Марковская модель временной структуры рисковых облигаций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.24

С. В. Малиновский, Л. В. Назаров

МАРКОВСКАЯ МОДЕЛЬ ВРЕМЕННОЙ СТРУКТУРЫ РИСКОВЫХ ОБЛИГАЦИЙ

(лаборатория статистического анализа факультета ВМиК)

1. Введение. Проблема моделирования временной структуры рисковых облигаций является важной прикладной задачей финансовой математики. Под временной структурой понимается совокупность цен торгуемых на рынке облигаций. Будем считать все рассматриваемые облигации бескупонными с номиналом, равным 100. Рейтинговые агентства присваивают рисковым облигациям кредитные рейтинги, отражающие степень надежности облигации как долгового обязательства. Чем выше рейтинг облигации, тем меньше вероятность ненадлежащего исполнения эмитентом своих обязательств перед держателем облигации. Наивысший рейтинг, присваиваемый агентством Moody's рисковым облигациям, обозначается AAA, самый низкий — ССС, а рейтинги D, Е и F соответствуют состоянию банкротства эмитента облигации.

Допустим, что на рассматриваемом рынке отсутствуют возможности для арбитража и транзак-ционные издержки [1]. В качестве временного горизонта возьмем отрезок t G [О, Г], Т > 0 (здесь и всюду далее время измеряется в годах). Для упрощения дальнейшего изложения будем считать, что T G Z и что на рынке присутствуют рисковые облигации со всевозможными кредитными рейтингами и сроками погашения из множества {1,2,..., Г}. Эти условия обобщаются внесением очевидных изменений в описываемые модели.

Предположим, что рыночная неопределенность описывается фильтрованным вероятностным пространством M = (О, FT, (Ft)0<t<Tp, Р). Введем следующие обозначения:

Pt(-) = P(-\Ft), Et(-) = E(-\Ft), t G [О, Г]. (1)

Обозначим через r(s), s G [О, Г], величину безрисковой мгновенной процентной ставки в момент времени s. Рассмотрим некоторую сумму денег Dт в момент времени T G [О, Г]. Назовем

ее дисконтированным эквивалентом в момент времени t ^ Т величину Dt = D/ Ei ^щт) ) > где B{t) = exp(V Ф)

Предположим, что существует, причем единственная, эквивалентная мере Р мартингальная мера Р на фильтрованном измеримом пространстве (Î7, F^, (Ft)0<^<т)- Свойство мартингальности меры Р означает, что дисконтированный эквивалент рыночной цены произвольной облигации является на отрезке [О, Г] мартингалом по мере Р.

Обозначим через p(t, Т) цену в момент времени t безрисковой облигации со сроком погашения Т (безрисковыми принято считать облигации казначейства США). В силу безарбитражности рассматриваемого рынка p(t, Т) = 100 ■ Et (в(т) ) > где = I ^t) — условное математическое ожидание по мере Р.

Заметим, что в случае банкротства эмитента облигации до наступления срока ее погашения Т держатель этой облигации получает в момент времени Т некоторую случайную сумму денег Z G [0,100].

Величина S = называется ставкой возврата (recovery rate) облигации. Рейтинговые агентства регулярно оценивают ставки возврата разных категорий рисковых облигаций по историческим данным. Всюду в дальнейшем мы будем использовать оценку агентства Moody's, равную средневзвешенной ставке возврата за 1991 г., а именно будем полагать S = 0,3265.

Цена v(t,T) в момент времени t ^ 0 рисковой облигации со сроком погашения T G [t,T] определяется по формуле

v{t,T) = p{t, Т){8 + (1 - 8)Pt{r > Г)), (2)

где т — некоторый марковский момент (момент банкротства эмитента облигации).

2. Модель Джерроу—Лэндо—Тернбулла. Ряд результатов, связанных с решением рассматриваемой проблемы, описан в [2, 3], а также в работах, на которые ссылаются авторы данных статей. В этой части мы изложим основные принципы построения модели Джерроу, Лэндо и Тернбулла (будем называть ее моделью Л/Т). Некоторые из этих принципов были использованы нами при разработке собственной модели.

Предположим, что существует га различных кредитных рейтингов, занумерованных от 1 до га, причем рейтинг с номером 1 является наивысшим, а га-й (и только он) соответствует состоянию банкротства. Пусть X — однородная цепь Маркова с непрерывным временем и множеством состояний {1, 2,..., га}, каждое из которых соответствует кредитному рейтингу с тем же номером. Состояние га цепи X естественно считать поглощающим. Тогда для элементов инфинитезимального оператора Л(пхп) = (А^) цепи X справедливы соотношения

A¿j ^ О, A¿¿ = - V" A¿fc, ¿ = 1,га-1, ] = 1 , га, %ф]\ А„^ = 0,] = 1, га.

к= 1, кф{

Пусть — матрица переходных вероятностей цепи X за время Известно, что =

оо

\к ,

= ехр(^А) = £ {Щк/к\. к=О

На первом этапе калибровки модели Л,Т элементы матрицы А оцениваются по традиционным формулам, использующим исторические данные [2]. На втором этапе осуществляется переход от исходной вероятностной меры Р к мере Рл,т, приближающей эквивалентную мере Р мартингальную меру Р. Для этого оценка Л/¿у инфинитезимального оператора Л, полученная на первом этапе, преобразуется следующим образом:

Лл,т(*) = и{1)К,]ЬТ1 (3)

где А1ЬТ = (А Цпхп)(0 = (uij(t)) — диагональная матрица, иц(г) = > 0, г = 1, га - 1,

ипп(Ь) = 1, £ 6 [О, Г]; //¿(£) — непрерывные справа кусочно-постоянные функции с точками скачков из множества {0,1,..., Т — 1}. Известно, что

£

<3.7Ьт(8,г) = ехр^А1ЬТ(т)(1тУ (4)

Назовем теоретической ценой Л<Т в момент времени Ь 6 [О, Г] рисковой облигации с кредитным рейтингом г и сроком погашения Т 6 Т] величину

р^ьт^Т) =р(Ь,Т)(8+ (1 - 5)Р}ьт^(т > Г)), (5)

где Рзьт,ь{ ) = Рзьт{- \ Пусть г/г(£,Т)оЬв — рыночная цена той же облигации.

По определению функций //¿(£) их выбор сводится к оценке их значений в точках 0,1,.. .,Г — 1. На шаге 1 мы находим вектор (/^1 (0),.. .,//„_! (0)) как решение следующей оптимизационной задачи:

п-1

$>кт( 0,1)-*/(0,1Г)2^ Ы (6)

г = 1

Замечание: если какое-либо из //¿(0) оказывается равным нулю, то можно положить //¿(0) = £ > О при достаточно малом е.

Шаги 2,..., Т выполняются аналогично первому (с учетом того, что на д-и шаге нам уже известна матрица С}л,т{0, д - 1)) [2].

Теперь, зная функции мы можем найти матрицы переходных вероятностей С?л,т(0,£), t =

= 1, Г, после чего по формуле (5) определяем теоретические «7ХТ-цены торгуемых на рынке облигаций. Очевидно, так же можно найти теоретические «7ХТ-цены облигаций с произвольным сроком погашения, не превышающим Т (не только целочисленным).

Для иллюстрации данного метода моделирования временной структуры мы откалибровали модель «7ХТ, взяв в качестве входных данных таблицу рыночных цен бескупонных облигаций от 31.12.1993 г. На рисунке отображены полученные нами результаты для кредитных рейтингов АА и В.

20 -I-,-,-,-,-,-г-

1 3 5 7 9 11 13

Срок погашения, годы

Рыночные, теоретические JLT и наши теоретические цены облигаций с кредитными рейтингами АА и В

Рассмотрение модели JLT завершено. Далее мы сравним полученные с ее помощью результаты с результатами калибровки нашей модели.

3. Наша модель. Оценивание матрицы переходных вероятностей по историческим данным. При разработке своей модели мы преследовали цель устранить основные, на наш взгляд, недостатки модели JLT. В их числе следует отметить большое количество параметров, подлежащих оценке, и отсутствие корреляции между процессами изменения рейтингов различных эмитентов.

В основу нашей модели, как и модели JLT, положена цепь Маркова с непрерывным временем X, введенная выше. Построение нашей модели осуществляется в два этапа: оценивание матрицы переходных вероятностей по историческим данным и калибровка модели по текущей временной структуре. Рассмотрим первый этап.

Обозначим через А = (А^-) оценку инфинитезимального оператора А в рамках нашей модели (спо-

^ ^ оо ^ ^

соб ее получения будет указан ниже). Пусть Q(t) = exp(iA) = (tK)k/к\. Матрицу Q(t) естественно

к=о

рассматривать как оценку матрицы переходных вероятностей Q(t). Оценку матрицы Q( 1) по историческим данным можно найти в отчетах рейтинговых агентств. Пример такой оценки, предоставленной агентством Standard and Poor's, приведен в табл. 1. Обозначим ее Q(l)obs.

Таблица 1

Средневзвешенные одногодичные переходные вероятности в 1981—1991 гг.

Рейтинг в начале года Рейтинг в конце года

AAA АА А ВВВ ВВ В ССС D

AAA 0,8910 0,0963 0,0078 0,0019 0,0030 0,0000 0,0000 0,0000

АА 0,0086 0,9010 0,0747 0,0099 0,0029 0,0029 0,0000 0,0000

А 0,0009 0,0291 0,8894 0,0649 0,0101 0,0045 0,0000 0,0009

ввв 0,0006 0,0043 0,0656 0,8427 0,0644 0,0160 0,0018 0,0045

вв 0,0004 0,0022 0,0079 0,0719 0,7764 0,1043 0,0127 0,0241

в 0,0000 0,0019 0,0031 0,0066 0,0517 0,8246 0,0435 0,0685

ссс 0,0000 0,0000 0,0116 0,0116 0,0203 0,0754 0,6493 0,2319

D 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1,0000

Заметим, что не для всякой стохастической матрицы (5 = существует цепь Маркова с не-

прерывным временем, матрица переходных вероятностей которой совпадает с (5- Пусть Хд — цепь Маркова с дискретным временем и матрицей переходных вероятностей (5- Известно в таком случае [4], что если состояние ] цепи Хд достижимо из состояния г, но = 0, то матрица (5 не может быть

матрицей переходных вероятностей цепи Маркова с непрерывным временем. Рассматриваемая нами матрица (¿(1)оЬ81 очевидно, относится к указанному типу стохастических матриц. Этим же свойством обладает большинство эмпирических матриц переходных вероятностей, что обусловлено редкостью случаев серьезного изменения рейтинга на протяжении года. Следовательно, разумна постановка задачи поиска оценки А инфинитезимального оператора Л с целью наилучшего приближения матрицей (3( 1) матрицы (5(1)оЬв. Будем искать матрицу Л по методу наименьших квадратов, а именно как решение следующей оптимизационной задачи:

п — 1 п

= Е Ейс1) - ум^Ь ~ . м. _> (7)

• -, • -, Л/,- ,г = 1,п,7 = 1,п

г = \ J = 1 4 1 ' и '

п

^ 0, гф], А^ = — ^ Xij, г = 1, га; (8)

3 = 1, зфг

Ао- = 0 при Л> 1}пи фп}и^ = п}. (9)

Цель наложения на матрицу Л ограничений (9) заключается в сокращении числа аргументов минимизируемого функционала /(А) с (га — I)2 до всего лишь Зга — 5, что снижает вычислительную сложность задачи. Точность приближения матрицей (¿(1) матрицы (5(1)оЬв должна при этом снизиться незначительно, так как вероятность серьезного изменения рейтинга эмитента в течение одного года, как правило, мала.

Решив задачу (7) с использованием в качестве входных данных матрицы (¿(1)оЬ81 мы получили оценку Л инфинитезимальной матрицы А:

^-0,1131 0,1105 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0027^

0,0129 -0,1033 0,0874 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0029

0,0000 0,0360 -0,1188 0,0792 0,0000 0,0000 0,0000 0,0036

0,0000 0,0000 0,0806 -0,1740 0,0859 0,0000 0,0000 0,0076

0,0000 0,0000 0,0000 0,0943 -0,2573 0,1366 0,0000 0,0263

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0691 -0,1993 0,0622 0,0679

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,1212 -0,4161 0,2949

^ 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000У

и оценку (3(1) матрицы одногодичных переходных вероятностей (3(1) (табл. 2). Степень приближения матрицей (3(1) матрицы (¿(1)оЬ8 характеризуется величиной <7(Л). В рассматриваемом случае «/(Л) и 0,001813.

Таблица 2

Оценка <5(1) матрицы одногодичных переходных вероятностей <5(1) в соответствии с нашей моделью

Рейтинг в начале года Рейтинг в конце года

ААА АА А ВВВ ВВ В ССС D

ААА 0,8937 0,0992 0,0043 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0027

АА 0,0116 0,9039 0,0784 0,0030 0,0001 0,0000 0,0000 0,0030

А 0,0002 0,0322 0,8922 0,0686 0,0028 0,0001 0,0000 0,0037

ввв 0,0000 0,0013 0,0698 0,8463 0,0696 0,0048 0,0001 0,0082

вв 0,0000 0,0000 0,0032 0,0763 0,7801 0,1092 0,0032 0,0279

в 0,0000 0,0000 0,0001 0,0026 0,0553 0,8260 0,0460 0,0700

ссс 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0031 0,0895 0,6623 0,2449

4. Калибровка модели по текущей временной структуре. Нашей задачей на этом шаге является отыскание Т параметров рассматриваемой модели, каждый из которых соответствует некоторому сроку погашения из множества {1,2,... ,Т}. Для этого мы воспользуемся предложенным в [5] методом "стохастической замены времени".

Обозначим искомые параметры ^,¿2, • • •, %• Положим ¿о = 0.

Наблюдая в момент времени 0 рыночные цены г/г(0,£)оЬв рисковых облигаций с рейтингом г и сроком погашения t, из соотношения

г/(0, = р(0,г)(5+ (1 - 5)Р^(т > г)оЬ°)

мы находим эмпирические, или наведенные, вероятности разорения Р^(т ^ , г = 1, га — 1, £ = 1, Т.

Будем определять параметры г = 1, Г, последовательно в порядке возрастания индекса. Для любого 1= 1,.. . ,Т будем искать параметр ti как решение следующей задачи минимизации с ограничениями:

п-1 , ч 2

£((еХ''). Ы . (10)

7 = 1

Из такой постановки задачи ясным становится смысл понятия "стохастическая замена времени". В самом деле, при построении рассматриваемой модели для данного набора моментов времени {1, 2,..., Г} определяется набор моментов времени {¿1, ¿2, • • •, ¿т7}, наиболее соответствующих им со стохастической точки зрения. Цель наложения на рассматриваемую задачу ограничений вида ti ^ заключается в сохранении свойства безарбитражности конструируемой временной структуры.

Обозначим построенную в рамках рассматриваемой модели меру через Р'. Решив задачи (10), мы

получаем матрицы переходных вероятностей (¿'(0,^ = ^(5(1)^ , г = 1,Г. Тогда цена 0,£) рисковой

облигации с рейтингом г и сроком погашения Ь 6 {1,...,Т}, рассчитанная в соответствии с нашей моделью, может быть найдена по формуле

И(0,*) =р((М) (б+( 1 -5) [1 -П(т> *)]) = р(0,*) (б + ( 1 - 5) [1 - (£'(<М)).п]) •

Очевидно, схожим образом можно вычислить теоретические цены облигаций с произвольным сроком погашения, не превышающим Т (а не только целочисленным). Рассчитанные в соответствии с нашей моделью цены облигаций с рейтингами АА и В представлены на рисунке.

5. Сравнение рассмотренных моделей. Сравним результаты, полученные в рамках рассмотренных моделей (см. рисунок). Средняя относительная среднеквадратическая ошибка (равная

т I

= ^ —;—--а ^ (г/^ьт(0,£) — г/г(0, ¿)оЬв)2), допускаемая моделью «7ХТ, составляет 0,0424. Для

г=1 г^»'у " ¿=1

нашей модели эта величина равна 0,0698. Однако нам удалось добиться значительного сокращения числа оцениваемых параметров. Действительно, для калибровки модели «7ХТ необходимо подвергнуть оценке (га—1)2 + (га—1)Т параметров г = 1,га — ] = 1, га, г ^(£),£ = 0, Т — 1, г = 1,га — 1).

Наша же модель работает лишь с Зга + Т — 5 параметрами (А¿^ из (8), (9); г = 1, Г). В частности, в рассматриваемом случае калибровка модели «7ХТ потребовала оценки 147 параметров, в то время как нашей модели — лишь 33. Такое сокращение количества параметров приводит к повышению точности их оценки и снижению вычислительной сложности задачи.

Заметим, что при разработке нашей модели мы не ставили перед собой задачу наилучшей аппроксимации реальной временной структуры. Мы учитывали фактор неэффективности рынка ценных бумаг, вследствие чего предпочли сократить количество параметров и сделать их лучше оцениваемыми, нежели вводить в рассмотрение большое число параметров, следуя "неэффективностям" рынка.

Следует отметить, что модель «7ХТ может производить временные структуры, допускающие арбитраж (такая структура была построена и в рассматриваемом случае). Наша модель порождает только безарбитражные временные структуры. Ценность этого свойства возрастает при использовании информации с внебиржевых рынков, являющихся менее ликвидными, а следовательно, и менее эффективными, нежели биржевые.

6. Введение зависимости между процессами изменения рейтингов. В этой части статьи

мы развиваем предложенную нами модель путем введения зависимостей между процессами изменения рейтингов различных эмитентов. Наличие такой связи на практике очевидно. Действительно, изменение рейтинга крупного эмитента часто вызвано причинами, влияющими и на другие компании данной отрасли, а возможно, и на рынок в целом. Для достижения заявленной цели мы введем зависимость

между процессом изменения рейтинга эмитента и уровнем безрисковой процентной ставки, единым для всех эмитентов. Тогда процессы изменения рейтингов различных эмитентов будут коррелированы с одним и тем же процессом, что сделает их попарно коррелированными. Заметим, что с финансовой точки зрения введение такой связи имеет смысл само по себе. В самом деле, повышение уровня учетных ставок влечет за собой удорожание заемных средств, что повышает риск банкротства. О наличии такой связи свидетельствуют и наблюдения за экономикой. В частности, замечено, что экономическим кризисам, сопровождающимся массовыми банкротствами, часто предшествует резкое повышение уровня учетных ставок.

Предположим, что процесс изменения безрисковой процентной ставки г (s) описывается моделью Кокса-Ингерсолла-Росса (CIR), т.е. удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению

dr{t) = а(Ь - r(t))dt + a^/r(t)dW(t),

где а, Ь и а — положительные константы, a W(t) — процесс стандартного броуновского движения. Решение этого уравнения существует и единственно. Процесс CIR остается неотрицательным почти наверное, что имеет очевидный финансовый смысл. Известно [6], что E(r(t2) \ r(ti)) = E^rfa) = = b + e~a^-t^{r{tl) - b), t2 > h.

Для оценки по историческим данным параметров а ж а можно воспользоваться формулами, приведенными в [7]. Что же касается параметра Ь, то мы полагаем b = г (¿о) - Это предположение является естественным, поскольку величина b есть "уровень притяжения" данного процесса.

Усовершенствуем нашу модель с целью включения в нее зависимости от уровня учетных ставок. Рассмотрим функцию <f>(t), t G [О, Г]. Пусть ф(г) = г = О, Г, где ti — параметры, введенные на втором

шаге построения нашей модели. На интервалах вида (¿,¿+1), г = О,Г — 1, доопределим функцию <f)(t) линейно:

ф(г) = ф(г) + (г-1)(ф(1+1)-ф(г)) = с^ + ^, te(i,i+ 1), сг Z о, г = 0,Г-1.

Эта функция фактически играла роль времени в нашей модели. Заменим теперь детерминированную функцию ф{£) ее стохастическим аналогом <^>(i; iо):

П ' J l + pEtor(s) J 1 + Р{Ъ+е-°('-*°){г{г0) -Ъ)) J l + pr(t0) П 1 ;

t0 ¿0 tо

где ¿о — текущий момент времени (в определении функции ф{£) он взят равным нулю), а р — положительная постоянная, имеющая финансовый смысл величины зависимости между уровнем учетных ставок и интенсивностью процесса наступления банкротства. Константа р определяется путем калибровки модели на основании рыночных цен облигаций.

Случайный процесс <^>(i; iо) обладает рядом важных свойств.

1. При р = 0 модель вырождается в исходную, в которой связь между уровнем учетных ставок и интенсивностью процесса банкротства предполагалась отсутствующей. Это согласуется с финансовым смыслом постоянной р.

2. Еф{Ц 0) = ф(Ь) Ур G R.

3. Новое "время" <^>(i; iо) не может "идти назад", т.е. случайный процесс <^>(i; iо) является почти наверное неубывающим и стохастически непрерывным при произвольном io G [О, Г] и i G [to,T].

Рассчитаем цену vlnew(tQ,T) (0 ^ io < T ^ Т) бескупонной рисковой облигации с рейтингом i в соответствии с новой моделью. Рассмотрим меру Pnew, получаемую из меры Р', введенной при построении предыдущей модели, заменой детерминированной функции ф{£) на случайный процесс <^>(i;0). Выпишем соотношение, аналогичное (2), для цены v'new(to,T):

Kew(t0,T)=p(t0,T)(5+(l - 5)Р^о(т > Г)).

Отсюда видно, что для решения поставленной задачи достаточно вычислить вероятность Pnew t0(T > Т). В силу того, что состояние п цепи Хпет является поглощающим, {г ^ Т} =

= {Xnew(T) = п} . Допустим, что матрица Q( 1) = еА имеет простую структуру и положительно

определена (рассматриваемая матрица (3(1) обладает этими свойствами). Тогда ее можно представить в виде (3(1) = ААВ, А(пХп) = (а^-), -В(„Хп) = (^г.?)> Л(„Хп) = (А^^), где А — диагональная матрица с главной диагональю из собственных значений Аi матрицы

При фиксированной траектории случайного процесса г(£) вероятность разорения к моменту времени Т задается формулой

п _

Рпе^0(т<Т\г(.))= (е^о)лу =^АгкВкп а£~™ (12)

V / гп

к= 1

Переходя в (12) от условных вероятностей к безусловным, получаем

п

к= 1

Вычислим искомое математическое ожидание

т

_ 1 п А

17Г ¿>(T;í0) ln Хк _ тр

^newj ос — ^newj ос

Введем обозначения:

InA

д = I ф,{8} ,

.! 1 + рг(г0) ' У 1 + рг(г0) ' ¿0 ¿0

¿1,..., — все целые точки интервала (¿о, Г), ^ = Т.

Очевидно, ф(Т]Ьо) = /1 + Д. Рассмотрим интеграл Д:

1 = [ Ф'(8) г1з = у- [ = 1(^+1 -

1 ] 1 + рг{г0) ^ у 1 + 1 + ^(¿о)

Поскольку константы с^ нам известны, интеграл Д вычислен в явном виде.

1п А^ Г

Вычислим теперь значение выражения Епеп}^0е 2 = Епею^0е <0 Обозначив для краткости /г(в) = — , введем в рассмотрение функционал

V(t, х) = Enew¡t

т

— f r(s)h(s) ds

e 4

r(t) = x

, te[t0,T], x e (o,+00).

Очевидно, что V(t0,r(t0)) = £„„iÍ0elnA''Í2.

Известно [8], что такой функционал от процесса г(-) удовлетворяет следующему уравнению в частных производных:

dV 1 d2V dV

ж) = 2a ХЗж2"^' Х^ + ~ ~ h(t)xV(t, ж),

с начальными условиями V(T,x) = 1, х G (0,+оо).

Будем искать решение этой задачи в виде V(t,x) = Тогда ее легко привести к виду

A'(t)x + B'(t) = aA(t) (г (¿o) - ж) - ^жА2(£) + ж/ф), e-¿(T)*-B(T) = ж G (0, +00).

В силу произвольности x > 0 данная задача эквивалентна следующей:

'A'(í) = " aA(f) + М*)>

= ar(t0)A(t), A{T) = B(T) = 0.

Вспоминая, что 4>'(t) = c¿, t G [г, г + 1), г = О, Г — 1, мы записываем задачу в виде

A,{t) = -*TA2{t)-aA{t)-hi, íG[í¿,í¿+1), г = 0, /г — 1, S'(í) = ar(í0)A(í), (13)

А(Т) = В(Т)=0,

_ рс<1 + ._1 ln

где n¿ _ 1+pr(to) •

Будем решать данную систему на отрезках t G [í¿,í¿+1] последовательно, двигаясь от i = fc - 1 к г = 0. Очевидно, для этого достаточно уметь решать задачи вида

A'{t) = ~^-A2(t) - aA(t) -hi, te M¿+i],

B'(t) = ar(t0)A(t), __(14)

[A(tl+1)=X, B(ti+1)=Y; ¿ = 0,fc-l; X, У G R.

Действительно, найдя решение системы (14) на отрезке t G [ífc-i,ífc] (при X = Y = 0), мы узнаем значения A{tk-1)> которые используем при решении данной системы на отрезке t G [tk-2, ífc-i]

в качестве начальных данных на правом конце. Решив систему вида (14) еще к — 2 раза для соответствующих отрезков изменения t, мы найдем непрерывное решение системы (13) на всем отрезке t G [t0,T].

Система (14) имеет аналитическое решение. Чтобы применить приведенные в [9] формулы для этого решения, преобразуем первое уравнение системы к виду

A'(t) = (A(t) - u)(VA(t) - и), u,v,VeR. (15)

Определим значения неизвестных коэффициентов V, и ж v. Раскрывая в (15) скобки, получим систему

2

v + Vu = а, ии = —hi.

Исключив из системы V = — получаем систему уравнений для и ж v:

2

v = а + —и, uv = —hi.

Отсюда и = v = a+Va'-ív'hi ш Заметим, что u,v G R, так как 0 < Хк íC 1, к =

Воспользуемся теперь формулами [9] для решения уравнений вида (15):

A{t) = 77-г;-jjT--г--—, Cl+C2>ti. (16)

CiK exp((Vu - v)t) — С2

Найдем, чему равны константы С\ ж С2. Обозначим для краткости w = Vu — v. Первое начальное условие в задаче (14) дает нам соотношение

Civexp(wti+i) - С2и _ CiV exp(wti+i) - С2 C\v exp(wti+i) - С2и = X(C\V exp(wti+i) - C2), Ci exp(«7Íi+i) (v-XV) = C2(u-X).

Предположим сначала, что и ф X. Тогда С2 = С\ exp(w¿¿+i) • Возьмем С\ > 0 и подставим

данное выражение для С2 в (16). Мы получим

' ^ и-Х "^Fl"JV) — и_х

A(t) =

C\v exp(wt) — иС'i exp(w¿¿+i) vv exp(wt) — uexp(wti+i)v xv CtV exp(wt) - Ct exp(wtt+1)^f ~ V exp(wt) - exp(wtt+1)^f

Теперь, имея выражение для А(£), мы можем проинтегрировать правую часть второго уравнения системы (14) и получить тем самым выражение для В(Ь):

B(t) = ar(t0)

vt 1 ( v

--1----и In

V w\V

/ / ^V-XV\

V - exp(w(ti+1 - t)) u_ x J

+ C3,

где константа Сз определяется из условия В= У.

Если же и = X, то положим С\ = 0, а Сч возьмем произвольной, не равной нулю. Тогда выражение для А{£) (16) принимает вид А{£) = и, а В{£) = У + аиг{Ьо)(£ — ¿¿+1).

Итак, мы решили систему (14), а следовательно, обладаем аппаратом решения системы (13). Этим мы завершаем вычисление выражения Епеги^еХа Хк '/2, а с ним и описание метода поиска цены рисковой облигации в рамках рассматриваемой модели.

7. Заключение. В данной работе мы рассмотрели некоторые из возможных подходов к построению моделей временной структуры рисковых облигаций на основе цепей Маркова с непрерывным временем. Мы привели примеры такого рода моделей (модель JLT и собственную модель) с указанием их сильных и слабых сторон. А именно, модель JLT обеспечивает, как правило, лучшее приближение реально существующей временной структуры, но требует оценки большого числа параметров. Предлагаемая нами модель отличается от модели JLT существенно меньшим числом рассматриваемых параметров (при возможном снижении точности приближения рыночных цен). В ней также реализована зависимость между процессами изменения рейтингов различных эмитентов.

Мы выражаем искреннюю благодарность профессору Кембриджского университета Л.К.Дж. Роджерсу и доценту механико-математического факультета МГУ к.ф.-м.н. A.C. Черному за ценные замечания, способствовавшие разработке представленной нами модели.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1, 2. М.: ФАЗИС, 1998.

2. J arrow R., Land о D., Turnbull S. A Markov model for the term structure of credit spreads // Review of Financial Studies. 1997. 10. P. 481-523.

3. Land о D. Some elements of rating-based credit risk modeling // Advanced Fixed-Income Valuation Tools / Eds.: N. Jegadeesh and B. Tuckman. Wiley, 2000. P. 193-215.

4. Trück S., Ozturkmen E. Adjustment and application of transition matrices in credit risk models. Universität Karlsruhe (TH). Working paper. 2003.

5. Piterbarg V. Recovering risk-neutral markov process of credit transitions from credit spreads and statistical information. Nations Bank. Working report. 1999.

6. Shreve S. Stochastic calculus for finance. Volume II: Continuous-time models. N.Y.: Springer-Verlag, 2004.

7. Hull J. Options, futures and other derivatives. Prentice Hall, 2000.

8. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975.

9. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.

Поступила в редакцию 01.03.05