CC BY
9
Ротова Виктория Анзорьевна, кандидат технических наук, доцент Ушаков Юрий Андреевич, доктор технических наук, профессор Козловцев Андрей Петрович, доктор технических наук, профессор ФГБОУ ВО «Оренбургский государственный аграрный университет» Россия, 460014, г. Оренбург, ул. Челюскинцев, 18 E-mail: rotova_va@mail.ru;1u6j1a159@mail.ru
Mathematical physics in modeling the engine thermal process of the downy wool combing devices
Rotova Victoria Anzorievna, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor Ushakov Yuri Andreevich, Doctor of Technical Sciences, Professor Kozlovtsev Andrey Petrovich, Doctor of Technical Sciences, Professor Orenburg State Agrarian University 18 Chelyuskintsev St., Orenburg, 460014, Russia E-mail: rotova_va@mail.ru; 1u6j1a159@mail.ru
Down goat breeding remains one of the branches of agriculture in which the question of the complete mechanization of the operator's labor, including the process of combing down the hair of goats, has not yet been resolved. Promising areas for improving the process of combing include: improving the combing device, optimizing the technology of combing down, reducing energy costs. The shortened terms for carrying out the hair comb for goats lead to a significant load on the combing device, often exceeding the maximum recommended load. This causes the combing motor to heat up and overheat. The article considers a mathematical model for checking the engine of a combing device for heating using the equation of mathematical physics. The electric motor of any device consists of a combination of parts and assemblies made of different materials with different heat capacity and heat transfer. The basic differential equations are based on Newton's cooling law with some assumptions. The analysis of the uniform heat distribution over the engine elements and the exponential distribution is carried out. For these cases, by solving the heat conduction problem by methods of mathematical physics, a temperature distribution function is derived in one of the directions by a length l over time t. Confirmation of the data of mathematical models and further analysis of this solution will allow us to compile the most complete picture of the heating process of the electric motor of mechanical devices for combing goats down, as well as to develop the most optimal mode of operation of devices and their elements.
Key words: mathematical physics, heat equation, engine heating, cheska goats down.
-♦-
УДК 51+53+636.3
Реализация теории математической физики при моделировании процесса вычёсывания пуха
В.А. Ротова, канд. техн. наук; Ю.А. Ушаков, д-р техн. наук, профессор; В.А. Шахов, д-р техн. наук, профессор; А.М. Осипова, канд. техн. наук ФГБОУ ВО Оренбургский ГАУ
В условиях развития современного сельского хозяйства и современных технологий пуховое козоводство заметно отстаёт по уровню оснащённости автоматическими средствами для чёски пуха коз. Причины отставания обусловлены многими факторами, в том числе неоднородностью объектов обслуживания, возможным травмированием животных при механизации процесса вычёсывания, нарушением качества извлекаемого пухового волокна при вычёсывании пуха механическими устройствами. Поэтому разработка новых, более эффективных способов механизации процесса вычёсывания пуха у коз остаётся актуальной проблемой для исследователей. В статье рассмотрена математическая модель процесса извлечения пухового волокна из пухо-шёрстного покрова козы с позиции математической физики. Цель - обеспечение наиболее оптимальной конструкции механического вычёсывающего устройства. Отдельно взятое пуховое волокно рассматривается как тонкая нить, в которой возможно возникновение напряжений только в продольном, но не в поперечном направлении. Также принимается, что плотность пухового волоса постоянна на всём его протяжении. Эти допущения и анализ характера отклонения пухового волокна при вычёсывании позволяют составить математическую модель, которая представляет собой решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения с частными производными второго порядка при заданных начальных и краевых условиях. Такая модель процесса вычёсывания является математически идеальной, поэтому в дальнейших исследованиях необходимо более досконально проанализировать начальные и краевые условия для точного его описания, определения оптимальных параметров конструкции механического устройства для вычёсывания пуха у коз.
Ключевые слова: чёска пуха коз, механическое вычёсывание волокна, математическая физика, волновое уравнение.
Пуховое козоводство издавна является народным промыслом, значимость которого с каждым годом растёт. Подтверждением тому может служить увеличение поголовья коз не только в сельских подворьях, но и на крупных животноводческих фермах. В условиях развития современного сельского хозяйства и современных технологий пуховое козоводство заметно отстаёт по уровню оснащённости автоматическими средствами для чёски пуха коз. Причиной того являются многие факторы. Во-первых, неоднородность объектов обслуживания. В зависимости от породы козы, будут меняться и качественно-количественные показатели пухового волокна, и анатомические особенности животного (табл. 1) [1, 2].
Во-вторых, при механизации данного процесса необходимо учитывать, что чёска пуха является для животного тяжёлым стрессом и при неправильном проведении этого процесса можно нанести серьёзные повреждения кожного покрова животного. В-третьих, при вычёсывании пуха механическими устройствами должно сохраняться качество извлекаемого пухового волокна. Оно должно сохранять свою целостность, не иметь микротрещин и множественных разрывов. На решение этих проблем были направлены исследования многих учёных и инженеров [3, 4]. Тем не менее вопрос механизации процесса чёски пуха у коз остаётся до конца не решённым, а вычёсывание в фермерских хозяйствах преимущественно осуществляется ручным способом. Поэтому важно продолжать исследования в данном направлении и разрабатывать новые способы механизации процесса вычёсывания пуха у коз.
Материал и методы исследования. Рассмотрим математическую модель процесса извлечения пухового волокна из пухо-шёрстного покрова козы. Для обеспечения наиболее качественного вычёсывания пуха необходимо создание технического решения, которое бы максимально повторяло механизм ручной чёски, позволяло сократить физическое усилие и утомляемость оператора, а также увеличивало производительность труда. В силу того что пуховое волокно подвержено свойлачиваемости и пухо-шёрстный покров животного имеет значительные загрязнения как продуктами выделения сальных желёз, так и включениями растительного и органического характера, его извлечение становится крайне затруднительным, а концы пухового волоса остаются зафиксированными в пухо-шёрстном
покрове. При извлечении пухового волокна из покрова животного оно претерпевает деформацию и вытягивается, образуя форму дуги. Составим математическую модель с позиции математической физики процесса извлечения пухового волокна. На отдельно взятое пуховое волокно будем смотреть как на тонкую нить, в которой возможно возникновение напряжений только в продольном, но не в поперечном направлении [5].
Результаты исследования. Обозначим точками х = a и х = b начальное положение пухового волоса. Напряжения, возникающие в пуховом волосе при воздействии на него вычёсывающими элементами, обозначим Т. Будем также считать, что плотность пухового волоса постоянна на всём его протяжении.
В момент времени t0 = 0 к пуховому волосу приложено усилие для его извлечения из пухо-шёрстного покрова (рис. 1). Отклонение волоса в каждой точке с координатой х в момент времени t обозначим как u = u(x, t), где a < х < b и t > 0.
На произвольный элемент пухового волоса
длины (х, х+Д) действуют две силы натяжения
AD и BC . При этом:
^ ди (х + Дх, t)
= T; tg а = ^ . (1)
дх
Если считать, что рабочая часть механического вычёсывающего устройства извлекает пуховый волос вдоль пухо-шёрстного покрова животного, мало отклоняясь от естественного направления его роста, то можно принять: tg а ~ sin а .
Тогда проекция силы BC на ось и примет вид: ,ди( х + Ах, t)
AD
BC
T sin а « T-
дх
проекция силы AD на ось и:
-T
ди (х, t) дх
(2)
(3)
а х х+Ах ь
Рис. 1 - Напряжения в пуховом волосе при вычёсывании
1. Продуктивность и качественные показатели пуха коз
Порода коз Живая масса, кг Начёс пуха, г Длина пуха, см Тонина пуха, мкм
коза козёл
Горно-алтайская 25 - 32 32 - 54 490 - 850 7,3 - 9,3 17,1 - 18,0
Дагестанская грубошёрстная 25 - 35 32 - 60 180 - 440 7,8 - 9,8 15,8 - 18,9
Оренбургская 25 - 38 35 - 64 250 - 450 5,0 - 6,4 14,1- 16,2
Находим сумму этих проекций:
2
т ди(х + Ах, t) _ т ди(х, t) _ ^ д и(х,t) ^ (4) дх дх дх2
Выражение, стоящее в правой части равенства, получено в результате применения теоремы Лагранжа к выражению, стоящему слева.
Произведение массы на ускорение рассматриваемого элемента пухового волоса равно:
рАх
д и (х, t)
Ы
2
(5)
где р - плотность пухового волоса.
Приравнивая полученное выражение к значению проекции силы, получим:
рАх
д 2и
дг2
_ Т
д2и дх2
Ах или
д2и
2 д2и
2 Т а = —
пухового покрова приходятся на затылок, горло, брюхо и конечности, вычёсываемые вручную. Зная площадь 8, каждого участка тела животного и среднюю величину удержания пуха Р[ на этом участке, можно найти усилие, прилагаемое на каждом участке тела козы [1, 2].
Р = Р, ■ 8, , = 1, 2,...
Среднее усилие удержания пуха найдём по формуле:
IР
Р =-
± ср
8
(7)
Подставив численные данные из таблицы 2, получим, что оно составляет Рср = 1,84 Н.
2. Усилия удержания пуха на различных участках тела козы
д1 дх2 р
Для полного определения характера извлечения пухового волоса из пухо-шёрстного покрова животного полученного уравнения недостаточно. Функция и = и(х, 0 должна ещё удовлетворять граничным условиям, описывающим состояние пухового волоса на концах (в точках х = а и х = Ь), и начальным условиям, описывающим состояние пухового волоса в момент времени 1 = 0. Совокупность граничных и начальных условий составляет краевые условия. Таким образом, необходимо решить задачу Коши для линейного дифференциального уравнения с частными производными второго порядка при начальных
условиях: и(х,0) _ ф(х), ди(х 0) _ у(х) и краевых
д1
условиях и(0, 1) = и(1, 1) = 0.
Начальные условия показывают, в каком положении находится пуховый волос в начальный момент времени и скорость каждой его точки в начальный момент времени. Краевые условия показывают, что концы пухового волоса находятся в точках х = 0 и Ь = I, где I является усреднённым значением длины пухового волокна с учётом породы.
Воспользуемся усреднёнными значениями плотности пухового волоса козы и напряжения в пуховом волосе при воздействии на него вычёсывающими элементами. Согласно данным инженерного справочника плотностей различных веществ, плотность пуха и шерсти составляет р = 1310 кг/м3.
Исходя из технологических промеров козы можно оценить площадь шёрстно-пухового покрова, подвергаемого механической чёске, 8 = 540000 мм2. Причём в среднем 10 % этой площади занимает шея, 10 % - лопатки, 15 % -спина, 20 % - бока (рёбра), 10 % - крестец и 20 % - ляжки. Оставшиеся 15 % шёрстно-
Части тела козы Площади частей тела козы, мм2 Величина среднего усилия на удержание пуха Р,, Н/мм2 Усилие на удержание Р = Р, -8,, Н
Шея 54000 1,75 94500
Лопатки 54000 2,5 135000
Спина 81000 2,5 202500
Бока (рёбра) 108000 1,8 194400
Крестец 54000 1,8 97200
Ляжки 108000 2,5 270000
Ширина планки устройства для вычёсывания пуха составляет 100 мм, диаметр зуба - 3 мм. За одно счёсывание одна планка с зубьями захватывает площадь sn = 300 мм2. Таким образом, среднее усилие на извлечение пухового волокна из пухо-шёрстного покрова козы находится из пропорции:
Т
п (8)
IР
п 8
и составляет в среднем Т = 112 Н.
Эти данные позволяют составить дифференциальное уравнение:
2 Т 112
а _ — _-
р 1310
д 2и
: 0,0855 .
. д2и
= 0,0855-д12 дх2
В качестве начальных условий выберем функцию, задающую форму пухового волоса в начальный момент времени: и(х,0) _ ф(х) _ 0,15зт4лх.
Скорость элементарной частицы пухового волоса в начальный момент составляет и'(х,0) _у(х) _ 0,6 м/с [1, 2].
Для решения данного уравнения математической физики (без краевых условий) применим формулу Даламбера [6 - 8]:
1 1 Г
и(х, t) _— (ф(х _ а0 + ф(х + at)) +--I
2 2 а
2а
х_а1
1 ( 0,15sin(4n( х - 0,0855í)) + u( X, t) = — I
2 (+0,15sin(4n( х + 0,08550)
Л
+
+-
1
2 • 0,0855
х+0,0855/
J 0,6 dx = (9)
Далее определим Bn: 2 l lr
B = ---I v(x)si
f J
2
l nna 0,1
0 0,1
nnx ,
sin-dx =
l
nnx
х-0,0855/
0,1 0,292nn
fn, ■ nnx
0,6sin-dx =
Í 0,1
0,15
/I 11 0,1
4,11 r . пnx
(sin(4nx - 0,342п/) + sin(4nx + 0,342п/)) + = J sin—
nn { 0,1
4,11 ( 0,1 dx =---— cos
пnx
1 0 6 |x+0,0855t + 0 171 • 0,6 X'x-0,0855i
0,15 „ . „ n „„„ 1
--2sin 4пх • cos0,342nt +--
2
• 0,6 • 0,171/ =
0,171
= 0,15 sin 4nx • cos 0,342nt + 0,6t.
Если задать краевые условия u(0, t) = u(l, t) = 0, где значение параметра l будет соответствовать средней длине пухового волокна, которая варьируется от 8 до 10 см (примем l = 0,1 м), то получим задачу:
д 2u
= 0,0855
д 2u
dt2 ск2
u (x,0) = ф( x) = 0,15sin 4 nx,
u' (x, 0) = x) = 0,6 м/с.
При краевых условиях u(0; t) = u(0,1; t) = 0, эту задачу легко решить методом Фурье или методом разделения переменных. Общее решение имеет вид:
/ ч a nnat . nnatЛ . nnx
u(x, t) = An cos—-— + Bn sin—-— J sin —-—. (10)
n=1
l
l
Из начальных условий определим An: 21 nnx An = — |ф( x)sin-dx =
0,1
t Г, ЛГ ■ „ • nnx ,
— 0,15sin4nx sin-dx =
,H 0,1
0,1/
, _ f ( а nnx I ( а nnx 1,5 I cos I 4nx--I- cos I 4nx +--
ill 0,1 J I 0,1
dx =
f
= 1,5
1 > sin(4 - 10n)nx -
п(4 - 10n) - 1 п(1 + 10n)
sin(4+10n)nx
0,1
0
: 1,5 sin I — - nn I - 1,5sin(— + nn
1 5 J l 5
= -1,5sinI y1 +1,5sin(y | = 0.
2 2 п n
0,411 ( nnx cos
nn l nn 0,1
0,1
0,1
0,1
0
MI!(cos nn - cos0) = MIi(, - cos nn) =
п n п n
0, при n = 2k, keZ 0,822
при n = 2k-l, keZ
2 2 я n
Общее решение имеет вид: , ч 0,822 1 . u(x,t) = ^ -2si
п
n=1ln
0,292пnt I . пт sin-I sin-
0,1
0,1
0,822^f 1 . „ К in = —2—_2 sm2,92nnt I sin10nnx.
n n=1V n J
Вывод. Рассмотренная модель процесса вычёсывания является математически идеальной и не учитывает многих приближений и погрешностей процесса. Цель дальнейших исследований состоит в определении функций ф(х) и у(х) для точного описания процесса вычёсывания пухового волокна, определения параметров и оптимальной конструкции механического устройства для вычёсывания пуха у коз.
Литература
1. Ротова В.А. Совершенствование технологии и технического средства для механизированного вычёсывания пуха коз: дис. ... канд. техн. наук. Оренбург, 2009. 146 с.
2. Ротова В.А., Ушаков Ю.А. Механизированное вычёсывание пуха у коз. Совершенствование технологии и технического средства // Palmarium academic publishing. Saarbrucken (Deutschland), 2014. 215 с.
3. Суюнчалиев Р. С. Механизация овцеводческих ферм. М.: Россельхозиздат, 1981. 64 с.
4. Суюнчалиев Р.С., Тургенбаев М.С. Концепция совершенствования стригальных агрегатов с высокочастотным электроприводом // Вестник ВИЭСХ. 2016. № 1 (22). С. 79 - 83.
5. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. М.: Наука, 2013. 296 c.
6. Арсеньев А.А., Самарский А.А. Что такое математическая физика. М.: Знание. Новое в жизни, науке и технике. Сер. Математика; кибернетика. 1983. N° 4. 64 с.
7. Ротова В.А., Ушаков Ю.А., Данилова Н.Г. Математика для экономистов: методические указания для практических занятий: учебно-методическое пособие. Оренбург: Издательский центр ОГАУ, 2015. 152 с.
8. Ушаков Ю.А., Нейфельд Е.В. Математика: программа, методические указания по изучению дисциплины и контрольные задания: учебное пособие. Оренбург: Издательский центр ОГАУ, 2015. 92 с.
2
0
0
Ротова Виктория Анзорьевна, кандидат технических наук, доцент Ушаков Юрий Андреевич, доктор технических наук, профессор Шахов Владимир Александрович, доктор технических наук, профессор Осипова Анна Михайловна, кандидат технических наук, доцент ФГБОУ ВО «Оренбургский государственный аграрный университет» Россия, 460014, г. Оренбург, ул. Челюскинцев, 18 E-mail: rotova_va@mail.ru; 1u6j1a159@mail.ru; shahov-v@yandex.ru
Implementation of the theory of mathematical physics in modeling the process of downy wool combing
Rotova Victoria Anzorievna, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor
Ushakov Yuri Andreevich, Doctor of Technical Sciences, Professor
Shakhov Vladimir Alexandrovich, Doctor of Technical Sciences, Professor
Osipova Anna Mikhailovna, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor
Orenburg State Agrarian University
18 Chelyuskintsev St., Orenburg, 460014, Russia
E-mail: rotova_va@mail.ru; 1u6j1a159@mail.ru; shahov-v@yandex.ru
In the development of modern agriculture and modern technology, down goat markedly behind the level of equipment of automatic means for the down of goats. As the reason for that serve a set of factors. First, the heterogeneity of service objects. Secondly, the mechanization of this process can cause serious damage to the animal. Thirdly, at down comb-out by mechanical devices the quality of the extracted down fiber has to remain. Therefore it is important to continue researches in this direction and to develop new ways of mechanization of process of comb-out of down at goats. The article deals with a mathematical model of the process of extracting down fiber from the down-wool cover of a goat from the position of mathematical physics in order to provide the most optimal design of a mechanical combing device. Separately taken down fiber is considered as thin thread in which emergence of tension only in longitudinal, but not in the cross direction is possible. Also is accepted that density of a down hair is constant on all his extent. These assumptions and the analysis of character of a deviation of down fiber at comb-out, allow to make mathematical model which represents the solution of a task of Cauchy for the linear differential equation with private derivatives of the second order under the set entry and regional conditions. Such model of process of comb-out is mathematically ideal therefore in further researches it is necessary to analyze more thoroughly entry and regional conditions for the exact description of process of comb-out of down fiber, determination of the most optimum parameters and a design of the mechanical device for comb-out of down at goats.
Key words: mathematical physics, wave equation, goat fluff, mechanical fiber combing.
-♦-
УДК 517.2
Математическая физика как аппарат аналитического исследования моделируемых процессов
В.А. Ротова1, канд. техн. наук; Н.К. Комарова1, д-р с.-х. наук, профессор;
Е.М. Асманкин1, д-р с.-х. наук, профессор; Н.Г. Данилова2, учитель
1 ФГБОУ ВО Оренбургский ГАУ
2 МОБУ СОШ № 34
Физические явления и процессы, имеющие схожую природу, свойства, подчиняющиеся одним закономерностям, можно описать при помощи математической модели. Математическая физика описывает закономерности физических процессов, содержит чёткий математический исследовательский аппарат, который описывает модели больших классов физических явлений. При составлении математических моделей физических процессов в большинстве своём используются дифференциальные уравнения в частных производных, которые получили название уравнения математической физики. Выделяют три основных уравнения математической физики: волновое уравнение, уравнение теплопроводности и уравнение Лапласа. Каждое из этих уравнений описывает множество аналогичных процессов и явлений, представляя собой обобщённую математическую модель. В математической физике можно встретить и уравнения, являющиеся интегро-дифференциальными, например, уравнение переноса (Больцмана, Власова). Законы математической физики позволяют не только досконально изучить реальные физические процессы, но и проникнуть в суть явлений, предугадать их развитие, выяснить скрытые закономерности. При решении задач математической физики применительно к конкретным физическим процессам необходимо учитывать краевые и граничные условия. Возникшие задачи повлекли изменение и раз-
