Математическая модель периодического смешивания сыпучих материалов с распределенной подачей сегрегирующего компонента Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.929

В.Е. Мизонов, С.В. Крупин, К.А. Шелатонова, Е.А. Баранцева

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО СМЕШИВАНИЯ СЫПУЧИХ МАТЕРИАЛОВ С РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПОДАЧЕЙ СЕГРЕГИРУЮЩЕГО КОМПОНЕНТА

(Ивановский государственный энергетический университет) e-mail: mizonov46@mail.ru

Предложена математическая модель для оптимизации подачи сегрегирующего компонента в смеситель сыпучих материалов периодического действия. Модель учитывает изменение загрузки смесителя по мере подачи этого компонента. Показано, что существует оптимальная программа подачи, обеспечивающая наилучшее качество смеси. При реализации оптимальной программы предельное качество смеси незначительно зависит от скорости сегрегации и коэффициента макродиффузии частиц.

Ключевые слова: периодическое смешивание, качество смеси, сегрегация, вектор состояния, переходная матрица, оптимальная программа подачи

Смесители дисперсных материалов широко распространены в химической, строительной и других отраслях промышленности. Они призваны обеспечить максимально возможное равномерное распределение компонентов смеси в некотором объеме, если первоначально эти компоненты были полностью разделены. В смесителе периодического действия эти компоненты загружаются в него в начале процесса, а образовавшаяся смесь выгружается из него в конце процесса. Если в начале процесса ключевой компонент, имеющий тенденцию к сегрегации вниз, находился в верхней части смесителя, то после включения перемешивающего воздействия (вибрации, вращающихся лопастей) он начинает проникать в основной компонент за счет макродиффузии и опускаться вниз за счет сегрегации. Качество смеси сначала возрастает, а затем ухудшается, причем при длительном времени перемешивания и значительной скорости сегрегации может почти приблизиться к исходному, когда весь ключевой компонент окажется в нижней части смесителя. При отсутствии сегрегации распределение ключевого компонента асимптотически стремится к равномерному, а при ее наличии существует предельное распределение, отличное от равномерного, при котором лучшее качество смеси при такой загрузке невозможно получить в принципе.

В работе [1] показано, что улучшение качества смеси может быть достигнуто, если загружать сегрегирующий компонент в верхнюю часть смесителя не сразу, а постепенно в течение определенного промежутка времени по определенной программе. Для обоснования этого подхода предложена ячеечная модель, основанная на теории цепей Маркова, основные принципы применения которой к моделированию процессов в сыпучих

средах описаны в работе [2]. Было показано, что существует оптимальная программа загрузки сегрегирующего компонента, обеспечивающая лучшее качество смеси, чем при его одноразовой загрузке. Однако эта модель была построена для малых количеств этого компонента, когда можно считать, что полная загрузка смесителя почти не меняется при его постепенном заполнении. На практике полная доля сегрегирующего компонента в смеси может быть значительной (до 50%), и применение описанной в [1] модели становится неправомерным.

Целью настоящей статьи является построение ячеечной модели перемешивания склонных к сегрегации компонентов при постепенной подаче сегрегирующего компонента в смеситель с учетом изменения его загрузки в процессе подачи. Структура ячеечной модели такого процесса показана на рис. 1а. Сущность модели состоит в следующем. Все пространство состояний представлено n ячейками, из которых m отведено под полную загрузку сегрегирующего компонента (величина m/n соответствует содержанию сегрегирующего компонента в смеси). Доля 1/m этого компонента поступает в цепь с интервалом K временных переходов. Каждый раз ее подают во все более высокую ячейку до полного заполнения всех ячеек цепи. Между подачами идет процесс конвективно-диффузионного перемешивания в цепи, состоящей только из заполненных ячеек.

Текущее состояние смеси характеризуется вектором-столбцом состояния S размером nxl, элементы которого есть набор содержаний компонента в ячейках. Эволюция состояния рассматривается в дискретные моменты времени tk=(k-1)At, где At - продолжительность, а k - номер временного перехода (целочисленный аналог времени).

Она описывается рекуррентным матричным равенством

8к+1=р(8к+ 8(к), (1)

где - вектор подачи компонента, а Р - матрица переходных вероятностей, описывающая вероятности переходов между ячейками, структура которой имеет вид

Р

Psi с1д. 0 0

d+v Ps2 0

0 d+v PS3

0 0 d+v Ps4

(2)

m

а)

1/m

m

1/m

ïïï4 1/m

K

K

*и—H

1/m

K <-►

d 4 б)

v

Рис. 1. Схема ячеечной модели и подачи в цепь сегрегирующего компонента (а) и структура переходных вероятностей из ячейки

Fig. 1. The scheme of cell model and of the feed of segregating component to the chain (а), and the structure of transition probabilities from a cell

1/т и принимается 5^=1, то есть цепь увеличивается еще на одну ячейку. После этого процедура (1) повторяется для следующих К переходов и так далее, пока все пространство состояний оказывается заполненным. После этого матрица не изменяется и описывает эволюцию процесса до произвольного значения к.

Мерой неоднородности смеси может служить среднеквадратичное отклонение распределения содержания сегрегирующего компонента по ячейкам

о(к) =

m 1=1 m

(3)

Возможные переходы из ячейки показаны на рис. 1б. Они состоят из симметричных составляющих d, обусловливающих чисто диффузионное перемешивание, и направленной вниз несимметричной составляющей V, вызванной сегрегацией. Диффузионные переходы вверх содержат множители 5Ъ увеличивающие пространство перемешивания по мере заполнения смесителя. Первоначально 5^0 для 1<Кт и 5= для т+1<Кп, то есть цепь «заперта» на уровне основного компонента смеси. При к=1 (начало процесса) в ячейку т подается (через вектор подачи) количество 1/т сегрегирующего компонента и вводится 5щ=1, то есть, цепь и рабочая часть матрицы увеличиваются на одну ячейку. В течение К-1 переходов преобразование вектора состояния определяется рекуррентным матричным равенством (1) при 8(-к=0. Затем в векторе 8К к элементу SK(m-1) добавляется

На рис. 2 показан пример эволюции состояния смеси, представленной десятью ячейками, где под сегрегирующий компонент отведено четыре верхних ячейки (его общее содержание в смеси составляет 40%). Подача компонента осуществляется с интервалом К=6 временных переходов, когда 25% его общей массы последовательно подается в ячейки 4, 3, 2 и 1. Забегая вперед, заметим, что наилучшее качество смеси (наименьшее значение о) достигается за 23 перехода и значительно превосходит наилучшее качество при однократной загрузке всего сегрегирующего компонента.

Рис. 2. Эволюция состояния сегрегирующего компонента при K=6, d=0,2, v=0,2 Fig. 2. Evolution of the state of segregating component at K=6, d=0.2, v=0.2

Сравнение формирования качества смеси при различных периодах подачи показано на рис.3. Всплески на начальных участках кривых соответствуют моментам подачи порций компонента, а точки отмечают время его полной загрузки. Кривая 1 соответствует традиционной загрузке всего компонента в верхнюю часть смесителя. При периоде порционной загрузки K=2 минимальное среднеквадратичное отклонение ниже, чем при однократной загрузке. Перебор периодов загрузки показывает, что его наименьший минимум достигается при K=6 (жирная линия); далее он начинает увеличиваться.

n

k

1

d

0-1-1-1-1-

10 20 30 40 k 50

Рис. 3. Формирование качества смеси при различных периодах подачи: 1 - однократная загрузка, 2 - K=2, 3 - K=6, 4 - K=10 (d=0,2, v=0,2) Fig. 3. Formation of mixture quality at different periods of feed: 1 - single state feed, 2 - K=2, 3 - K=6, 4 - K=10 (d=0,2, v=0,2)

На рис. 4 показано обобщение результатов численных экспериментов по исследованию зависимости минимально достижимых среднеквадратичных отклонений содержания сегрегирующего компонента, получаемых оптимизацией программы загрузки, от параметров процесса d и v. На рисунке показаны две поверхности: светлая - для традиционной одноразовой загрузки, темная - для загрузки по оптимальной программе. Сравнение поверхностей позволяет сделать два вывода. Во-первых, оптимальная программа дает заметный выигрыш в максимально достижимом качестве смеси, который возрастает с ростом скорости сегрегации и убыванием коэффициента макродиффузии. Во-вторых, оптимизированные среднеквадратичные отклонения почти не зависят от параметров процесса. Их влияние «вымывается» оптимизацией, что часто встречается при решении оптимизационных задач.

Порционная дискретная загрузка компонента может встретить технические трудности при практической реализации в промышленных смесителях. Поэтому она может быть заменена непрерывной загрузкой на оптимизированном от-

резке времени. В частности, для жирной кривой на рис. 3, когда абсолютный минимум достигается при К=6, и полной массе компонента, принятой равной 1, ее производительность может быть рассчитана как 1/[К(т-1)+1], где в знаменателе стоит оптимизированная продолжительность загрузки, выраженная в числе временных переходов, а в числителе - полная масса компонента.

Рис. 4. Минимальные достижимые а при традиционной (светлая) и оптимизированной (темная) загрузке в зависимости от параметров процесса Fig. 4. Minimum a that can be reached at traditional (light) and optimized (dark) feed as function of the process parameters

Таким образом, показано, что существует оптимальная программа загрузки ключевого компонента в работающий смеситель периодического действия, обеспечивающая наилучшее качество смеси склонных к сегрегации компонентов, причем при реализации этой программы максимально достижимое качество смеси незначительно зависит от скорости сегрегации и коэффициента макродиффузии.

ЛИТЕРАТУРА

1. Баранцева Е.А. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2009. Т. 52. Вып. 8. С. 122-123;

Barantseva E.A. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2009. V. 52. N 8. P. 122-123 (in Russian).

2. Berthiaux H., Mizonov V., Zhukov V. // Powder Technology. 2005. V. 157 P. 128-137.

VA

А 1\

г 33/ "/4

Кафедра прикладной математики