Использование модели временных рядов для оценки динамики научно-производственной кооперации Текст научной статьи по специальности «Математика»

80

ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 311.13(045) Н.П. Шамаева

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МОДЕЛИ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ДЛЯ ОЦЕНКИ ДИНАМИКИ НАУЧНО-ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ КООПЕРАЦИИ

Построена модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС) кооперации науки и производства для Удмуртской Республики. Сделан прогноз степени технологического развития УР на 2013 г.

Ключевые слова: наука, производство, статистические методы прогнозирования, модель авторегресии, анализ изменения степени технологического развития.

В государственной инновационной политике развитых стран на рубеже веков большое значение приобретает стимулирование технологической и научно-исследовательской кооперации [1]. В настоящее время общепризнано, что одним из определяющих факторов развития экономики является научно-производственная кооперация. Тем не менее, в целях совершенствования управления механизмом сотрудничества науки и производства представляется целесообразным использование математических методов, в частности динамических моделей.

К числу переменных, характеризующих процесс взаимодействия науки с производством на всех уровнях, отнесём:

n - число используемых патентов на новые наукоемкие технологии;

w1

w - средства на НИОКР (относительное количество: W =-, где wi - финансовые средства,

w2

направляемые на НИОКР, w2 - общая сумма финансовых средств, используемых для производства продукции);

s - доля технологически продвинутого продукта, связанного с наукоемким производством

s1

(S = —, где s1 - количество изделий, произведенных по новым технологиям и/или количество тех-S2

нологически продвинутых изделий, s2 - общее количество произведенных изделий);

Y - степень технологического развития, у - характеризует технологическое отставание):

у = -У-1, где у 1 - число используемых новых передовых наукоемких технологий, у2 - общее число

У 2

используемых технологий;

Mi

ц - относительная численность персонала, занятого НИОКР: Ц =-, где ц 1 - численность

M 2

персонала, занятого НИОКР, ц 2 - общая численность персонала.

Математическая модель динамики этих переменных представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которой описывает зависимость от времени этих переменных. Она имеет вид:

—n(t) = k • w • n(t) • (n0 + d - n(t)) - d • n(t) + A • fj.a dt kw

^ y(t) = a • n(t) - f (y(t)) + f2 (w(t))

d (1) ds(t) = у (f2(s(t)) - f4(s(t))) dt

d H(t) = f5(p(t)) + 8y(t). dt

Здесь d - время, за которое число используемых патентов уменьшается в е - раз, при условии k=A=0, число патентов на изобретения в области определенной наукоемкой технологии хорошо описывается логистической кривой, являющейся решением уравнения для n(t) системы (1).

Выявить закономерности на фоне случайностей, сделать обоснованные прогнозы и оценить вероятность их появления позволяют статистические методы прогнозирования.

Процесс построения прогнозных моделей неоднозначен. Данное обстоятельство связано с тем, что разнонаправленные силы, действующие в стохастических условиях экономической конъюнктуры, формализации поддаются достаточно сложно. В этом состоит объективная причина, не позволяющая достичь удовлетворительной точности любых прогнозов.

Экономические показатели, представленные временными рядами, в некоторых случаях имеют настолько сложную структуру, что моделирование таких рядов путем построения модели тренда, сезонности и применения других традиционных подходов не приводит к приемлемым результатам. Остаются статистические зависимости во временном ряду ошибок , которые можно моделировать.

Достаточно известным приемом при выявлении и анализе тенденции развития является сглаживание временного ряда, то есть замена фактических уровней временного ряда расчетными уровнями, которые в меньшей степени подвержены колебаниям. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития.

Для прогнозирования будущих значений временного ряда по имеющимся данным необходимо идентифицировать модель ряда. Идентификация ряда подразумевает определение внешних характеристик ряда - наличия тренда и его вида, наличия сезонности и ее параметров и т. п. - и после преобразования ряда к стационарному, определение внутренних его характеристик - наличия взаимовлияния членов ряда друг на друга.

Любой временной ряд можно преобразовать в стационарный с помощью операций сдвига, а любой стационарный ряд описать с помощью процессов авторегрессии и скользящего среднего. Таким образом, временной ряд можно представить в виде суммы двух процессов: авторегрессии порядка p и скользящего среднего порядка q.

Анализ внутренней структуры временных рядов основан на сравнении пробного ряда с белым шумом, имеющим среднее значение E(Zt) = 0 и дисперсию D(Zt) = const. Следовательно, необходимым становится достижение того, чтобы среднее для анализируемого ряда было равно нулю.

Такая модель временных рядов называется в русскоязычных источниках АРПСС (авторегрессии и проинтегрированное скользящее среднее), а в англоязычной - ARIMA [2].

Модель ARIMA позволяет исключить тренд путем перехода к разностям исходного ряда. Порядок разности, при котором ряд становится стационарным случайным процессом, определяет параметр d, который является (наряду с p и q) третьей неизвестной величиной, необходимой при моделировании ARIMA (p,d,q).

В целях определения вида и порядка процессов, порождающих стационарный временной ряд, используют аппарат автокорреляционных функций: обычной - АКФ-корреляция ряда самим с собой, с задержкой на k наблюдений (k обычно называют лагом) и частной - ЧАКФ, где устраняется зависимость между промежуточными наблюдениями (наблюдениями внутри лага).

Иными словами, частная автокорреляция на данном лаге аналогична обычной автокорреляции, за исключением того, что при вычислении из нее удаляется влияние автокорреляций с меньшими лагами (см. [2]).

Сезонные составляющие временного ряда могут быть найдены с помощью коррелограммы. Коррелограмма показывает численно и графически коэффициенты автокорреляции (и их стандартные ошибки) для последовательности лагов из определенного диапазона. На коррелограмме, как правило, отмечается диапазон в размере двух стандартных ошибок на каждом лаге.

В качестве изучаемого объекта моделирования кооперации науки и производства рассмотрим Удмуртскую Республику.

Прогнозирование изменения степени технологического развития Удмуртской Республики на основе исходных данных будем проводить в следующей последовательности.

На первом этапе рассмотрим временной ряд, отражающий изменения степени технологического развития Удмуртской Республики за период с 2000 по 2011 г. (рис. 1). Степень технологического развития рассчитана как отношение количества новых передовых наукоемких технологий к общему числу технологий, используемых в Удмуртской Республике.

Рис. 1. Изменения степени технологического развития Удмуртской Республики за период с 2000

по 2011 г.

Первым шагом анализа рассматриваемого ряда является его проверка на стационарность, поскольку практически вся теория прогнозирования линейных моделей хорошо работает именно на стационарных рядах.

Рассматриваемый ряд не является стационарным, это можно утверждать на основе анализа выборочных автокорреляционной и частной автокорреляционной функций ряда остатков, представленных на рис. 2 и 3 соответственно. Для стационарных рядов автокорреляционные коэффициенты должны стремиться к нулю с течением времени.

3 4

Задержка (Лаг]

Рис. 2. Автокорреляционная функция для степени технологического развития Удмуртской Республики за период с 2000 по 2011 г. (с уровнями значимости для автокорреляций)

В связи с тем что исследуемый ряд короткий, коррелограммы являются смазанными, а идентификация более сложной, так как сами функции АКФ и ЧАКФ вычислены с меньшей точностью.

Проанализируем полученные АКФ и ЧАКФ: АКФ убывает, демонстрируя наличие автокорреляций, а ЧАКФ имеет только один пик, выходящий за уровень случайных колебаний («белого шума»). Такая картина диагностируется как чистая авторегрессионная модель. Учитывая, что на ЧАКФ есть пик только в первой позиции (лаг=1), порядок авторегрессии р равен единице. Порядок скользящего среднего q равен нулю. Получаем модель следующего вида: АЫМА(1, 0, 0).

На следующем этапе для проверки модели на адекватность проанализируем ряд её остатков с 95%-ми доверительными границами.

Вслед за тем, как для исходного ряда подобран самый лучший коэффициент авторегрессии (/1=0,997591), а ряд с этим коэффициентом авторегрессии вычтен из исходного, остатки прогноза не показывают никаких внутренних корреляций. Обе автокорреляционные функции полностью находятся внутри границ «белого шума» (рис.4, 5).

з +

Задержка (Лаг]

Рис. 3. Частная автокорреляционная функция для степени технологического развития Удмуртской Республики за период с 2000 по 2011 г. (с уровнями значимости для частных автокорреляций)

§ 0,600 у

| 0,400 §

¡о 0,200

0,000 -0,200 -0,400 -0,600

Автокорреляционная функция АКФ()

Я

и

1 тт

8 9 10

11

12

Лаг

1

2

3

4

5

6

Рис. 4. АКФ остатков прогноза степени технологического развития Удмуртской Республики

за период с 2000 по 2011 г.

§ 0,400

| 0,300

! 0,200

^ 0,100

0,000 -0,100 -0,200 -0,300 -0,400

Частная автокорр. функция ЧАКФ()

V

6 7

V

10

11

12

Лаг

1

2

3

4

9

Рис. 5. ЧАКФ остаков прогноза степени технологического развития Удмуртской Республики

за период с 2000 по 2011 г.

Модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего считается адекватной исходным данным в том случае, если остатки модели являются некоррелированными нормально распределёнными случайными величинами. Таким образом, сам ряд идентифицирован верно.

Следует отметить, что если бы модель была подобрана неверно, то ряд остатков несомненно указал бы на этот факт.

Полученные оценки параметров модели используются на последнем этапе исследования для того, чтобы вычислить новые значения ряда.

На рис. 6 представлена прогнозная кривая и предсказываемое значение временного ряда на следующий год: 0,0010927 (как правило, подобные методы дают корректный прогноз только на один интервал времени).

0,008 0,007 0,006 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 0

♦ прогноз -■—исходный ряд

Рис. 6. Прогнозная кривая и прогнозное значение временного ряда степени технологического

развития на 2013 г. в Удмуртской Республике

Аналогичным образом при проведении исследования было выполнено моделирование с помощью АЫМА для последующих рассматриваемых рядов.

Рассмотрим динамику затрат на научные исследования и разработки в Удмуртской Республике с 2000 по 2011 г. в абсолютных значениях.

Относительное количество средств, направляемых в исследуемом объекте на НИОКР, рассчитано как отношение величины внутренних затрат на научные исследования и разработки к валовому региональному продукту. Временной ряд динамики представлен на рис. 7.

0,60

0,00

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

ГОД

Рис. 7. Временной ряд динамики относительного количества средств, направляемых на НИОКР

в Удмуртской Республике

Исследуемый ряд был идентифицирован как чистая авторегрессионная модель с параметрами р = 4 (оценки коэффициентов модели / = 0,4954782; /2 =0,473512; / = - 0,09686 и / = - 0,529225), d = 0, q = 0.

На рис. 8 представлена прогнозная кривая и предсказываемое значение временного ряда на следующий год: 0,084885.

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

-0,1

+ прогноз -■—исходный ряд

♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ♦ 10 11 12 13

Рис. 8. Прогнозная кривая и прогнозное значение временного ряда динамики относительного количества средств, направляемых на НИОКР в УР на 2013 г.

Рассмотрим временной ряд, отражающий изменения относительной численности персонала, занятого НИОКР, с 2000 по 2011 г. в Удмуртской Республике (рис. 9). Относительная численность персонала, занятого НИОКР, рассчитана как отношение численности персонала, занятого НИОКР, к общей численности персонала.

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

год

Рис. 9. Изменения относительной численности персонала, занятого НИОКР, с 2000 по 2011 г. в УР

Исследуемый ряд был идентифицирован как чистая авторегрессионная модель с параметрами р = 1 (оценка коэффициента модели ^ = 0,9488976),

d = 0, д = 0.

На рис. 10 представлена прогнозная кривая и предсказываемое значение временного ряда на следующий год: 0,483681952.

На рис. 11 представлен временной ряд, отражающий изменения удельного веса инновационных товаров, работ, услуг в общем объеме отгруженных товаров, выполненных работ, услуг, с 2000 по 2011 г. в Удмуртской Республике.

Исследуемый ряд был идентифицирован как чистая авторегрессионная модель с параметрами р = 2 (оценка коэффициента модели ^ = 0,0425627; f2 = 0,0596187), d = 0, д = 0.

На рис. 12 представлена прогнозная кривая и предсказываемое значение временного ряда на следующий год: 0,387444253 .

0

0,52 0,51 0,5 0,49 0,48 0,47 0,46 0,45 0,44 0,43 0,42

« прогноз -■—исходный ряд

10 11

12 13

Рис. 10. Прогнозная кривая и прогнозное значение временного ряда динамики относительной

численности персонала, занятого НИОКР в УР

0 -I-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012

Рис. 11. Изменения удельного веса инновационных товаров, работ, услуг в общем объеме отгруженных товаров, выполненных работ, услуг, с 2000 по 2011 г. в Удмуртской Республике

7 -,-

♦ прогноз -■—исходный ряд

9 10 11 12 13

1

2

3

4

5

6

7

8

9

7

6

5

4

3

2

1

2

3

4

5

6

7

8

Рис. 12. Прогнозная кривая и прогнозное значение временного ряда изменений удельного веса инновационных товаров, работ, услуг в общем объеме отгруженных товаров, выполненных работ,

услуг в УР

В целом следует отметить, что в Удмуртской Республике проводиться активная государственная инвестиционная политика, направленная на повышение эффективности управления инвестиционными процессами, создание благоприятных условий для привлечения в республику инвестиций, развитие инвестиционной инфраструктуры [3].

Построенная модель функционирования научно-производственной кооперации вполне адекватно описывает динамику переменных, характеризующих этот вид сотрудничества. На наш взгляд, данная модель может быть взята в качестве основы постановки и решения задач оптимального управления научно-производственной кооперацией.

Также очевидна прогностическая ценность этой модели для оценки динамики показателя при оптимизации инженерно-технических мероприятий по повышению устойчивости функционирования объектов экономики в чрезвычайных ситуациях [4].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шамаева Н.П. Роль научно-производственной кооперации для инновационного типа экономического роста // Вестн. Удм. ун-та. Сер. Экономика и право. 2011. Вып. 4. C. 83.

2. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов, прогноз и управление: в 2 ч. / пер. с англ.; под ред. В.Ф. Писа-ренко. М.: Мир, 1974. 604 с.

3. Радыгина С.В. Результаты деятельности по формированию инвестиционной привлекательности Удмуртской Республики // Вестн. Удм. ун-та. Сер. Экономика и право. 2011. Вып. 1. C. 86.

4. Широбоков С.В., Макарова Л.Г., Щепин П.А., Урванцева С.В. Методика количественной оценки устойчивости объекта экономики в чрезвычайных ситуациях // Безопасность в техносфере: сб. ст. Ижевск: Изд-во УдГУ, 2011. Вып. 7. С. 155-160.

Поступила в редакцию 16.08.12

N.P. Schamaeva

The use of time series models for the scientific-production cooperation dynamics assessment

Aautoregressive model and integrated moving average model of science and industry cooperation of the Udmurt Republic are made. Technological development forecast of the Udmurt Republic for 2013 is given.

Keywords: science and industry cooperation, statistical forecasting techniques, aautoregressive model and integrated moving average model, the analysis of changes of technological development degree.

Шамаева Нелли Павловна, доцент

НОУ ВПО «Камский институт гуманитарных

и инженерных технологий»

426003, Россия, г. Ижевск, ул.В. Сивкова, 12а

E-mail: eiu.eic@kigit.udm.net

Shamayeva N.P., associate professor

Kamsky Institute of Humanitarian

and Engineering Technics

426003, Russia, Izhevsk, V. Sivkova st., 12a

E-mail: eiu.eic@kigit.udm.net