CC BY
15
УДК 517.958; 621.372.8
ЛОВУШЕЧНЫЕ МОДЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ВОЛНОВОДЕ
СО ВСТАВКОЙ
А. Н. Боголйю в, A. JI. Делицщ А. Е. Локш анова
(.кафедра математики) E-mail: [email protected]
Рассматривается спектральная задача для системы уравнений Максвелла в бесконечном полом цилиндрическом волноводе с локальной вставкой. Для случая, когда параметры среды во вставке зависят только от продольной координаты, показано существование бесконечной последовательности ловушечных мод.
Рассмотрим задачу о существовании ловушечных мод в волноводе постоянного сечения с диэлектрической вставкой. Волновод представляет собой бесконечный цилиндр постоянного сечения (¿ = 0, х (—оо, оо) с проводящими стенками. Заполнение волновода локально-неоднородно
Zi^Zl, Z>Z2
el ^ 1,
IZ1<Z<Z2
причем найдется область, где е > 1. Ограничим рассмотрение частным случаем, когда диэлектрическая проницаемость во вставке зависит только от продольной координаты е = е(г).
Задача сводится к исследованию вопроса о существовании классического решения уравнений
I е 1 rot rot Е = k2E,
ь
diveE = О,
удовлетворяющего граничным условиям
= 0,
Ехп
dQ rot Е х п
9Q
= 0
(1)
(2)
и условиям сопряжения на возможных поверхностях разрыва е.
Если существуют вещественные к и являющиеся решением задачи (1)-(2), то такое решение называется ловушечной модой.
В полом волноводе (е = 1) поле можно представить в виде (см. [1])
Е = rot фег + rot rot xez ■
Будем искать частные решения задачи (1)-(2) в аналогичном виде:
E = rot фег. (3)
Подставляя вектор Е, имеющий вид (3), в уравнение (1), получим
rot rot rot фег = ек2 rot фег, grad div rot фег — A rot фег = ек2 rot ipez, —A rot ipez = k2e{z) rot ipez = к2 rot е(г)фех.
Заметим, что
A rot фег = rot Афег
откуда
• rot (Афех) = rot (к2е(г)фег)
Для доказательства существования ловушечных мод достаточно найти какие-нибудь частные решения задачи (1)-(2). Поэтому достаточно рассмотреть уравнение
^Д ф = к2е{г)ф (4)
в пространстве ф е Ь2 с граничным условием = 0. Условие Неймана следует из граничного
условия Ехп = 0.
<эп
Поскольку коэффициент е(г) не зависит от поперечных координат, будем искать решение задачи (4) в виде ф(х, у, г) = р(х,у)г(г), где = (рп — собственные функции задачи
~Асрп = \псрп, (х,у)<ЕП, д<рп
дп
= 0.
Эта задача имеет счетное множество собственных значений А„, бесконечно растущих с номером п. Каждому из них соответствует задача для Zn(z)
-Zr.
k2£Z„
£ =
+ Xnzn = o, z e (-00,00),
s(z) ^ 1, ze(z!,z2), 1, Z<$(z1,z2).
(5)
Непрерывный спектр каждой из этих задач расположен на полупрямой к2 ^ А„.
Покажем, что у каждой из задач для Zn(z) есть хотя бы одно собственное значение, расположенное ниже границы ее непрерывного спектра. Доказательство проведем на основе метода, использованного ранее в работе [2].
Заменим задачу на бесконечной прямой соответствующей задачей на отрезке (21,22) с условиями
излучения на границах. В данном случае условия излучения принимают вид:
zn(z) = вe-v^Tг, ¿>¿2,
откуда, продифференцировав по г, получаем граничные условия 3-го рода на сечениях г\ и %2:
fc2
— \fxn (z'n + ^\n^k2zr,
= 0,
2 = 21
= 0.
(6)
2 = 22
Перейдем к слабой постановке задачи (5-6), рассматривая ее в пространстве Н1. Для этого умножим уравнение (5) на произвольный вектор ХеС1, удовлетворяющий граничным условиям (6), и проинтегрируем по отрезку (21,22):
22
Z'(z)X'(z) dz - Z'(z2)X(z2) + Z\zx)X{zx) =
21
22
= / (k2e(z) -Xn)Z(z)X(z)dz,
21
или с учетом условий (6) при zi и z2
Z'(z)X'(z) dz + - fc2 x x(X(z1)Z(z1) + X(z2)Z(z2)) =
21
(7)
22
= J(k2e(z)^\n)Z(z)X(z)dz.
21
Зафиксируем положительное к < А в граничных условиях, а в уравнении (7) заменим к2 новым спектральным параметром //
22
21
Z'(z)X'(z) dz + \/\п - к2 х x(X(z1)Z(z1) + X(z2)Z(z2)) =
(8)
= (pe(z)^\n)Z(z)X(z)dz.
Для каждого к существуют значения /¿, при которых задача (8) разрешима ( [3]). Возьмем наименьшее такое собственное значение // и исследуем зависимость /¿(fc). Если существует ко такое, что //(fco) = fco> то fc = fco доставляет решение задаче (5)-(6), т.е. является ее собственным значением.
Если Z и // разрешают задачу (8), то для них справедливо
22
(г'(г))2 dz + ^к-к* {г2(21) + г2(22)) =
(9)
= I {^гe{z)^Xn)Z2{z)dz.
21
Продифференцируем (9) по к:
22
2 к
\/К - к2
{Z2(zi) + Z2(z2)) =
^j(^Xn)zfkdz + %jsZ2dz.
21
21
Учитывая, что Z разрешает (8) для любой функции
X, в том числе для X = ——, получим
дк
2 к
Vk^K2
(Z2(zi) + Z2(z2)) = ^ I eZ2 dz
dß
откуда видно, что — < 0 при 0 < к < у/Х^. Очевиден
но //(0) > 0. Оценим /¿(й) при к2 = Хп. Так как ц — наименьшее собственное значение задачи (8), его можно определить как нижнюю грань функционала
и = inf
ген 1
(.Z'ydz + Xn / Zldz
JK^({z2{Zi) + Z2{z2))
e{z)Z2 dz
по всем возможным Z(z) e H1. Возьмем Z(z) = = const. Тогда для fc2 = A„ получим
ßn
Si
An
< Xr,
fs(z)dz
21
так как e(z) > 1 на интервале (zi,z2).
Таким образом, //(fc) на отрезке к € (0, монотонно убывает от /¿(0) > 0 до /¿min < А„. Следовательно, в какой-то точке fco € (0, кривые /¿(fc) и к2 пересекаются и //(fco) = к2.
Итак, у каждой из задач (5) для Z(z) существует собственное значение, лежащее левее непрерывного спектра к2 € [А„,оо). Спектр crCOnt задачи (4) содержит в себе спектры всех задач (5), то есть
[А„, оо) С [Ai, 00) С cjcont
а собственные значения (5) являются собственными значениями (4).
Известно, что у подобных задач с локальным возмущением коэффициентов не может быть конечной точки сгущения собственных значений (см., напр., [4, 5]). Значит, собственные значения всех
задач для Z начиная с какого-то номера п будут погружены в непрерывный спектр задачи (4) для ф и тем более исходной задачи (1) для поля Е.
Литература
1. Ильинский A.C., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М., 1991.
2. Делицын А.Л. // ЖВММФ. 2000. 40, №4. С. 616.
3. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М., 1979.
4. Глазман И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. М., 1963.
5. Jones D.S. // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1953. 49. P. 668.
Поступила в редакцию 09.07.03
