Максимальное аэродинамическое качество тел, обтекаемых с плоским скачком уплотнения Текст научной статьи по специальности «Физика»

_________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXIV 1993

№4

УДК 629.782.016.7:533.6.013.12/.13

МАКСИМАЛЬНОЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКОЕ КАЧЕСТВО ТЕЛ, ОБТЕКАЕМЫХ С ПЛОСКИМ СКАЧКОМ УПЛОТНЕНИЯ

В. В. Келдыш

Рассматривается задача о выборе формы несущего тела с трапециевидной передней кромкой, движущегося со сверхзвуковой скоростью, обладающего максимальным аэродинамическим качеством на расчетном режиме обтекания (заданных числах М и Яе) с плоским скачком уплотнения при заданной величине коэффициентов объема и подъемной силы.

Показано, что при полностью ламинарном или турбулентном пограничном слое на поверхности тела при заданных геометрических условиях и коэффициенте подъемной силы оптимальная форма его не зависит от числа Ле, которое влияет только на состояние пограничного слоя и соответственно на величину аэродинамического качества тела.

Проведено параметрическое исследование влияния заданных условий на оптимальную форму тела и его аэродинамическое качество на расчетном режиме обтекания.

Одной из основных характеристик летательного аппарата является его аэродинамическое качество. Определению формы тела, обладающего максимальным аэродинамическим качеством при заданных условиях и ограничениях (связях) посвящено много работ. Обычно помимо чисел М и 11е полета задается еще коэффициент подъемной силы или какой-нибудь геометрический параметр тела, например, его удлинение или коэффициент объема.

При сверхзвуковых скоростях полета, когда движение тела сопряжено с образованием скачков уплотнения, для решения обратной задачи газовой динамики требуется еще задание формы этих скачков, определяющей поле течения, из поверхностей тока которого составляется наветренная поверхность тела.

В известных работах выбор оптимальной формы тела в такой постановке задачи проводился для случая осесимметричного поля течения за скачками уплотнения со степенной образующей их поверхности, которое рассчитывалось по уравнениям Эйлера или другим менее точным формулам [1—5]. В [3 и 6] эта задача рассматривалась и для случая поля течения

эллиптического конуса. В первых из этих работ сопротивление трения не учитывалось. Дальнейшие исследования, выполненные с учетом сопротивления трения, показали, что оно оказывает существенное влияние не только на величину максимального аэродинамического качества, но и на форму соответствующего ему тела.

В настоящей работе рассматриваются тела, обладающие максимальным аэродинамическим качеством при заданных связях, обтекаемые на расчетном режиме с образованием плоского присоединенного к острым передним кромкам скачка уплотнения. Верхняя поверхность тела предполагается образованной поверхностью тока, не возмущенного скачком потока, отходящей от передней кромки.

Линейчатые поверхности таких тел в декартовых осях координат определяются формулой

У = [х - &, 1 = 1,2, (!)

где х=/ (г)—уравнение передней кромки на плоскости скачка уплотнения, ось х параллельна проекции скорости течения на эту плоскость, = у - а, = У — утлы наклона наветренной и верхней поверхностей соответственно к плоскости скачка уплотнения, а — угол поворота вектора скорости в скачке уплотнения (угол атаки), у— угол плоскости скачка с вектором скорости перед ним.

Такие тела могут представлять интерес для передней части летательного аппарата и для летающего корпуса с утопленными в нем двигателями, струи которых выходят через донный срез тела.

Коэффициенты подъемной силы и волнового сопротивления этих тел, отнесенные к площади в плане, на расчетном режиме обтекания не зависят от их формы, и аэродинамическое качество в невязком газе у них такое же, как у плоских пластин и клина бесконечного размаха Кя =

[7]. Влияние формы тела на его аэродинамическое качество проявляется только через сопротивление трения.

В однородном поле течения в окрестности наветренной и верхней поверхностей таких тел вязкие напряжения на них подчиняются тем же закономерностям, что у плоских пластин бесконечного размаха. Далее используются результаты работ [8, 9] для местного сопротивления трения пластин при сверхзвуковых скоростях движения для ламинарного и турбулентного пограничного слоев. Взаимодействие пограничного слоя с внешним потоком не учитывается.

При заданных значениях чисел МиКеи коэффициента подъемной силы (угле атаки) задача о форме тела, обладающего наибольшим аэродинамическим качеством при обтекании с плоским скачком уплотнения, имеет вырожденное решение—клин бесконечного размаха.

При дополнительных условиях на геометрические параметры тела эта задача может иметь физически реальное решение.

Далее рассматривается класс тел с трапециевидной передней кромкой, состоящей из трех отрезков прямых. Стреловидность ее центральной

М=9

М=6

Рис. 1. Геометрические параметры оптималь-. ных тел

части %0 = 0, боковых Частей Х\- Х2~ X■ Такое тело представляет собой клин конечного размаха, ограниченный по бокам парами треугольных граней, стабилизирующих плоский скачок уплотнения на расчетных режимах обтекания (рис. 1). Отношение ширины центрального клина к его длине обозначим 2 а, угол в его передней кромке равен углу атаки а. При а = О — это известный волнолет Нонвайлера, поверхность которого составлена из треугольных граней [10]. При X — л 12 — клин с бесконечно тонкими боковыми шайбами. Коэффициент объема таких тел с донным срезом, перпендикулярным вектору скорости течения перед скачком уплотнения, определяется по формуле

и а сое у + с 3 х т

г= ~^ПТ = 7^1----------- -^асов2 у,

*У3/2 (2а со& у + с^х) ^

(2)

а коэффициент подъемной силы

суа=срсоьу,

здесь ср — коэффициент давления за скачком уплотнения; в качестве характерной площади 51 взята ее величина, заключенная между передними кромками тела и донным срезом.

Аэродинамическое качество этих тел на расчетном режиме обтекания при условии, что давление на донном срезе приведено к статическому давлению невозмущенного потока, определяется по формуле

К-' = = tg а + --------- {2(1 + к)асо&у +

К ср (ctg^r + 2 a cosy)

+/

+ sin2(у ~ «) +Vctg2;ir + sm2 г]}, (3)

егл

00

c-Foo —коэффициенты сопротивления трения прямоугольной пластины в однородном потоке за и перед скачком уплотнения соответственно,

_ д р ( М ^

Я = — = — I I — отношение в них скоростных напоров, индексом 00

отмечены параметры потока перед скачком,/— отношение коэффициентов сопротивления трения треугольной и прямоугольной пластин в однородном потоке. В ламинарном пограничном слое /= 1,333, в турбулентном слое /= 1,111.

Задача о выборе формы тела с трапециевидной передней 1фомкой, обладающего наибольшим аэродинамическим качеством на заданном режиме обтекания с плоским скачком уплотнения, рассматривается при заданной величине его коэффициентов объема и подъемной силы. При этом возможная область изменения геометрических параметров определяется неравенствами:

О йай tg2ocos3y / 8 г2 = а шах; (4)

/

Хпап = arcctg

а между собой они связаны кубическим уравнением:

8 'j п ...

-amaxcosy\zxZ j, (5)

8(acosy)3 + 3(acosy)2 (4ctgj - 3ctg) + +(6a cosy + ctg*) (ctg* - ctg^min) ctSX = 0.

(6)

У тел с максимальным аэродинамическим качеством параметры а и X должны еще удовлетворять условию

с1К = 0К 0К с1а йх дх + да йх ’

которое после некоторых вычислений приводится к виду

У(2a cos у + ctg^tg^min - l]

| sin2 ytg2X ,

fcsin2^- a)tg2z Jl + sin2(y- a)tg2z

l + k к

^cos j'tgH ,____________________>_

yjl + sin2 ytg2z V / V1 + sin2 (У - a)lS2X

yj 1 + sin2 ytg2z y

yl(2aco&y + ct%z)tgXmin (V1 + sin2 +

+A:>/l + sin2(y- a)tg2* - j-

Рассматриваемая задача имеет единственное решение при заданных значениях г и а и числах М и Ые, так как

dz2

<*Х

Zmin

В силу однородности поля течения за плоским скачком уплотнения

решение ее не требует применения численных методов оптимизации, как

в случае осесимметричного и конического полей течения [4, 5], и сводится

к решению двух уравнений: кубического (6) и трансцендентного (7). Это

существенно сокращает время ее решения и дает возможность провести

параметрические исследования влияния заданных условий на форму

оптимального тела и величину его аэродинамического качества.

Из (4)—(7) следует, что волнолет Нонвайлера а = О, X = Хтт не

является оптимальным телом в рассматриваемой задаче, а клин с шайбами п

X = , а = атах — оптимальное тело, когда

г> yj 3(1 + fc)tg2acos4 у I 8/[Arsing - a) + sin у].

При степенной зависимости коэффициента сопротивления трения от числа Re величина последнего не влияет на форму оптимального тела, так каквуравнение (7) входит только отношение коэффициентов cF / cFx. Это имеет место не только при ламинарном пограничном слое, но, как показывают расчеты, и при турбулентном слое, а также справедливо при любой форме передней кромки и любых геометрических связях, если задана величина коэффициента подъемной силы тела на расчетном режиме обтекания с плоским скачком уплотнения.

Геометрические параметры тела а их, полученные в результате решения уравнений (6) и (7), приведены на рис. 1 в зависимости от величины коэффициентов объема и подъемной силы (угла атаки) при числах М = 9 и 6 для ламинарного и турбулентного пограничного слоев на поверхности тела. При турбулентном слое (штриховые линии) величина их

несколько меньше, чем при ламинарном слое (сплошные линии). С ростом коэффициента объема форма этих тел приближается к клину большего удлинения с шайбами (х= л / 2).

Аэродинамическое качество их на расчетном режиме обтекания при числах М = 9, Ле = 5 • 105 и 5 • 106 для ламинарного (л. п. с.) и Ле = 5 • 106 и 1,5 -108 для турбулентного пограничного слоя (т. п. с.) приведено на рис. 2, 3 соответственно (сплошные линии). Относительная температура поверхности тел полагалась равной Т„ =0,6. Штрихпункгирной линией показано аэродинамическое качество в невязком газе, штриховой линией — зависимость (а). На рис. 4 приведено отношение сопротивления трения к полному сопротивлению этих тел на расчетном режиме обтекания (сплошная линия соответствует л.п.с., штриховая — т.п.с.). С ростом угла атаки величина этого отношения уменьшается. Следовательно, уменьшается влияние сопротивления трения на аэродинамическое качество. Штрихпункгирной линией показано это отношение, когда при заданном коэффициенте объема достигается максимальная величина аэродинамического качества. При этом сопротивление трения составляет примерно от половины до одной четверти полного сопротивления тела при увеличении его объема от г= 0,025 до г = 0,125 соответственно.

С г

При числе М=6 зависимости К (а) и для оптимальных тел

°ха

приблизительно такие же, как при числе М = 9. Наибольшее различие в аэродинамическом качестве имеет место в окрестности его максимальной

М-9

М*9

Рис. 2. Аэродинамическое качество оптимальных тел при ламинарном пограничном слое

к ИГ

Рис. 3. Аэродинамическое качество оптимальных тел при турбулентном пограничном слое

о

о

5•

£_

10•

лг

-1 ос

Рис. 4. Отношение сопротивления трения оптимальных тел к их полному сопротивлению

при ламинарном (—) и турбулентном (--------) .

пограничном слоях

величины при ламинарном пограничном слое и малых значениях коэффициента объема (АК -0,5 при г= 0,025). '

Если вместо коэффициента о&ьема задать относительное удлинение центрального клина — 2 а, геометрические характеристики оптимальных тел с трапециевидной передней 1фомкой на заданном угле атаки связаны зависимостью

la cos у =

j^fcsin2^ - a)■^lTsin2-^tg2^ + sin2 y-Jl + sin2(у - a)tg2^jtg^

k-jl + sin2 гШ2Х + V1 + sin2(/- a)tg2^ -^/[Г + sin2(^- a)tg2^](l + sin2 r42z) '

(8)

Из (8) тоже следует, что волнолет Нонвайлера, а также клин с шайбами Х= я 12 не являются оптимальными телами. С увеличением относительной ширины центрального клина угол стреловидности передней кромки возрастает до некоторой величины Хт»х> зависящей от числа М и угла атаки, которая ограничивает область существования решения задачи 0 <х< Xmax (М,а), удовлетворяющего физическому условию 0 < а < оо.

Хта* ^ м,с Расчеты показывают, что со-

ответствующие тела имеют небольшой ограниченный сверху коэффициент объема. Геометрические характеристики их показаны на рис. 1 (а — кружки, х — треугольники) при числе М = 9, т = 0,025, а = 3 и 4° и т= 0,05, а= 6 и 8°. Светлые значки соответствуют турбулентному пограничному слою, темные — ламинарному.

По форме эти тела отличаются от оптимальных тел, полученных при том же угле атаки и заданной величине коэффициента объема, особенно угол стреловидности передней кромки, а аэродинамическое качество у них при одинаковых значениях г и сУа практически одинаковое. У клина с шайбами х= я-/ 2 при тех же условиях аэродинамическое качество меньше, чем у оптимальных тел, в пределах -0,1+ 0,2. Это показывает, что некоторое отклонение геометрических параметров тела от соответствующих наибольшей величине аэродинамического качества при заданных связях слабо влияет на его величину.

Максимальное значение аэродинамического качества рассматриваемого класса тел на исследованных режимах обтекания в зависимости от их коэффициента объема приведено на рис. 5, а (л.п.с.) и 5,6 (т.п.с.).

Штрихпунктирной линией показаны соответствующие зависимости для волнолета Нонвайлера (а = 0). При одинаковых коэффициентах объема аэродинамическое качество у него меньше, чем у оптимального тела с трапециевидной передней кромкойпри л.п.с. на ~(1,0 - 0,8),когда г = 0,025, и на ~ 0,5, когда т = 0,1. При т.п.с. в исследованном диапазоне изменения коэффициента объема это различие составляет дК — (0,2 — 0,3).

На рис. 5 треугольником показано аэродинамическое качество волнолета Нонвайлера с геометрическими параметрами а = 0, Х= 80°, а = 8,5°, полученное в результате испытания его в аэродинамической трубе на расчетном режиме обтекания с плоским скачком уплотнения при числах М = 9, Яе = 5 • 106 .

Величина его удовлетворительно согласуется с результатами расчета в предположении т.п.с. на поверхности. При л.п.с. полученное в расчете аэродинамическое качество примерно на 50% больше.

На рис. 6 показана форма этого волнолета и тел с максимальным аэродинамическим качеством и таким же коэффициентом объема при турбулентном и ламинарном пограничном слоях. Штриховая линия — след

Рис. 5. Максимальное аэродинамическое качество оптимальных тел при заданных коэффициенте объема и угле атаки при ламинарном (а) и турбулентном (б) пограничном слоях

Т. П. С.

М‘9 ; Ие=5 Н7е; 1 = 0,112

Л. П. С

Рис. 6. Форма волнолета Нонвайлера и оптимального тела с таким же коэффициентом объема при турбулентном (т.п.с.) и ламинарном (л.п.с.) пограничном слоях

скачка уплотнения в поперечном сечении. При ламинарном слое угол атаки оптимального тела на расчетном режиме обтекания почти на 3° меньше, чем у волнолета Нонвайлера, а форма его близка к клину с шайбами (% = 88,5°, а = 0,078). При турбулентном слое угол атаки оптимального тела примерно на 1° меньше, чем у исследованного волнолета, а стреловидность передних кромок и относительная ширина центрального

клина равны X = 85°, а = 0,095.

В современных сверхзвуковых аэродинамических трубах степень турбулентности среды обычно выше, чем в натурных условиях полета, и переход пограничного слоя из ламинарного в турбулентный на поверхности тел при испытании их в этих трубах происходит при меньших значениях чисел Ле, чем в полете. Поэтому полученное в эксперименте аэродинамическое качество тела на режимах обтекания, соответствующих развитию переходных процессов, может быть меньше, чем при тех же числах МиЛев полете.

Проведенные расчетные исследования показывают, что при числах Ле = 5 • 106, М = 6-9 и углах атаки 0 < а ^ 10°, когда на поверхности летательного аппарата возможно образование областей переходного и турбулентного похраничного слоев, в зависимости от его состояния аэродинамическое качество может меняться в пределах ~ 50%. Так, например, при

числах М = 9, Ле = 5-106и коэффициенте объема г = 0,025 максимальное аэродинамическое качество рассматриваемого класса тел при ламинарном пограничном слое Кт&х =8,5, при турбулентном слое Ктлх =5,3. При

т = 0,10 они соответственно равны 6,2 и 4,9.

Проведенные исследования также показывают, что если в аэродинамической трубе и в условиях натурного полета величина числа Ле существенно разная, а пограничный слой в обоих случаях турбулентный

или ламинарный, это влияет не только на максимальную величину аэродинамического качества несущего тела и соответствующее ему значение коэффициента подъемной силы, но и на форму оптимального тела при заданных геометрических связях (величине коэффициента объема т). На

рис. 7 показаны оптимальные тела с коэффицентом объема г = 0,05 и 0,10

при числах М = 9, Не = 5 • 10б и Яе = 1,5 • 108 (т.п.с.). С увеличением числа Яе и коэффициента объема удлинение их заметно возрастает, а при одинаковых значениях коэффициента объема максимальное аэродинамическое качество оптимальных тел в условиях аэродинамической трубы при

числах М = 6- 9иЯе = 5-106 на ~ 30% меньше, чем в условиях полета при Яе = 1,5 • 108 • Так, например, при турбулентном-пограничном слое, числе М = 9 и т — 0,05-К^ =5,25, сУо =0,038, когда Яе = 5 • 106 и = 7,0, суа =0,025, когда Яе = 1,5-108. При т= 0,10 = 4,75, сУа =0,05,когда

Яе = 5•106 и К^ = 6,0, суа = 0,038, когда Яе = 1,5 • 108.

Полученные в расчетах максимальные значения аэродинамического качества оптимальных тел, обтекаемых с плоским скачком уплотнения,

М-9

аш0,3; Т-0,05 а=0,1; т>0,ю

а-0,15; 1-0,05

а-0,08 • х.-о,ю

/--------^ Яе-1£-10*

Рис. 7. Влияние числа Яе на форму оптимального тела с максимальным аэродинамическим качеством при заданной величине коэффициента объема и турбулентном пограничном слое

прй больших значениях числа Re описываются приближенно корреляционной зависимостью

6(М + 2)

max М >

полученной для условий полета спускаемого с орбиты летательного аппарата при оптимизации формы его нижней поверхности в поле течения осесимметричных скачков уплотнения [4, 5].

ЛИТЕРАТУРА

1. Cole J. D. and Zien J. F. A class of three-dimensional optimum hypersonic wings // AIAA J. — 1969. Vol. 7, N 2.

2. Kim B. S., RasmussenM. L. andJischke М. C. Optimization of waverider configurations generated from axisymmetric conical flows // AIAA Paper. — 1982, N 1299.

3. R asmuss’en M.L. Waverider configurations derived from inclined circular and elliptic cones // J. of Spacecraft and Rockets. — 1980. Vol. 17, N 6.

4. Bowcutt K. G., Anderson J. D. and Capriotti D. Viscous optimized hupeisonic wive -riders // AIAA Paper. — 1987, N 272.

5. Corda S., Anderson J. D., Capriotti D. Viscous optimized waveriders designed from axisymmetric flow fields // AIAA Paper. — 1988, N 369.

6. Осовский A. E., Толченникова E. Г. Расчет оптимальной формы шперзвукового летательного аппарата с присоединенной ударной волной // Труды ЦАГИ. — 1993. Вып. 82.

7. Келдыш В. В. Точные решения для несущих систем с одним и двумя плоскими скачками уплотнения // Инженерный журнал. — 1961. Т. 1, вып. 3.

8. Башкин В. А. Расчет коэффициентов трения и теплопередачи , пластины, конуса и тупоносого тела в окрестности критической точки при ламинарном течении в пограничном слое без диссоциации. В сборнике статей: Материалы к расчету сопротивления трения и теплопередачи различных тел при гиперзвуковых скоростях полета // Труды ЦАГИ. — 1964. Вып. 937.

9. Гарбузов В. М., Колина Н. П., Пятнова А. И. Расчет коэффициентов сопротивления трения и теплопередачи пластины и острого . конуса, обтекаемых сверхзвуковым потоком при турбулентном пограничном слое//Труды ЦАГИ. - 1977. Вып. 1881.

10. Nonweiler Т. Delta wings of shaps amenable to exact shock-wave theory // J. of royal aeronautical society. — 1963. Vol. 67.

Рукопись поступила 22/VI 1992 г.