Магнитный вихрь вблизи поверхности сверхпроводника Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.312.62

МАГНИТНЫЙ ВИХРЬ ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ СВЕРХПРОВОДНИКА

Г. Ф. Жарков, В. Г. Жарков

В рамках теории Гинзбурга - Ландау изучается структура вихревой нити, несущей один квант потока и расположенной на конечном расстоянии от поверхности сверхпроводника. В данной работе найдено распределение магнитного поля и токов в окрестности вихревой нити в лондоновском приближении ф — const.

1. Структура изолированного вихря, несущего один квант потока ф0 = /гс/2е и расположенного в толще массивного сверхпроводника второго рода, изучалась во многих работах (см., например, [1 - 3]). Решение системы нелинейных уравнений Гинзбурга - Ландау для векторного потенциала магнитного поля А и параметра порядка сверхпроводника Ф определяет поведение магнитного поля В = rotA и модуля параметра порядка ф(г) вблизи оси вихря (г - радиальная координата, отсчитываемая от оси вихря, г = 0). Было, в частности, показано, что модуль параметра порядка ф на оси вихря обращается в ноль, а поле на оси вихря .6(0) конечно и примерно вдвое превышает значение критического магнитного поля i/cl, отвечающего началу проникновения вихрей в массивный сверхпроводник. При этом параметр порядка выходит на постоянное значение ф = const при удалении от оси вихря на расстояние г ~ а поле Н(г) спадает до нуля на расстояниях г ~ А, где £ - длина когерентности, А = - лондоновская глубина проникновения магнитного поля, к - известный параметр теории Гинзбурга - Ландау.

Представляет также интерес изучить структуру вихря, когда по мере приближения вихревой нити к границе сверхпроводника часть магнитного потока, связанного с вихрем, уходит во внешнее пространство и происходит соответствующая перестройка параметра порядка в окрестности вихревой нити. Этот вопрос приобретает дополнительное значение еще и потому, что он имеет прямое отношение к проблеме нахождения поверхностного потенциального барьера, препятствующего вхождению магнитных

вихрей в сверхпроводник второго рода (см. [1 - 5]). Поставленному выше вопросу и посвящена настоящая работа, которая является этапом более общего исследования.

Будем исходить из системы нелинейных уравнений Гинзбурга - Ландау [6, 7] для векторного потенциала А и комплексного параметра порядка сверхпроводника Ф = т/'е10 (ф - модуль и 0 - фаза параметра порядка):

V2V> +' - ф3) - (У© - ^а) ф = 0. (2)

Из условия однозначности параметра порядка Ф(г) следует, что в цилиндрической системе координат, связанной с осью вихря, фазу 0(г) можно выбрать в виде 0 = щр, где 1р - полярный угол точки наблюдения (х,у) (см. рис. 1), а ц - произвольное целое число (называемое топологическим инвариантом или флюксоидом), которое показывает, сколько квантов потока связано с вихревой нитью. (Ниже будем считать /1 = 1.) Фаза 0(г) удовлетворяет условию квантования

V

" р

У у) У) /

/ / / Г7

/ 1 А" : , / \ ^

\ \ а \ \ \ N —---1- X 1 1 / / / 2 -а х= а 1 =0

=0 а Ь

Рис. 1. Система координат а) для вихря, находящегося на расстоянии а от поверхности, Ь) для вихря (1) и его изображения (2).

1> У0<Л =

с

где С - произвольный контур, внутри которого находится ось вихря. Ось вихря расположена на расстоянии а от поверхности сверхпроводника (ж = 0), а магнитное по вихря направлено вдоль оси г > 0, при этом все функции в (1), (2) зависят лишь ел

двух координат (г, с/?). Значения функций в точке г = 0, где угол не определен, будем понимать как предел при г —► 0.

В случае вихря, находящегося далеко от границ сверхпроводника, потенциал А имеет лишь одну компоненту А = е^А{г) (вследствие цилиндрической симметрии задачи). В нашем случае (рис. 1) векторный потенциал А имеет две компоненты в плоскости (ж, у): А = ехАх 4- еуАу, где ех и еу - орты вдоль осей х и у; Ах и Ау зависят только от (ж,?/), или от (г,9), поскольку

х = а + гсов^, у = гвтс^, г2 = (ж — а)2 + у2, tg<¿> = у/(х — а). (4)

Учитывая выражение (1) для тока, выделим из А вихревую часть потенциала, записав А = V + (</>о/27г)У0, где V = —47гс_1(А2/^2^, причем В = го1А = гЫУ. Уравнение (1) принимает при этом вид

Ф2

гЫгЫУ = —V. (5)

л*

Магнитный поток, связанный с вихрем, есть

Ф=/А<Л = цф0 + £у<й, (6)

с с

где контур С окружает ось вихря. Если на этом контуре вихревой потенциал V = 0, то Ф = [хфо, т.е. поток внутри контура С квантован. Если же на контуре С потенциал V ф 0, то магнитный поток (б) внутри контура не равен целому числу квантов потока, а квантуется лишь фаза (3).

Очевидно, что поток (6) через исчезающе малый контур С должен стремиться к нулю, т.е. вблизи оси вихря (при г —► 0) должно выполняться условие цфо+2жгУ^(г) = 0, или

г%(г)|г_о = (7)

Здесь учтено, что непосредственно вблизи оси вихря (при г —> 0) имеется цилиндрическая симметрия и V —> е^У^г), где е^ - единичный орт в направлении роста ¡р. Заметим, что величина потенциала У^ (7) на оси вихря не зависит от значения ф(0), однако величина тока ] = — (с^2/47гА2)У на оси вихря существенно зависит от 1^(0).

Будем считать, что магнитное поле вне сверхпроводника (при х < 0) отсутствует. При этом поле в сверхпроводнике В = го1А имеет лишь одну компоненту: В = егВ(х,у), причем на границе

В(х,у)\х=о = 0. (8)

«

Заметим, что очевидное требование = 0 автоматически удовлетворяется, поскольку ток j сам определяется из уравнения (1).

Условие квантования фазы (3) (или эквивалентное условие (7) на оси вихря) и граничное условие (8) фиксируют решение уравнения (5) для потенциала У(х,у) при заданной функции ф(х,у).

Уравнение (2) для ф можно записать в виде

2

(9)

vV + ^ - Ф3) - у2ф = о.

При решении уравнения (10) нужно потребовать выполнения обычного условия ф = 1 в глубине сверхпроводника, а также граничного условия теории Гинзбурга - Ландау [6]. справедливого на границе сверхпроводник - вакуум:

dф dx

= 0. (10)

(Можно рассматривать и более общие граничные условия, см. [7].) Кроме того, на оси вихря параметр порядка должен обращаться в ноль по закону [2]

ф(г)\г^0 = рг^ (11)

где р = const, а ц - число квантов потока, связанных осью вихря (в нашем случае р = I). Условия (10), (11) фиксируют решение уравнения (9) для параметра порядка ф(х,у) при заданной функции V(x,y).

2. Приведем прежде всего решение задачи в приближении теории Лондонов, положив в уравнении (1) ф — const и считая а —* оо (т.е. в случае уединенного вихря вдали от границ [1 - 3]). В цилиндрической системе координат (г,z) имеем V0 = e^/z/r, А = evA(r), В = е,£?(г), где В удовлетворяет уравнению rotrotB = —(ф2/А2)В, или

^ + = (12) dr2 г dr А2

причем А = (ф0/2ж)Х/(д — (A2/t/>2)rotB. Решение задачи дается формулами

Ко и К\ - функции Мак-Дональда, экспоненциально убывающие на бесконечности, причем

I = -ад, в(г) = I ¿м). = (и)

Если вихрь расположен в сверхпроводящем полупространстве (ж > 0) на расстоянии а от поверхности (ж = 0), то поле В = егВ(х,у) находится методом изображений как сумма двух решений вида (13) для вихря (рфо) в точке 1 (ж = а) и его зеркального изображения (—рфо) в точке 2 (ж = —а), см. рис. 1:

В{х,у) = /¿^ -~К{х,у), К{х,у) = К0{Р1) - К0(р2), рг = фу, р2 = ф^, (15)

П = у/(х - а)2 + у\ г2 = у/(х + а)2 + у*, (16)

Ж = а + ГхСОЭ^! = —а + Г2С08<^2, У = ПвШС^х = Г25Ш</?2-

Поле В(х,у) (15) удовлетворяет граничному условию (8), поскольку при ж = 0 имеем р1= р2 и Л'(ж, у) = 0.

Зная поле В, находим вихревой потенциал V из уравнения хЫВ = Аттс~х] = -ф2У/А2, V = ехУх + е„Уу:

фо дК(ж, у) ф0 дК{х,у)

Ух = ~^ = "К ~вГ"'

или, поскольку ¿Ко/йр = —К\(р), дг{/дж = соэ^,, дг{/ду = вшу?,- (г = 1,2),

Ух(х,у) = р^ у[Лг1(/?1)з1п<^1 - К\(р2)зту>2],

Уу(х,у) = -р^ -[^{рг)соз^ - Кх(р2)соэ^г], (17)

V2 = [р^ ^ [К2(Р1) + К2(р2) - 2К\(р1)К1(р2)со5(<р1 -

При а —> оо (/92 —* оо и Л'х(/02) —► 0) из (17) получаем, в соответствии с (13), потенциал уединенного вихря:

У(/>0 = е¥ч = -ехзт<р1 + еусоэ^!, (18)

где е¥,1 - единичный вектор, ортогональный Г1 и направленный в сторону роста (см. рис. 1).

Рис. 2 и 3 иллюстрируют поведение амплитуды магнитного поля В(х,у) (15) и потенциала У(х,у) (17) при у = 0, т.е. на линии, проходящей через центр вихря перпендикулярно поверхности:

Фо Ф2

В(х,0) = Во

. Д. = ^ (19)

1" --1-1— ---1-1---

• а=0.2

/ 1

3

Рис. 2. Зависимость В(х) при разных расстояниях а от оси вихря до границы. (Значения а указаны на кривых.)

Рис. 3. Зависимость потенциала У{х, г/)|у=о при разных значениях а.

Рис. 4. Амплитуда поверхностного тока J{y) (21) при разных а.

V(x,0) = Vo

Ki л - sign(a; - а) К i (^^р)

1/ ^ ÍO(U

' = Г (20)

Обратим внимание, что значения поля В, потенциала V и тока j на оси вихря расходятся (при ф = const). (На рис. 2-6 значения В и V даны в относительных единицах: В/Во и V/Vo).

Хотя всюду на границе сверхпроводника поле В = 0 (8), однако по поверхности (х — 0) вблизи вихря течет ток j ф 0. При х = 0 имеем (см. рис. 1) cos<¿>! = — cos <^2 = а/л/а2 + у2 и из (17) находим выражение для поверхностного тока:

срфоф3

jy{xi у)|х=о =

4тг2А3

■J(y), J(y) =

у/а2 + У2

Ki (фу/РТу*

(21)

На рис. 4 изображена амплитуда поверхностного тока J (у) (токовое пятно) при разных расстояниях а вихря до границы.

На рис. 5 изображены уровни равного поля В(х,у) = const, а на рис. 6 - уровни равного потенциала V(x,y) = const (или тока j = const) при а = 0,2 и а = 1. Из рис.

а=0.2

а=1

-0.5 -

Рис. 5. Уровни равного поля В(х,у) = const при а = 0,2 и а = 1.

5, б видно, что по мере приближения оси вихря к границе (х — 0) распределение поля и потенциала вблизи оси становится ¿-образным.

Найдем еще полный магнитный поток Ф в сверхпроводящем полупространстве, связанный с вихрем, находящимся на расстоянии а от границы. Запишем (6) в виде ф = цф0( 1 — /(а)). Поскольку на бесконечности ток ] = 0 и V = 0, то контур С в интеграле (6) совпадает с границей (х = 0). Используя (17) при х = 0, получим

1 , a °f (фу/а2 + у2\ dy

1 / 1(a) = / * (

А

Vs

2 Г „ , , dz

-а ] Kx{az)-r== = е

(см. [8], с. 345), где а = фа/А. Поэтому заключенный внутри сверхпроводника поток в приближении Лондонов (ф = const) равен

Ф = М)(1-е-°*/А),

(22)

причем экспоненциальный член дает ту часть потока вихря, которая диссипирует через границу во внешнее пространство. Экспоненциальную зависимость (22) обычно получают с помощью интуитивных соображений [1, 2]. Заметим, что в последовательной

а=0.2 а=1

Рис. 6. Уровни равного потенциала V(x,y) = const при а = 0,2 и а = 1.

теории, основанной на полной системе уравнений Гинзбурга - Ландау (1), (2), эта зависимость будет иной.

Данная работа поддержана грантом РФФИ N 97-02-17545.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Д е - Ж е н П. Сверхпроводимость металлов и сплавов, М., Мир, 1971.

[2] Т и н к х э м М. Введение в сверхпроводимость, М., Атомиздат, 1980.

[3] А б р и к о с о в А. А. Основы теории металлов, М., Наука, 1987.

[4] Bean С. P., Livingston J. D. Phys. Rev. Lett., 12, 14 (1964).

[5] Арутюнян P.M., Гинзбург В. Л., Жарков Г. Ф. ЖЭТФ, 111, 2175 (1997).

[6] Гинзбург В. Л., Ландау Л. Д. ЖЭТФ, 20, 1064 (1950).

[7] А н д р ю ш и н Е. А., Гинзбург В. Л., Силин А. П. УФН, 163, 105 (1993).

[8] П р у д н и к о в А. П., Б р ы ч к о в Ю. А., М а р и ч е в О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М., Наука, 1983.

Поступила в редакцию 27 августа 1997 г.

V