CC BY
209
С.В. Синегубов, С.В. Поташникова,
кандидат технических наук, доцент кандидат технических наук
ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПЕРЕХОДОВ ПРИ ОПИСАНИИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМ МАРКОВСКИМИ ПРОЦЕССАМИ
EVALUATION TRANSITION PROBABILITY IN DESCRIBING FUNCTIONING OF MARKOV PROCESSES
Предлагается методика для нахождения вероятностей, входящих в состав матриц вероятностей переходов, получаемых при описании процессов, происходящих в реальных системах, дискретными марковскими процессами с дискретным временем с помощью метода анализа иерархий.
The technique for finding the probability that make up the matrix of transition probabilities derived in the description of the processes occurring in real systems, discrete Markov processes with discrete time using the analytic hierarchy process.
Введение. При описании функционирования действующих, а также проектируемых систем исследователи прибегают к использованию таких математических моделей, как марковские цепи [1]. Под марковским процессом понимается случайный процесс, протекающий в некоторой системе, если состояние системы в момент времени t0
не зависит от того, когда и при каких обстоятельствах система перешла в это состояние. Марковский процесс может быть:
- с дискретными состояниями — если состояния системы S , S, • • •, S„ можно перечислить одно за другим и система переходит из одного состояния в другое скачком (мгновенно);
- с непрерывными состояниями — система плавно переходит из состояния в состояние.
Жесткой границы между системами с дискретными состояниями и непрерывными нет. Так, процесс разряда аккумулятора ноутбука представляет собой непрерывный случайный процесс. Однако если рассматривать данную систему как работоспо-
73
собное (батарея заряжена) и нерабочее (батарея разряжена) состояние, то имеет место дискретный случайный процесс. Для процессов с непрерывными состояниями достаточно сложно найти аналитические выражения, описывающие поведение системы, или полученные формулы недолжным образом описывают свойства изучаемого объекта. Как следствие исследователи прибегают к использованию марковских процессов с дискретными состояниями, которые бывают:
- с дискретным временем — изменение состояний системы происходит в фиксированные (строго определенные) моменты времени;
- с непрерывным временем — переход из состояния в состояние происходит в случайные моменты времени.
Вероятность нахождения системы в i -м состоянии на произвольном шаге к для дискретных марковских процессов с дискретным временем определяется как
n
Pi (к) = ^ Pj (к -1) • p, , i = 1,..., n, где — вероятность перехода системы из i -го
j=1
состояния в j -е. Совокупность вероятностей переходов образует матрицу вероятностей переходов системы. Для дискретных марковских процессов с непрерывным временем, описываемых уравнениями Колмогорова — Чепмена [1], вероятности переходов системы из состояния в состояние заменяют в пределе параметром входного потока в систему, а для ординарного потока — интенсивности, как среднего количества событий за единицу времени. При численном решении уравнений, описывающих поведение систем с дискретным временем значения вероятностей, входящих в матрицу вероятностей переходов, исследователи подбирают интуитивно, основываясь, как правило, на собственных предположениях, что вносит ошибку в вычисления и естественно искажает конечный результат. Таким образом, общего подхода для нахождения данных вероятностей при нахождении численного решения моделей, построенных с помощью дискретных марковских цепей с дискретным временем, нет. В данной работе предлагается методика нахождения указанных выше вероятностей с использованием метода анализа иерархий.
Предлагаемая методика. При анализе реальных систем, которые могут находиться в нескольких альтернативных состояниях S, S2,..., возникает задача определения значений оценок вероятностей переходов P из одного состояния в другое. Данные
вероятности составляют матрицу вероятностей переходов. Определим значения указанных вероятностей с помощью метода анализа иерархий — метода Саати [2].
В качестве примера рассмотрим систему, описываемую дискретным марковским процессом с дискретным временем, которая может находиться в одном из состояний S, S, S . Переход из состояния в состояние происходит в случайный момент времени. Вероятность нахождения системы в состояниях S , S , S после первого, второго шагов определяется как Pl (1) = Pi(0) • P11 + P2 (0) • P21 + P3 (0) • P31 f Pl (2) = Pi (1) • P11 + P2 (1) • P21 + P3 (1) • P31 P2(1) = P1(0) • P12+P2(0) • P22+P3(0) • P32, j P2 (2) = P1(1) • P12 + P2(1) • P22 + P3(1) • P32 P3(1) = P1(0) • P13 + P2 (0) • P23 + P3(0) • P33 jP3 (2) = P1(1) • P13 + P2 (1) • P23 + P3 (1) • P33 и т.д.
Поставим в соответствие каждому значению условной вероятности переход из состояния ^ в состояние £ . (р ^ ). Рассмотрим множество переходов, образующих полную группу для каждого состояния. Для нашего случая таких групп будет три, соответствующие строкам матрицы.
На основе учёта оценок, полученных от экспертов, проведем анализ: какой из переходов обладает большим приоритетом по сравнению с другими, входящими в выбранную «тройку». Если экспертов несколько, то их мнение усредняется.
Пусть необходимо сравнить три перехода. Результаты мнений экспертов занесем в таблицу.
А В С
А
В
С
Эксперты попарно сравнивают переходы, «образующие полную группу». Пусть сравниваются два перехода А и В; если:
- А и В одинаково возможны, записываем 1 в позицию (А, В) : А — строка, В — столбец;
- А незначительно важнее B, записываем 3;
- А значительно важнее B, записываем 5;
- А явно важнее B, записываем 7;
- А по своей значительности абсолютно превосходит B, записываем 9. Также можно использовать числа 2, 4, 6, 8 для более «мягкого» сравнения. Если при сравнении А и В получим обратное суждение, то на пересечении
строки А и столбца В запишем обратное значение, введенных выше чисел. При сравнении перехода с самим собой имеем одинаковую важность, поэтому на главной диагонали таблицы будут стоять единицы. После проведенного анализа полученные числа будут записаны над главной диагональю. В оставшиеся пустые ячейки запишем числа
по правилу: если хц = а, то хр = ^^ .
Таким образом, для состояния ^ получим матрицу
1 О
11 Г 1
12
12 а
43
1Л
1/ а 1 у 1/1 1/у 1
Вектор вероятностей переходов получается как нормированный собственный вектор, соответствующий максимальному собственному значению.
Производим аналогичные вычисления для нахождения вероятностей переходов из второго состояния в первое и третье, а также из третьего состояния в первое и второе.
Численный пример. Пусть при сравнении экспертами первой тройки переходов состояния получены следующие результаты:
Л'
5
'11
'13
1 512 513
Г 1 1/3 5 ^
3 1 7
15 17 1
т.е. переход 512 незначительно важнее перехода ^ 1, переход 5И значительно важнее 513, при этом переход 512 явно важнее 513. Отсюда, связь sl2 ^5И имеет обратное значение связи 5И ^ 512 и т.д. Для нахождения вероятностей переходов можно воспользоваться МаШсаё. Так, для состояния ^ имеем:
{ 3.065 ^
-0.032 + 0.4451 V-0.032 - 0.4451 )
Выбираем максимальное действительное число.
у := ещепуесэ (А) - Определяем собственные векторы матрицы А (0.393 -0.196 + 0.341 -0.196 - 0.341 ^
0.914 0.914 0.914
^□.101 -0.051 - 0.0881 -0.051 + 0.0881 )
Каждому собственному значению из вектора п соответствует собственный вектор (столбец) матрицы V.
<0>
£
<0>
1.408
/0.393 \ 0.914
V 0.101 /
Пронормируем вектор и получим искомый вектор вероятностей перекодов.
<0>
Е
<0>
^0.279 0.649 V0.072 )
Для проверки результата можно найти сумму элементов полученного вектора, которая должна быть равна единице.
Для состояний и после опроса экспертов имеем
21
'22
521 522 523
Г 1 4 1/3^
14 1 5
3 15 1
531 532 533
Г 1 17 5 ^
5
5
32
33
76
7 1 3 15 13 1
5
5
23
Произведя аналогичные вычисления, получим векторы вероятностей переходов для состояний $2 и £3, которые образуют вторую и третью строку искомой матрицы. { 0.364^
Pi
0.357 0.279
р2
{ 0.22 ^ 0.68 V 0.1 J
Таким образом, искомая матрица вероятностей переходов будет иметь вид Г0.279 0.649 0.072Л
P =
0.364 0.357 0.279 v 0.22 0.68 0.1 ;
Предположим, что в начальный момент времени система находилась в состоянии ^, т.е. р (0) = 1, р (0) = р (0) = 0 . Тогда вероятность нахождения системы в каждом состоянии после первого шага определяется как произведение матрицы переходных вероятностей на вектор-столбец начальных условий, после второго — произведение матрицы переходных вероятностей на результирующий вектор, полученный после первого шага.
/0.279 0.649 0.072^ (Л ^0.279^ ^0.279 0.649 0.072/ тт \
0.364 0.357 0.279
0.22 0..
0.1
0.364
V 0.22 /
0.364 0.357 0.279 \ 0.22 0.6S 0.1 / v
0.279 ^ ' 0.33
0.364 = 0.293
0.22 y ,0.331
Заключение. Предложенная методика позволяет находить численные значения вероятностей, входящих в состав матриц вероятностей переходов, при создании математических моделей с помощью как дискретных марковских процессов с дискретным временем, так и полумарковских. Применение данной последовательности действий позволяет производить оценку вероятностей для систем, количество состояний которых достигает 10, так как для большего количества состояний качественное попарное сравнение затруднительно и приводит к ошибкам [3].
ЛИТЕРАТУРА
1. Вентцель Е. С. Исследование операций. — М. : Советское радио, 1972. — 552 с.
2. Саати Т. Принятие решений: метод анализа иерархий. — М. : Радио и связь, 1993. — 278 с.
3. Мельников А. В. Кластерно-иерархические методы экспертизы экономических объектов : монография. — Воронеж : Научная книга, 2012. — 276 с.
REFERENCES
1. Venttsel E. S. Issledovanie operatsiy. — M.: Sovetskoe radio, 1972. — 552 s.
2. Saati T. Prinyatie resheniy: metod analiza ierarhiy. — M. : Radio i svyaz, 1993. — 278 s.
3. Melnikov A. V. Klasterno-ierarhicheskie metodyi ekspertizyi ekonomicheskih obyektov : monografiya. — Voronezh : Nauchnaya kniga, 2012. — 276 s.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
Синегубов Сергей Владимирович. Доцент кафедры математики и моделирования систем. Кандидат технических наук, доцент.
Воронежский институт МВД России.
E-mail: vm@vimvd.ru
Россия, 394065, г. Воронеж, проспект Патриотов, 53. Тел. (473) 200-52-11.
Поташникова Светлана Владимировна. Кандидат технических наук.
E-mail: vm@vimvd.ru
Sinegubov Sergey Vladimirovich. Assistant Professor of the chair of Mathematics and Systems Modelling. Candidate of Sciences (Radio Engineering), Assistant Professor.
Voronezh Institute of the Ministry of the Interior of Russia.
Work address: Russia, 394065, Voronezh, Prospect Patriotov, 53. Tel. (473) 200-52-11.
Potashnikova Svetlana Vladimirovna. Candidate of Sciences (Radio Engineering).
E-mail: vm@vimvd.ru
Ключевые слова: вероятность; марковский процесс; матрица вероятностей переходов; метод анализа иерархий.
Key words: probability; markov process; matrix of transition probabilities; analytic hierarchy process.
УДК 519.7
