CC BY
42
УДК 621-391
МАРКОВСКАЯ МОДЕЛЬ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ЦЕЛЕСООБРАЗНОСТИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ ДВОЙНОГО НАЗНАЧЕНИЯ
Д.Г. Доматырко, В.П. Литвиненко
Приводится Марковская модель в качестве экономического обоснования интеграции космических аппаратов гражданского назначения с космическими аппаратами военного назначения, приводится дерево поиска решений с возможностью вариаций экономических состояний, проводится общий расчет показателей затрат
Ключевые слова: космический аппарат двойного назначения, Марковская модель экономической целесообразности, дерево поиска решений, аналитический расчет в общем виде
Проектирование спутниковой системы двойного назначения экономически целесообразно с различных точек зрения. Во-первых, экономически нецелесообразно содержать в космосе спутники военного назначения в ожидании того, что в перспективе они пригодятся, более того утрачивается потенциальная экономическая выгода. Ведь объединение спутников военного и гражданского назначения с теми же техническими характеристиками, что у тех же спутников порознь, означает еще и совместное финансирование, то есть к частным инвестициям по созданию спутников коммерческого использования прибавятся средства Министерства обороны в качестве софинансирования системы двойного назначения. Безусловно, такой подход к разработке устроит как представителей коммерческих фирм - проектировщиков, так и государство. Рассчитаем экономическую выгоду от проектирования спутниковой системы двойного назначения на основе Марковской модели перехода из одного состояния в другое с присвоением вероятности такого перехода.
Данная модель принятия решений описывает многостадийные задачи принятия решений с конечным [1] числом состояний (/ = 1,2...да) оптимизируемой системы & Предполагается, что в дискретные моменты времени система переходит в новое состояние в соответствии с некоторой матрицей переходных вероятностей:
Р\\, Р12 ,*' , Р\т
р = Р21 , Р22 , • .Р . 3 Р
Рт\ , Рт2 .., Ртт
Элемент р^ матрицы означает вероятность перехода системы из состояния si в состояние .
Доматырко Дмитрий Геннадьевич - ОАО РКК «Энергия им. С.П. Королева», аспирант, тел. 8-919-244-11-76
Литвиненко Владимир Петрович - ВГТУ, доцент, тел. (473) 2-71-44-57
Таким образом, строки матрицы соответствуют «старым», а столбцы - «новым» состояниям. Очевидно, сумма элементов любой строки матрицы равна 1. Такой процесс поведения системы называется Марковским, если вероятность перехода системы в любое возможное состояние в каждый момент времени определяется только ее состоянием в предыдущий момент времени и не зависит от более ранней предыстории.
Применительно к проектированию космического аппарата двойного назначения Марковская модель может выглядеть следующим образом: корпорация занимается разработкой космических аппаратов двойного назначения; по результатам проектирования КА экспертная комиссия решает (до начала производства), является ли данный КА двойного назначения экономически более целесообразным, чем «КА ГН + КА ВН» отдельно друг от друга или не является, откуда следуют различные варианты оценки - КА двойного назначения имеет отличную экономическую окупаемость, следовательно, целесообразно начать производство (1), неплохую окупаемость и производство следует начать с выпуска опытного образца (2) и неудовлетворительную экономическую окупаемость и производство не следует начинать вовсе (3). Следовательно, система может находиться в одном из трех указанных состояний. Матрица переходных вероятностей, например, может иметь вид (для трех состояний в общем виде без привязки к цифрам) [2]:
Р\\, Р12, Р13
Р 21 , Р 22 , Р 23 Р31, Р32, Р33
Ошегам, что £ Ри = £ Р21 = 2 Р3г = 1
(данные вероятности образуют полную группу событий и сумма вероятностей в любой строке матрицы равна 1).
Предположим, что в зависимости от состояний, в которых последовательно оказывается система, может быть вычислен доход, приносимый фирмой.
г=1
г =1
г =1
Логично предположить, что предполагаемый доход за период — ti зависит от технической новизны
оборудования и качественного выполнения целевых задач. В свою очередь, уровень новизны и качество выполнения целевых задач в значительной степени коррелируют с тем состоянием, в котором находилась фирма в начале рассматриваемого периода и в его конце. Если, например, в момент времени ti
система ДН была оценена экспертами на «отлично» в плане экономической окупаемости и в момент
ti+\ это состояние сохранилось, то, по - видимому,
доход будет максимальным (конечно, при наличии прочих условий, связанных с актуальностью использования, наличием заказов и ситуации на экономическом рынке в целом). Для моделирования этой ситуации можно матрице переходных вероятностей р1 поставить в соответствие матрицу доходов Я1 .Доход Я можно представить следующей матрицей
Я1 =
г г г
'115'12 5'13
Г21, Г22, Г23
Г31, Г32, Г33
Элемент матрицы показывает доход, полученный за период ti+\ — ti, при переходе системы
из состояния I ^ ] . Имея матрицы Р1 и Я1, можно достаточно просто прогнозировать результаты. Ясно, что со временем элементная база КА двойного назначения устаревает, целевые задачи изменяются, что влечет за собой изменение целевой нагрузки аппарата в целом, появляются новые проекты с более перспективными доходами. В результате КА двойного назначения при постоянных матрицах Р1 и Я1 может деградировать, неизменно оставаясь в неудовлетворительном состоянии и принося одни убытки [3].
В реально работающих крупных компаниях по производству космических аппаратов двойного назначения по результатам экспертного анализа проводится периодическое обновление оборудования с изменением матриц переходных вероятностей и доходов. В самом общем виде они примут следующий вид
Р2 =
■п ^ ^ (1 'І'
11 12 13
р * р * р *
г 21 * И 22 * И 23
р * р * р *
31 32 33
Я2 =
г * г * г *
11 12 13
г * г * г *
' 21 ’ 22’' 23
г * г * г *
31 32 33
не проводить модернизацию фирмы и иметь матрицы Р1 и Я1 или принять решение о необходимости
изменений и получить матрицы Р2 и Я2. Возникает проблема выбора или принятия решений с целью максимизации приносимого КА двойного назначения дохода. Это многоэтапная задача принятия решений, т.к. выбор осуществляется каждый раз в заданные дискретные моменты времени. Покажем, что решение может быть основано на уже известном методе динамического программирования (метод Беллмана) в соответствии с общей концепцией анализа и оптимизации многошаговых задач.
Ы/З 2Ы/3 Ы
Дерево решений
При составлении Марковской модели (графа) использовались расчеты, приведенные ниже по тексту. Квадратики означают решающие величины. Каждый квадратик соответствует определенному состоянию системы в определенный момент времени. Здесь знак і^ внутри квадрата означает, что в
момент времени} (і=1,2..М/3, 2^3^ - номер этапа по времени) система находится в состоянии і (і=1,2...^ где N - жизненный цикл КА двойного назначения, і - соответственно отличное, неплохое и неудовлетворительное состояние). Две стрелки, исходящие от каждой «решающей» вершины, соответствуют двум альтернативам на каждом этапе: Х1 — не проводить модернизацию (это верхняя стрелка, будем называть ее направлением 1) или х2 — проводить (это нижняя стрелка, будем называть ее направлением 2). Кружочки означают «случайные» вершины, переход из которых осуществляется в соответствии с выбранной матрицей переходных вероятностей.
Следуя общему алгоритму динамического программирования, решаем задачу с конца. Двигаемся справа налево по решающим вершинам. Начнем с вершины 13. Тогда при принятии решения Х1 (без модернизации) ожидаемый доход равен
г
13 '13 •
А (13 )= Л1 • Г11 + Л2 • Г12 + р
При выборе х2 (модернизация) имеем
На каждом этапе мы можем принять решение
D2 (I3 )= P *11 •Г *11 + P *12 'r *12 + P *13 Г *13 •
Далее происходит сравнение по модулю величин D, (1з) D (1з) и принимается решение ка-
саемо направления по дереву, куда следует двинуться дальше [4]. Аналогичные операции проделываются по вершине 23. Получаем значения двух доходов в зависимости от принимаемых решений:
D1 (23 ) = P21 • r21 + p22 • r22 + P23 • Г23 •
D2 (23 )= P *21 • Г *21 + P *22 • Г *22 + P *23 •Г *23 •
Проделывая точно такие же операции над всеми ключевыми вершинами получаем следующие выкладки
D1 (33 ) = P31 • Г31 + P32 • Г32 + P33 • r33 •
D (3 ) = p * • r * + p * • r * + p * • r *
2 3 31 31 32 32 33 33
Для окончания жизненного цикла (N) подсчитаны основные доходы. Далее переходим к предыдущему дискретному моменту времени, когда экспертами принимается решение о величине окупаемости.
D1 (12 )= P11 • max Dx (13 ) + P12 • •maxDx(23) + P13 ^maxDx(33); D2 (12 )= P *11 • max Dx (13 )+ P *12 • •max Dx (23 ) + P *13 -max Dx (33 );
D1 (22 )= P21 • max Dx (l3 )+ P22 •
• max Dx (23 ) + P23 • max Dx (3 3 ) D2 (22 )= P *21 ^max Dx (13 )+ P *22 • •max Dx (23 )+ P *23 -max Dx (33 ) D1 (32 )= P31 • max Dx (l3 )+ P32 -max Dx (23 ) +
+ P33 ^max Dx (33);
D2 (32 )= P *31 • max Dx (13 )+ P *32 •
•max Dx (23 )+ P *33 ^max Dx (33 )
Для первого этапа аналогично получаем D1 (11 )= P11 ^max Dx (12 )+ P12 -max Dx (22 ) +
+ P13 ^max Dx (32);
D2 (11 )= P *11 • maxDx (12 ) + P *12 • maxDx (22 ) + +p Vmax Dx (з 2),
D1 (21 ) = P21 -max Dx (12 ) + P22 -max Dx (22 ) +
P23 -max Dx (32);
D2 (21 ) = P *21 • maxDx (12 ) + P *22 • maxDx (22 ) +
+p *23 • max Dx (32);
D1 (31 ) = P31 • max Dx (12 ) + P32 • max Dx (22 ) +
+ P33 -max Dx (32); D2 (31 ) = P *31 • maxDx (12 ) + P *32 • maxDx (22 ) +
+ p *33 • maxDx (32 ).
Теперь обратная процедура динамического программирования закончена и, двигаясь от начала дерева решений к концу, можно «прочитать» оптимальное решение.
Литература
1. Марков А. А. Избранные труды. Теория чисел. Теория вероятностей. М., 1951.
2. Колмогоров А. Н. Об аналитических методах в теории вероятностей, «Успехи математических наук», 1938. В. 5.
3. Феллер В.К. Введение в теорию вероятностей и её приложения, перевод с английского. Т. 1 — 2. М., 1967;
4. Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов, М., 1965.
Открытое акционерное общество «Ракетно-космическая корпорация «Энергия имени С .П. Королева» Воронежский государственный технический университет
MARKOVS MODEL OF ECONOMIC FEASIBILITY OF DESIGNING OF SPACE VEHICLES
OF DOUBLE APPOINTMENT
D.G. Domatyrko, V.P. Litvinenko
The Markov model and quality of an economic substantiation of integration of space vehicles of civil appointment with military-oriented space vehicles is resulted, the tree of search of decisions with possibility of variations of economic conditions is resulted, the general calculation of indicators of expenses is carried out
Key words: a space vehicle of double appointment, Markov model of economic feasibility, a tree of search of decisions, analytical calculation in a general view
