МАГНИТООПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 1D-СТРУКТУР НА ОСНОВЕ INSB С ПРИМЕСНЫМИ ЦЕНТРАМИ И КЕЙНОВСКИМ ЗАКОНОМ ДИСПЕРСИИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Магнитооптические свойства lD-структур на основе InSb с примесными центрами и кейновским законом дисперсии

Е.Н. Калинин, А.В. Калинина Пензенский государственный университет, Пенза

Аннотация: Рассматривается полупроводниковая квантовая проволока (КП) содержащая примесный центр описываемый в рамках водородоподобной модели. Обсуждается возможность использования InSb КП в фотодетекторах инфракрасного оптического излучения. КП моделируется геометрически симметричным цилиндром, на оси которого в произвольной точке расположен примесный центр, с которым связано начало цилиндрической системы координат в которой производятся вычисления. Предполагается, что магнитная длина существенно меньше эффективного боровского радиуса - случай сильного магнитного поля. Такое приближение позволило сделать потенциал примеси эффективно одномерным и получить аналитически точные результаты расчетов. В приближении эффективной массы, в дипольном приближении получено выражение для матричных элементов оптических переходов электрона из основного состояние примеси в размерно-квантованные состояния КП для случая поперечной поляризации света и кейновским законом дисперсии носителей заряда.

Ключевые слова: матричные элементы оптических переходов, метод эффективной массы, квантовая проволока, дипольное приближение, размерно-квантованные состояния.

Введение

Полупроводниковым квантовым проволокам (КП), как объектам пониженной размерности в которых движение электронов ограничено в двух направлениях, на протяжении многих лет уделяется пристальное внимание исследователей. Это связано с интересными оптическими свойствами таких объектов [1, 2] и возможностью создания оптоэлектронных приборов с уникальными характеристиками [3]. Особый интерес представляют КП на основе InSb, как хорошо изученного узкозонного полупроводника типа AIIIBV с малой эффективной массой и большими значениями подвижности электронов. Такие свойства InSb обусловили его широкое применение при создании инфракрасных фотодетекторов. В связи с этим определенный интерес представляет исследование спектральных характеристик поглощения света КП на основе InSb содержащей водородоподобную примесь. Как известно, решетка полупроводникового соединения AIIIBV имеет структуру

типа алмаза. Зона Бриллюэна для таких решеток представлена на рис. 1 [4], где показаны также основные точки и линии симметрии.

Рис. 1. - Первая зона Бриллюэна для решеток типа алмаза.

Зависимость энергии Еп от к (к - волновой вектор) можно определить решая уравнение Шредингера для соответствующей одноэлектронной задачи. При решении уравнения возникают трудности, которые связаны с проблемой выбора подходящего приближенного метода и достаточно нетривиальных аналитических и численных расчетов. К тому же периодический потенциал кристаллической решетки известен весьма приближенно, и не всегда возможно оценить, как приближенный вид выбранного потенциала отражается на конечном результате расчета, т.е. на зонной структуре. Различными методами можно определить в разных точках зоны Бриллюэна симметрию волновых функций для различных значений к. Затем, используя теорию возмущений, можно качественно оценить, как выглядят энергетические зоны в окрестностях той или иной точки симметрии зоны Бриллюэна. Достаточно подробно Кейном [5] была разработана полуэмпирическая теория зависимости Еп(к) в окрестности точки Г. Кейн разработал теорию только для 1п8Ь, так как в использованном им приближении влияние ниже и выше лежащих зон считалось пренебрежительно малым, что вполне обоснованно, так как из опыта было известно, что экстремумы в обеих зонах приходятся на к = 0 и что энергия Её вблизи Г существенно меньше всех других энергетических зазоров. Полученные в работе Кейна результаты также хорошо объясняют многие

экспериментальные данные, полученные на других соединениях АШВУ Следует также учитывать, что теория Кейна была разработана для температуры 0 К, и при Т Ф 0 К величина Бё рассчитанная теоретически не совпадает с экспериментом [6]. В данной работе мы не будем учитывать температурные поправки в виду их малости. Зависимость энергии от к в 1п8Ь по направлению [110] по теории Кейна имеет вид изображенный на рис. 2, где пунктиром показано параболическое приближение.

Т I I I I г /

_I_I I_I I_I_I_

0 1 2 3 4 5 6 7 х10"2, к110 обратные боровские радиусы

Рис. 2. - Зависимость энергии от к в 1п8Ь.

Далее рассмотрим энергетический спектр и волновые функции электрона в полупроводниковой КП на основе 1п8Ь в рамках модели Кейна.

Энергетический спектр и волновые функции

КП как и в [7] будем моделировать круглым цилиндром вдоль оси которого направлено однородное магнитное поле, калибровку векторного потенциала которого выбираем в виде А = (-Ву/2, Вх/2, 0). Потенциал КП аппроксимируем симметричным параболическим потенциалом [7]. Все вычисления ведем в цилиндрической системе координат, ось ъ которой совпадает с осью симметрии цилиндра. В однозонном приближениии состояние электрона в КП полупроводника типа АШВУ с кейновским законом дисперсии описывается волновой функцией:

¥

n,m,k

1 Г (n + 1) Г ( m + 1) [У 1

WnLz Г( m+n+1) W J

exp

4 al

L

2 a:

exp(ikz) , (1)

где a0 - гибридная длина; Lea (x) - полиномы Лагерра; Г(х) - гамма функция Эйлера; L - радиус КП.

Энергетический спектр определяется выражением:

E k =

n, m,k

[h sk ]2 +

h roB m h s /_ | ,

B + ~—(2n + \m\ + 1)

2

2 an

(2)

где юВ - циклотронная частота, б - параметр, характеризующим

* 2

непараболичность зоны, имеющий размерность скорости (Бё = 2т б , Бё -

*

ширина запрещенной зоны, т - эффективная масса электрона).

Далее необходимо определить в КП энергетический спектр связанных состояний водородоподобной примеси. В предположении, что боровский радиус связанного примесного состояния в массивном образце а0 (а0 = Н2е/(т*е2), где 2а - заряд донорного центра, в - диэлектрическая проницаемость) больше радиуса проволоки Ь, примесная задача сводится к решению уравнения Ванье с одномерным потенциалом взаимодействия между заряженными частицами. Обычно этот потенциал определяется усреднением кулоновского по волновым функциям поперечного движения и имеет вид е2/[е(а + ^)], где а - величина порядка радиуса проволоки Ь. Такое

отличие потенциала взаимодействия от кулоновского на малых расстояниях между частицами устраняет трудности, связанные с известной неустойчивостью основного состояния одномерного атома водорода. Напомним, что рассматриваемые нами полупроводники типа АШВУ отличаются существенной непараболичностью закона дисперсии носителей заряда.

2

2

Р

Р

m

2

При таком рассмотрении задачи волновая функция, описывающая основное (п = 0) состояние электрона, связанного с донорным центром имеет вид:

ЬТ

¥0,0,0 (Р,2):

1 ' 2Ь ' 2 ехр [ Р2 1

а а. V а / [ 4 а02 ]

ехр

а а.

(3)

где а = е2/в К 8, величина = а ай = К/ш^ представляет собой аналог комптоновской длины волны в случае кейновского полупроводника. Как видно из (3), радиус локализации электрона, связанного на водородоподобном примесном центре в КП в основном состоянии,

оказывается меньше по сравнению с в Ь = ^ 1 + (К/ш^а0)2 раз. Последнее

обстоятельство связано с ограниченностью поперечного движения носителей заряда с кейновским законом дисперсии в КП.

Для энергии основного состояния электрона связанного на водородоподобной примеси с учетом ассимптотического разложения при 2 аа < 1, получаем выражение:

Е = —

^0,0,0 _

*2 4 ,

ш 8 +

К 8

2 ап

(4)

Далее проведем расчет матричных элементов оптических переходов электрона из основного состояния примесного центра, описываемого в рамках водородоподобной модели, в размерно-квантованные состояния 1п8Ь КП в случае поперечной поляризации света.

2

Расчет матричных элементов

Матричные элементы оптических переходов электрона из основного состояния примесного центра у000 (р, т) в состояния упшк (р,^,т) КП при

поглощении фотона с поперечной поляризацией вХг в дипольном

приближении записываются в виде [8]:

МЧв = (Пш,к (р, Р,*)| Й£)В 1*0,0,0 (р,

гП =

г: ,2 *т 2П

= -. й, /2п6 а 10 - - -

0\/ *2 V ш ю

III Р аР ^ ^ *П,ш,к (р, Р,2)Х

0 0

X

( / \д 1 / ч д 1|е|В / О / \

со§ (0 - РЬ~ + -81п (0 — Р)о---ГТ"р 81п (Р — 0) *0,0,0 (р,г)

др р др 2 6

(5)

Принимая во внимание одноэлектронные состояния в продольном магнитном поле (1) и волновую функцию (3) связанного состояния примесного центра в КП выражение (5) перепишется:

м(0 =-1 6 ^0 М£0В 1 п

2 п 62 а* Г(п + 1)Г (| Ш + 1)

2 ю Т0 Г|„ + ' I Йрр2

X

V2а2

ш*2 ю 0 Г(|ш| + п + 1) 0

IАр ехр (—1шр)

2 а2

ехр

2 а;

Ь

*

ш ю

6

. ч 1еВ , ,

СОБ (0 — р) + —— Б1п (р — 0)

26

I ё2ехр (—1к7) ехр

2 а:

ьы

X

а а.

•(6)

При вычислениях интегралов в (6) по переменной р [9] появляются правила отбора для магнитного квантового числа ш - возможны лишь переходы в состояния КП с т = ±1.

2п

I ёрехр(—1шр)

6

) , ч 1еВ , >

"СОБ (0 — р) + ^ 8Ш (Р — 0)

= 2 1п аа2ехр(^10)

2 '

X 5Ш,1 — аа 5ш,—1

ав,

1, если ш = ±1, 0, если ш ^±1,

здесь дт, ±1 - символ Кронекера: 5ш, ±х = где «-» в ехр (^ г в) относится к т = +1, а «+» - т = -1.

, (7)

(8)

Учитывая (8) интегралы по остальным переменным вычисляются следующим образом [9, 10]:

I орр2

2 аГ

ехр

2 а;

х Ь1

2а

п

= 72 а2 £ (—1)

ш„ =0

п + 1 п — шп

(ш0 +1) , (9)

ш

2

2

2

2

р

р

р

2

р

0

0

2

2

2

2

р

р

р

ш

0

J dzexp (—ikz)exp

b z

a a.

2b a a.

b2 +(k a ad )

(10)

Подставляя найденные значения интегралов (7), (9) и (10) в (6) и принимая во внимание (8) после небольших преобразований матричные элементы запишутся в виде:

M(t) _ :22 a h Mf.0B _ : - '—

3

0a0

X

X ôm,i -

a.

ал

l2VL7 V

2 „ *

2 n h a

* 2 m ю

In

r(n+i)r (I m+i)

r(m+n+i)

X

exp (^i0)

X

a

5m,-1

X

n

(—1)1

n + 1

n — m

(m0 +1)

X

b2 +(k a ad )

Таким образом, в рамках сделанных в работе приближений, аналитически точно получено выражение для матричных элементов оптических переходов электрона из основного состояния примесного центра, описываемого водородоподобным потенциалом, в размерно-квантованные состояния КП при наличии внешнего магнитного поля. Полученные результаты можно использовать в дальнейшем при расчете спектральных характеристик примесного поглощения КП, в частности коэффициента примесного поглощения света.

Литература

1. Zimmermann R. Excitonic Spectra in Semiconductor Nanostructures //

Japanese Journal of Applied Physics. 1995. vol. 34. p. 228-231.

2. Ogawa T., Takagahara T. Interband absorption spectra and Sommerfeld

factors of a one-dimensional electron-hole system // Physical Review B. 1991. vol. 43. №. 17. p. 14325-14328.

3. Sakaki H. Scattering Suppression and High-Mobility Effect of Size-Quantized Electrons in Ultrafine Semiconductor Wire Structures // Japanese Journal of Applied Physics. 1980. vol. 19. № 12. p. 735-738.

2

ЭО

2

b

m _0

4. Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г. Физика полупроводников. М.: Наука. 1977. 672 с.

5. Kane E.O. Band structure of indium antimonide // Journal of Physics and Chemistry of Solids. 1957. vol. 1. p. 249-261.

6. Ehrenreich H. Electron scattering in InSb // Journal of Physics and Chemistry of Solids. 1957. vol. 2. № 2. p. 131-149.

7. Калинин Е.Н., Калинина А.В. Эффект фотонного увлечения электронов в полупроводниковой квантовой проволоке с водородоподобными примесными центрами и кейновским законом дисперсии // Инженерный вестник Дона, 2021, № 11. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n11y2021/7262.

8. Кревчик В. Д., Калинин Е. Н. Аномальный квантоворазмерный эффект Зеемана в магнитооптическом спектре Ш-структур с водородоподобными примесными центрами // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Естественные науки. Пенза: ПГУ. 2004. № 5. С. 108-121.

9. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз. 1962. 1100 с.

10. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. М.: Наука. 1979. 832 с.

References

1. Zimmermann R. Japanese Journal of Applied Physics. 1995. vol. 34. pp. 228-231.

2. Ogawa T., Takagahara T. Physical Review B. 1991. vol. 43. №. 17. pp. 14325-14328.

3. Sakaki H. Japanese Journal of Applied Physics. 1980. vol. 19. № 12. pp. 735-738.

4. Bonch-Bruevich V.L., Kalashnikov S.G. Fizika poluprovodnikov [Physics of semiconductors]. M.: Nauka. 1977. p. 672.

5. Kane E.O. Journal of Physics and Chemistry of Solids. 1957. vol. 1. pp. 249-

6. Ehrenreich H. Journal of Physics and Chemistry of Solids. 1957. vol. 2. № 2. pp. 131-149.

7. Kalinin E.N., Kalinina A.V. Inzhenernyj vestnik Dona, 2021, № 11. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n11y2021/7262.

8. Krevchik V. D., Kalinin E. N. Izvestija vysshih uchebnyh zavedenij. Povolzhskij region. Estestvennye nauki. Penza: PGU. 2004. № 5. pp. 108-121.

9. Gradshtejn I.S., Ryzhik I.M. Tablicy integralov, summ, rjadov i proizvedenij [Tables of integrals, sums, series and products]. M.: Fizmatgiz, 1962. p. 1100.

10. Abramovic M., Stigan I. Spravochnik po special'nym funkcijam s formulami, grafikami i matematicheskimi tablicami [Reference for special functions with formulas, graphs and mathematical tables]. M.: Nauka. 1979. p.

261.

832.