the variety of cyclic surfaces in the existing classification of analytic surfaces. They can also be useful in the creation of CAD, which provides for the design of surface forms of products for mechanical engineering, construction, architecture and other practical areas based on cyclic surfaces. Keywords: smooth curve, movable trihedron, non-linear rotation surface, shaping algorithm, cyclic surface.
References
1. Grigor'yev M. I. Postroyeniye obobshchennykh poverkhnostey vrashcheniya [Construction of generalised rotation surfaces] // Seminar «DNA&CAGD». Izbrannyye doklady. Seminar «DNA&CAGD». Izbrannyye Doklady. 2007. P. 1-7. URL: http://dha.spb.ru/PDF/GeneralizedRevolution.pdf (accessed: 27.02.2023) (In Russ.).
2. Grigor'yev M. I., Malozemov V. N. Sostavnyye krivyye i poverkhnosti Bez'ye. Analiticheskiy podkhod [Compound curves and Bftzier surfaces. The analytical approach]. Lambert Academic Publishing, 2010. 132 p. ISBN 978-3-8433-0323-1. (In Russ.).
3. Beglov I. A., Rustamyan V. V. Metod vrashcheniya geometricheskikh ob"yektov vokrug krivolineynoy osi [Method of rotation of geometrical objects around the curvilinear axis] // Geometriya i grafika. Geometry and Graphics. 2017. No. 3. P. 45-50. DOI: 10.12737/article_59bfa4eb0bf488.99866490. EDN: ZGWEMP. (In Russ.).
4. Beglov I. A. Computer geometric modeling of quasirotation surfaces // Journal of Physics: Conference Series. 2021. Vol. 1901. P. 012057. DOI: 10.1088/1742-6596/1901/1/012057. (In Engl.).
5. Osipov V. A. Mashinnyye metody proyektirovaniya nepreryvnokarkasnykh poverkhnostey [Machine-assisted design methods for continuous frame surfaces]. Moscow, 1979. 248 p. (In Russ.).
6. Osipov V. A., Osipova L. I. Teoreticheskiye osnovy karkasno-kinematicheskogo metoda napravlyayushchey linii [Theoretical foundations of the frame-kinematic guide line method] // Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Aviatsionnaya tekhnika. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Aviatsionnaya Tekhnika. 1980. No. 4. P. 48-53. (In Russ.).
7. Markin L. V., Korn G. V., Kui M. Kh. [et al.]. Diskretnyye modeli geometricheskogo modelirovaniya komponovki aviatsionnoy tekhniki [Discrete models of aircraft equipment layout geometric modeling] // Trudy MAI. Proceedings of MAI. 2016. No. 86. 16 p. EDN: VUDSTD. (In Russ.).
8. Khtun N. N. Razrabotka i issledovaniye retseptornykh geometricheskikh modeley telesnoy trassirovki [Development and research of receptive geometric models of body tracing]. Moscow, 2014. 26 p. (In Russ.).
9. Blyashke V. Differentsial'naya geometriya i geometricheskiye osnovy teorii otnositel'nosti Eynshteyna. V 2 t. T. 1. Elementarnaya differentsial'naya geometriya. [Differential
geometry and the geometrical foundations of Einstein's theory of relativity. In 2 vols. Vol. 1. Elementary differential geometry]. Moscow; Leningrad, 1935. 330 p. (In Russ.).
10. Kartan E. Teoriya konechnykh nepreryvnykh grupp i differentsial'naya geometriya, izlozhennyye metodom podvizhnogo repera [Theory of finite and continuous groups and differential geometry treated by the moving frame method] / trans. from. fr. S. P. Finikova. Moscow, 1998. 368 p. ISBN 5-80100-297-9. (In Russ.).
11. Zeyliger D. N. Kompleksnaya lineychataya geometriya [Complex linear geometry]. Moscow; Leningrad, 1934. 196 p. (In Russ.).
12. Yakubovskiy A. M. Nekotoryye voprosy konstruirovaniya poverkhnostey s pomoshch'yu trekhgrannika Frene [Some issues of surface construction with the Fresnier trihedron] // Trudy un-ta Druzhby Narodov im. P. Lumumby. Proceedings of the P. Lumumba Peoples' Friendship University. Moscow, 1967. Vol. 26. P. 23-32. (In Russ.).
13. Panchuk K. L., Niteyskiy A. S. Contact of the Ruled Nondevelopable Surfaces // Proceedings of the 16th International Conference on Geometry and Graphics, 4-8 August 2014. Innsbruck: University Press, 2014. P. 216-223. (In Engl.).
14. Niteyskii A. S. Konstruirovaniye torsovoy poverkhnosti metodom podvizhnogo trekhgrannika Frene [Design of ruled surfaces by moving Frenet trihedron] // Omskiy nauchnyy vestnik. Omsk Scientific Bulletin. 2013. No. 2 (120). P. 151-153. EDN: RNEIEX. (In Russ.).
15. Korchagin D. S., Panchuk K. L. Metod geometro-dinamicheskogo formoobrazovaniya lineychatykh polos [Methods of geometry-dynamic shaping linear strips] // Vestnik KuzGTU. Bulletin of the Kuzbass State Technical University. 2013. Issue 6 (100). P. 89-92. EDN: RUDWXJ. (In Russ.).
16. Korchagin D. S., Panchuk K. L. Forming of the Spline Similar Linear Strip // Proceedings of the 16th International Conference on Geometry and Graphics. Innsbruck, Austria. 2014. P. 428-436. (In Engl.).
17. Krivoshapko S. N. Entsiklopediya analiticheskikh poverkhnostey: boleye 500 poverkhnostey, 38 klassov: matematikam, inzheneram, arkhitektoram [Encyclopedia of analytical surfaces: more than 500 surfaces, 38 classes: mathematicians, engineers, architects]. Moscow, 2010. 556 p. ISBN 978-5-397-00985-0. (In Russ.).
18. Krivoshapko S. N., Ivanov V. N. Klassifikatsiya tsiklicheskikh poverkhnostey [Classification of cyclic surfaces] // Stroitel'naya Mekhanika Inzhenernykh Konstruktsiy i Sooruzheniy. Structural Mechanics of Engineering Structures and Facilities. 2006. No 2. P. 25-34. (In Russ.).
19. Krivoshapko S., Hyeng C. Geometrical research of rare types of cyclic surfaces // International Journal of Research and Reviews in Applied Sciences. 2012. Vol. 12, no. 3. P. 346-359. DOI: 10.1088/1742-6596/1901/1/012057. (In Engl.).
20. Bock Hyeng Ch. A., Yamb E. B. Application of Cyclic Shells in Architecture, Machine Design, and Bionics // International Journal of Modern Engineering Research. 2012. Vol. 2, no. 3. P. 799-806. (In Engl.).
21. Ivanov V. N., Shmeleva A. A. Geometriya i formoobrazovaniye tonkostennykh prostranstvennykh konstruktsiy na osnove normal'nykh tsiklicheskikh poverkhnostey [Geometry and formation of the thin-walled space shell structures on the base of normal cyclic surfaces] // Stroitel'naya Mekhanika Inzhenernykh Konstruktsiy i Sooruzheniy. Structural Mechanics of Engineering Structures and Structures. 2016. No 6. P. 3-8. EDN: WYOLRL. (In Russ.).
22. Ivanov V. N., Rynkovskaya M. I. Primeneniye tsiklicheskikh poverkhnostey v arkhitekture zdaniy, konstruktsiy i izdeliy [Application of circular surfaces to the architecture of the buildings, structures and products] // Vestnik Rossiyskogo universiteta druzhby narodov. Ser. Inzhenernyye issledovaniya. Rudn Journal of Engineering Research. 2015. No 3. P. 111-119. EDN: ULXYJH. (In Russ.).
PANCHUK Konstantin Leonidovich, Doctor of Technical Sciences, Associate Professor, Professor of Engineering Geometry and CAD Department, Omsk State Technical University (OmSTU), Omsk. SPIN-code: 5623-0008 AuthorlD (RSCI): 501163 ORCID: 0000-0001-9302-8560 AuthorlD (SCOPUS): 55857766100 ResearcherlD: S-2788-2017
Correspondence address: [email protected] MYASOYEDOVA Tatyana Mikhaylovna, Candidate of Technical Sciences, Senior Lecturer of Engineering Geometry and CAD Department, OmSTU, Omsk. SPIN-code: 6056-6455 AuthorID (RSCI): 686836 ORCID: 0000-0002-9641-9417 AuthorID (SCOPUS): 57201776004 ResearcherID: E-7505-2014
Correspondence address: [email protected] For citations
Panchuk K. L., Myasoyedova T. M. The surface of nonlinear rotation // Omsk Scientific Bulletin. 2023. No. 4 (188). P. 5-12. DOI: 10.25206/1813-8225-2023-188-5-12.
Received June 27, 2023. © K. L. Panchuk, T. M. Myasoyedova
