CC BY
51
УДК 304.7:235; 621.39.1
СРАВНЕНИЕ ГРАНИЦ РАО - КРАМЕРА И ДИСПЕРСИИ МАКСИМАЛЬНО ПРАВДОПОДОБНЫХ ОЦЕНОК ЦЕНТРАЛЬНОЙ ЧАСТОТЫ УЗКОПОЛОСНОГО НОРМАЛЬНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
Виктор Сергеевич Соболев
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт автоматики и электрометрии Сибирского отделения Российской академии наук, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 1, доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник лаборатории оптических информационных систем, тел. (383)333-28-39, e-mail: [email protected]
Представлены результаты сравнения среднеквадратических отклонений максимально правдоподобных оценок центральной частоты узкополосных случайных процессов и границ Рао-Крамера как функции числа используемых отсчетов. Используя представленные результаты, разработчики оптикоэлектронных систем могут легко оценить их потенциальную точность.
Ключевые слова: лазерные доплеровские системы, максимально правдоподобные оценки, границы Рао-Крамера, фильтрация.
COMPARISON OF CRAMER-RAO BOUNDS AND THE VARIANCE OF THE MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATES OF NARROWBAND NORMAL RANDOM PROCESS CENTER FREQUENCY
Victor S. Sobolev
Federal State Institution of Science Institute of Automation and Electrometry, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, 630090, Russia, Novosibirsk, 1 Ak. Koptyuga Av., Ph. D., Professor, Chief Researcher of Laboratory of Optical Information Systems, tel. (383)333-28-39, e-mail: [email protected]
The results of comparison of the standard deviations of the center frequency maximum likelihood estimates for the narrowband random processes and the Cramer-Rao bounds as a function of the number of samples used are presented. Using the results presented, the developers of optoelectronic systems can easily estimate their potential accuracy.
Key words: laser Doppler systems, maximum likelihood estimates, Cramer-Rao bounds, filtration.
Введение. Наиболее точной методикой оценки параметров сигналов радио и лазерных доплеровских систем [1-6] является методика максимального правдоподобия [7,8]. Ее применение стало возможным благодаря тому, что получаемые сигналы эквивалентны узкополосным случайным процессам (УСНП). Теория этих процессов хорошо развита, в частности, известна совместная плотность вероятности их мгновенных отсчетов. Примечательно, что выведены также выражения для определения границ Рао-Крамера (ГРК) такого важного параметра УСНП, как его центральная частота, которая для доплеровских систем пропорциональна скорости исследуемых объектов [9]. Эта граница определяет минимальную дисперсию, которую можно достичь оптимальной обработкой получаемых сигналов. По идее, дисперсия оценки любого параметра
УСНП (с нулевым математическим ожиданием) по критерию максимального правдоподобия асимптотически, (то есть при достаточной длине реализации процесса) должна совпасть со значением соответствующей ГРК. На практике, однако, длина реализации (используемое число отсчетов сигнала при его дискретной обработке) всегда конечна. В этом плане представляет интерес сравнение значений ГРК и дисперсий получаемых максимально правдоподобных оценок как функции числа используемых отсчетов. Доклад посвящен решению этой задачи путем компьютерного моделирования процесса получения максимально правдоподобных оценок (МПО) центральной частоты. Оценка этого параметра определяется как положение максимума функции правдоподобия на оси частот.
1. Технология компьютерного моделирования.
На первом этапе эксперимента в соответствии с алгоритмом [10] создавалась модель УСНП в присутствии белого шума. Поскольку в большинстве доп-леровских систем спектр сигнала хорошо аппроксимируется гауссоидой, то для модели была выбрана именно эта форма спектра. Для того чтобы охватить большинство встречающихся на практике сигналов, набор относительных (по отношению к центральной частоте) ширин спектра w процесса был выбран равным 0.01; 0.05; 0.1; 0.2; 0.3; 0.4, а отношение сигнал/шум равным 40, 30, 10 и 0 дБ. Спектральная полоса белого шума располагалась в интервале частот Найк-виста от -1 Гц до + 1 Гц. Значение центральной частоты процесса составило 0.5 Гц. В результате моделирования были получены действительная и мнимая компоненты процесса. Для получения достоверных статистических характеристик центральной частоты модель процесса содержала 500000 отсчетов при интервале дискретизации Ts = 0.5 сек.
На втором этапе моделирования реализовывался алгоритм максимально правдоподобных оценок центральной частоты. Он выполнялся путем поиска максимума функции правдоподобия, имеющей форму [3,4]
, , , Л zTr*D(R + NI)"1 D z , . .
In p(z I CD) =----T-1--In R + NI + const
(1)
где символы z означают матрицу комплексных отсчетов процесса, индекс Тг -операцию транспонирования, звездочка - операцию комплексного сопряжения, D - диагональная матрица с элементами exp(j®pT), где p -номер отсчета процесса, R - его корреляционная матрица, N - отношение шум/сигнал и I - единичная матрица, а2 - дисперсия процесса.
Для реализации алгоритма в формулу (1) подставлялись комплексные отсчеты смоделированного процесса и рассчитанные, исходя из заданной ширины спектра, компоненты его корреляционной матрицы. Далее, для поиска положения максимума функции (1) использовалась система Матлаб, а поиск максимума осуществлялся в диапазоне частот 0 - 1 Гц. При этом количество используемых отсчетов сигнала p варьировалось от 2 до 60.
На третьем этапе на основе полученной реализации оценок центральной частоты вычислялись среднее значение оценки и как мера погрешности измерений ее среднеквадратичное отклонение (СКО).
На четвертом этапе вычислялись СКО ГРК. Эта операция осуществлялась в соответствии со следующей формулой [9]
-1
(2)
а2>
Ь-1 Ь-1
гуу.а-Яг.Р,
,=0 /=0
где ру и ^ -элементы матрицы (Д+Щ) и обратной ей, соответственно.
2. Результаты компьютерного моделирования.
Ниже в виде графиков (рис. 1, 2, 3) представлены результаты вычислений среднеквадратичных значений ГРК МПО центральной частоты УСНП, полученные в процессе компьютерного моделирования, как функции числа используемых отсчетов._
Число отсчетов
0.08 0.0 0.0 0.02 0
^0.05
5 1015202530354045505560
Число отсчетов
ш=0.1
0.15 0.1
0
0.25
ш=0.2
5 1015202530354045505560
0
5 1015202530354045505560
0.4
ш=0.3
ш=0.4
0. 1
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
Рис. 1. Границы Рао-Крамера (жирная линия) и СКО МПО центральной частоты процесса как функции числа отсчетов. БКЕ=30 ёБ, Т8=0.5 с
ш=0.01
0.4 0.3
0.2
0.1
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 Число отсчетов
ш=0.05
0.1
1 , \
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 Число отсчетов
ш=0.1
0.4 0.3
0.2
0.1
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
0.4 0.3 0.2 0.1 0
ш=0.2
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
0.4 0.3
0.2 0.1 0
ш=0.
1 со
\
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
ш=0.4
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
Рис. 2. Границы Рао-Крамера и СКО МПО центральной частоты процесса как функции числа отсчетов. 8КЕ=10 ёБ, Т8=0.5 с.
Рис. 3. Границы Рао-Крамера и СКО МПО центральной частоты процесса как функции числа отсчетов. БМ^О ёБ, Т8=0.5 с.
3. Анализ результатов компьютерного моделирования.
Из графиков следует, что разница между среднеквадратичными значениями ГРК и СКО при обработке очень узкополосных процессов (ширина спектра равна 0.01) очень велика: при использовании, например, 5-и отсчетов процесса СКО частоты на порядок превышает значение ГРК. С ростом числа отсчетов значения ГРК резко падают, в то время как СКО частоты спадает достаточно медленно, и они совпадают только при значениях числа отсчетов, равных 60. При ширинах спектра, равных или больших 0.05, графики ГРК и СКО МПО частоты идут параллельно, и с увеличением ширины спектра они все более
сближаются. При ширине 0.3 эти графики практически совпадают. Интересно, что при дальнейшем увеличении ширины спектра графики вообще пересекаются или меняются местами.
Что касается влияния отношения сигнал/шум, то с его ростом обе исследуемые величины существенно уменьшаются, причем резкое уменьшение естественно наблюдается при переходе от 0 дБ к 10 дБ.
К сожалению, авторы пока не могут объяснить причины почти параллельного хода графиков СКО и ГРК при таком большом числе используемых отсчетов, как 60. Ведь эти цифры, умноженные на период дискретизации процесса, намного превышают наибольшее время его корреляции, равное в данном случае 4.7 сек. Точно также мы не можем объяснить явление, когда значения ГРК становятся большими, чем СКО МПО частоты. Некоторым оправданием этому может служить тот факт, что этот казус случается при очень широком спектре процесса, (равном 0,4 от его центральной частоты), когда его уже нельзя считать узкополосным.
4. Заключение
На примере УСНП с наиболее часто встречающимися параметрами показано, что начиная с 15 используемых отсчетов для МПО его центральной частоты значения СКО и ГРК этого параметра практически совпадают. Этот результат позволяет разработчикам доплеровских систем, используя известное выражение для ГРК [9], оценить минимальные погрешности создаваемой аппаратуры.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лазерные доплеровские измерители скорости: монография. Под ред. Ю. Е. Нестери-хина. Новосибирск: Наука, 1975. - 164 с.
2. Коронкевич В. П., Соболев В. С., Дубнищев Ю. Н. Лазерная интерферометрия. Новосибирск: Наука, 1983. - 214 с.
3. Doviak R. J., Zrnich D. S. Dopler Radar and Weather Observations, 2nd ed.: Dover Habli-cation Inc., 2006, 562 p.
4. Frelich R. G. Kramer - Rao Bound for Gaussian Random Processes and Applications to Radar Processing of Atmospheric Signals // IEEE Transactions Geoscience and Remote Sensing.-1993. V. 31. - №6. P.1123.
5. Sobolev V. S., Feshenko A. A. Accurate Cramer-Rao Bounds for a Laser Doppler anemometer // IEEE transactions on instrumentation and measurement. - 2006.- V. 55. - №2. - P. 659665.
6. Соболев В. С., Журавель Ф. А. Максимально правдоподобные оценки частоты сигналов лазерных доплеровских анемометров // Радиотехника и электроника. - 2014. - Т. 59, №4. - С. 322-330
7. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции: монография. В 4 т. Т.3. М: Сов Радио, 1977. - 664 с.
8. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники: монография. В 3 т. Т. 2. М.: Сов. Радио, 1975. - 391 с.
9. Novak L. M. On the estimation of spectral parameters using burst waveforms. MIT, Lincoln laboratory, (technical report), 1983.
10. Sirmans D., Bumgarner B. Numerical Comparison of Five Mean Frequency Estimators // J. Appl. Meteor. - 1975. - V.14. - P. 991-1003
© В. С. Соболев, 2015
