Математическая модель формирования многокомпонентной смеси сегрегирующих дисперсных компонентов Текст научной статьи по специальности «Химические технологии»

ЛИТЕРАТУРА

1. Сагдеев К.А., Галлямов Р.Ф., Сагдеев А.А., Гумеров

Ф.М. // Вестник Казанск. технология. ун-та. Т. 16. № 12. 2013. С. 20 - 23;

Sagdeev K.A., Gallyamov R.F., Sagdeev A.A., Gumerov

F.M // Vestnik Kazanskogo tehnologicheskogo universiteta. V. 16. N 12. 2013. P. 20 - 23 (in Russian).

2. Богдан В.И., Коклин А.Е., Казанский В.Б. // Сверхкритические флюиды: теория и практика. 2006. Т. 1. № 2. С. 5 - 12;

Bogdan V.J., Koklin A.E., Kazanskiy V.B. // Sverhkriti-cheskie flyuidy: teoriya i praktika. 2006. V.1. N 2. P. 5-12 (in Russian).

3. Билалов Т.Р., Гумеров Ф.М., Габитов Ф.Р., Федоров Г.И., Харлампиди Х.Э., Сагдеев АА // Сверхкритические флюиды: теория и практика. 2009. Т. 4. № 2. С. 34-52; Bilalov T.R., Gumerov F.M., Gabitov F.R., Fedorov G.I., Kharlampidi Kh.E, Sagdeev A.A. // Sverhkriticheskie

flyuidy: teoriya i praktika. V. 4. N 2. 2009. P. 34-52 (in Russian).

4. Галлямов Р.Ф., Сагдеев А.А., Гумеров Ф.М., Габитов

Ф.Р. // Сверхкритические флюиды: теория и практика. 2010. Т. 5. № 1. С. 40-51;

Gallyamov R.F., Sagdeev A.A., Gumerov F.M., Gabitov

F.R. // Sverhkriticheskie flyuidy: teoriya i praktika. V. 5. N 1. 2010. P. 40-51 (in Russian).

5. Галимова А.Т., Сагдеев А.А., Гумеров Ф.М. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2013. Т. 56. Вып. 6. С. 65-68;

Galimova A.T., Sagdeev A.A., Gumerov F.M. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2013. V. 56. N 6. P. 65 - 68 (in Russian).

6. Сагдеев А.А., Галимова (Тухватова) А.Т., Гумеров Ф.М., Каюмов Р.А., Галлямов Р.Ф., Сагдеев К.А., Габитов Ф.Р. Патент РФ № 99340. 2010;

Sagdeev A.A., Galimova A.T., Gumerov F.M., Kayumov R.A., Gallyamov R.F., Sagdeev K.A., Gabitov F.R. RF Patent N 99340. 2010. (in Russian).

Кафедра техники и физики низких температур

УДК 621.927

В.Е. Мизонов, И.А. Балагуров, А.В. Митрофанов

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФОРМИРОВАНИЯ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ СМЕСИ СЕГРЕГИРУЮЩИХ ДИСПЕРСНЫХ КОМПОНЕНТОВ

(Ивановский государственный энергетический университет) e-mail: [email protected]

Предложена нелинейная ячеечная математическая модель эволюции распределения компонентов смеси при смешивании более двух компонентов с различными свойствами. Показано, что оптимальное время перемешивания всей смеси значительно отличается от оптимального времени перемешивания по отдельным компонентам. Приведены примеры численного моделирования процесса.

Ключевые слова: многокомпонентная смесь, сегрегация, цепь Маркова, вектор состояния, переходная матрица, однородность смеси

Процессы смешивания дисперсных материалов широко распространены в химической, фармацевтической, строительной и других отраслях промышленности. Качество получаемых смесей, то есть равномерность распределения компонентов по их объему, во многом является критическим фактором, определяющим их потребительские свойства. Математическое моделирование эволюции распределения компонентов при смешивании позволяет минимизировать объем трудоемких экспериментальных поисков рациональных режимов перемешивания, а иногда и выходить на новые конструкции смесителей. Для

описания процесса обычно используются дискретные модели, например, теория клеточных автоматов [1,2] или теория цепей Маркова, теоретические основы приложения которой к моделированию процессов в дисперсных средах изложены в работе [3]. На основе теории цепей Маркова были решены разнообразные задачи моделирования и оптимизации получения бинарных смесей сегрегирующих компонентов [3,4]. Если для определенности положить, что сегрегация обусловлена только разницей в размерах частиц компонентов, то процесс формирования бинарной смеси протекает следующим образом. Первоначально распо-

ложенные наверху зоны смешивания мелкие частицы при создании подвижности частиц перемешиваются с крупными частицами, одновременно опускаясь вниз. Здесь протекает диффузионно-конвективный перенос, причем его диффузионная составляющая ведет к выравниванию распределения компонента по высоте смесителя, а конвективная - к дефомации этого распределения. Образовавшиеся пустоты от опускания мелких частиц вниз занимают крупные частицы, что обусловливает их сегрегацию вверх. Основной технологической задачей является определение времени смешивания, когда компоненты наиболее равномерно распределены по высоте зоны смешивания, чтобы в этот момент прекратить процесс. В работе [4] предложена ячеечная модель, позволяющая оценивать это оптимальное время смешивания.

При смешивании трех и более компонентов различной крупности реальная ситуация и ее математическая модель усложняются. Для ее обсуждения и моделирования достаточно рассмотреть смешивание трех компонентов, когда в процессе участвуют частицы средней крупности. Эти частицы, первоначально находящиеся между крупными и мелкими, могут как сегрегировать вниз в среду более крупных частиц, так и подниматься вверх в среду более мелких частиц. При этом скорость сегрегации зависит от того, какой в данный момент состав имеет смесь ниже и выше наблюдаемой зоны смесителя. Моделированию именно такого процесса и посвящена настоящая работа.

Для построения ячеечной модели смешивания разобьем высоту зоны смешивания на т ячеек высотой Ду=Шт, где Н - высота этой зоны. Допустим, что каждая ячейка вмещает единичную объемную порцию компонентов или смеси независимо от ее состава. Будем наблюдать процесс в дискретные моменты времени где Дt -

продолжительность, а к - номер временного перехода (дискретный аналог времени). В каждый момент времени распределение содержания компонентов по ячейкам охарактеризуем векторами-столбцами 8Д 82к, 83к, где индекс 1 отнесен к самому мелкому компоненту. Элементы этих векторов в каждый момент времени должны подчиняться уравнению неразрывности:

8цк +8^к + 8^=1, ]=1,...,т (1)

где j - номер ячейки, отсчитываемый сверху.

Для наглядности описания процесса, разделим эволюцию распределения компонентов в течение одного временного перехода на две стадии. Первой стадией будет диффузионно-конвективный перенос компонентов, в котором участвует только их сегрегация вниз. Она описывается тремя рекуррентными матричными равенствами

эГ^иХ,

^ГЖ,^, (2)

8к+1 _рк /ск \ск

3 _Г3(Э1, 2,3)Э3 ,

где Рь Р2 и Р3 - переходные матрицы, зависящие на каждом временном переходе от состояния смеси в ячейках, окружающих данную ячейку, то есть модель является существенно нелинейной.

Механизм формирования относящихся к сегрегации переходных вероятностей показан на рис. 1. Пусть скорость сегрегации мелкой монофракции в среднюю монофракцию равна у12, в крупную монофракцию - Vl3, а скорость сегрегации средней монофракции в крупную - V23 (считается, что сегрегация фракции самой в себя, а также в более мелкую фракцию отсутствует).

^ ^2) ^

j+1

S3)+1

Рис. 1. К механизму сегрегационных переходов Fig. 1. On mechanism of segregation transitions

Содержащаяся в ячейке j мелкая фракция переходит в содержащуюся в ячейке j+1 среднюю фракцию с вероятностью vi2 и в содержащуюся в ней крупную фракцию с вероятностью v13. Средняя фракция переходит в содержащуюся в ячейке j+1 крупную фракцию с вероятностью v23. Переход мелкой фракции в мелкую и средней в среднюю не происходит. Этот механизм предопределяет следующее правило построения элементов переходных матриц: Pi, Р2 и Р3: Матрица Р1:

pk+1J=d1+(i-s^]+1)v'2Sk+ii:kS^]+i, (3)

S2,j+1 + S3,j+1

Pj ,j+1 =di, (4)

Матрица Р2:

P2,j+1,j = d2 + V23(1 " Sl,j+1 " S2,j+i) ,

P.

2,j,j+1

= d2,

Матрица Р3:

Pl ^ = Pk

= d,

(5)

(6)

р 3,],]+1 р 3,]+1,] , (7)

где d - вероятности диффузионных (симметричных) переходов.

Диагональные элементы во всех матрицах определяются из условия нормировки по столбцам

РИ-^гРш (8)

Однако, рассчитанные по равенству (2) распределения не будут удовлетворять условию неразрывности (1), поскольку все распределения из-за сегрегации получат деформацию в сторону нижних ячеек. Поэтому эта процедура должна быть дополнена описанием перемещения вверх компонентов 2 и 3 для заполнения освобождающегося пространства в верхних ячейках. Будем считать, что в каждой ячейке это пространство заполняется пропорционально содержанию компонентов 2 и 3 в следующей ячейке, что приводит к системе равенств:

(9)

ASk = 1 - Sk+1 - Sk+1 - Sk+1, J 1,1 2,j 3,j

„k+l.= „k+l 2.j ' 2,j

AS

k+1

S

k+1 2,j+l

ck+1 , ck+1 k+1

S3.j1:=S-1+ASk+1

S

3,1+1

'3,1

„k+1 .= ck+l 2,j+l' ь

ck+1 , ck+1

4i+i+4i+i k+1

2,1+1

ck+1 k+1

4 ' 3. j • |

-ASk+1

-ASk+1

S

2,1+1

ck+1 , ck+1

4i+i + 4i+i k+1

S

3,1+1

J S^l+S^1

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

На рис. 2 показана эволюция распределения каждого из компонентов в процессе смешивания. При отсутствии чисто диффузионного перемешивания (dl=d2=dз=0) смесь асимптотически (при к^-да) должна перейти в состояние $^=[0 0 0 0 0 0 1], 82ш=[0 0 0 0 1 1 0], 8зш=[1 1 1 1 0 0 0], что и получается при больших значениях к.

Однако задачей процесса является получение наиболее равномерной смеси. Матрица распределения компонентов в идеальной смеси имеет вид

"1/7 1/7 1/7 1/7 1/7

sp

S2

sp

2/7 4/7

2/7 4/7

2/7 4/7

2/7 4/7

2/7 4/7

1/7 2/7 4/7

1/7 2/7 4/7

(16)

но оно недостижимо при наличии сегрегации, и задача состоит в том, чтобы найти время (число временных переходов), при котором отклонение реальной смеси от идеальной минимально.

^+1^3^+1

3,т 1,т 2,т '

где ASJk - освободившееся пространство в ]-й ячейке на к-м временном переходе (в этих формулах используется оператор присвоения :=, поскольку все трансформации происходят в течение одного временного перехода).

После такой корректировки распределений условие (1) выполняется автоматически, что легко проверяется прямыми расчетами. Таким образом, модель (1)-(14) полностью описывает эволюцию распределения компонентов в трехкомпонентной смеси. Ниже приведены результаты численных экспериментов с моделью для случая т=7 при у12=0,2,у13=0,3,у23=0.1 и d1=d2=d3=0,2. Начальное распределение компонентов при их загрузке представлено матрицей

Рис. 2. Эволюция распределения компонентов по высоте смесителя

Fig. 2. Evolution of components distribution over mixer height

а

0.6 -

О 10 20 30 40 50 , 60

к

Рис. 3. Эволюция неоднородности распределения компонентов смеси по высоте смесителя (1, 2, 3) и смеси в целом (4) Fig. 3. Evolution of components distribution non-homogeneity over mixer height (1, 2, 3) and non-homogeneity of the whole mixture (4)

Рис. 4. Распределение компонентов смеси при оптимальном

числе переходов Fig. 4. Mixture components distribution at the optimal number of transitions

На рис. 3 тонкими линиями показано изменение среднеквадратичного отклонения распределения по высоте смесителя для отдельных компонентов. Для каждого компонента существует оптимальное число переходов, приводящих к наиболее равномерному распределению, но эти

оптимальные числа переходов значительно отличаются друг от друга. Жирной линией показано изменение среднеквадратичного отклонения текущего состояния смеси от идеального распределения (16). Здесь также имеется оптимум, соответствующий 20 временным переходам, причем лучшая равномерность смеси при данных параметрах процесса достигнута быть не может.

На рис. 4 показано это наилучшее распределение, однако из графика видно, что оно далеко от идеального, особенно в самых верхних и в самых нижних ячейках.

Таким образом, можно заключить, что получение качественных многокомпонентных смесей сегрегирующих компонентов в рамках традиционной организации смешивания представляет собой достаточно сложную технологическую задачу, для решения которой нужны специальные конструктивные и режимные решения, позволяющие подавлять негативные последствия сегрегации.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта №14-01-31177 мол_а.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бобков С.П. // Изв. вузов. Химия и хим. технология, 2009. Т. 52. Вып. 3. С.109-114;

Bobkov S.P. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2009. V. 52. N 3. P. 109-114 (in Russian).

2. Бобков С.П., Войтко Ю.В. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2009. Т. 52. Вып. 11. С. 126-128;

Bobkov S.P., Voiytko Yu.V. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2009. V. 52. N 7. P. 105-112 (in Russian).

3. Berthiaux H., Mizonov V., Zhukov V. // Powder Technology. 2005. V.157. P. 128-137.

4. Баранцева, Е.А. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2009. Т. 52. Вып. 8. С.122-123;

Barantseva, E.A. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2009. V. 52. N 3. P. 122-123 (in Russian).

Кафедра прикладной математики