Математическое моделирование хозяйственных процессов в системе научно-производственной кооперации региона Текст научной статьи по специальности «Математика»

Шамаева Н.П.,

доцент кафедры «Экономика и управление» НОУ ВПО «Камский институт гуманитарных и инженерных технологий», кандидат экономических наук

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ХОЗЯЙСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ В СИСТЕМЕ НАУЧНО-ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ КООПЕРАЦИИ РЕГИОНА

ШАМАЕВА Н.П. МИНТАЦА ИЛМИЙ ИШЛАБ ЧИЦАРИШ КООПЕРАЦИЯСИ ТИЗИМИДА ХУЖАЛИКЖАРАЁНЛАРИНИ МАТЕМАТИК МОДЕЛЛАШТИРИШ

Мак,олада узгарувчан мик,дорлар динамикасини акс эттирувчи илмий ишлаб чик,а-риш кооперациясининг математик модели ишлаб чик,илган. Модель фан ва ишлаб чик,аришнинг узаро фаолиятини оптимал бошк,аришнинг вазифаларини куйиш ва ечиш-да асос булиши мумкин.

Таянч иборалар: фан ва ишлаб чикаришнинг узаро фаолияти, динамиканинг математик модели, динамиканинг чизик,лаштирилган тенгламаси, логистик эгри чизик,.

ШАМАЕВА Н.П. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ХОЗЯЙСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ В СИСТЕМЕ НАУЧНО-ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ КООПЕРАЦИИ РЕГИОНА

В статье разработана математическая модель научно-производственной кооперации, описывающей динамику переменных, которые характеризуют эту деятельность. Модель может быть принята за основу при постановке и решении задач теории оптимального управления взаимодействия науки и производства.

Ключевые слова: взаимодействие науки и производства, математическая модель динамики, линеаризованное уравнение динамики, логистическая кривая.

SHAMAEVA N. P. MATHEMATICAL MODELING OF THE ECONOMIC PROCESSES IN THE SYSTEM OF REGION S SCIENTIFIC AND INDUSTRIAL COOPERATION

In article the mathematical model of the scientific-production cooperation, which adequately describes the dynamics of the variables characterizing the activity, is given. The model can be used as basis for the formulation and solution of problems of the theory of optimal control of the interaction of science and industry.

Keywords: science and industry cooperation, dynamics mathematical model, the line-arise dynamic equation, the logistic curve.

Математическая модель научно-производственной кооперации может служить отражением взаимосвязей, формирующихся между специализацией и кооперацией -являющихся ключевыми факторами развития разделения и роста общественной производительности труда.

Научно-производственная кооперация является одним из определяющих факторов развития экономики1. К числу переменных, характеризующих процесс взаимодействия науки с производством (на корпоративном, региональном или национальном уровнях), относятся:

п - число используемых патентов на новые наукоемкие технологии;

w - средства, на НИОКР (относительное количеством ^ = —-, где w1 - финансовые средства, направляемые на НИОКР, w2 - общая сумма финансовых средств, используемых для производства продукции);

s - доля технологически продвинутого продукта, связанного с наукоемким производством (в = —, где s1 - количество изделий, произведенных по новым технологиям и, или количество технологически продвинутых изделий, s2 - общее количество произведенных изделий);

у - степень технологического развития, у - характеризует технологическое отста-

у

вание): у = —, где у . - число используе-

У2

мых новых передовых наукоемких технологий, у2 - общее число используемых технологий; ц - относительная численность

Ш

персонала, занятого НИОКР: Ц = —, где

Ц2

^ - численность персонала занятого НИОКР, ц2 - общая численность персонала.

Математическая модель динамики этих переменных представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которой описывает зависимость от времени этих переменных. Она имеет вид:

¿11(1) = к ■ V • п(0 • (п0 + ^ - п(0) - <1 ■ пф + А • ц" ш kw

^ ТОО = ' пОО ~~ (?(*)) + ^(М*)) Л а (1)

(И

¿ц(1)=£5(ц(1)) + 5-у(1) (и

Здесь d - время, за которое число используемых патентов уменьшается в е-раз, при условии к=Д=0, число патентов на изобретения в области определенной наукоемкой технологии хорошо описывается логистической кривой - являющейся решением уравнения для пОО системы (1).

1 Шамаева Н.П. Оценка современного состоя-

ния и возможных перспектив развития научно-

производственной кооперации в Удмуртской рес-

публике. // «Вестник Удмуртского университета», 2012, № 2-3. -С. 80-85.

Когда научное открытие или экспериментальная установка превращается в промышленное изделие, количество используемых патентов экспоненциально растет:

—пОО ~ к^-п0-пОО или пОО ~ е -к»(4)п°4, &

этот рост становится все менее заметным при больших ^ когда уже «все» запатентовано, при t ^ топ ^ п0. Началь-

ИКТИСОД ВА МОЛИЯ / ЭКОНОМИКА И ФИНАНСЫ 2015, 7

ныи экспоненциальным рост количества патентов и определяет коэффициент к. Д -коэффициент пропорциональности между количеством исследовательских групп, работающих над определенным проектом и ростом числа патентов, а - среднее число членов в такой группе.

Динамику технологического отставания описывает второе сверху уравнение системы (1). Входящие в него функции ^(уОО) и описывают рост технологического отставания при отсутствии финансирования НИОКР и скорость уменьшения технологического отставания, зависящую от степени финансирования НИОКР соответственно. о -коэффициент пропорциональности между уменьшением технологического отставания и числом действующих патентов.

Третье сверху уравнение описывает динамику относительного количества технологически продвинутых изделий s в зависимости от потребности в данном продукте (спрос) f3(s(t)) и наличия на рынке данной продукции (предложение) ^00).

Динамику относительной численности персонала, занятого НИОКР описывает самое нижнее из уравнений системы (1). Оно отражает зависимость скорости увеличения (уменьшения) относительной численности персонала занятого НИОКРом от относительного количества этого персонала и технологического отставания (5 -коэффициент этой зависимости).

Линеаризуем систему уравнений (1) в окрестности ее стационарного решения, определяемого множеством условий: {п = п0; ¡1 = 0; ^ = 0; 5п0=^(у0) = 0; у=у0; ^0)=^0); ц=ц0; ^(ц0) + 5-у0=0). В результате получим систему уравнений:

—п^) = -к • • п0 ■ (л - п0) + А • Цо"

СП

¿уО) = о ■ (п - п0) - -^(у,). (у _ Уо) + А^о) . V ах ас ах (2)

ах ах

^80) = Уо ' ) (®о))'(® ® о )

Введем новые переменные: п-п0 = х1, у-у0 = х2, = х3, тогда первые три уравнения системы (2) примут вид:

А-1

Л

х1 = -к • \у • п0 -х1 + А • ц0™

—х^ст-х1-—Г,(у0)-х2+—£.(0)^ Л Л 10 Л 2

—х3 =—£5(ц0)- х3 +5- х2

(3)

Л

А

Рассмотрим теперь переменные х1, х2 и х3, как компоненты вектора

х= х1^1 + х2-е2 + х3-е3. С помощью оператора А, который в базисе еъ ..., е3 имеет матрицу: Ае^а^

/

ап =

-клуп0 а

0

0

V

Л

0 о

(4)

и вектора и = Д-Цо + —1"2(0)-\у-ё2,

ш

систему уравнений (3) можно записать в

виде: —х = Ах + и = А(х +А_1и) (5^ Л

или — у = Ау, где у=х + А ш

Решение уравнения (6) имеет вид:

у — х + А 1й = еА1у0

(6).

или х = еА*у0-А

(7),

где постоянный вектор у0 определяется начальными условиями:

у0 = х(0) + А_1й = х1 (0)^ + х2(0)е2 +

+ х'(0)е3 + Дцо А_1е1 + —^(0)\уА_1ё2

(11

-1-

ЭКОНОМЕТРИКА ВА СТАТИСТИКА / ЭКОНОМЕТРИКА И СТАТИСТИКА

51

Здесь х1(0) = п(0)-п0; х2(0)=у(0)-у0; х3(0) = ц(0)-ц0 начальные отклонения системы от положения равновесия (стационарной точки). А-1 оператор обратный к оператору А.

Его матрица находится из соотношения: АА-1=1 (8),

что соответствует матричному уравнению:

5Ь21 +-т;№о)ьЗ1 =0=>Ь31 = ах

8 8а

Т77Т 21 = ^

-к\упп

О

О О

8 "^(Ио) <и .

Ь12

Ъ21 Ь22 Ь23

Ь32 ьзз;

-клуп0Ь12

-Ьга0Ьп 8ЬП-—^(То)Ь21

^21+^5(^31

-к\уп0Ь13

5Ь12 -^1(Уо)Ь22 ВЬи-¿ЫГо)Ъ„

8Ь22 + ^^Мч))1^ 8Ь23 + Т^О^О^ЗЗ (И Ш

1 о

О 1 О О 0 1

из которого и следует система уравнений для нахождения элементов матрицы оператора А-1:

Ьц= -

1

; Ь12=0; Ь13=0;

5 --7Г^(Уо)Ь21=0:

к\уп0 ск

^Ь21 =

^(у0)к\уп0

<Й

§Ъ12 -^^(У0>Ь22 =1^Ь22 =—- 1

(11

*!(го)

5Ь13 - —^(У0)Ь23 =0^Ь23 =0; ся

§Ь22 +ТГ^(^о)Ь32 =0=>Ь32 (11

СМ"0 )

<Й

ш ш

5Ь23 +^5(Но)Ь33 =1=>Ь33 ^

Л

^Си-о)

Таким образом, матрица оператора А-1 имеет вид:

А"':

1

кто.

О

МУо)к™о

А

Мо)

5с

А

(9).

Найдем теперь собственные значения и собственные вектора оператора А. Уравнение для их нахождения имеет вид:

А| = *|, или (А-М)| = б = ^(А-М)еь (10) что означает линейную зависимость векторов (А-Ц)ё;, а значит равенство 0 их детерминанта:

ИКТИСОД ВА МОЛИЯ / ЭКОНОМИКА И ФИНАНСЫ 2015, 7

52

ЭКОНОМЕТРИКА ВА СТАТИСТИКА / ЭКОНОМЕТРИКА И СТАТИСТИКА

О = БеЩА - Х,1)е2, (А - М)ё2, (А - АЛ)ё3) =

-(к\уп0+Х) О О

§ -^(Уо)-Ь О ах

О

- -(клуп0 + X.) •

А

х = (То) ~~ к^о] >

а ш

г =

-5

^(Но) + о

-^(Уо)-Я

—^(ип) - Я,

<к

И, таким образом, собственный вектор ^ имеет вид:

= (к\га0 + X) ■ Д ^ (у 0) + X) ■ £, (ц0) - X), си <к

что и дает 3 собственных значения опера-

тора А: М-ЬуПо; А2=-— ^(у0);

ш

^(Ио). Вычислим собственные

ш

вектора, соответствующие этим собственным значениям.

Для собственного значения А1 уравнение (10) примет вид:

(А-^1)1!= О или

0 =

^1 =

а ш

1

-5

А

£5(ц0) + к\уп0

Аналогично вычисляются компоненты

собственных векторов 12 и |3: уравнение:

'А

0 = (А-А,2Щ2 =

о о

—£1(у0)-к^0 О ш

ст О

О 8

'х л

У1

, отсюда

0 0 1 0 V

5 к\¥П0 -5Г,(Г.) 0 У

0 8 Л

(17Г1(Тго)-Ьт0)-х1=0; ах1=0; аг

8 • У1 + (х^(Ио) + (Уо))' = О

аХ си , что дает:

что и дает систему уравнений для опреде-

ления компонент вектора : ^ =

(11)

X! =0; У1 =—*-—й-; =1.

И вектор 12 имеет вид: О

8х + [Ьуп о - —^(у0)]у = О ш

5У + + о]2 = °

СП

■(Iw4f.tr.»

5 1

Решение этой системы уравнений имеет вид: у = 1,

Уравнение:

ЭКОНОМЕТРИКА ВА СТАТИСТИКА / ЭКОНОМЕТРИКА И СТАТИСТИКА

53

б = (А-А,31)|3 =

О

г ^

-(Ьш0+—£5(ц0)) ш

а О

О

си ах

8 О

/ л

У2

дает условия для определения компонент вектора |3:

-(к\уп0 +— Г5(ц0))-х2 =0=>х2 =0 ш

Ст ' Х2 " (¿^("Уо) + ТГ^Оо)) • У 2 = 0 : ш ш

=>у2 =0, 8у2 =0=>у2 =0.

Отсюда |3 =

0

Теперь, вернувшись к

решению (7), мы можем разложить вектор Уо по собственным векторам оператора А:

1ь |2 и |3:

А^-кш^; А12=-—^(у0)12;

ш

А1з

ш

Уо = с^! + с2|2 + с3|3 = =(п(0)-п0)ё1 +(у(0)-у0)е2 +(м(0)-

-Мо)ез +Ам^А-1ё1 +-Г2(0)\уА",ё2 ах

(12)

Из этого равенства (12) определяются коэффициенты разложения Уо по собственным векторам |2, \ъ оператора А: с1, с2 и с3. Подставляя это разложение в решение (7) уравнения (5), получим:

X = е*у0 - А_1й = еА1 (с^ + с212 + с313) -Ацо

-А"1

ат

0

= С1е-^1+с2е^2 +

+ сзе +

+

к\упл

0 1

£1(у0)клуп0

Л

^(Уо)

бст

Л

ч ш <н си си

0 0

^СИо)

Л

{ А а \

<Й 5 0

= с,е

а ад

1

-8

+

+ с0е

л

0

1

+

54 ЭКОНОМЕТРИКА ВА СТАТИСТИКА / ЭКОНОМЕТРИКА И СТАТИСТИКА

+ с,е

л

О

V1,

к\уп „

оАЦо

■ +

Л

5аА^+6^2(0)1от2п0

-Ьга^ _

С е-к™0*

--МЫ-к^о^

ст <н

-с^е

-ктал

ё —+ с2е

— £;(ц0) + к\уп0 ш

ш

+ с,е

+

м.

к\упп

+

аАц£+-£2(0)т*г2кп0 аг

А

п = п0 + х1 = п0 +

АЦр клупп

+ — а

си

При ^оо п

—> Пп +

Ац0а к\упп

стационар-

ному состоянию. Очевидным становится тот факт, что обильное финансирование w>>1 снижает стационарное количество используемых патентов, поскольку теряется стимул.

У = Уо+х2=Уо+-з---+

Л

^(у0)клт0

С, в

(^(Уо)*^«»

Для технологического отставания у следует различать два варианта поведения:

с! ^

если — ^(у0) + — Г5(ц0) = 0, то при

Л

Л

Уо +-3-Й-= У,

Л

^(у0)клуп0

8стА^+8-£2(0)ху2кп0 __си_

си СИ

Компоненты этого вектора позволяют показать зависимость от времени динамических переменных п, у, Н и s, характеризующих нашу систему:

и при хорошем финансировании ^>>1) стационарная точка у, к которой стремится технологическое отставание при 00 будет прямо пропорционально финансированию (с коэффициентом):

"X-У®Уо+~р-w, а при пло-

^(Уо)

МУо)

Л Л

хом финансировании ^<<1)

стДцо

Л

и уменьшение тепени технологического отставания может быть получено за счет уве-

ИКТИСОД ВА МОЛИЯ / ЭКОНОМИКА И ФИНАНСЫ 2015, 7

ЭКОНОМЕТРИКА ВА СТАТИСТИКА / ЭКОНОМЕТРИКА И СТАТИСТИКА 55

личения относительной численности персонала, занятого НИОКР ц0.

В условиях экономического роста с2*0 и с3*0 и ц растет:

Если же А^(Уо) +то, по

ад ад

с2е

<и

+ сэе

л

т.е. проис-

скольку —^(у0)<0, происходит бифурка-сИ;

ция (т.е. изменение динамического поведения) системы к новому положению равновесия: 00

У->Уо +

ад

Л

+ здесь А, ха-

о ш ад

рактеризующая отклонение системы от старого положения равновесия при переходе к новому, определяется разложением в ряд Тейлора правых частей системы уравнений (1) с точностью до более высоких степеней, чем первая.

Зависимость от времени относительной численности персонала, занятого НИОКР описывается функцией

М = М о+х = Ао

схе

Г*»И||Г

/5(р0) + Ып0

- с2е * +

Л

+ с3е

с1 с1

т ш

так, как —^<0, А^>0, то в услови

сИ; <Й ях эко-

номического кризиса с2=0 и с3=0, w<<1,

баЛц. ...

^оо Ц -> ц0 - --^-«1.

ходит бифуркация к новому положению равновесия.

Доля технологически продвинутого продукта s определяется балансом спроса и предложения. Действительно линеаризованное уравнение динамики для s легко решается и дает зависимость s от времени t:

в = 80 + с4 ехр|у0(^3(80) - ^(в,,))^, если спрос и предложение сбалансирова-

(1 (1

ны "Г^О^"^^), то S = S0 + C4 систе"

ад ад

ма не является асимптотически устойчивой, с4 может быть случайной величиной и s флуктуирует вокруг положения равновесия s0 - среднего количества выпуска наукоемкой продукции.

Если же А^(8о)<А^(8о) предложе-

ад ад

ние наукоемкой продукции больше чем спрос на нее (например, в случае страны живущей за счет экспорта своих природных ресурсов), то и s0 асимптотически устойчивое положение равновесия (которое в случае технологически отсталой страны может быть равно 0). Если, напротив, —Г3(80)>—Г4(80), т.е. спрос на тех-сИ; Л

нологически развитую продукцию растет опережая предложение, то производство высокотехнологической продукции s экспоненциально растет.

Таким образом, построенная математическая модель деятельности научно-производственной кооперации достаточно адекватно описывает динамику переменных, характеризующих эту деятельность.

ИКТИСОД ВА МОЛИЯ / ЭКОНОМИКА И ФИНАНСЫ 2015, 7

Поэтому она может быть взята за основу при постановке и решении задач теории оптимального управления функционирования научно-производственной кооперацией. Другое возможное использование этой модели - это изучение функционирования научно-производственной кооперации в любых [2]формах ее проявления во всех возможных точках этой модели. Для этого

необходимо найти все стационарные точки (1) и изучить динамику переходов из одной стационарной точки в другую при изменении параметров входящих в уравнение (1), что и является основной задачей синергетики. Чтобы это сделать надо разложить правые части уравнений входящих в (1) с точностью до членов более высокого порядка малости, чем в случае линеаризации.

Литература:

1. Шамаева Н.П. Оценка современного состояния и возможных перспектив развития научно-производственной кооперации в Удмуртской республике. // «Вестник Удмуртского университета», 2012, № 2-3. -С. 80-85.

2. Шамаева Н.П., Мохначев К.С. Интеграция образования, науки и бизнеса в регионе в условиях модернизации экономики. // «Экономика образования», 2012, №5. -С. 46-53.