CC BY
12
АСТРОНОМИЯ
Челябинский физико-математический журнал. 2021. Т. 6, вып. 1. С. 52-77.
УДК 524.52+523.52+523.84 Б01: 10.47475/2500-0101-2021-16105
МАГНИТОСТАТИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ АККРЕЦИОННЫХ ДИСКОВ ЗВЁЗД ТИПА Т ТЕЛЬЦА
С. А. Хайбрахманов1'2'", А. Е. Дудоров
1,2
1 Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина, Екатеринбург, Россия
2 Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия " khaibrakhmanov@csu.ru
Решается задача о магнитостатическом равновесии аккреционного диска с крупномасштабным магнитным полем. Уравнение равновесия записывается с учётом гравитации, градиентов газового и магнитного давлений. Уравнение переноса тепла учитывает нагрев за счёт диссипации турбулентности и охлаждение посредством лучистой теплопроводности. Обыкновенные дифференциальные уравнения модели решаются методом Рунге — Кутта 4-го порядка точности. Радиальная структура диска рассчитывается с помощью модели аккреционных дисков Дудорова и Хайбрахманова.
Аналитическое решение уравнения индукции для компоненты В^ показывает, что профиль В^(г), вообще говоря, является немонотонным, когда магнитное поле полагается симметричным относительно экваториальной плоскости и на поверхности диска задано граничное условие Дирихле. Если на поверхности задано граничное условие Неймана, то В^ монотонно увеличивается с высотой.
Численные расчёты показывают, что в первом случае вертикальный градиент магнитного давления приводит к утолщению диска, если магнитное число Рейнольд-са Дт ^ 1 — профили плотности и температуры становятся более пологими, а фотосфера располагается выше, чем в случае без магнитного поля. Во втором случае магнитное поле приводит к «поджатию» диска. Отклонение толщины диска от гидростатической составляет 10-15 %. Динамически сильное магнитное поле генерируется вне «мёртвой» зоны (области низкой степени ионизации), которая при типичных параметрах для звезды типа Т Тельца солнечной массы простирается от г = 0.3 а. е. до (10-20) а. е. Обсуждаются возможные наблюдаемые проявления обнаруженных особенностей вертикальной структуры аккреционных дисков с магнитным полем.
Ключевые слова: аккреция, аккреционный диск, магнитное поле, магнитная газодинамика (МГД), протопланетный диск, межзвёздная среда.
Введение
Звёзды образуются в результате гравитационного коллапса вращающихся ядер межзвёздных молекулярных облаков с магнитным полем (см., например, обзоры [1; 2]). Сохранение углового момента коллапсирующего ядра и действие электромагнитной силы обусловливают образование диска вокруг молодой звезды в процессе её формирования. Эволюция молодой звезды тесно связана с аккрецией вещества из диска. Аккреционные диски молодых звёзд типа Т Тельца имеют характерные
Работа С.А.Х. выполнена при поддержке Фонда перспективных научных исследований ЧелГУ (проект 2020/5), работа А.Е.Д. - при поддержке гранта РФФИ (проект 18-02-01067).
размеры порядка 100-1000 астрономических единиц (а. е.), массы 0.01-0.1 М® (см., например, [3]). Средний темп аккреции для этих систем составляет 10-8 М®/год, откуда следует, что характерное время их эволюции составляет несколько миллионов лет. Считается, что в процессе эволюции в аккреционных дисках молодых звёзд возникают условия, благоприятные для образования планет, т. е. аккреционные диски становятся протопланетными. В последние годы это предположение получает прямые наблюдательные подтверждения [4; 5]. Для интерпретации имеющихся и будущих наблюдений аккреционных и протопланетных дисков необходимо разрабатывать модели их эволюции.
Анализ наблюдательных данных областей звёздообразования и численные расчёты коллапса ядер молекулярных облаков (протозвёздных облаков) показывают, что магнитный поток протозвёздных облаков частично сохраняется в процессе звёз-дообразования [6; 7]. Это означает, что звёзды с аккреционными дисками рождаются с остаточным крупномасштабным магнитным полем. Современные наблюдательные данные подтверждают предсказания теории остаточного магнитного поля.
Измерения зеемановского уширения линий излучения звёзд типа Т Тельца показывают, что эти молодые звёзды обладают интенсивным магнитным полем с индукцией порядка 1-3 кГс на поверхности звезды (см. [8]).
Первые поляриметрические исследования излучения окрестностей звёзд типа Т Тельца показали, что в дисках этих звёзд должно присутствовать полоидальное магнитное поле [9]. Наличие магнитного поля косвенно подтверждается обнаружением истечений и джетов из молодых звёздных объектов (см. обзор Франка и
др. [10]).
Работы по поляризационному картированию аккреционных дисков звёзд типа Т Тельца и Ае/Ве Хербига с пространственным разрешением порядка 50 а. е. показали, что в протопланетных дисках молодых звёзд магнитное поле может иметь сложную геометрию [11]. Измерения интенсивности магнитного поля в аккреционных дисках молодых звёзд до сих пор затруднительны. Донати и др. [12] заявили о регистрации зеемановского расщепления линий в диске звезды ЕЙ Оп и отметили, что в диске может присутствовать магнитное поле интенсивностью В ~ 1 кГс. В недавней работе Флемингса и др. [13] сообщается, что удалось зарегистрировать зееменовское расщепление уровней молекулы СК в аккреционном диске звезды ТШ Гидры. Точность измерений не позволяет уверенно говорить о регистрации магнитного поля, но авторы дают верхнюю оценку интенсивности магнитного поля порядка 0.8 мГс на расстоянии 42 а. е. от звезды.
Интенсивность и геометрия остаточного крупномасштабного магнитного поля аккреционных дисков зависят от скорости аккреции, степени ионизации, параметров турбулентности [14]. Аккреционные диски молодых звёзд имеют «слоистую» ионизационную структуру, такую, что область вблизи экваториальной плоскости диска (так называемая «мёртвая» зона [15]) ионизована слабо, а поверхностные слои ионизованы хорошо. Внутри «мёртвой» зоны омическая диффузия и магнитная амбиполярная диффузия ограничивают генерацию магнитного поля, и оно сохраняет квазиполоидальную геометрию. Вблизи звезды температура диска достаточна для тепловой ионизации металлов и магнитное поле вморожено в газ. Поэтому в этой области происходит генерация динамически сильного тороидального поля. Данные выводы теории находятся в согласии с имеющимися наблюдениями, описанными выше.
Важной проблемой как с точки зрения исследования механизмов аккреции, так и с точки зрения анализа наблюдаемых проявлений аккреционных дисков с магнит-
ным полем является изучение их вертикальной структуры. К настоящему времени разработан ряд моделей вертикальной гидростатической структуры аккреционных дисков в газодинамическом приближении. В этих работах основное внимание уделялось решению уравнения переноса излучения [16], кинетике газофазных реакций и реакций на пылевых частицах [17], процессам динамики пылевых гранул [18], но не учитывалось влияние магнитного поля на структуру диска.
В работах по исследованию вертикальной структуры аккреционных дисов с магнитным полем основное внимание уделялось проблеме эффективности адвекции магнитного поля в процессе аккреции и роли турбулентной диффузии магнитного поля [19; 20]. Рассматривалась структура аккреционного диска с магнитным полем, генерируемым динамо-механизмом [21]. Дудоров и Хайбрахманов разработали кинематическую МГД-модель аккреционных дисков с остаточным магнитным полем и рассчитали интенсивность и геометрию магнитного поля дисков с учётом влияния омической диффузии, магнитной амбиполярной диффузии, эффекта Холла и плавучести [14; 22-24]. Во всех указанных моделях предполагалось постоянство температуры газа по высоте. Лицано и др. [25] рассчитали вертикальную структуру аккреционных дисков молодых звёзд с предписанным вмороженным полоидальным магнитным полем. Они рассмотрели влияние вязкого и омического нагрева, а также нагрева излучением звезды на температуру диска.
Целью наших исследований является разработка самосогласованной двумерной МГД-модели аккреционных дисков на основе кинематической МГД-модели аккреционных дисков Дудорова и Хайбрахманова. Ранее базовая модель была модифицирована для учёта влияния диссипативных МГД-эффектов на радиальную тепловую структуру диска [26]. Настоящая статья посвящена исследованию вертикальной структуры аккреционных дисков с учётом тепловых эффектов и динамического влияния магнитного поля. Отличительной особенностью нашей работы является то, что в ней учитывается градиент азимутальной компоненты магнитного поля, а интенсивность и геометрия остаточного магнитного поля диска и коэффициенты диффузии рассчитываются самосогласованно со структурой диска в рамках модели Дудорова и Хайбрахманова.
Статья имеет следующую структуру. В разделе 1.1 описывается постановка задачи, основные уравнения и приближения. Уравнения магнитостатического равновесия записываются в разделе 1.2. Раздел 1.3 посвящён краткому описанию модели Дудорова и Хайбрахманова, которая используется для расчёта коэффициентов в уравнениях магнитостатики. Параметры задачи и метод решения уравнения приводятся в разделе 2.1. В разделе 2.2 получены аналитические решения уравнения для азимутальной компоненты магнитного поля. Радиальная структура диска, рассчитываемая с помощью модели Дудорова и Хайбрахманова, анализируется в разделе 2.3. Результаты расчётов вертикальной структуры диска для различных конфигураций граничных условий и значений магнитного числа Рейнольдса описываются в разделе 2.4. В разделе 2.5 исследуется влияние магнитного поля на толщину диска и, в частности, определяется зависимость координаты фотосферы диска от радиуса. В разделе 3 резюмируются и обсуждаются основные результаты работы, а также приводятся планы дальнейшего развития разрабатываемой модели вертикальной структуры аккреционных дисков.
1. Модель
1.1. Постановка задачи
Рассмотрим стационарный оптически толстый геометрически тонкий аккреционный диск звезды массой М. Аккреционный диск находится в центробежном равновесии, а его гравитация пренебрежимо мала по сравнению с гравитацией звезды. Будем использовать цилиндрическую систему координат. Компоненты скорости газа запишем как V = (гг, г^, гх), компоненты вектора индукции остаточного крупномасштабного магнитного поля диска — В = (Вг, Б^, Бх). Примем, что основным механизмом переноса углового момента в дифференциально вращающемся диске является турбулентность, а основным механизмом нагрева газа — турбулентное трение.
В качестве основной системы уравнений используем уравнения магнитной газодинамики (МГД) с учётом гравитации, турбулентной вязкости, лучистой проводимости и диффузии магнитного поля (см., например, [27; 28]):
дР + = о, (1)
дV 111
— + (V -V) V = —Ур + g + -атг' + -— [го1В, В], (2)
сп р р 4пр
РТ(% + ^ -V) Л = агк+ ^УТ, (3)
дЬ / дх
'к
д В
го1 [V, В] + пУ2В, (4)
где g — гравитационное ускорение, а' (а[к в индексных обозначениях) — тензор турбулентных напряжений, в — удельная энтропия, Т — плотность потока излучения, п — полный коэффициент диффузии магнитного поля, в котором учитывается вклад омической и магнитной амбиполярной диффузий. Для остальных величин использованы стандартные физические обозначения.
Заметим, что электромагнитную силу в уравнении движения газа (2) (четвёртое слагаемое справа) можно переписать в виде (см., например, [28])
(В -V) В / В21
Гет = 4п 8п
где первое слагаемое описывает натяжение магнитных силовых линий, а второе слагаемое — градиент магнитного давления рт = В2/8п.
В уравнении переноса тепла (3) учтены выделение тепловой энергии за счёт диссипации турбулентности (первое слагаемое справа, по координатным индексам % и к предполагается суммирование) и перенос тепла излучением (второе слагаемое справа). В оптически толстой среде справедливо приближение локального термодинамического равновесия, и поток излучения можно записать в диффузионном приближении (см., например, [29])
с
Т = -— УЕ, (5)
3Х
где хя = кяр, кя — усреднённый по Росселанду коэффициент поглощения, Е = аТ4 — плотность энергии излучения, а — постоянная Стефана.
Систему уравнений (1)-(4) необходимо дополнить формулой для вычисления силы гравитации, уравнениями состояния в = в(р, р), р = р(р, Т), а также уравнением для тензора турбулентных напряжений.
Пренебрежём самогравитацией диска и запишем гравитационное ускорение, обусловленное притяжением звезды:
g(r, z) = -
GM
(r2 + z2 )3/2
где r = (r, 0, z) — радиус-вектор некоторой точки в диске, r — радиальное рассто-
яние, z
высота.
Для идеального газа с молекулярным весом ^ уравнение состояния имеет вид
Р =
ß
где — универсальная газовая постоянная.
В аккреционных дисках основной компонентой тензора турбулентных напряжений является а'г , которая вычисляется по аналогии с соответствующей компонентой тензора вязких напряжений как [30; 31]
дП
где п — коэффициент динамической турбулентной вязкости, П = г — угловая скорость газа. Азимутальная скорость газа может быть определена из г-компоненты уравнения движения (2), которая в равновесии выражает баланс между центробежной силой и г-компонентой силы гравитации звезды,
откуда
Q2r
Vy = Vk
GM
(r2 + z 2)3/2
r,
(6)
1+ -
-3/4
GM
где ук = Пкг — кеплеровская скорость,
Пк =
есть кеплеровская угловая скорость. При выводе уравнения (6) мы пренебрегли вкладом электромагнитной силы в центробежное равновесие. Влиянию магнитного поля на вращение газа будет посвящена одна из наших следующих работ. Заметим, что в геометрически тонком диске £ ^ г и
Vk
1 - 3 (z-
2 Vr
Vk,
dvy
dz
3 z 2 r2
1 - 3 (i
4 Vr
2 r2
(7)
с точностью до членов второго порядка малости по z/r.
В стандартной модели аккреционных дисков Шакуры и Сюняева [32] для замыкания уравнений полагается, что
ar v = -ар (8)
где безразмерный параметр a е [0, 1] характеризует эффективность турбулентности. Скорость нагрева газа за счёт диссипации турбулентности (первое слагаемое справа в (3)), вычисляется, соответственно, как
г = ' д^ г turb — dr •
2
r
2
V
У
2
3
z
1.2. Уравнения магнитостатики
Исследуем вертикальную структуру диска в магнитостатическом равновесии, д/дЬ = 0. Будем решать задачу на заданном расстоянии г, считая его параметром задачи. Магнитостатическое равновесие устанавливается за характерное время распространения МГД-волн в направлении г,
Н
Ьа
где у а = В/4пр — альвеновская скорость. Отношение скорости звука к альвенов-ской можно записать как Ст/уа = л/в/2, где в — плазменный параметр. С учётом определения шкалы высоты Н = Ст/^к получим,что время установления магнито-статического равновесия
ьа=п-м 1+2
-1/2
Таким образом, время Ьл сравнимо с кеплеровским периодом обращения диска Рк = 2п/Пк = 1 год (г/1 а. е.)3/2. Например, при в = 1 получим Ьл ~ 0.1 Рк. Время жизни аккреционного диска составляет несколько миллионов лет, что намного превышает кеплеровский период, поэтому приближение магнитостатического равновесия является справедливым.
Запишем г-компоненту уравнения движения (2)
1 д { В2 \ Вг дВ* В* дВ* _
рдг \ 8п ) 9* 4пр дг 4пр дг
или
-1 ±(р + В2 + Ч) + А ?В1 = 0 (9)
рдг\Р + 8п ) +9* + 4пр дг 0. (9)
Радиальная компонента магнитного поля генерируется медленнее, чем азимутальная [22; 33], поэтому примем для простоты, что в диске Вг < В*. В геометрически тонком диске третьим слагаемым в (9) можно пренебречь по сравнению с первым. Тогда уравнение магнитостатического равновесия примет вид
= Р9* + ^ ( ^ ). (10)
др мд (В*\
дг =р9* + дД 8*)
Таким образом, основной вклад электромагнитной силы в уравнение магнитостати-ческого равновесия (10) определяется ^-компонентой вектора магнитной индукции. Соответствующая компонента уравнения индукции (4) в стационарном случае —
д2 В д д
п~дг* = дГ(уВ* - У*Вг) + дг (у*В*).
В геометрически тонком диске можно пренебречь первым слагаемым справа, а во втором слагаемом можно приближённо положить дВ*/дг = 0, что следует из уравнения В = 0. Заметим, что, вообще говоря, зависимость В*(г) следует учитывать при рассмотрении областей интенсивной генерации магнитного поля. Производную ду*/дг оценим согласно (7). Получим окончательно уравнение для (р-компоненты вектора индукции магнитного поля
д2В* _ 3 УкВ* г
дг2 2 п г
2
Уравнение переноса тепла (3) в стационарном случае и в предположении, что излучение распространяется в ^-направлении, запишется с учётом (5) как
К
дТ
дг дТг дг
где Тг — поток излучения вдоль оси г,
Кг -
Т
Т г>
Г^игЪ)
12)
13)
16аТ 3 Эккр
постоянная
есть коэффициент лучистой теплопроводности (см. [29]), а — ас/4 Стефана — Больцмана.
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка (10), (12) и (13) и уравнение второго порядка (11) образуют замкнутую систему уравнений относительно неизвестных р, В^, Т и Тг при заданных коэффициентах Кя(р, Т), Ук(г), п(г) и Вг(г) на некотором радиусе г. Для их решения необходимо задать пять граничных условий. Будем решать уравнения в области г Е [0, ], где г, — координата фотосферы диска, которая характеризуется оптической толщиной
т
— 2/3.
Граничные условия для давления, температуры и плотности потока излучения:
Т (*)
Тг (0) Тг (г,)
Teff, 0,
,
;14)
15)
16) '17)
где Teff — эффективная температура диска, а аТ^ — поток излучения с поверхности диска. Давление на границе фотосферы р, можно оценить из приближённого решения уравнения гидростатического равновесия вблизи фотосферы (см. [32])
2
Пк
3 Кя(р,, Teff)'
18)
При получении этой оценки принято, что р(т — 0) ^ р,.
Для ^-компоненты магнитного поля рассмотрим различные конфигурации граничных условий.
• Конфигурация I. Условия Дирихле в экваториальной плоскости и на поверхности:
В„(0) — 0,
В^(гз) = Вех!,
(19)
(20)
где Вех! — азимутальная компонента магнитного поля над диском. Выбор Вех! зависит от модели среды над диском. Например, в случае, если над диском формируется истечение, вызванное действием градиента тороидального магнитного поля [34], то Вех! ~ Вг и плазменный параметр в ~ 1. В случае магнито-центробежного истечения Блэндфорда и Пэйна [35] на поверхности диска магнитное поле является квазирадиальным и В„ < Вг ~ Вг.
оо
Конфигурация II. Условие Дирихле в экваториальной плоскости и условие Неймана на поверхности:
В„(0) — 0, (21)
^ — 0 (22>
1.3. Модель Дудорова и Хайбрахманова
Для решения уравнений магнитостатики необходимо определить величины Кя(р, Т), ук, п и Вг как функции радиального расстояния г. Вообще говоря, п и Вг зависят и от координаты г, но в данной работе для простоты этими зависимостями пренебрегается. Для определения радиальных профилей указанных величин используем модель Дудорова и Хайбрахманова, разработанную для расчёта радиальной структуры аккреционных дисков молодых звёзд с остаточным крупномасштабным магнитным полем. Детали модели и описание основных уравнений могут быть найдены в статьях [14; 22-24].
В модели рассматриваются стационарные геометрически тонкие и оптически толстые диски с крупномасштабным магнитным полем. Радиальная структура диска описывается уравнениями Шакуры и Сюняева [30; 31], в которой полагается, что перенос углового момента в диске осуществляется посредством турбулентности. Тензор турбулентных напряжений записывается как (8), что эквивалентно введению в уравнения Навье — Стокса коэффициента кинематической турбулентной вязкости в виде ^игъ — астН, где ст — изотермическая скорость звука, Н — шкала высоты диска. Температура газа в модели определяется из баланса между нагревом за счёт диссипации турбулентности, нагревом излучением звезды, космическими лучами и лучистым охлаждением. В отличие от модели Шакуры и Сюняева, разработанной для аккреционных дисков чёрных дыр, используется низкотемпературный коэффициент поглощения из работы Семенова и др. [36]. Уравнения радиальной структуры диска в модели Шакуры и Сюняева получаются из стационарных уравнений газодинамики процедурой интегрирования вдоль координаты г в области от 0 до Н .В этом случае основными переменными, характеризующими диск, являются поверхностная плотность газа Е — /0 р^г, средняя по высоте радиальная скорость уг(г), эффективная температура Т^ и температура в экваториальной плоскости Тс, а также шкала высоты Н.
Степень ионизации в модели Дудорова и Хайбрахманова рассчитывается с учётом ударной и тепловой ионизации, следуя работе Дудорова и Сазонова [37]. Степень ударной ионизации определяется из стационарного уравнения Спитцера с учётом ионизации космическими лучами, рентгеновским излучением и радиоактивными элементами, рекомбинаций на пылевых гранулах и лучистых рекомбинаций. Учитывается испарение пылевых гранул. Тепловая ионизация металлов и водорода рассчитывается из уравнения Саха.
Компоненты вектора индукции магнитного поля в диске рассчитываются из уравнения индукции с учётом омической диффузии, магнитной амбиполярной диффузии, плавучести и эффекта Холла.
Внутренний радиус диска определяется как радиус магнитосферы звезды, внешний радиус — как контактная граница с межзвёздной средой.
2. Результаты расчётов
2.1. Параметры модели и метод решения
Для решения уравнений магнитостатического равновесия диска (10)-(13) на заданном г необходимо задать коэффициент кя(р, Т) и функции Ук(г), п(г) и В*(г), а также определить параметры р8 и г8.
Зависимость коэффициента поглощения от плотности и температуры газа задаётся с помощью аналитической аппроксимации, следуя Дудорову и Хайбрахма-нову [23]. Эффективная температура диска Те^(г) и интенсивность вертикальной компоненты магнитного поля В* (г) задаются из расчёта радиальной структуры аккреционного диска с помощью модели Дудорова и Хайбрахманова.
Для исследования эффективности диффузии магнитного поля рассмотрим два случая.
В первом случае будем определять коэффициент диффузии ц на некотором заданном расстоянии г через параметр — магнитное число Рейнольдса:
Ят = -к—, (23)
V
где
л/ЩЩ
Н
а
есть шкала высоты диска. Температура диска и шкала высоты в решении задачи о магнитостатическом равновесии заранее неизвестны, поэтому будем оценивать — по температуре в экваториальной плоскости Т(г), рассчитанной в рамках модели Дудорова и Хайбрахманова. Определение магнитного числа Рейнольдса (23) введено с учётом того, что азимутальная компонента магнитного поля генерируется за счёт течения газа с характерной скоростью ук, а диффузия происходит в вертикальном направлении на характерном пространственном масштабе Н. Фиксируя в расчётах Ят и определяя через него п при заданных из модели радиальной структуры Н и -к, исследуем вертикальную структуру диска в случаях вмороженного магнитного поля (Ят ^ 1) и эффективной диффузии магнитного поля (Ят ~ 1).
Во втором случае для решения уравнений магнитостатики используем профиль п(г), рассчитанный в рамках модели радиальной структуры диска. Это позволит самосогласованно исследовать вертикальную структуру диска на различных радиальных расстояниях и, в частности, проследить отличия решений уравнений магнитостатики вне и внутри «мёртвых» зон, представляющих собой области низкой степени ионизации и эффективной диффузии магнитного поля.
Расчёты вертикальной структуры диска проведены для следующих радиальных расстояний: г = 0.2, 0.4, 1, 10, 30 и 50 а. е.
Основными параметрами, определяющими структуру диска в модели, являются турбулентный параметр а и темп аккреции газа на звезду М. В данной работе расчёты проводились для звезды типа Т Тельца солнечной массы при следующих параметрах: а = 0.01, М = 10-8 М0/год, радиус звезды Я* = 2 Я0, светимость звезды Ь* = 1 Ьо, индукция магнитного поля на поверхности звезды В* = 2 кГс. Степень ионизации и коэффициенты диффузии магнитного поля рассчитаны для следующих стандартных параметров: радиус пылевой гранулы а& = 0.1 мкм, скорость ионизации неэкранированных космических лучей = 3 • 10-17 с-1, пробег космических лучей ^ся = 100 г/см2, скорость ионизации за счёт распада радиоактивных элементов = 7.6 • 10-19 с-1, рентгеновская светимость звезды Ьхя = 1030 эрг/с,
энергия рентгеновских фотонов &Тхя = 0.5 кэВ. В расчётах учитывается вклад омической диффузии (ОД) и магнитной амбиполярной диффузии (АД).
Уравнение (11) не содержит переменных из других уравнений и поэтому может быть решено аналитически независимо от других. Уравнения (10), (12) и (13) с граничными условиями (14)-(17) при произвольных коэффициентах не могут быть решены аналитически. Для их численного решения используется метод Рунге — Кутта 4-го порядка точности с автоматическим выбором шага. Координата фотосферы является параметром задачи и находится методом стрельбы по следующему алгоритму. Выбирается начальное приближение для координаты фотосферы Давление на фотосфере определяется из нелинейного алгебраического уравнения (18) методом дихотомии. Затем уравнения (10), (12) и (13) с граничными условиями (14), (15) и (17) численно решаются от до г = 0, и проверяется, выполняется ли с заданной точностью условие (16). Если нет, то выбирается новое приближение для Процедура повторяется до тех пор, пока граничное условие для в экваториальной плоскости не будет удовлетворено. Все расчёты выполняются для относительной погрешности решений 10-4.
2.2. Аналитическое решение уравнения индукции
Проанализируем аналитические решения азимутальной компоненты уравнения индукции (11) для выбранных конфигураций граничных условий.
Конфигурация I. В случае, когда в экваториальной плоскости диска и на фотосфере диска заданы граничные условия типа Дирихле (19) и (20), решение уравнения (11) имеет вид
B>(r, z)
B z +1 vk z B
Bext--г T-Bz
Zs 4 n
(24)
Решение (24) показывает, что профиль ДДг) является, вообще говоря, немонотонным. При определённом сочетании параметров ВеХ; и Вт имеют место рост В^ с высотой г вблизи экваториальной плоскости и уменьшение вблизи фотосферы, т. е. В^ принимает максимальное значение внутри диска.
Конфигурация II. Уравнение (11) с граничными условиями (21) и (22) имеет следующее решение:
Bz vnz (f )2 к t)
(25)
Решение (25) показывает, что В^ монотонно увеличивается с высотой от 0 в экваториальной плоскости диска до
1 л vkZs (z
B^(zs) — —ö Bz
2 n
(26)
в фотосфере. Если положить, что zs ~ H, то решение (26) показывает, что вблизи фотосферы диска |B^| ~ Bz в случае, если Rm ~ (H/r)-2. Характерное значение геометрической толщины диска H/r ~ (0.01-0.1) (см. [22]), т.е. азимутальная компонента магнитного поля вблизи фотосферы генерируется до интенсивности, сравнимой с интенсивностью начального поля Bz, если Rm ~ 102-103.
2
2
Z
Z
s
r
r
2
2
r
2.3. Радиальная структура аккреционного диска
Проанализируем кратко радиальную структуру диска. При выбранных параметрах модели внутренний радиус диска равен 0.05 а. е., внешний радиус — 150 а. е. Масса диска составляет 0.047М0.
На рис. 1 показаны радиальные профили поверхностной плотности диска, эффективной температуры и температуры в экваториальной плоскости, степени ионизации в экваториальной плоскости и компонент магнитного поля.
г, а.е.
г, а.е.
Рис. 1. Радиальные профили поверхностной плотности (а), температуры в экваториальной плоскости Т и эффективные температуры Тед (б), степени ионизации (в) и компоненты вектора индукции магнитного поля (г) в аккреционном диске. Кружками отмечены точки, для которых выполнены расчёты вертикальной структуры. Отрезки с числами указывают характерные наклоны из аналитического решения уравнений модели [14; 22]
Рис. 1 а показывает, что поверхностная плотность в диске монотонно уменьшается от £ ~ 2000 г/см2 на внутренней границе диска до £ ~ 2 г/см2 на внешней границе. Изменение наклона профиля £(г) при удалении от звезды связано с изменением коэффициента поглощения при уменьшении температуры и плотности. В соответствии с аналитическим решением Дудорова и Хайбрахманова [14; 22] характерный наклон зависимости £(г) в области г Е [1, 30] а. е. составляет -3/8, что укладывается в наблюдательный диапазон значений ~ (0-1) [3].
Рис. 1 б демонстрирует, что температура диска уменьшается с удалением от звезды от ^ 2000 К на внутреннем радиусе диска до ~ 10 К на внешнем радиусе. Это обусловлено уменьшением скоростей нагрева за счёт диссипации турбулентности и за счёт поглощения излучения звезды. В области г < 30 а. е. диск является оптически толстым и температура в экваториальной плоскости значительно превышает эффективную температуру, Т ^ Т^. Характерный наклон профиля температуры Т(г) а г-1 в области г Е [1, 30] а. е. также согласуется с наблюдательными данными. Во внешней части диска, г > 30 а. е., диск является оптически тонким, и Т — ТЛ, температура определяется поглощением излучения звезды и космических лучей.
Рис. 1 в показывает, что профиль степени ионизации в диске является немонотонным. Степень ионизации достигает минимального значения ^ 10-15 на радиусе г ~ 0.3 а. е. Внутри этого радиуса, г < 0.3 а. е., степень ионизации резко возрастает по направлению к звезде. Это обусловлено тем, что в данной области температура Т > (400-500) К и происходит тепловая ионизация металлов с низкими потенциалами ионизации. В области г > 0.3 а. е. степень ионизации увеличивается с удалением от звезды и достигает 10-9 на внешней границе диска. Рост степени ионизации во внешней части диска связан с уменьшением плотности и более эффективной ионизацией космическими лучами. Небольшой пик профиля х(г) вблизи г — 1 а. е. объясняется испарением ледяных мантий пылевых гранул при температуре — 150 К и соответствующим уменьшением коэффициента рекомбинаций электронов на пылинках.
Рис. 1 г показывает, что профили компонент магнитного поля имеют сложный характер, который качественно повторяет профиль степени ионизации. В диске можно выделить три области с различной геометрией магнитного поля.
В области тепловой ионизации, г < 0.3 а. е., магнитное поле вморожено в газ и происходит эффективная генерация всех его компонент. Магнитное поле в этой области имеет квазиазимутальную геометрию, В^ — Вх > Вг, и рост тороидального поля ограничивается магнитной плавучестью (см. [38]). Интенсивность магнитного поля вблизи внутреннего радиуса диска 10-100 Гс сравнима с интенсивностью магнитного поля звезды, что может приводить к образованию токового слоя на границе магнитосферы и обусловливать вспышки и истечения в этой области [39].
В области г Е [0.3, 30] а. е, где степень ионизации меньше 10-13-10-12, эффективная омическая диффузия ограничивает усиление магнитного поля, поэтому оно является квазиоднородным, Вх ^ (Вг, В^). Эта область называется «мёртвой» зоной, так как здесь диффузия магнитного поля препятствует развитию магнито-ротационной неустойчивости и генерации МГД-турбулентности [15]. Интенсивность магнитного поля на расстоянии г = 3 а. е. составляет 0. 02 Гс, что укладывается в диапазон значений 0.01-1 Гс, которые получены на основе измерений остаточной намагниченности метеоритов [40].
Во внешней части диска, г > 30 а. е., магнитная амбиполярная диффузия ограничивает генерацию радиальной компоненты магнитного поля и магнитное поле имеет квазиазимутальную геометрию, Вх — В^. Дудоров и Хайбрахманов [14] показали, что в случае интенсивных источников ионизации и мелких пылевых гранул магнитное поле этой области может приобретать квазирадиальную геометрию Вг - В^ - Вх.
2.4. Анализ возможных решений
В данном разделе анализируются решения уравнений магнитостатики, полученные для трёх рассмотренных типов граничных условий. Анализ выполнен для расстояния г = 0.2 а. е. от звезды при нескольких фиксированных значениях магнитного числа Рейнольдса. Характеристики диска на данном расстоянии: Те^ = 280 К, -к = 66.5 км/с, Н = 6.7 • 10-3 а. е., В* = 8.3 Гс.
2.4.1. Магнитное поле в различных конфигурациях граничных условий
Рассмотрим поведение компонент магнитного поля в зависимости от выбранных граничных условий. На рис. 2 а и б показаны вертикальные профили ^-компоненты магнитного поля и соответствующие профили плазменного параметра в, рассчитанные для конфигураций граничных условий I и II. Плазменный параметр определён по интенсивности В*. Для каждой конфигурации приведены решения, полученные для трёх значений магнитного числа Рейнольдса Ят. В качестве граничного значения для В* на поверхности диска в конфигурации I выбрано Вех! = -0.1 В*.
(а) Конфигурация I, Ве^ = -0.1 Вг я
1.5 2.0 2.5 3.0 "~0.0 0.5 1.0 1.5
z/H z/H
Рис. 2. Слева: вертикальные профили азимутальной компоненты магнитного поля, полученные для различных конфигураций граничных условий и различных значений магнитного числа Рейнольдса. Справа: соответствующие профили плазменного параметра
Рис. 2 а показывает, что в конфигурации I граничных условий при Rm = 1 интенсивность B^ практически линейно увеличивается от нуля в экваториальной плоскости до Bext = -0.1 Bz на фотосфере, которая в этом случае располагается на высоте ~ 2.5 H. При больших значениях магнитного числа Рейнольдса, Rm > 1, профиль является немонотонным: при удалении от экваториальной плоско-
сти абсолютное значение В( сначала увеличивается, а затем уменьшается. В случае Rm = 200 максимальное значение B(max « 3 Гс достигается на высоте г ~ 1.6 Н, в случае ^ = 375 имеем В^ « 7 Гс на г « 1.7 Н.
Согласно правой панели рис. 2 а плазменный параметр уменьшается с высотой в расчётах с Rm =1 и 200. Величина в > 1 в этих расчётах. В случае Rm = 375 уменьшение в с высотой сменяется на небольшой рост вблизи поверхности, г ~ 2.5 Н. В этой области в ~ 1, т.е. магнитное поле является динамически сильным. Влияние динамически сильного магнитного поля на структуру диска в этом варианте исследуется в разделе 2.4.2..
Таким образом, в конфигурации I граничных условий увеличение Rm сопровождается увеличением интенсивности магнитного поля в диске. Это обусловлено уменьшением эффективности диффузии магнитного поля. При Rm > 1 максимальное значение В( внутри диска превышает заданное поверхностное значение В^, поэтому профили В( немонотонны.
Рис. 2 а также показывает, что при увеличении Rm высота фотосферы увеличивается. Этот эффект будет проанализирован в разделе 2.4.22.
Рис. 2 б показывает, что в случае конфигурации II интенсивность В( монотонно увеличивается от экваториальной плоскости до некоторого максимального значения на фотосфере. Это поведение уже обсуждалось в разделе 2.2. Профили в (г) в этом случае характеризуются монотонным уменьшением от экваториальной плоскости к фотосфере. В случае Rm = 1 диффузия магнитного поля препятствует генерации В(, так что В( — 0 и в ^ 1 всюду внутри диска. В расчётах с ^ = 200 и 375 вблизи фотосферы, г > 2 Н, генерируется динамически сильное тороидальное магнитное поле, в < 1. Интенсивность В( в этих расчётах достигает 10-15 Гс, что сопоставимо с интенсивностью вертикальной компоненты магнитного поля Вг = 8.3 Гс.
2.4.2. Структура диска
Рассмотрим структуру диска, рассчитанную с помощью различных конфигураций граничных условий для магнитного поля. На рис. 3 показаны вертикальные профили плотности (слева) и температуры (справа), полученные для конфигураций I и II. Принятые значения магнитного числа Рейнольдса и поверхностного граничного значения Bext указаны в заголовках панелей и соответствуют профилям Bv с наибольшей интенсивностью, изображенным на рис. 2. Для сравнения на рисунке также показаны профили, рассчитанные без учёта магнитного поля (линии, обозначенные как «ГД»).
Рис. 3 а показывает, что в случае без магнитного поля плотность в диске уменьшается с высотой от ^ 2 • 10-9 г/см-3 в экваториальной плоскости до ^ 1 • 10-11 г/см-3 на фотосфере, которая в данном случае располагается на высоте zs ~ 2.5 H. Температура также уменьшается с высотой от 1200 К в экваториальной плоскости до 280 К на фотосфере. Таким образом, приближение T « const, которое обычно используется для расчёта гидростатической структуры диска, является очень грубым в рассмотренной области. Небольшой излом на профилях T(z) в области z ~ 2.3 H связан с изменением коэффициента поглощения kr из-за испарения легкоплавких мантий пылевых частиц при T ~ 450 К.
Согласно рис. 3 а в области z < 2.3 H профили плотности и температуры в расчёте с учётом магнитного поля не отличаются от тех, которые получены в ГД-расчёте. В области z > 2.3 H МГД-профиль является более пологим, чем ГД-профиль. Фотосфера в расчёте с магнитным полем располагается на высоте
Рис. 3. Панели (а) и (б): вертикальные профили плотности (слева) и температуры (справа) в расчётах для конфигураций граничных условий I и II. Принятые значения магнитного числа
Рейнольдса и интенсивности магнитного поля на поверхности диска указаны в заголовках панелей. Толстыми красными линиями показаны профили с учётом влияния магнитного поля (МГД), тонкими черными линиями — без магнитного поля (ГД)
zs ~ 2.9H, т.е. примерно на 0.4H выше, чем в ГД-расчёте. Таким образом, диск с магнитным полем становится немного толще, чем диск без магнитного поля. Этот эффект объясняется действием градиента магнитного давления. Как показывает рис. 2 а, плазменный параметр в ~ 1 в этой области, т.е. магнитное давление сравнимо с газовым. Градиент pm направлен к поверхности, как и градиент газового давления, поэтому магнитное поле оказывает поддержку газовому давлению против силы гравитации, что и приводит к утолщению диска.
Рис. 3 б показывает, что в случае конфигурации II профили плотности и температуры, рассчитанные с учётом магнитного поля, являются более крутыми, а фотосфера находится ниже, чем в расчёте «ГД». Такое поведение объясняется тем, что в данном случае интенсивность магнитного поля растёт от экваториальной плоскости к поверхности (см. рис. 2 б), так что сила, обусловленная градиентом магнитного давления, сонаправлена с z-компонентой гравитации, что и приводит к поджатию диска по сравнению со случаем без магнитного поля. Данный результат ранее упоминался в работах [19; 21; 25].
2.4.3. Зависимость от магнитного числа Рейнольдса
Проанализируем вертикальную структуру аккреционного диска в конфигурации I при различных значениях магнитного числа Рейнольдса. На рис. 4 показаны вертикальные профили плотности и температуры для Кш = 1, 300 и 375, а также профили, полученные в газодинамическом (ГД) расчёте, в котором В^ = 0. Для сравнения показано аналитическое решение уравнения гидростатического равновесия в случае постоянной температуры
Р1всш = ро ехр ^-, (27)
где в качестве р0 выбирается соответствующее значение плотности в экваториальной плоскости в ГД-расчёте.
Рис. 4. Слева: вертикальные профили плотности, рассчитанные для радиуса г = 0.2 а. е. в конфигурации I при различных значениях магнитного числа Рейнольдса Ят (линия «2»: Ет = 1, линия «3»: Ет = 300 , линия «4»: Ят = 375). Линия «4» соответствует профилям, приведённым на рис. 2 и 3 а. Для сравнения показаны изотермический профиль плотности (27) и профиль в расчёте без магнитного поля (линия «1»). Справа: соответствующие профили
температуры
Сравнение линий «2» (Лш = 1), «3» (Лш = 300) и «4» (Лш = 375) на рис. 4 показывает, что при увеличении магнитного числа Рейнольдса, т. е. уменьшении эффективности диффузии магнитного поля, профили плотности и температуры становятся более пологими вблизи фотосферы диска, г > 2 Н, а толщина диска увеличивается. Профили плотности и температуры в ГД-расчёте совпадают с профилями для расчёта с Кт = 1, потому что интенсивность магнитного поля в этом случае мала (в ^ 1, см. рис. 2 а). При Ят = 375 фотосфера диска располагается на высоте ~ 2.9 Н, что приблизительно на 0.4 Н выше, чем в расчёте без магнитного поля. В расчёте без магнитного поля профиль плотности близок к изотермическому (линия «0») в области г < 2 Н и является более крутым на большей высоте. Таким образом, магнитное поле влияет на структуру диска вблизи фотосферы и, в частности, приводит к утолщению диска.
2.5. Влияние магнитного поля на толщину диска
В предыдущем разделе показано, что в зависимости от типа граничных условий магнитное давление может приводить как к утолщению, так и к поджатию аккреционного диска вдоль координаты г. Рассмотрим эти эффекты в приложении к аккреционному диску молодой звезды типа Т Тельца солнечной массы и опре-
делим радиальный профиль координаты фотосферы диска. Для этого проведены расчёты вертикальной структуры аккреционного диска на радиусах г = 0.2, 0.4, 1, 10, 30 и 50 а. е. Характеристики диска, в том числе коэффициент диффузии магнитного поля п и соответствующее ему значение магнитного числа Рейнольдса, рассчитаны с помощью модели Дудорова и Хайбрахманова.
На верхней панели рис. 5 показаны зависимости координаты фотосферы диска от радиуса, определённые на основе проведённых расчётов. Для каждого радиуса проведено три расчёта: без учёта магнитного поля (расчёт «ГД»), с учётом магнитного поля и омической диффузии в конфигурациях I и II (расчёты «ОД, I», «ОД, II»). В конфигурации I в качестве граничного значения интенсивности магнитного поля на фотосфере принято -0.1 Бг. Значения магнитного числа Рейнольд-са на каждом радиусе г приведены на нижней панели рисунка.
Рис. 5 показывает, что в расчёте без магнитного поля координата фотосферы увеличивается с радиусом от ~ 0.015 а. е. на г = 0.2 а. е. до ~ 6 а. е. на г = 50 а. е., так что диск является геометрически тонким, ^ г.
Рис. 5. Панель (а): зависимость ¿-координаты фотосферы от радиуса г в расчётах с учётом омической диффузии в конфигурациях I и II (расчёты «ОД, I» и «ОД, II» соответственно) и без магнитного поля (расчёт «ГД»). Панель (б): радиальный профиль магнитного числа Рейнольдса
В расчётах с магнитным полем отличия профилей хБ(г) от расчёта «ГД» проявляются только во внешней области диска, г > 30 а. е., где магнитное число Рейнольдса Яш ^ 1. В случае, когда рассматривается конфигурация I, как было показано в разделе 2.4, градиент магнитного давления приводит к утолщению диска, что проявляется в том, что фотосфера в этой области диска находится выше, чем в случае без магнитного поля. В случае конфигурации II, наоборот, градиент магнитного поля приводит к поджатию диска и фотосфера располагается ниже, чем в расчёте «ГД».
В области г £ [1, 10] а. е., соответствующей «мёртвой» зоне (см. раздел 2.3 и рис. 1), профили (г) в расчётах «ГД» и «ОД» совпадают, т. е. магнитное поле не влияет на вертикальную структуру диска. Внутри «мёртвой» зоны магнитное
число Рейнольдса Ят мало, т. е. эффективная омическая диффузия препятствует генерации динамически сильного магнитного поля.
В рассматриваемом случае степень утолщения диска в конфигурации I и под-жатия в конфигурации II составляет 10-15 %.
3. Заключение
В данной работе решена задача о магнитостатическом равновесии аккреционного диска молодой звезды типа Т Тельца. Уравнение магнитостатического равновесия записано с учётом гравитации звезды, градиентов газового и магнитного давлений. Уравнение энергии учитывает нагрев за счёт диссипации турбулентности и охлаждение посредством лучистой теплопроводности. Эффективная температура диска, угловая скорость газа, интенсивность вертикальной компоненты магнитного поля и коэффициент диффузии магнитного поля являются параметрами и задаются из расчёта радиальной структуры диска с помощью модели Дудорова и Хайбрахманова [14; 22]. На данном этапе разработки модели вертикальной структуры диска считается, что коэффициент диффузии магнитного поля не зависит от высоты и что радиальной компонентой магнитного поля можно пренебречь по сравнению с другими компонентами. Обыкновенные дифференциальные уравнения для давления, температуры и скорости нагрева диска решаются в области от экваториальной плоскости диска до его фотосферы численно методом Рунге — Кутта 4-го порядка точности с автоматическим выбором шага. Координата фотосферы является параметром задачи и находится методом стрельбы. Уравнение для азимутальной компоненты магнитного поля удаётся проинтегрировать аналитически для различных типов граничных условий. Расчёты вертикальной структуры диска проведены для различных расстояний от звезды r в диапазоне от 0.2 а. е. до 50 а. е.
Аналитическое решение для B< (z) в случае граничного условия типа Дирихле на поверхности диска, B<(zs) = Bext, и условия экваториальной симметрии, B<(0) = 0, показывает, что профиль B<(z) является, вообще говоря, немонотонным и максимальное значение интенсивности магнитного поля может достигаться внутри диска, а не в фотосфере. В случае вмороженного магнитного поля, Rm ^ 1, вблизи поверхности диска генерируется динамически сильное магнитное поле, градиент которого приводит к утолщению диска.
В случае экваториальной симметрии и граничного условия Неймана на поверхности, dB</dz(zs) = 0, B< растёт с высотой z от нуля в экваториальной плоскости диска до максимального значения в фотосфере. Интенсивность B< определяется двумя параметрами — магнитным числом Рейнольдса Rm и геометрической толщиной диска H/r, где H — шкала высоты. Генерация B< ~ Bz происходит в случае Rm ~ (100-1000) для характерных значений H/r ~ (0.01-0.1). Сила, обусловленная градиентом магнитного давления, в этом случае направлена к экваториальной плоскости и приводит к уменьшению толщины диска по сравнению со случаем без магнитного поля.
Для ответа на вопрос, какое из граничных условий в действительности реализуется в аккреционных дисках, необходимо дальнейшее исследование проблемы их магнитостатического равновесия с самосогласованным рассмотрением динамики вещества над диском, z > zs.
Определена зависимость координаты фотосферы от радиуса, zs(r), в аккреционном диске звезды типа Т Тельца солнечной массы при типичных параметрах звезды и диска. Проанализированы случаи без магнитного поля, с магнитным полем и омической диффузией для различных конфигураций граничных условий.
Показано, что в диске без магнитного поля увеличивается от ^ 0.015 а. е. на г = 0.2 а. е. до ~ 6 а. е. на 50 а. е. В дисках с магнитным полем действие электромагнитной силы может приводить как к увеличению, так и к уменьшению в областях интенсивной генерации магнитного поля, Ят > 100, т. е. вне «мёртвой» зоны (области низкой степени ионизации и эффективной диффузии магнитного поля), которая располагается в области от 0.3 до (10-20) а. е.
Полученные результаты показывают, что магнитное поле оказывает динамическое влияние на вертикальную структуру аккреционных дисков в области фотосферы вне их «мёртвых» зон. Это может приводить к тому, что во внутренних и внешних по отношению к «мёртвой» зоне областях толщина диска будет отличаться от толщины диска без магнитного поля. Для проверки возможных наблюдаемых проявлений этого эффекта необходимы дальнейшие исследования — в частности, построение спектральных распределений энергии аккреционных дисков с магнитным полем и поляризационных карт на основе рассчитываемой структуры диска.
Следует отметить, что полученные значения интенсивности магнитного поля вне «мёртвой» зоны, в ~ 10-2 должны рассматриваться как оценки сверху. В областях с таким сильным магнитным полем должна развиваться неустойчивость, обусловленная магнитной плавучестью, которая приводит к образованию и всплытию из диска магнитных силовых трубок, уносящих излишек магнитного потока из области интенсивной генерации магнитного поля [38; 41; 42]. Плавучесть может стабилизировать магнитное поле на уровне равнораспределения, в ~ 1. Неустойчивость магнитной плавучести (НМП) развивается в плоском слое неоднородной плазмы, находящейся в гравитационном поле и пронизанной магнитным полем в плоскости слоя. НМП является разновидностью неустойчивости Рэлея — Тэйлора, возникающей в системе, состоящей из тяжёлого газа, находящегося над более лёгким газом в гравитационном поле с ускорением, направленным из области тяжёлого газа в область лёгкого (см., например, книгу Паркера [43]). В случае с магнитным полем роль «лёгкого» газа играет газ с магнитным полем, градиент которого направлен против гравитационного ускорения. Исходя из результатов настоящей работы можно предположить, что в конфигурации I граничных условий диск может быть подвержен действию неустойчивости магнитной плавучести (НМП), так как в этой конфигурации вблизи поверхности градиент магнитного давления оказывает поддержку против гравитации и магнитное поле может быт динамически сильным. НМП может иметь две моды — перестановочную моду, в которой возмущения направлены исключительно вдоль фонового магнитного поля и не приводят к изгибанию магнитных силовых линий, и изгибную моду, в которой возмущения могут распространяться вдоль и поперёк магнитного поля в плоскости слоя газа и учитывается магнитное натяжение (см. [44; 45]). В первом случае неустойчивость может развиваться в системе, в которой магнитное поле уменьшается с высотой медленнее, чем плотность. Во втором случае достаточно того, чтобы интенсивность магнитного поля уменьшалась с высотой. Анализ рассчитанных в данной работе зависимостей р(г) и В^(г) показывает, что эти критерии выполняются вблизи поверхности диска на некоторых радиальных расстояниях от звезды. В последующей статье мы планируем детально исследовать критерии возникновения НМП в частных случаях изотермических и политропных дисков, а также в применении к расчётам, представленным в данной статье. Интерес также представляет исследование винтовой неустойчивости, которая возникает в случае, когда интенсивность азимутальной компоненты магнитного поля превышает интенсивность вертикальной компоненты во вращающейся плазме (см., например, обсуждение данной неустойчивости в
применении к струйным истечениям из аккреционных дисков в работе [46]).
В представленных расчётах давление в фотосфере диска оценивалось из приближённого решения уравнения гидростатического равновесия, т. е. без учёта влияния магнитного поля. Как показали полученные результаты, магнитное поле может быть динамически сильным вблизи фотосферы, поэтому в будущем необходимо определять граничное условие для давления в фотосфере диска с учётом магнитного поля.
Для построения более детальной модели вертикальной структуры аккреционного диска необходимо также учесть влияние радиальной компоненты магнитного поля, принять во внимание неоднородность вертикальных профилей коэффициентов диффузии магнитного поля, а также учесть вклад излучения звезды и дис-сипативных МГД-эффектов [26] в тепловой баланс диска. Уравнение для расчёта температуры во внешних областях диска необходимо модифицировать с учётом того, что на периферии диск становится оптически тонким. Дальнейшее развитие модели позволит рассмотреть эффект образования истечений из области вблизи поверхности диска.
Список литературы
1. Inutsuka S.-i. Present-day star formation: From molecular cloud cores to protostars and protoplanetary disks // Progress of Theoretical and Experimental Physics. 2012. Vol. 2012, no. 1. ID 01A307.
2. Dudorov A. E., Khaibrakhmanov S. A. Theory of fossil magnetic field // Advances in Space Research. 2015. Vol. 55, iss. 1. P. 843-850.
3. Williams J. P., CiezaL. A. Protoplanetary disks and their evolution // Annual Review of Astronomy and Astrophysics. 2011. Vol. 49. P. 67-117.
4. Boccaletti A., DiFolcoE., PantinE., DutreyA., Guilloteau S., TangY. W., PietuV., HabartE., MilliJ., BeckT.L., MaireA.-L. Possible evidence of ongoing planet formation in AB Aurigae. A showcase of the SPHERE/ALMA synergy // Astronomy & Astrophysics. 2020. Vol. 637, l. 5.
5. Nayakshin S. et al. TW Hya: an old protoplanetary disc revived by its planet // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2020. Vol. 495. P. 285-304.
6. ДудоровА.Е. Свойства иерархии межзвёздных магнитных облаков // Астроном. журн. 1991. Т. 68. С. 695-713.
7. ДудоровА.Е. Остаточное магнитное поле в звёздах типа Т Тельца // Астроном. журн. 1995. Т. 72. С. 884-893.
8. Yang H., Johns-Krull C. M. Magnetic field measurements of T Tauri Stars in the Orion Nebula Cluster // The Astrophysical Journal. 2011. Vol. 729. P. 83.
9. TamuraM., SatoS. A two micron polarization survey of T Tauri Stars // The Astronomical Journal. 1989. Vol. 98. P. 1368-1381.
10. Frank A. E. et al. Jets and outflows from star to cloud: Observations confront theory // Protostars and Planets VI. Tucson, University of Arizona Press, 2019. Ch. 2. P. 451-474.
11. LiD. et al. Mid-infrared polarization of Herbig Ae/Be discs // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2018. Vol. 473. P. 1427-1437.
12. Donati J.-F., PaletouF., Bouvier J., Ferreira J. Direct detection of a magnetic field in the innermost regions of an accretion disk // Nature. 2005. Vol. 438. P. 466-469.
13. Vlemmings V. H. T. et al. Stringent limits on the magnetic field strength in the disc of TW Hya // Astronomy & Astrophysics. 2019. Vol. 24. L. 7.
14. Dudorov A. E., Khaibrakhmanov S. A. Fossil magnetic field of accretion disks of young stars // Astrophysics and Space Science. 2014. Vol. 351, iss. 1. P. 103-121.
15. GammieC.F. Layered accretion in T Tauri disks // The Astrophysical Journal. 1996. Vol. 457. P. 355-362.
16. D'AlessioP., Canto J., CalvetN., LizanoS. Accretion disks around young objects. I. The detailed vertical structure // The Astrophysical Journal. 1998. Vol. 500. P. 411-427.
17. WoitkeP., KampI., ThiW.-F. Radiation thermo-chemical models of protoplanetary disks. I. Hydrostatic disk structure and inner rim // Astronomy & Astrophysics. 2009. Vol. 501. P. 383-406.
18. AkimkinV., ZhukovskaS., WiebeD., SemenovD., Pavlyuchenkov Ya., VasyuninA., BirnstielT., HenningTh. Protoplanetary disk structure with grain evolution: The ANDES model // The Astrophysical Journal. 2013. Vol. 766, no. 8.
19. Bisnovatyi-Kogan G. N., Lovelace R. V. E. Vertical structure of stationary accretion disks with a large-scale magnetic field // The Astrophysical Journal. 2012. Vol. 750, no. 109.
20. Guilet J., Ogilvie G. I. Global evolution of the magnetic field in a thin disc and its consequences for protoplanetary systems // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2014. Vol. 441. P. 852-868.
21. Campbell C. G. A solution method for the radial and vertical structure of accretion discs with quadrupolar magnetic fields // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2003. Vol. 345. P. 1110-1126.
22. Дудоров А. Е., Хайбрахманов С. А. Кинематическая МГД-модель аккреционных дисков молодых звёзд. Аналитическое решение // Вестн. Челяб. гос. ун-та. 2013. № 9 (300). Физика. Вып. 16. С. 27-39.
23. Дудоров А. Е., Хайбрахманов С. А. Кинематическая МГД-модель аккреционных дисков молодых звёзд. Численные расчёты // Вестн. Челяб. гос. ун-та. 2013. № 9 (300). Физика. Вып. 16. С. 40-52.
24. Khaibrakhmanov S. A., DudorovA.E., SobolevA.M., Parfenov S. Yu. Large-scale magnetic field in the accretion discs of young stars: the influence of magnetic diffusion, buoyancy and Hall effect // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2017. Vol. 464. P. 586-598.
25. LizanoS., TapiaC., BoehlerY., D'AlessioP. Vertical structure of magnetized accretion disks around young stars // The Astrophysical Journal. 2016. Vol. 817, no. 35.
26. Khaibrakhmanov S. A., DudorovA.E. Influence of ohmic and ambipolar heating on the thermal structure of accretion discs // Magnetohydrodynamics. 2019. Vol. 55, no. 1-2. P. 65-72.
27. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика : в 10 т. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред. 2-е изд., перераб. и доп. М. : Наука, 1982.
28. Франк-Каменецкий Д. А. Лекции по физике плазмы. 3-е изд. Долгопрудный : Интеллект, 2008.
29. Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. 2-е изд. М. : Наука, 1966.
30. Ш^акураН.И. Дисковая модель аккреции газа на релятивистскую звезду в тесной двойной системе // Астроном. журн. 1972. Т. 49. С. 921.
31. ShakuraN.I., SunyaevR. A. Black holes in binary systems. Observational appearance // Astronomy & Astrophysics. 1973. Vol. 24. P. 337-355.
32. Аккреционные процессы в астрофизике / под ред. Н. И. Шакуры. М : Физматлит, 2016.
33. Хайбрахманов С. А. Эволюция остаточного магнитного поля в аккреционных дисках молодых звёзд // Изв. глав. астроном. обсерватории в Пулкове. Тр. VI Пулковск. молодеж. астроном. конф. 2016. № 224. С. 97-107.
34. KudohT., ShibataK. Magnetically driven jets from accretion disks. I. Steady solutions and application to jets/winds in young stellar objects // The Astrophysical Journal. 1997. Vol. 474. P. 362.
35. Blandford R. D., Payne D. G. Hydromagnetic flows from accretion disks and the production of radio jets // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 1982. Vol. 199. P. 883-903.
36. SemenovD. et al. Rosseland and Planck mean opacities for protoplanetary discs // Astronomy & Astrophysics. 2003. Vol. 410. P. 611-621.
37. Дудоров А. Е., Сазонов Ю. В. Гидродинамика коллапса межзвёздных облаков. IV. Степень ионизации и амбиполярная диффузия // Научные информации. 1987. Т. 63. С. 68-86.
38. Khaibrakhmanov S. A., DudorovA.E. Magnetic field buoyancy in accretion disks of young stars // PEPAN Letters. 2017. Vol. 14. P. 882-885.
39. Khaibrakhmanov S. A., DudorovA.E. Outflows and particle acceleration in the accretion disks of young stars // EPJ Web of Conferencess. 2019. Vol. 201. P. 09004.
40. Levy E. H. Magnetic field in the primitive solar nebula // Nature. 1978. Vol. 276. P. 481.
41. Khaibrakhmanov S. A., DudorovA.E., SobolevA.M. Dynamics of magnetic flux tubes and IR-variability of young stellar objects // Research in Astronomy and Astrophysics. 2018. Vol. 18, no. 8. P. 90.
42. DudorovA.E., Khaibrakhmanov S. A., SobolevA.M. Dynamics of magnetic flux tubes in accretion discs of T Tauri stars // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2019. Vol. 487. P. 5388-5404.
43. Паркер Е. Космические магнитные поля. Их образование и проявления. М. : Мир, 1982.
44. Церковников Ю. А. К вопросу о конвекционной неустойчивости плазмы // Докл. АН СССР. 1960. Т. 130. № 2. С. 295-298.
45. Hughes D.W. Magnetic buoyancy instabilities for a static plane layer // Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics. 1985. Vol. 32, no. 3-4. P. 273-316.
46. Todo Y., Uchida Y., SatoT., Rosner R. Wiggled structure of Herbig — Haro objects: Helical kink instability of jets from young stellar objects // The Astrophysical Journal. 1993. Vol. 403. P. 164.
Поступила в 'редакцию 29.01.2021. После переработки 15.02.2021.
Сведения об авторах
Хайбрахманов Сергей Александрович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Коуровской астрономической обсерватории, Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б. Н. Ельцина, Екатеринбург, Россия; доцент кафедры теоретической физики, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: khaibrakhmanov@csu.ru.
, доктор физико-математических наук, профессор, за-физики, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; главный научный сотрудник Коуровской астрономической обсерватории, Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б. Н. Ельцина, Екатеринбург, Россия.
Дудоров Александр Егорович
ведующий кафедрой теоретической
74
C. A. Xaô6paxMaHOB, A. E. ^ygopoB
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2021. Vol. 6, iss. 1. P. 52-77.
DOI: 10.47475/2500-0101-2021-16105
MAGNETOSTATIC EQUILIBRIUM OF THE ACCRETION DISKS OF THE T TAURI STARS
S.A. Khaibrakhmanov1'2'", A.E. Dudorov
1,2
1 Ural Federal University, Yekaterinburg, Russia
2 Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia a khaibrakhmanov@csu.ru
The problem of the magnetostatic equilibrium of an accretion disk with a large-scale magnetic field is solved. The equation of the magnetostatic equilibrium is written taking into account the gravity, the gas and magnetic pressure gradients. The heat transfer equation takes into account heating by the dissipation of turbulence and cooling by the radiation. The ordinary diffrential equations of the model are solved by the Runge — Kutta method of the 4th order of accuracy. The radial structure of the disk is simulated using the accretion disk model of Dudorov and Khaibrakhmanov.
An analytical solution of the induction equation for the azimuthal component of the magnetic field, Bv, shows that the Bv(z) profile, generally speaking, is nonmonotonic when the magnetic field is assumed to be symmetric about the equatorial plane and the Dirichlet's boundary condition is used on the surface of the disk. If the Neumann's boundary condition is used at the surface, then Bv increases monotonically with the height.
Numerical calculations show that, in the first case, the vertical gradient of the magnetic pressure leads to a thickening of the disk if the magnetic Reynolds number Rm ^ 1, the density and temperature profiles become flatter, and the photosphere is located higher than in the case of no magnetic field. In the second case, the magnetic field causes the disk to «compress». The deviation of the disk height from the hydrostatic one is of 10-15 %. A dynamically strong magnetic field is generated outside the «dead» zone (a region of a low degree of the ionization), which extends from r = 0.3 au up to (10-20) au with typical parameters for a T Tauri star of the solar mass. Possible observed manifestations of the revealed features of the vertical structure of a disk with a magnetic field are discussed
Keywords: accretion, accretion disk, magnetic field, magnetohydrodynamics (MHD), protoplanetary disk, interstellar matter.
References
1. Inutsuka S.-i. Present-day star formation: From molecular cloud cores to protostars and protoplanetary disks. Progress of Theoretical and Experimental Physics, 2012, vol. 2012, no. 1, ID 01A307.
2. Dudorov A.E., Khaibrakhmanov S.A. Theory of fossil magnetic field. Advances in Space Research, 2015, vol. 55, iss. 1, pp. 843-850.
3. Williams J.P., CiezaL.A. Protoplanetary Disks and Their Evolution. Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 2011, vol. 49, pp. 67-117.
4. Boccaletti A., DiFolcoE., Pantin E., DutreyA., Guilloteau S., TangY.W., PietuV., HabartE., MilliJ., BeckT.L., Maire A.-L. Possible evidence of ongoing planet formation in AB Aurigae. A showcase of the SPHERE/ALMA synergy. Astronomy & Astrophysics, 2020, vol. 637, l. 5.
The work of S.A.K. is supported by the Foundation for Advanced Scientific Research of Chelyabinsk State University (project 2020/5), the work of A.E.D. is carried out with the support of the Russian Foundation for Basic Research (project 18-02-01067).
5. Nayakshin S. et al. TW Hya: an old protoplanetary disc revived by its planet. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 2020, vol. 495, pp. 285-304.
6. Dudorov A.E. Svoystva ierarkhii mezhzvyozdnykh magnitnykh oblakov [The hierarchy properties of interstellar clouds]. Astronomicheskiy zhurnal [Astronomy journal], 1991, vol. 68, pp. 695-713. (In Russ.).
7. Dudorov A.E. Ostatochnoye magnitnoye pole v zvyozdakh tipa T Tel'tsa [Fossil magnetic field of T Tauri stars]. Astronomicheskiy zhurnal [Astronomy journal], 1995, vol. 72, pp. 884-893. (In Russ.).
8. Yang H., Johns-Krull C.M. Magnetic field measurements of T Tauri stars in the Orion Nebula Cluster. The Astrophysical Journal, 2011, vol. 729, p. 83.
9. TamuraM., SatoS. A Two Micron Polarization Survey of T Tauri Stars. The Astronomical Journal, 1989, vol. 98, pp. 1368-1381.
10. Frank A.E. et al. Jets and outflows from star to cloud: Observations confront theory. Protostars and Planets VI, Tucson, University of Arizona Press, 2019, ch. 2, pp. 451-474.
11. LiD. et al. Mid-infrared polarization of Herbig Ae/Be discs. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 2018, vol. 473, pp. 1427-1437.
12. Donati J.-F., PaletouF., Bouvier J., Ferreira J. Direct detection of a magnetic field in the innermost regions of an accretion disk. Nature, 2005, vol. 438, pp. 466-469.
13. Vlemmings V.H.T. et al. Stringent limits on the magnetic field strength in the disc of TW Hya. Astronomy & Astrophysics, 2019, vol. 24, l. 7.
14. Dudorov A.E., Khaibrakhmanov S.A. Fossil magnetic field of accretion disks of young stars. Astrophysics and Space Science, 2014, vol. 351, iss. 1, pp. 103-121.
15. Gammie C.F. Layered accretion in T Tauri disks. The Astrophysical Journal, 1996, vol. 457, pp. 355-362.
16. D'AlessioP., Canto J., CalvetN., LizanoS. Accretion disks around young objects. I. The detailed vertical structure. The Astrophysical Journal, 1998, vol. 500, pp. 411-427.
17. WoitkeP., KampI., Thi W.-F. Radiation thermo-chemical models of protoplanetary disks. I. Hydrostatic disk structure and inner rim. The Astrophysical Journal, 2009, vol. 501, pp. 383-406.
18. AkimkinV., ZhukovskaS., WiebeD., SemenovD., Pavlyuchenkov Ya., VasyuninA., BirnstielT., HenningTh. Protoplanetary disk structure with grain evolution: The ANDES model. The Astrophysical Journal, 2013, vol. 766, no. 8.
19. Bisnovatyi-Kogan G.N., Lovelace R.V.E. Vertical Structure of Stationary Accretion Disks with a Large-scale Magnetic Field. The Astrophysical Journal, 2012, vol. 750, no. 109.
20. Guilet J., Ogilvie G.I. Global evolution of the magnetic field in a thin disc and its consequences for protoplanetary systems. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 2014, vol. 441, pp. 852-868.
21. Campbell C.G. A solution method for the radial and vertical structure of accretion discs with quadrupolar magnetic fields. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 2003, vol. 345, pp. 1110-1126.
22. Dudorov A.E., Khaibrakhmanov S.A. Kinematicheskaya MGD-model' akkretsionnykh diskov molodykh zvyozd. Analiticheskoye resheniye [Kinematic MHD model of the accretion disks of young stars. Analytical solution]. Vestnik Chelyabinskogo gosudarstvennogo universiteta [Bulletin of Chelyabinsk state university], 2013, no. 9 (300), pp. 27-39. (In Russ.).
23. Dudorov A.E., Khaibrakhmanov S.A. Kinematicheskaya MGD-model' akkretsionnykh diskov molodykh zvyozd. Chislennye raschyoty [Kinematic MHD model of the accretion disks of young stars. Numerical simulations]. Vestnik Chelyabinskogo gosudarstvennogo universiteta [Bulletin of Chelyabinsk state university], 2013, no. 9 (300), pp. 40-52. (In Russ.).
76
C. A. XanSpaxMaHOB, A. E. ,3,ygopoB
24. Khaibrakhmanov S.A., DudorovA.E., SobolevA.M., Parfenov S.Yu. Large-scale magnetic field in the accretion discs of young stars: the influence of magnetic diffusion, buoyancy and Hall effect. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 2017, vol. 464, pp. 586-598.
25. LizanoS., TapiaC., BoehlerY., D'AlessioP. Vertical structure of magnetized accretion disks around young stars. The Astrophysical Journal, 2016, vol. 817, no. 35.
26. Khaibrakhmanov S.A., DudorovA.E. Influence of ohmic and ambipolar heating on the thermal structure of accretion discs. Magnetohydrodynamics, 2019, vol. 55, n. 1-2, pp. 65-72.
27. Landau L.D., LifshitzE.M. Course of Theoretical Physics. Vol. 8. Electrodynamics of Continuous Media. 1st ed. Pergamon Press, 1960.
28. Frank-Kamenetskiy D.A. Lektsii po fizike plazmy [Lectures on plasma physics]. Dolgoprudnyy, Intellekt Publ., 2008. (In Russ.).
29. Zel'dovich Ya.B. Fizika udarnykh voln i vysokotemperaturnykh gidrodinamicheskikh yavleniy [Physics of shock waves and high-temperature hydrodynamic phenomena]. Moscow, Nauka Publ., 1966. (In Russ.).
30. ShakuraN.I. Diskovaya model' akkretsii gaza na relyativistskuyu zvezdu v tesnoy dvoynoy sisteme [Disk model of the accretion onto relativistic star in a binary system]. Astronomicheskiy zhurnal [Astronomy journal], 1972, vol. 49, p. 921. (In Russ.).
31. Shakura N.I., Sunyaev R.A. Black holes in binary systems. Observational appearance. Astronomy & Astrophysics, 1973, vol. 24, pp. 337-355.
32. ShakuraN.I. Akkretsionnye protsessy v astrofizike [Accretion processes in astrophysics]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2016. (In Russ.).
33. Khaibrakhmanov S.A. Evolyutsiya ostatochnogo magnitnogo polya v akkretsionnykh diskakh molodykh zvyozd [Evolution of the fossil magnetic field of the accretion disks of young stars]. Izvestiya glavnoy astronomicheskoy observatorii v Pulkove. Trudy VI Pulkovskoy molodyozhnoy astronomicheskoy konferentsii [Proceedings of the Pulkovo Astronomical Observatory. Proceedings of VI Pulkovo youth astronomical conference], 2016, no. 224, pp. 97-107.
34. KudohT. Magnetically driven jets from accretion disks. I. Steady solutions and application to jets/winds in young stellar objects. The Astrophysical Journal, 1997, vol. 474, p. 362.
35. Blandford R.D., Payne D.G. Hydromagnetic flows from accretion disks and the production of radio jets. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 1982, vol. 199, pp. 883-903.
36. SemenovD. et al. Rosseland and Planck mean opacities for protoplanetary discs. Astronomy & Astrophysics, 2003, vol. 410, pp. 611-621.
37. DudorovA.E., SazonovYu.V. Gidrodinamika kollapsa mezhzvyozdnykh oblakov. IV. Stepen' ionizatsii i ambipolyarnaya diffuziya [Hydrodynamics of the collapse of interstellar clouds. IV. Ionization fraction and ambipolar diffusion]. Nauchnye informatsii [Scientific information], 1987, vol. 63, pp. 68-86. (In Russ.).
38. Khaibrakhmanov S.A., DudorovA.E. Magnetic field buoyancy in accretion disks of young stars. PEPAN Letters, 2017, vol. 14, pp. 882-885.
39. Khaibrakhmanov S.A., DudorovA.E. Outflows and particle acceleration in the accretion disks of young stars. EPJ Web of Conferences, 2019, vol. 201, p. 09004.
40. Levy E.H. Magnetic field in the primitive solar nebula. Nature, 1978, vol. 276, p. 481.
41. Khaibrakhmanov S.A., DudorovA.E., SobolevA.M. Dynamics of magnetic flux tubes and IR-variability of young stellar objects. Research in Astronomy and Astrophysics, 2018, vol. 18, no. 8, p. 90.
42. DudorovA.E., Khaibrakhmanov S.A., SobolevA.M. Dynamics of magnetic flux tubes in accretion discs of T Tauri stars. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 2019, vol. 487, pp. 5388-5404.
43. Parker E. Kosmicheskiye magnitnye polya. Ikh obrazovaniye i proyavleniya [Space magnetic fields. Their formation and manifestation]. Moscow, Mir Publ., 1982. (In Russ.).
44. Tserkovnikov Yu.A. K voprosu o konvektsionnoy neustoychivosti plazmy [Towards the issue of convectional instability of plasma]. Doklady AN SSSR [Reports of USSR Academy of Sciences], 1960, vol. 5, p. 87. (In Russ.).
45. Hughes D.W. Magnetic buoyancy instabilities for a static plane layer. Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics, 1985, vol. 32, no. 3-4, pp. 273-316.
46. Todo Y., Uchida Y., Sato T., Rosner R. Wiggled structure of Herbig — Haro objects: Helical kink instability of jets from young stellar objects. The Astrophysical Journal, 1993, vol. 403, p. 164.
Accepted article received 29.01.2021.
Corrections received 15.02.2021.
