CC BY
25
известия оренбургского государственного аграрного университета
2020 • № 2 (82)
Ротова Виктория Анзорьевна, кандидат технических наук, доцент Ушаков Юрий Андреевич, доктор технических наук, профессор Шахов Владимир Александрович, доктор технических наук, профессор Осипова Анна Михайловна, кандидат технических наук, доцент ФГБОУ ВО «Оренбургский государственный аграрный университет» Россия, 460014, г. Оренбург, ул. Челюскинцев, 18 E-mail: rotova_va@mail.ru; 1u6j1a159@mail.ru; shahov-v@yandex.ru
Implementation of the theory of mathematical physics in modeling the process of downy wool combing
Rotova Victoria Anzorievna, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor
Ushakov Yuri Andreevich, Doctor of Technical Sciences, Professor
Shakhov Vladimir Alexandrovich, Doctor of Technical Sciences, Professor
Osipova Anna Mikhailovna, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor
Orenburg State Agrarian University
18 Chelyuskintsev St., Orenburg, 460014, Russia
E-mail: rotova_va@mail.ru; 1u6j1a159@mail.ru; shahov-v@yandex.ru
In the development of modem agriculture and modern technology, down goat markedly behind the level of equipment of automatic means for the down of goats. As the reason for that serve a set of factors. First, the heterogeneity of service objects. Secondly, the mechanization of this process can cause serious damage to the animal. Thirdly, at down comb-out by mechanical devices the quality of the extracted down fiber has to remain. Therefore it is important to continue researches in this direction and to develop new ways of mechanization of process of comb-out of down at goats. The article deals with a mathematical model of the process of extracting down fiber from the down-wool cover of a goat from the position of mathematical physics in order to provide the most optimal design of a mechanical combing device. Separately taken down fiber is considered as thin thread in which emergence of tension only in longitudinal, but not in the cross direction is possible. Also is accepted that density of a down hair is constant on all his extent. These assumptions and the analysis of character of a deviation of down fiber at comb-out, allow to make mathematical model which represents the solution of a task of Cauchy for the linear differential equation with private derivatives of the second order under the set entry and regional conditions. Such model of process of comb-out is mathematically ideal therefore in further researches it is necessary to analyze more thoroughly entry and regional conditions for the exact description of process of comb-out of down fiber, determination of the most optimum parameters and a design of the mechanical device for comb-out of down at goats.
Key words: mathematical physics, wave equation, goat fluff, mechanical fiber combing.
-♦-
УДК 517.2
Математическая физика как аппарат аналитического исследования моделируемых процессов
В.А. Ротова1, канд. техн. наук; Н.К. Комарова1, д-р с.-х. наук, профессор;
Е.М. Асманкин1, д-р с.-х. наук, профессор; Н.Г. Данилова2, учитель
1 ФГБОУ ВО Оренбургский ГАУ
2 МОБУ СОШ № 34
Физические явления и процессы, имеющие схожую природу, свойства, подчиняющиеся одним закономерностям, можно описать при помощи математической модели. Математическая физика описывает закономерности физических процессов, содержит чёткий математический исследовательский аппарат, который описывает модели больших классов физических явлений. При составлении математических моделей физических процессов в большинстве своём используются дифференциальные уравнения в частных производных, которые получили название уравнения математической физики. Выделяют три основных уравнения математической физики: волновое уравнение, уравнение теплопроводности и уравнение Лапласа. Каждое из этих уравнений описывает множество аналогичных процессов и явлений, представляя собой обобщённую математическую модель. В математической физике можно встретить и уравнения, являющиеся интегро-дифференциальными, например, уравнение переноса (Больцмана, Власова). Законы математической физики позволяют не только досконально изучить реальные физические процессы, но и проникнуть в суть явлений, предугадать их развитие, выяснить скрытые закономерности. При решении задач математической физики применительно к конкретным физическим процессам необходимо учитывать краевые и граничные условия. Возникшие задачи повлекли изменение и раз-
витие теории дифференциальных уравнений с частными производными, что позволило в дальнейшем связать эту теорию с теорией интегральных уравнений и вариационными рядами. В настоящее время в математической физике появляются новые разделы, широкое развитие получает математическая физика биологических объектов.
Ключевые слова: математическая физика, волновое уравнение, уравнение теплопроводности, уравнение Лапласа.
Физические явления, которые можно наблюдать в окружающем нас мире, очень разнообразны. Тем не менее многие из них имеют схожую природу, свойства, подчиняются одним закономерностям. Когда определённый процесс многократно повторяется, то появляется возможность описать его при помощи математической модели. Это даёт возможность досконального изучения свойств, особенностей, характера протекания данного процесса с помощью математического аппарата. Математическая физика, или теория математических моделей, стоит на стыке двух дисциплин - физики и математики. С одной стороны, математическая физика описывает закономерности физических процессов, с другой - строит чёткий математический исследовательский аппарат, который описывает модели больших классов физических явлений.
Основы математической физики были заложены ещё в трудах Исаака Ньютона, им были созданы основы теории классической механики, всемирного тяготения, теории света. Дальнейшее развитие построения моделей физических процессов и расширение области применения этих моделей было связано с трудами Ж. Лагранжа, Л. Эйлера, П. Лапласа, Ж. Фурье, К. Гаусса, Б. Римана, М.В. Остроградского и многих других учёных. Большой вклад в развитие методов математической физики внесли А.М. Ляпунов и В.А. Стеклов [1].
Широкое развитие методы математической физики получили во второй половине XIX в. при описании математических моделей физических явлений, связанных с различными физическими полями и волновыми функциями в электродинамике, акустике, теории упругости, гидро- и аэродинамике и ряде других направлений исследования физических явлений в сплошных средах. При составлении математических моделей этих процессов в большинстве своём использовались дифференциальные уравнения в частных производных, которые получили название уравнения математической физики. Кроме дифференциальных уравнений, в описании физических явлений широко применяются интегральные уравнения и интегрально-дифференциальные уравнения, вариационные и теоретико-вероятностные методы, теория потенциала, методы теории функций комплексного переменного и ряд других разделов математики. Численные методы, конечно-разностные методы вычислительной математики с использованием ЭВМ позволили облегчить решение краевых задач [2, 3].
Материал, методы и результаты исследования. Современные разделы математики и физики требуют изменений и переориентации в области многих исследований, поэтому в задачи математической физики входит разработка новых математических моделей, направленных на всестороннее изучение физических явлений и установление величин и моделей. Математика и физика в последнее время всё больше погружаются в мир абстракций, отходя от локальных реальностей макромира и стремясь к обобщению накопленных знаний путём исследований в глубинах микромира, выявлению закономерностей космических пространств, всё больше приближаясь к новому пониманию реальности. Все поставленные задачи решаются при наличии производных и интегральных уравнений, а также вариационными методами. Математические модели позволяют создать такие методы изучения физики, которые существенно улучшают получение количественных характеристик физических явлений. Исследователи получают возможность рассчитать с большой степенью точности ход реальных процессов, достичь понимания на глубоком уровне сути физических явлений и процессов, выявлять новые закономерности развития и существования явлений, а также предсказывать новые эффекты.
Выделяют три основных уравнения математической физики: волновое уравнение, уравнение теплопроводности и уравнение Лапласа. Каждое из этих уравнений описывает множество аналогичных процессов и явлений, представляя собой обобщённую математическую модель.
Волновое уравнение
d2u
2 д2u
■ = (1)
а2 дх2
является уравнением гиперболического типа, описывает процессы поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и другие волновые процессы.
Для определения закона колебания струны ^х, 0, очевидно, необходимо знать её начальное положение, начальные скорости всех точек струны и закон движения концов струны. Если поместить один конец струны в начало координат, а длину струны принять равной /, то начальные условия примут вид [4 - 7]:
u(х,0) = ф(x), ^ (x,0) = у(x), 0 < x < /;
^0, t) = x), t) = ц2 (x), t > 0.
Функция ф(х) задаёт отклонение от положения равновесия, а у(х) - скорость струны в точке х в момент времени t = 0. Функции ^(х) и ц2(х) задают закон движения концов струны.
Если струна является неограниченной, то функцию и(х, 0 будем искать для всех значений { х, г |-<х>< х <+<х>, г > 0} , и функции ц1(х), ц2(х) не понадобятся.
Решение волнового уравнения при начальных условиях и(х, 0) = ф(х), и' (х, 0) = х), - <» < х < +<», задаётся формулой Даламбера:
1 1 х+
и(х, t) = — [ф(х + Г) + ф(х - Г)] + — ] (2)
2
x-t
2 d2u
u( х, t) =
2y[ñt
e
4t
• u0^)d ^ (4)
Анализируя эту формулу, можно заметить, что если в начальный момент времени температура стержня была положительной, а температура окружающей среды была равна нулю, то температура стержня будет оставаться положительной в любой момент времени t > 0.
Уравнение Лапласа имеет вид:
2 2 д u д u —:т + —;г = 0 дх2 ду2
(5)
Здесь стоить заметить, что решение данного волнового уравнения представляет собой сумму двух функций:
и(х, г) = У1 (х + г) + /2 (х - г).
При увеличении времени (г ^ +да) первая из функций описывает волну, идущую влево, а вторая - волну, идущую вправо. Это означает, что решение данного уравнения описывает суперпозицию распространяющихся волн.
Кроме того, значение функции и(х, ^ определяется только начальным отклонением струны в точках х - г и х + г и начальной скоростью струны. Это означает, что скорость распространения возмущений по струне конечна.
Уравнение теплопроводности (уравнение Фурье) имеет вид: ди
- = а2^-. (3)
дг дх2
Это простейшее уравнение параболического типа. Описывает процессы теплопроводности, фильтрации жидкости и газа, некоторые вопросы теории вероятностей.
В этом уравнении функция и(х, 0 определяет температуру тела в точке с координатой х в момент времени t. Для определения функции и(х, 0 необходимо знать распределение температуры в начальный момент времени и закон изменения температуры на концах стержня. Поэтому искомая функция и(х, ^ должна удовлетворять условиям [4 - 5]:
и(х,0) = и0(х), 0 < х < I, и(0,t) = и(1,^ = Т2(t), г >0.
При этом функция и0(х) описывает распределение температуры в начальный момент времени, а функции Т1(г) и Т1(г) задают законы изменения температуры на концах стержня. Если принять, что концы стержня теплоизолированы, т.е. через них не проходит поток тепла, то придём к условию:
и'х (0, t) = и'х (I, t) = 0.
Если стержень бесконечен, то решение задачи находят в области { х, г |-<х>< х < +<х>, г > 0} и оно имеет вид:
Это уравнение получило обобщение в трудах С. Пуассона в 1813 г. Если в области присутствует заряд с плотностью р(х, у), то уравнение примет вид:
д u д u „
—т + —г =-4пр( х, у). (6)
дх2 ду2
Оба этих уравнения являются простейшими уравнениями эллиптического типа. Описывают магнитные и электрические поля, гидродинамику, диффузию и др. Задача заключатся в нахождении функции u(x,у), описывающей потенциал электрического поля, если на границе области распределение потенциала известно. В частности, если заданная область является прямоугольником (0 < х < a, 0 < у < b) и заданы начальные условия на нижней границе области [4 - 7]:
/ ^Ч • ПХ
u( х,0) = sin—, 0 < х < a, a
а на всех остальных сторонах эта функция равна нулю: u(x, b) = u(0,у) = u(a,у) = 0, то решение задачи имеет вид:
sh П (b - у) sin П х
u( х, у) = —^ a
sh
nb
(7)
В представленных выше уравнениях функция и является функцией двух переменных. Эти уравнения можно рассматривать и для функций с большим числом неизвестных. Например, если и является функцией с тремя неизвестными, то данные уравнения примут вид:
- волновое уравнение
д2и 2 д2и 2 д2и —т = а —т + а —т; дt дх2 ду2
- уравнение теплопроводности
2 2 2 д и 2 д и
дu
- = a
дг дх2 ду
- уравнение Лапласа
д2и д2и д2и —т + —^ +—т = 0 дх2 ду2 дг2
Развитие теории математической физики оказало воздействие на различные разделы ма-
+ a
2 '
1
тематики. Оказалось, что найти единый сколько-нибудь простой алгоритм решения линейных гиперболических уравнений можно в довольно редких случаях. Кроме того, при решении задач математической физики применительно к конкретным физическим процессам необходимо учитывать краевые и граничные условия. Возникшие задачи повлекли изменение и развитие теории дифференциальных уравнений с частными производными, что позволило в дальнейшем связать эту теорию с теорией интегральных уравнений и вариационными рядами.
В каждом из рассмотренных выше уравнений математической физики существует единственное решение, удовлетворяющее данным условиям. Причём при незначительном изменении начальных данных решение также будет меняться незначительно. Такие задачи называются корректно поставленными. Для каждой конкретной задачи подбираются свои дополнительные начальные и граничные условия, соответствующие именно этой задаче. Возникает вопрос: можно ли для произвольно заданного дифференциального уравнения описать все начальные условия так, чтобы уравнение являлось корректно поставленной задачей? Решением этой проблемы занимается общая теория дифференциальных уравнений. Можно привести пример существующих некорректных задач, имеющих большой интерес и значение в сфере научного исследования. Это задача об определении начального распределения температуры по переменной температуре в момент времени t > 0. Теория решения подобных некорректных задач получила развитие в трудах советских учёных А.Н. Тихонова, В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева [8].
В математической физике можно встретить и уравнения, не являющиеся дифференциальными. Уравнение переноса (Больцмана, Власова) являются интегро-дифференциальными уравнениями. Выбор адекватной математической модели - основа успешного вычислительного эксперимента. При выборе модели необходимо руководствоваться принципами: использование физических аналогий, вариационных принципов, учёт законов сохранения и т.д. Зачастую использование вычислительного эксперимента позволяет подойти к созданию математической модели с принципиально новой позиции. Применение программных пакетов даёт возможность перейти от аналитического метода к использованию сложных нелинейных математических моделей, охватывающих все аспекты рассматриваемых физических процессов в широком диапазоне изменения исходных параметров. Использование программных пакетов позволяет проводить полное качественное описание физических процес-
сов и по полученным данным более достоверно судить о закономерностях, присущих данному процессу или явлению.
Выводы. Законы математической физики позволяют не только досконально изучить реальные физические процессы, но и проникнуть в суть явлений, предугадать их развитие, выяснить скрытые закономерности. Стремление как можно более подробно описать и обобщить физические процессы привело к усложнению уравнений математической физики. Для их решения успешно используются вычислительные численные методы с применением ЭВМ. Это позволяет заменить трудоёмкие и сложные физические эксперименты на детальный анализ математической модели с помощью пакетов прикладных программ. При основательном, точном анализе рассматриваемого физического процесса с помощью численных методов можно составить оптимальную модель реализации физического эксперимента. Вместе с тем, пользуясь только методами математического моделирования, нельзя судить о протекающем процессе адекватно, достаточно достоверно. Как и любая модель, теория математической физики нуждается в практической апробации и подтверждении результатов.
В настоящее время в математической физике появляются новые разделы: квантовая механика, квантовая статистическая физика, теория относительности, синергетика и др. Широкое развитие получает математическая физика биологических объектов. Интеграция теоретической физики и современных методов вычислительной математики позволила сформироваться новой области - современной математической физике, методы которой не всегда сводятся к решению краевых задач для дифференциальных уравнений, а позволяют формулировать системы аксиом.
Литература
1. Соболев С. Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 2007. 432 с.
2. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. М.: Наука, 2013. 296 с.
3. Арсеньев, А.А., Самарский, А.А. Что такое математическая физика. М.: «Знание». Новое в жизни, науке и технике. Сер. Математика; кибернетика. 1983. № 4. 64 с.
4. Ротова В.А., Ушаков Ю.А., Данилова Н.Г. Математика для экономистов: методические указания для практических занятий: учебно-методическое пособие. Оренбург: Издательский центр ОГАУ, 2015. 152 с.
5. Ушаков Ю.А., Нейфельд Е.В. Математика: программа, методические указания по изучению дисциплины и контрольные задания: учебное пособие. Оренбург: Издательский центр ОГАУ, 2015. 92 с.
6. Ротова В.А., Ушаков Ю.А. Математическая физика: учебно-методическое пособие. Оренбург: Издательский центр ОГАУ, 2019. 112 с.
7. Ротова В.А., Ушаков Ю.А. Математическая физика: учебно-практическое пособие. Оренбург: Издательский центр ОГАУ, 2019. 84 с.
8. Полянин, А. Д. Линейные уравнения математической физики: справочник. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 347 с.
Ротова Виктория Анзорьевна, кандидат технических наук, доцент
Комарова Нина Константиновна, доктор сельскохозяйственных наук, профессор
Асманкин Евгений Михайлович, доктор технических наук, профессор
ФГБОУ ВО «Оренбургский государственный аграрный университет»
Россия, 460014, г. Оренбург, ул. Челюскинцев, 18
E-mail: rotova_va@mail.ru; kafedrafiziki@bk.ru; 1u6j1a159@mail.ru
Данилова Наталья Григорьевна, учитель
МОБУ «Средняя общеобразовательная школа № 34»
Россия, 460024, г. Оренбург, ул. Туркестанская, 11а
E-mail: natalya@oparina@mail.ru
Mathematical physics as the mode of analytical research of simulated processes
Rotova Victoria Anzorievna, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor
Komarova Nina Konstantinovna, Doctor of Agricultum, Professor
Asmankin Evgeny Mikhailovich, Doctor of Technical Sciences, Professor
Orenburg State Agrarian University
18 Chelyuskintsev St., Orenburg, 460014, Russia
E-mail: rotova_va@mail.ru; kafedrafiziki@bk.ru; 1u6j1a159@mail.ru
Danilova Natalya Grigoryevna, teacher
Secondary school № 34
11a, Turkestan St., Orenburg, 460024, Russia
E-mail: natalya@oparina@mail.ru
Physical phenomena and processes of similar nature, properties, subject to the same laws, can be described using a mathematical model. The mathematical physics describes regularities of physical processes and there is an accurate mathematical research vehicle which describes models of big classes of the physical phenomena. By drawing up mathematical models of physical processes in the majority the differential equations in private derivatives which have received the name of the equation of mathematical physics are used. Allocate three main equations of mathematical physics: wave equation, equation of heat conductivity and Laplace's equation. Each of these equations describes a set of similar processes and the phenomena, representing the generalized mathematical model. In mathematical physics it is possible to meet also the equations which aren't differential. The transfer equation (Boltzmann, Vlasov) are the integro-differential equations. Laws of mathematical physics allow not only to study thoroughly real physical processes, but also to get into an essence of the phenomena, to foresee their development, to find out the hidden regularities. Development of the theory of mathematical physics has made impact on various sections of mathematics. At the solution of problems of mathematical physics in relation to concrete physical processes, it is necessary to consider regional and boundary conditions. The arisen tasks have entailed change and development of the theory of the differential equations with private derivatives that has allowed connecting this theory with the theory of the integrated equations and variation ranks further. Now in mathematical physics new sections appear: quantum mechanics, quantum statistical physics, theory of relativity, synergetic, etc. Broad development is gained by mathematical physics of biological objects. In article the main equations and the possibilities of further development of mathematical physics are considered.
Key words: mathematical physics, wave equation, heat equation, Laplace equation.
-♦-
УДК 621.3
Направления развития и классификация по виду входных контролируемых величин устройств защиты электродвигателей погружных насосных агрегатов
В.Г. Петько, д-р техн. наук, профессор; И.А. Рахимжанова, д-р с.-х. наук, профессор;
М.Б. Фомин, канд. техн. наук; В.В. Кононец, магистрант; В.В. Самосюк, магистрант
ФГБОУ ВО Оренбургский ГАУ
Статья посвящена классификации, анализу этапов развития и современному состоянию устройств защиты электродвигателей погружных насосных агрегатов от аварийных режимов. Показано, что все устройства защиты подразделяются по параметру, контролируемому чувствительным органом защиты, на температурные, токовые, тепловые, фильтровые и комбинированные. По виду входной контролируемой величины устройства защиты подразделены на устройства, осуществляющие мониторинг тока, напряжения, сопротивления изо-
