Максимально правдоподобные оценки параметров оптических сигналов с учетом квантовой природы света и аддитивного шума на примере лазерных доплеровских систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.37, 687.787, 530.182

МАКСИМАЛЬНО ПРАВДОПОДОБНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ОПТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ С УЧЕТОМ КВАНТОВОЙ ПРИРОДЫ СВЕТА И АДДИТИВНОГО ШУМА НА ПРИМЕРЕ ЛАЗЕРНЫХ ДОПЛЕРОВСКИХ СИСТЕМ

Виктор Сергеевич Соболев

ФГБУН Институт автоматики и электрометрии СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 1, доктор технических наук, гл. научный сотрудник, тел. (383)333-28-39, e-mail: [email protected]

Галина Абрамовна Кащеева

ФГБУН Институт автоматики и электрометрии СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 1, научный сотрудник, тел. (383)333-28-39

Феофил Арсентьевич Журавель

ФГБУН Институт автоматики и электрометрии СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 1, кандидат технических наук, ведущий инженер, тел. (383)333-28-39

Получены уравнения правдоподобия и исследованы пути их решения на примере сигналов лазерных доплеровских систем, работающих в режиме одночастичного и многочастичного рассеяния. Найдены границы Рао - Крамера. Путем компьютерного моделирования дана оценка качества оценок параметров получаемых сигналов.

Ключевые слова: оптические сигналы, оптимальный прием, доплеровские системы.

MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATES OF OPTICAL SIGNALS PARAMETERS IN VIEW OF THE QUANTUM NATURE OF LIGHT AND ADDITIVE NOISE ON EXAMPLE OF LASER DOPLER SYSTEMS

Victor S. Sobolev

Federal State Institution of Science, Institute of Automation and Electrometry, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences (IAE), 630090, Russia, Novosibirsk, Acad. Koptyuga 1, D., Ch. Researcher, tel. (383)333-28-39, e-mail: [email protected]

Galina A. Kashcheeva

Federal State Institution of Science, Institute of Automation and Electrometry, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences (IAE), 630090, Russia, Novosibirsk, Acad. Koptyuga 1, scientific researcher, tel. (383)333-28-39

Feofil A. Zhuravel

Federal State Institution of Science, Institute of Automation and Electrometry, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences (IAE), 630090, Russia, Novosibirsk, Acad. Koptyuga 1, Ph.D., Chief engineer, tel. (383)333-28-39

Likelihood equations are obtained and their solutions are investigated on the example of laser Doppler signal systems that operate in the single-particle and multiparticle scattering. The Cramer-Rao bounds are found. By computer simulation an estimate is obtained for the received signals parameter estimates quality.

Key words: optical signals, optimal reception, Doppler systems.

1

Появление лазеров и развитие оптоэлектроники вызвали большой интерес к проблеме рациональной обработки оптических сигналов. В отличие от сигналов радиосвязи и радиолокации, когда выходное напряжение антенны пропорционально принимаемой напряженности поля, прием оптических сигналов в силу квантовой природы света сопровождается неизбежным дробовым шумом, дисперсия которого пропорциональна мгновенной интенсивности света. Доклад посвящен получению оценок параметров оптических сигналов с использованием критерия максимального правдоподобия на примере лазерных доплеровских систем. Такой подход обещает получать оценки с наивысшей точностью.

Вначале рассмотрим решение поставленной задачи для одночастичного режима работы этих систем. Как известно [1], он имеет место, когда лазерный доплеровский анемометр (ЛДА) применяется для исследования газовых потоков с естественной запыленностью. Для дифференциальной схемы ЛДА, представленной на Рис.1, получаемый сигнал имеет следующий вид

I ^) = Ад ехрК2«2) ^ - + ста юп ( -

2п

(1)

где До, ^ и соответственно, неизвестные амплитуда, доплеровская частота, пропорциональная скорости рассеивающей частицы, и момент появления частицы в центре измерительного объема; известный параметр оптической схемы.

Рис. 1. Функциональная схема ЛДА

Из теории фотоэффекта, известно, что электрический сигнал на выходе фотодетектора при изменяющейся интенсивности света представляет собой нестационарный поток электронов, скорость эмиссии которых пропорциональна интенсивности оптического сигнала, а вероятность

2

получения п отсчетов на интервале квантования At подчиняется закону Пуассона. Тогда совместная плотность вероятностей значений полученного сигнала (функция правдоподобия) представляется в виде произведения,

N

РЦ,..., щ) = П р(п, Аг),

1=\

(2)

где Р(пь At) - пуассоновская вероятность получить отсчет сигнала ni на интервале наблюдения А^ N -число отсчетов. Как известно [2], максимально правдоподобные оценки параметров сигнала находятся по критерию достижения максимума логарифма функции правдоподобия. Учитывая (2), получим

N

1п Р(п1,..., nN) = Е [ni (1п + 1п Аг) - 1п(п!) - Аг ]

1=1

(3)

Дифференцируя (3) по интересующему нас неизвестному параметру X и полагая, что весь сигнал умещается на интервале наблюдения Т, получаем следующие уравнения правдоподобия для каждого неизвестного параметра

42 =^^

г Е п

^ 1=1

N N

2%2юП Еп (г - го)2 + Еп(гг - го^

Б^'ЧК11 10) ^/^'ЧУЧ 10гъ 2 /=1 /=1

(4)

сор (г I - г0) _ Ул4

%ю2

Б

(5)

2^2юЬЕп(г - го)+Еп^ (г2- го)=о

=1

=1

(6)

Решение этой системы легко реализуется известными методами [3]. Минимальные относительные среднеквадратичные отклонения каждого параметра, соответствующие границам Рао-Крамера, имеют вид.

а

А

4) \ ^л/л' «в V

2%Ч . а* _

А^ л ^ \

%

1;оАош0л/ л

(7)

На рис. 2 представлены результаты численного решения уравнения правдоподобия для частоты.

Ао=1000; <Юр > Юр = 0,005%; = 0.110% (^^ = 0.106%)

ю,

Ю

ъ

ю

Б

При работе анемометра в многочастичном режиме доплеровский сигнал в большинстве случаев образуется как сумма сигналов L от каждой рассеивающей свет частицы в соответствующий момент времени

г (г) = ]Глг ехр{-ь/2 с - г )]2}ехр[С - г)]

I=0

(8)

Рис. 2. а) модель сигнала, б) отклонения частоты

В силу центральной предельной теоремы теории вероятностей модель такого сигнала представляет собой случайный нормальный вектор г

комплексных отсчетов zk, взятых через интервал дискретизации Т и

содержит сигнальную часть Sk ехр( ]ткТ) и белый шум пк

ч =8к ехРО'скТ)+п ,

(9)

где 8к означает комплексную амплитуду сигнала, к=0,1..Х - номер его отсчета.

Его корреляционная функция представляется следующим образом

R(кT) = ст2 ехр[-(фкТ)2 ] ехр(фкТ) + ЗЫ,

0 •

(10)

С учетом изложенного логарифм функции правдоподобия примет вид

1п р(г | со) =

г^ЩЯ + Ш^рг

<2

1п № + N1 + сотг

(11)

где z - вектор-столбец комплексных отсчетов сигнала, R - корреляционная матрица сигнала (9), то есть матрица с элементами R(kT), |R| - ее определитель, а R-1 - обратная матрица.

Теперь, чтобы получить уравнение правдоподобия для оценки интересующей нас скорости потока, необходимо продифференцировать это выражение по частоте. Анализ показал, что выполнить это требование даже при не очень большом количестве используемых отсчетов сигнала практически невозможно. В то же время с учетом колоссальных возможностей современной вычислительной техники можно предложить более простой путь решения задачи. Он состоит в том, что выбранное число отсчетов сигнала подставляется непосредственно в матричное выражение для логарифма функции правдоподобия (11), а стандартная функция «Maximize» библиотеки Маткад достаточно быстро находит положение максимума этой функции, которое и является искомой максимально правдоподобной оценкой доплеровской частоты. Результаты компьютерного моделирования этого пути представлены ниже:

1. Осредненные значения оценок оказались весьма близкими к значению доплеровской частоты (заложенному в модели доплеровского сигнала) в пределах десятых долей процента. Это означает, что получаемые оценки частоты практически не смещены.

2. В отсутствие шума среднеквадратичные отклонения (СКО) оценок частоты практически не зависит от величины периода дискретизации сигнала и в первом приближении падает обратно пропорционально числу используемых отсчетов и времени корреляции. При наличии шума СКО оценок частоты существенно зависит не только от времени корреляции сигнала и числа используемы отсчетов, но и от периода дискретизации сигнала.

Чтобы наглядно продемонстрировать, как число используемых отсчетов сигнала снижает погрешности измерений, на рис. 3 показаны графики максимально правдоподобных оценок доплеровской частоты для случая, когда скорость исследуемого потока изменяется по синусоидальному закону

m=20 Т=ТД m=34 T=1,2T

1.1 1.05 1

0.95 0.9 0.85

0

Рис. 3. Зависимость СКО максимально правдоподобных оценок частоты от числа m используемых отсчетов сигнала анемометра с временем корреляции 5 доплеровских периодов в присутствие шума, составляющего -10 dB по мощности

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Соболев В. С. Оптимальные оценки параметров оптических сигналов : монография. Новосибирск, Издательство СО РАН, 2011. - 144 с.

2. Ван Трис Г. Теория обнаружения оценок и модуляции : монография. Т. 1. М.: Сов. Радио, 1972. - 744 с.

3. Бахвалов Н.С. Численные методы : монография. М.: Наука,1975. - 244 с.

© В. С. Соболев, Г. А. Кащеева, Ф. А. Журавель, 2014