CC BY
61
УДК 304.7:235; 621.39.1
ОЦЕНКИ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ЧАСТОТЫ СИГНАЛОВ ЛАЗЕРНЫХ ДОПЛЕРОВСКИХ СИСТЕМ В ПРИСУТСТВИИ ОКРАШЕННОГО ШУМА
Виктор Сергеевич Соболев
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт автоматики и электрометрии Сибирского отделения Российской академии наук, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 1, доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник лаборатории оптических информационных систем, тел. (383)333-28-39, e-mail: sobolev@iae.nsk.su
Феофил Арсентьевич Журавель
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт автоматики и электрометрии Сибирского отделения Российской академии наук, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 1, кандидат технических наук, ведущий инженер-программист лаборатории оптических информационных систем, тел. (383)333-28-39, e-mail: sobolev@iae.nsk.su
Галина Абрамовна Кащеева
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт автоматики и электрометрии Сибирского отделения Российской академии наук, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 1, научный сотрудник лаборатории оптических информационных систем, тел. (383)333-28-39, e-mail: sobolev@iae.nsk.su
Разработана методология получения максимально правдоподобных оценок центральной частоты сигналов лазерных доплеровских систем в присутствии окрашенного аддитивного шума. Показано, что предварительная фильтрация белого шума в полосе втрое превышающей ширину спектра доплеровского сигнала позволяет повысить точность оценок в 3-10 раз.
Ключевые слова: лазерные доплеровские системы, максимально правдоподобные оценки, фильтрация.
LASER DOPPLER SYSTEM'S CENTRAL FREQUENCY ESTIMATES IN THE PRESENCE OF COLORED NOISE
Victor S. Sobolev
Federal State Institution of Science Institute of Automation and Electrometry, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, 630090, Russia, Novosibirsk, 1 Ak. Koptyuga Av., Ph. D., Professor, Chief Researcher of Laboratory of Optical Information Systems, tel. (383)333-28-39, e-mail: sobolev@iae.nsk.su
Feofil A. Zhuravel'
Federal State Institution of Science Institute of Automation and Electrometry, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, 630090, Russia, Novosibirsk, 1 Ak. Koptyuga Av., Ph. D., Leading Engineer Programmer of Laboratory of Optical Information Systems, tel. (383)333-28-39, e-mail: sobolev@iae.nsk.su
Galina A. Kashcheeva
Federal State Institution of Science Institute of Automation and Electrometry, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, 630090, Russia, Novosibirsk, 1 Ak. Koptyuga Av., Scientific Researcher of Laboratory of Optical Information Systems, tel. (383)333-28-39, e-mail: sobolev@iae.nsk.su
The methodology for obtaining maximum likelihood estimates of the laser Doppler system's signals center frequency in the presence of colored additive noise is presented. It is shown that the pre-filtering of white noise in the band three times greater than the width of the Doppler signal spectrum can improve the accuracy of estimates by 3-10 times.
Key words: laser Doppler systems, maximum likelihood estimates, filtration.
Введение.
Во многих радио, оптоэлектронных и гидроакустических системах, а также в физическом эксперименте сигналы, несущие полезную информацию, эквивалентны узкополосным случайным нормальным процессам (УСНП) [1-5]. Примером могут служить сигналы погодных радаров, лидаров и лазерных допле-ровских анемометров, работающих в многочастичном режиме рассеяния. Теория УСНП хорошо развита, в частности, известна совместная плотность вероятности их мгновенных отсчетов. Это обстоятельство позволяет существенно повысить точность доплеровских систем за счет обработки получаемых сигналов с применением методологии максимального правдоподобия. Как известно [5-7], она позволяет получать оценки параметров соответствующих сигналов с минимальной дисперсией.
Следует отметить, что методы и аппаратура лазерной доплеровской анемометрии и лазерной локации прочно вошли в арсенал экспериментальной гидро- и аэродинамики, исследований динамики земной атмосферы, прогнозирования погоды, обеспечения безопасности полетов в районах аэропортов [2-8]. Они также с успехом применяются в промышленности для измерения скорости горячего проката, проволоки и других диффузно рассеивающих протяженных изделий [2]. В то же время, случайный характер получаемых сигналов приводит к существенным погрешностям измерений, в частности, такого важного параметра как доплеровская частота, пропорциональная скорости исследуемых объектов. Этот недостаток не устраивает многих пользователей доплеровских систем, в связи с чем проблема повышения их точности представляет большой интерес и широко дискутируется в печати [2-7]. Заметим, однако, что большинство публикаций посвящено простейшему случаю, когда выходной сигнал допле-ровской системы сопровождается аддитивным белым шумом, в то время как в любой реальной доплеровской системе спектр принятого излучения переносится в область доплеровских, нулевых или промежуточных частот и подвергается узкополосной фильтрации с тем, чтобы убрать ненужные продукты преобразования частот и избыточный шум вне полосы пропускания фильтра. Ясно, что подавление избыточного шума может существенно повысить точность работы доплеровских систем. Доклад посвящен разработке алгоритмов максимально
правдоподобных оценок (МПО) параметров получаемых сигналов в присутствии профильтрованного (окрашенного шума) и оценке получаемого выигрыша.
1. Алгоритмы получения максимально правдоподобных оценок доп-леровской частоты.
Итак, будем считать, что адекватной моделью полезной высокочастотной части доплеровского сигнала является узкополосный нормальный случайный процесс, сопровождаемый аддитивным нормальным окрашенным шумом. Рассмотрим типичный случай, когда спектр принятого излучения переносится на доплеровскую или промежуточную частоты, усиливается и подвергается узкополосной фильтрации. Как это обычно бывает, центральная частота фильтра совпадает с частотой Доплера или промежуточной частотой.
В целях упрощения дальнейших выкладок примем, что частотная характеристика фильтра имеет Гауссову форму, тогда модели доплеровского сигнала и профильтрованного шума будут иметь вид узкополосных случайных процессов
С/до = А(0ехр[-УО г + рДО)], ип (0 = л (0 ехр[-7(® t + (рп (0)],
(1) (2)
где Л8 и Ап амплитуды сигнала и шума, подчиняющиеся распределению Релея, ю - их центральная частота, ф8(1:) и фп(1:)-случайные фазы, равномерно распределенные в пределах +п, -п.
В силу того, что полоса пропускания фильтра обычно выбирается несколько шире ширины спектра сигнала, можно считать, что фильтр не оказывает существенного влияния на сам сигнал. С учетом этого будем считать сигнал и профильтрованный шум не коррелированными. Большинство доплеровских систем непрерывного действия работает с лазерами, излучающими гауссовы пучки, а импульсные доплеровские системы работают с импульсами Гауссовой формы, поэтому корреляционная функция суммарного доплеровского сигнала будет иметь следующий вид
Я(кТ)
2 м 2 2 м 2
< ал ехр — т + <5п ехр — т \ 1кп >
ехр ]ыкТ ХУ)
где а 8- дисперсия сигнала, а п- дисперсия шума, Тк8 и Ткп - времена корреляции сигнала и шума соответственно, к номер отсчета значений корреляционной функции, Т период дискретизации сигнала.
Далее будем считать, что доплеровский сигнал равномерно дискретизиру-ется по времени, а его М используемых для оценки доплеровской частоты отсчетов, представляют собой вектор-столбец 2 =[г0, г!... гк... гМ-1 ]. Если на интервале измерений скорость остается неизменной, то процесс (1), эквивалентный получаемому доплеровскому сигналу, будет стационарным, и совместная плотность вероятности его отсчетов в матричном виде определится как [9, с.61]
у(2л") |D| ' W
где D - корреляционная матрица сигнала (1), т.е. матрица с элементами R(kT), |D| - ее определитель, а D-1 - обратная ей матрица. Звездочка (*) означает операцию комплексного сопряжения, индекс (Т) в показателе степени - операцию транспонирования.
Поскольку сигнальная часть корреляционной функции (3) представляет собой произведение двух сомножителей, один из которых является вещественной величиной, а второй - комплексной, то матрицу D удобно представить в виде произведения трех матриц, а именно:
D = ВСВ* (5)
где В -диагональная матрица с элементами ехр(/'<ж7), а С - теплицева матрица, элементы которой определяются первым сомножителем корреляционной функции (3) с действительными элементами g2s exp[-(tfT)2/T2ks] + G2n exp[-(^^2/T2kn].
Исходя из выражений (4,5) и вышеизложенного, выражение для логарифма функции правдоподобия примет вид
In p(z / со) = -zT*B(C)_1 В z - In | D | - у In 2п . (6)
В соответствии с методологией максимального правдоподобия МПО доп-леровской частоты можно получить, как аргумент максимума логарифма функции правдоподобия (6). Альтернативным способом нахождения МПО является получение и решение уравнения правдоподобия, которое выводится путем дифференцирования и приравнивания к нулю выражения (6). Чтобы исследовать качество получаемых оценок доплеровской частоты и оценить выигрыш от предварительной фильтрации сигнала, было проведено компьютерное моделирование вышеприведенного алгоритма. Суть эксперимента состояла в том, чтобы при заданных (представляющих интерес для практиков) параметрах сигнала и шума определить среднеквадратичные ошибки (СКО) в оценке доплеровской частоты (скорости) и найти смещения этих оценок. Вторым аспектом задачи являлось сравнение полученных СКО и смещений частоты с этими же величинами для случая, когда МПО частоты определяются в присутствии нефильтрованного белого шума, и таким образом показать выигрыш, получаемый за счет узкополосной предварительной фильтрации.
2. Технология модельного эксперимента.
Вначале, в соответствии с методикой [10] строилась модель доплеровского сигнала в виде УСНП с заданной формой корреляционной функции и заданным отношением сигнал/шум. Для проводимого эксперимента было выбрано типичное значение времени корреляции сигнала, равное 5-ти доплеровским периодам и 2-м периодам для профильтрованного шума. Значение доплеровской частоты
для удобства вычислений было задано, равным 1 Гц, а период дискретизации сигнала равным Т=0,1То, где Т0 - период доплеровской частоты. Общая длина реализации сигнала составляла 1000 Т0.
На рис. 1 в качестве примера представлен амплитудный спектр смоделированного сигнала в присутствии белого шума с дисперсией, равной дисперсии сигнала, и частотная характеристика примененного фильтра.
2.5
1.5
0.5
(тРШ
0
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
Рис. 1. Амплитудный спектр зашумленного сигнала и частотная характеристика фильтра
2
1
На рис. 2 представлены графики смоделированного случайного процесса, сумма процесса и аддитивного белого шума, фильтрованного процесса, фильтрованного процесса с шумом, белого шума, его профильтрованная реализация и их среднеквадратичные отклонения (СКО).
Технология эксперимента состояла в следующем. Для получения значений СКО МПО центральной частоты процесса его отсчеты, взятые из модели, подставлялись в матричное выражение логарифма функции правдоподобия (6). Затем строилась эта функция как функция частоты и с помощью стандартной программы «Мах» системы «Матлаб» осуществлялся поиск положения ее максимума. Полученное значение принималось в качестве МПО доплеровской частоты. Затем, по этим данным вычислялось значение СКО полученных оценок. Для достаточной достоверности этой характеристики использовались 10000 точек реализации.
Исходный сигнал без шума (ско = 7) и его первые 500 точек
40 р-
20 0 -20 -40 :
2000 4000 6000 8000 10000
40 20 0 -20 -40
0
100
200
300
Сигнал со 100% шумом(ско = 10) и его первые 500 точек
40
20
-20 -40
0..........
0
2000 4000 6000 8000 10000
40 20 0 -20 -40
0
100
200
300
Фильтрованный сигнал без шума, (ско= 6.93) и его первые 500 точек
40
20 0 -20 -40
II
||1||||| 11111 |||1|||,|||||1| III МП
4111 рр|(|||||р "I |г"|( 1| ||||Р|||
0
2000 4000 6000 8000 10000
40 20 0 -20 -40
0
100
200
300
Фильтрованный сигнал с шумом (ско =7.15) и его первые 500 точек 40 р-
20 0 -20 -40
0
2000 4000 6000 8000 10000
40 20 0 -20 -40
0
100
200
300
400
500
400
500
400
500
400
500
Белый гауссов шум (ско=7.12) и его первые 500 точек после фильтрации (ско = 1.83) 40
20 0 -20 -40
' I 1 11,1
|| 11 |||||||||||1||||( мм
10 5 0 -5 -10
0 2000 4000 6000 8000 10000 0 100 200 300
Рис. 2. Графики моделей сигнала и шума
400
500
0
3. Результаты модельного эксперимента
Результаты моделирования процесса получения МПО центральной частоты представлены в табл. при отношениях сигнал/шум (С/Ш) 0, 10, 20, 30 и 40 дБ в виде осредненных значений центральной частоты (Е) и ее СКО как функции числа отсчетов сигнала в присутствии не фильтрованного и фильтрованного шумов. Данные получены при использовании 2-х, 3-х и 5-ти отсчетов исследуемого процесса.
Таблица
Значения МПО-оценок центральной частоты и ее СКО при разных отношениях сигнал/шум и разном числе отсчетов сигнала
Число отсчетов Отношение сигнал/шум, дБ
0 [0 20 30 4 Ю
Е СКО Е СКО Е СКО Е СКО Е СКО
2 1.25 1.77 1.04 0.921 0.99 0.24 0.99 9.144 0.99 0.115
0.99 0.091 0.99 0.092 0.99 0.895 0.99 0.087 0.99 0.085
3 1.02 1.44 1.14 0.899 1.00 0.15 0.99 0.104 0.99 0.071
1.00 0.064 0.99 0.037 0.99 0.033 0.99 0.032 0.99 0.031
5 1.64 1.23 1.12 0.607 1.00 0.118 0.99 0.070 0.99 0.054
1.00 0.021 1.00 0.017 1.00 0.013 0.99 0.012 1.00 0.009
Анализ результатов привел к следующим выводам:
При малых отношениях с/ш, например, 0 дБ применение алгоритмов максимального правдоподобия к нефильтрованному сигналу не позволяет получать приемлемые оценки частоты, так как СКО при использовании 2-х отсчетов составляют 177%, а при 5-ти отсчетах - 123%. При отношении с/ш = 10 дБ эти же цифры составляют соответственно 90% и 60%.
Узкополосная фильтрация резко снижает ошибки оценок частоты. При отношении с/ш = 0 дБ и использовании 2-х отсчетов сигнала выигрыш в точности при фильтрации составляет 20 раз, а при 5-ти отсчетах - 60. При отношении с/ш 10 дБ эти же цифры составляют 10, и 35, для с/ш = 20 дБ 2.7 и 8, для с/ш = 30 дБ 1.6 и 6, для с/ш = 40 дБ 1.3 и 5.5.
Интересно оценить выигрыш, который обеспечивает увеличение числа отсчетов. При отношении с/ш 0 дБ выигрыш в точности при использовании 5-ти отсчетов вместо 2-х составляет 4.25, при с/ш = 10 дБ - 5.4, при с/ш = 20 дБ -6.4, при с/ш = 30 дБ - 7, при с/ш 40 дБ - 9. С уменьшением шума выигрыш возрастает.
Что касается осредненных значений оценок частоты, как меры их смещения, то для нефильтрованного сигнала при отношении с/ш =0 дБ смещение очень велико и составляет 25% для 2-х отсчетов и 64% для 5-ти. С уменьшением шума смещение резко падает, и, если для 10 дБ оно составляет, соответст-
венно, 4% и 12%, то при дальнейшем снижении шума смещение практически отсутствует.
Заключение
Путем компьютерного моделирования показано, что фильтрация допле-ровского сигнала в полосе, равной трем ширинам его спектра существенно (в разы) снижает погрешности измерений.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лазерные доплеровские измерители скорости: монография. Под ред. Ю. Е. Нестери-хина. Новосибирск: Наука, 1975. - 164 с.
2. Коронкевич В. П., Соболев В. С., Дубнищев Ю. Н. Лазерная интерферометрия. Новосибирск: Наука, 1983. - 214 с.
3. Дюррани Т., Гриэйтид К. Лазерные системы в гидродинамических измерениях. М.: Энергия, 1980. - 336 с.
4. Дубнищев Ю. Н., Ринкевичус Б. С. Методы лазерной доплеровской анемометрии. М.: Наука, 1982, 304 с.
5. Frehlich R., Sharman R. Maximum likelihood Estimates of Vortex Parameters from Simulated Coherent Lidar Data // Journal of Atmospheric and Oceanic Technology. - 2005.V. 21, Febr., P. 117-130.
6. Sobolev V. S., Feshenko A. A. Accurate Cramer-Rao Bounds for a Laser Doppler anemometer // IEEE transactions on instrumentation and measurement. - 2006.- V. 55. - №2. - P. 659665.
7. Соболев В. С. Оптимальные оценки параметров оптических сигналов: монография. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2011. - 134 с.
8. Банах В. А., Смалихо И. Н., Когерентные доплеровские ветровые лидары в турбулентной атмосфере: монография. Томск: Изд-во ИОА СО РАН, 2013. - 303 с.
9. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники: монография. В 3 т. Т. 2. М.: Сов. Радио, 1968. -
10. Sirmans D., Bumgarner B. Numerical Comparison of Five Mean Frequency Estimators // J. Appl. Meteor. - 1975. - V.14. - P. 991-1003.
© В. С. Соболев, Ф. А. Журавель, Г. А. Кащеева, 2015
