CC BY
20
Н. П. Шамаева,
кандидат экономических наук, Камский институт гуманитарных и инженерных технологий
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ КАК ОСНОВА ПОСТАНОВКИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
О НАУЧНО-ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ КООПЕРАЦИИ
Научно-производственная кооперация является одним из определяющих факторов развития экономики [1]. К числу переменных, характеризующих процесс взаимодействия науки с производством (на корпоративном, региональном или национальном уровнях), относятся:
п - число используемых патентов на новые наукоемкие технологии;
w - средства, на НИОКР (относительное количе-
,№1
ство: W =------ , где w1 - финансовые средства, на-
W 2
правляемыена НИОКР, w2 - общая сумма финансовых средств, используемых для производства продукции);
s - доля технологически продвинутого продукта, связанного с наукоемким производством
§1
(э = ■
где э1 - количество изделии, произ-
веденных по новым технологиям и/или количество технологически продвинутых изделий, б2 - общее количество произведенных изделий);
у - степень технологического развития, у -теризует технологическое отставание): У =
харак-
І1 У 2 ,
нятого НИОКР: Ц :
Ц1_ Ц 2
-^п(Ч) = к • w • п(Ч) • (п0 + ^
Л
kw
-n(t)) - d • п(Ц + А^ц“
Y(t) = ст • п(Ц - fl (Y(t)) + f2 (w(t))
-^0) = у- ^з(э(Ц) - f4(s(t))) dt
(1)
Ц№ = f5(ц(t)) + 8 • у(Ц
Здесь d - время, за которое число используемых патентов уменьшается в е - раз, при условии к=Д=0, число патентов на изобретения в области определенной наукоемкой технологии хорошо описывается логистической кривой, являющейся решением уравнения для п(^) системы (1).
где у 1 - число используемых новых передовых наукоемких технологий, у2 - общее число используемых технологий;
ц - относительная численность персонала, за-
Когда научное открытие или экспериментальная установка превращается в промышленное изделие, количество используемых патентов экспоненциально растет:
d , ч — п© : dt
; к-^п0’п(1) или п(ґ) ~ е -кж(‘)п° ‘,
- численность
персонала занятого НИОКР, ц - общая численность персонала.
Математическая модель динамики этих переменных представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которой описывает зависимость от времени этих переменных. Она имеет вид:
этот рост становится все менее заметным при больших ^ когда уже „все” запатентовано, при t ^ да п ^ п0. Начальный экспоненциальный рост количества патентов и определяет коэффициент к. Д - коэффициент пропорциональности между количеством исследовательских групп, работающих над определенным проектом и ростом числа патентов, а - среднее число членов в такой группе.
Динамику технологического отставания описывает второе сверху уравнение системы (1). Входящие в него функции ^(у©) и £^)) описывают рост технологического отставания при отсутствии финансирования НИОКР и скорость уменьшения технологического отставания, зависящую от степени финансирования
НИОКР, соответственно о - коэффициент пропорциональности между уменьшением технологического отставания и числом действующих патентов.
Третье сверху уравнение описывает динамику относительного количества технологически продвинутых изделий § в зависимости от потребности в данном продукте (спрос) f3(s(t)) и наличия на рынке данной продукции (предложение) ^^(ф.
Динамику относительной численности персонала, занятого НИОКР описывает самое нижнее из уравнений системы (1). Оно отражает зависимость скорости увеличения (уменьшения) относительной численности персонала занятого НИОКРом от относительного количества этого персонала ^(ц(ф и технологического отставания (5 - коэффициент этой зависимости).
Линеаризуем систему уравнений (1) в окрестности ее стационарного решения, определяемого множеством условий: {п = п0; ~ =0; =0; 5п0= ^(у0)=0;
~ = У0; ~= §0; ~ =ц>; ±5(М0)+ 5л=0}.
В результате получим систему уравнений:
Ап^) = -к ■ w ■ п0 ■ (п - п0) + А ■ dt
АY(t) = о ■ (п - п0) - (У0) ■ (У - Ус) + ^2(0) ■ w (2)
х ^ = :^±5(^0) ■ (ц - М + з ■ (у - у 0) dt dt
—= У0 ■ - -^±4(я0)) ■ (я - Я0)
dt dt dt
Введем новые переменные: п-п0 = х1, у-у0 = х2,
ц-ц0 = х3, тогда первые три уравнения системы (2)
примут вид:
■ 11 1 , л “
—х =-к■ w ■ пп ■ х +А^и0
■ 0 0
■ 2 1 а 2 , ■ (3)
—х = <?■ х —±1 (у0) ■ х + —±2(0) ■ w 4 '
ш dt dt
Ах3 = А±5(^0) ■ х3 +§■ х2 dt dt 5 0 Рассмотрим теперь переменные х1, х2 и х3, как компоненты вектора
х = х 1 • е1 + х2 е2+х3 е3. С помощью оператора А, который в базисе е1, ..., е3 имеет матрицу: Ае1 = ак ек
(
а к =
- kwnn
8 ^7ґ5(Цо)
d
dt
(4)
и вектора 3 = А • ца • Єї + —ґ2(0) • w • Є2, систему
уравнений (3) можно записать в виде:
— х = Ах + 11 = А(х + А-1и)
или = Ау, где у = X + А 1и
dt'
(5),
(6).
Решение уравнения (6) имеет вид:
У =х + А-1и = еА1;у 0
At ^ -1^
или х = е У0-А и _ (7),
где постоянный вектор у0 определяется начальными условиями:
У0 = х (0) + А-1и = х1 (0)е1 + х2 (0)е2 + х3(0)е3 + Ац^А-^ + —±2 (0^А-1е2
dt
Здесь х1(0)=п(0)- п0; х2(0)=у(0)- у0; х3(0)=ц(0)- ц0 начальные отклонения системы от положения равновесия (стационарной точки). А-1 оператор обратный к оператору А.
Его матрица находится из соотношения: АА-1=1 (8), что соответствует матричному уравнению:
0
0
d
0
d
ґ5(Ц0)
' Ьїї Ь12 Ь13л
Ь2ї Ь 22 Ь 23 =
, Ь31 Ь 32 Ь33
Гї 0 0Л
0 ї 0 ,
V0 0 1У
'
- к^^0Ьп
- к^^0Ьї,
- kwnob]з
8Ъ„ - ^ї(У0)Ь2ї 8Ьї2 - ґї(у0)Ь22 8Ь,3 - -^1'ї(Т0)Ь2з
dt dt dt
8Ь2ї + — ґ5(Ц0)Ьзі 8Ь22 + — ґ5(Ц0)Ьзг 8Ь2з + — ґ5(Ц0)Ьзз
dt dt dt
из которого и следует система уравнений для нахождения элементов матрицы оператора А-1:
Ьїї= -
1
kwnl
ьї2=0; ьіз=0;
і Ґ1 (У0 )Ь21 ~ 0 ^ Ь21 ~ "
8
Ґї(У o)kwno
8Ьї2 Ґ0)Ь22 “ ї ^ Ь22 “ і
dt
ґї (У 0Ґ
8Ь13 -ХҐї (У0)Ь23 = 0 ^ Ь23 = 0; dt
8Ь21 + Аґ, (Ц0 )Ьз1 = 0 ^ Ьз1 = Ь21 = т
8ст
dt
8Ь22 + ^Ї^Ґ5 (Ц0 )Ь32 = 0 ^ Ь32 = і
31 і 21 і і
-^(Ці) Ґ5 (Ц0 ) -^Ґ1 (у 0 )к^^гп 0
dt
Ґ,(Ц0)
dt
Ь22 _ а
dt
(Ї0) ’
dt dt
8Ь23 + (Jt Ґ5(Ц0 )Ь33 = 1 ^ Ь33 = а
-Ґ5(Ц0) dt
Таким образом, матрица оператора А-1 имеет вид:
__ї_
kwno
1
ґї (У 0)к™0 8ст
аіґї(* 0) 8
(9).
^^±5 (^0 ) "■г±1 -df5(^п)-dfl (У0) 4±5(^0)
V dt dt dt dt dt у
Найдем теперь собственные значения и собственные вектора оператора А. Уравнение для их нахождения имеет вид:
X
ст
Л
0
8
А
X
8
ст
0
0
8
-1
А
1
Г 0 І
- (Аґ,(Ц 0) + Аґї (у 0)) dt___________dt_______
Ъ2
(10) а| = Х| , и^и(А - М)!Т= 0 = ^1(А -^ Щ, что означает линейную зависимость векторов (А - Х1)ё1, а значит равенство 0 их детерминанта:
0 = Dёt( А - Х1)ё1, (А - Х1)ё2,(А - Х1)е3) =
- (kwn0 + X) 8
0
= -(kwn0 + X)
0
- “^ґї (У 0) -Х dt
8
- "Т'А (Т 0)-Х
0
0
“^Ґ5(Ц0) -Х
а!
8 —±5 0) -х
dt
= (kWnп + х) ■ (А± (У0) + Х) ■ (А± (^0) - Х) dt dt ,
что и дает 3 собственных значения оператора А:
; Х2= - А± (У0); dt
Х3= —±5(^0) . Вычислим собственные вектора, dt
соответствующие этим собственным значениям.
Для собственного значения Х1 уравнение (10) примет вид:
(А - Я11)|1 = 0 или
( \
0
0
а
8 kwno -тт ґї(у0) і!
—ґ,(Ц0) + к^0 і!
ГхЛ
что и дает систему уравнении для определения
компонент вектора С =
(11)
Г X А
У
г
а'
8х + [kwno - — ґї (у0)]у = 0
аХ
8у + [-^ґ, (Ц0 ) + kwno]z = 0
а
і!
Ґ5(Ц0) + kwn0
Аналогично вычисляются компоненты собственных векторов С2 и С3 :уравнение:
0 = (А-Х21)С2
-57Ґї(Ї0) - kwno 0
і!
0
ст 0 0
0 5 (^М + |«У0»
, отсюда
уї =
вид:
а 4
(їїґї(у0)-kwno)• хї=0; ст-х1 = 0;
8^уї + (У0))• гї = 0, что дает: хї = 0 ;
л і! л і!
- (-г^,(Ц0) + -^ґї(У0)) г = 1 и С
а!__________і!_______; гї =1. И вектор С 2 имеет
8
(
С 2 =
0
А
- (Аґ,(Ц 0) + Аґї (У 0))
а!___________а,_______
8
1
Уравнение: »=(а -адь
- (kwn0 + — ґ,(д0)) 0 0
і! І Х2 І
ст - ^-1ґї(У0) + -Аґ,(Ц0)) 0 ] У2 I
а! а! II
0 8 0 V г У
дает условия для определения компонент вектора С 3:
- (kWno + Аґ,(Ц0)) • х2 = 0 ^ х2 = 0 і!
^ х2 - ^ї (у0) + "аґ5(Ц0)) • у2 = 0 ^ у2 = °, і! і!
8у 2 = 0 ^ у 2 = 0 .
Отсюда С3
Г 01
V1У
. Теперь, вернувшись крешению (7),
Решение этои системы уравнении имеет вид:
-8
1 а г=—-------------------
у = 1 х=ст [аґ(у о) - аііҐ5(ц0) + kwno.
И, таким образом, собственный вектор ^ї имеет вид: г |
1 [“Гґї(у0) -kwno] ст і!
С = -18
мы можем разложить вектор у0 по собственным векторам оператора А: С1 , С2 и С3:
АЕї = -^п0ії ; АС2 =-(У0)С2; АС3 = ^(Ц))!3;
і! аг
у 0 = С1С1 + С 2С 2 + С3І3 =
= (п(0) - п0 )е1 + (У(0) - Ї0 )е2 + (Ц(0) - Ц )е3 + АЦа А-1Нї + ^2 (0)wA-1e2.(12)
Из этого равенства (12) определяются коэффициенты разложения у0 по собственным векторам С1 , С2, С3 оператора А: с1, с2 и с3. Подставляя это разложение в решение (7) уравнения (5), получим:
Г Аца
Х = еА‘ у0 - А-1и = ЄА,(С1І1 + С212 + С313) - А-1 Аґ 2 (0)w
а!
Cle-kWnotСї + С2е* "■ С2 + С3Єа^_......С3
-^1 (У0>1 -
а
-ґ,(Ц0)1е +
/ •
1
kwno
а
fl(Yo)kwno - 8ст
-ґї(ї 0)
/ л а \
АЦ0
0 —f,(0)w
і, 5
0
-dfs(Цo)-dfl(Yo)kwno
і, і, і, і, і, У
г
0
0
у
0
8
0
а
+
а,
-8
1 [-^(Ь) - kwno] ст а,
а
0
1
-8
Ґ5(Ц0) + ^п0
Аца
kwn0
ії'ї(,0)‘ - а,
17ґ1(^0) + 17 ґ5(Ц0)
8
,,(Ц0) А'*),
+ С3Є*
0І
0 1 + 11
~~У + *іҐ2(0) w, а при плохом финансировании
а,
стАЦ°
- +
а,
ґ2 (0)
-*ґї<У o)kwno -*ґї (У 0 )
а, а,
8стАц0 +8 — ґ2 (0)kw 2п0
______________а,_______________
У*У0+і
ґї <У 0) стАЦ
а,
ґї <У o)knoW
(w<<1)
и уменьшение степени техноло-
А ґ5(Ц0) А ґї (У0 )kwno а, а,
Сїеі^с^-Іґї ы - kwno]+^ ст і, kwno
_АГ <. ), * ґї (ї 0 ) + -* ґ,(Ц0) стАЦ°° + ґ2 (0^ 2kno
ае-^ - с,е а,ґї<,0)! І,------------------------------------*-+ _ *
а
ґї <Ї0)1™,п0
- с^е-1”^ -а,ґї(ї0),
----------------------+ С2е * -
-^ґ5(Ц0) + kwn0
а,
* 2 8стАц0 +8 — Ґ2 (0)w 1п0
_______________а,___________________
-df5(Цo)-dfl(Yo)kwno
а, а,
гического отставания может быть получено за счет увеличения относительной численности персонала, занятого НИОКР ц0.
Если же ■А±1 (у0) + А±5(ц0) ф 0, то, поскольку (1 dt dt
—± (У 0) <0, происходит бифуркация (т. е. изменение dt
динамического поведения) системы к новому положению равновесия: t ^ да
°А^а+ кп0-^±2(0)W 2 с d d У^У 0 +----Л-----—----Т А(-—±"1 (у 0) +—±'5(^0)),
— г , ч, 8 dt dt ’
— ±'1 (У 0)kwn0 dt
здесь А, характеризующая отклонение системы от старого положения равновесия при переходе к новому, определяется разложением в ряд Тейлора правых Компоненты этого вектора позволяют показать частей системы уравнений (1) с точностью до более зависимость от времени динамических переменных высоких степеней, чем первая.
Зависимость от времени относительной численности персонала, занятого НИОКР описывается функцией ц^):
п, у, ц и в, характеризующих нашу систему:
п = п„ + х, = п„ +
Ац0 , С1 -kwn0і г * р / і т
0 +е 0 [—ґї(у0)-kwno]
kwnn ст
а,
Ац
kwn стационарному состо-
янию очевидным становится тот факт, что обильное финансирование w>>1 снижает стационарное количество используемых патентов, поскольку теряется стимул.
„ Л 2 аА^0 + (п)W , . -А±(, )t Л Л
У=У0+х2 = У0+—л--+- -2ёdt1 0 (-±70)+“Г±5(М0))
л , , .. 8 dt dt
—±1 (Yп)kwnп dt
Для технологического отставания у следует различать два варианта поведения:
если —± (У 0) + “Г±5(Н-0) = 0, то при t ^ да dt dt
Л о
СТА^ + кп0 —2 (0)W ~
У ^ У 0 + А = У , и при хорошем
d
-гЫц) +
аі
а-1М« 5стAЦo“ + 5dt/2 (0)кп0 ™2
^МЦ) ^/ї (П^П) аі аі
а „ а ^ _
так как —11 <0, —і5>0, то в условиях экономи-
а, а,
ческого кризиса с2=0 и с3=0, w<<1, , ^ да
8стАц0
-*ґ5(Ц0)-*ґї (У o)kwno
а, а,
((1. В условиях эконо-
мического роста с2^0 и с3^0 и ц растет:
Ц* С2е
-;*ґї (У0)!
а,
+ С3е
-*ґ5(Ц0)і
т. е. происходит
а.
а,
ґї (У o)kwno
бифуркация к новому положению равновесия.
Доля технологически продвинутого продукта §
финансировании ^>>1) стационарная точка У , к определяется балансом спроса и предложения. Дей-которой стремится технологическое отставание при ствительно линеаризованное уравнение динамики для
, ^ да будет прямо пропорционально финансирова-
—ґ2(0)
нию (с коэффициентом _а_______):
а,
ґї Су 0)
в легко решается и дает зависимость в от времени ,:
в = в0 + С4ехр-^у0<1“,ґ3 (в 0 ) -~^,ґ4(в0))!^, если спрос и
предложение сбалансированы = Ц^^, то
в=в0+с4 система не является асимптотически устойчивой, с4 может быть случайной величиной и в флук-
Се
а
“і
а
+
с е
0с
туирует вокруг положения равновесия §0 - среднего количества выпуска наукоемкой продукции.
Если же —^±3 (§0)^—^ ±4 (§0) предложение наукоемкой продукции больше чем спрос на нее (например, в случае страны живущей за счет экспорта своих природных ресурсов), то б0 и б0 асимптотически
устойчивое положение равновесия (которое в случае технологически отсталой страны может быть равно 0).
Если, напротив, -■ ±3 (б0 )) -■ ±4 (б 0), т. е. спрос на dt dt
технологически развитую продукцию растет опережая предложение, то производство высокотехнологической продукции § экспоненциально растет.
Таким образом, построенная математическая модель деятельности научно-производственной кооперации достаточно адекватно описывает динамику переменных, характеризующих эту деятельность. Поэтому она может быть взята за основу при постановке и решении задач теории оптимального управления функционирования научно-производственной кооперацией.
Другое возможное использование этой модели - это изучение функционирования научно-производственной кооперации в любых [2] формах ее проявления во всех возможных точках этой модели. Для этого необходимо найти все стационарные точки (1) и изучить динамику переходов из одной стационарной точки в другую при изменении параметров, входящих в уравнение (1), что и является основной задачей синергетики. Чтобы это сделать надо разложить правые части уравнений входящих в (1) с точностью до членов более высокого порядка малости, чем в случае линеаризации.
Литература
1. Шамаева Н. П. Оценка современного состояния и возможных перспектив развития научно-производственной кооперации в Удмуртской республике / Н. П. Шамаева // Вестник Удмуртского университета. - 2012. - № 2 - 3. - С. 80 - 85. 2. Шамаева Н. П. Интеграция образования, науки и бизнеса в регионе в условиях модернизации экономики / Н. П. Шамаева,
К. С. Мохначев // Экономика образования. - 2012. -№ 5. - С. 46 - 53.
Шамаєва Н. П. Математична модель динаміки як основа постановки і рішення завдань науково-виробничої кооперації
Побудована математична модель функціонування науково-виробничої кооперації, яка досить адекватно описує динаміку змінних, що характеризують цю діяльність. Модель може бути прийнята за основу під час постановки і вирішення завдань теорії оптимального управління взаємодією науки і виробництва.
Ключові слова: взаємодія науки і виробництва, математична модель динаміки, лінеаризоване рівняння динаміки, логістична крива.
Шамаева Н. П. Математическая модель динамики как основа постановки и решения задач о научно-производственной кооперации
Построена математическая модель функционирования научно-производственной кооперации, которая достаточно адекватно описывает динамику переменных, характеризующих эту деятельность. Модель может быть принята за основу при постановке и решении задач теории оптимального управления взаимодействием науки и производства.
Ключевые слова: взаимодействие науки и производства, математическая модель динамики, линеаризованное уравнение динамики, логистическая кривая.
Shamayeva N. P. Dynamics Mathematical Model as the Basis of Formulating and Solving of Tasks of Scientific-production Cooperation
A mathematical model of the scientific-production cooperation, which adequate^ descries the dynamics of the variaWes characterizing the activ^, is given. The model can Ьё the basis for the formulation and solution of proWems of the theoty of optimal control of the interaction of science and industty.
Key words: science and industty cooperation, dynamics mathematical model, the linearized dynamic equation, the logistic curve.
Стаття надійшла до редакції 22.11.2013
Прийнято до друку 12.03.2014
--------:------:------------------------------------217
Економічний вісник Донбасу № 1 (35), 2014
