CC BY
29
20
ВМУ. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2011. № 2
Математическое моделирование волноводов, содержащих локальные
вставки с фрактальной структурой
А.Н. Боголюбов0, A.A. Петухов0, Н. Е. Шапкина
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра математики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.
E-mail: " bogan7@yandex.ru, ьpetukhov@physics.msu.ru Статья поступила 01.11.2010, подписана в печать 19.11.2010
Настоящая работа посвящена моделированию диэлектрических волноводов, содержащих локальные вставки с неоднородным распределением диэлектрической проницаемости, в том числе фрактальным. Рассматривается трехмерная скалярная задача для уравнения Гельмгольца, решение которой проводится численно с применением неполного метода Галеркина и метода конечных разностей. Рассчитываются спектры пропускания для одномерных, двумерных и трехмерных вставок с периодическим и фрактальным распределением диэлектрической проницаемости. Проводится сравнение характеристик вставок различного типа. Предлагаются возможные варианты практического применения изученных вставок.
Ключевые слова: локально нерегулярный волновод, фрактал, фотонный кристалл.
УДК: 517.538.72, 541.421. PACS: 42.79.Gn.
Введение
Исследование волноведущих систем является важной задачей современной физики. Волноводы составляют основу волоконной оптики, оптических систем передачи информации, радиоэлектроники и систем связи, а также имеют множество других практических применений. Широчайший спектр применения волноводов в современной технике обусловливает необходимость дальнейшего развития теории волноводов и математических методов решения волноводных задач. Большой интерес представляет исследование нерегулярных волноводов: внесение неоднородностей в регулярный волновод позволяет управлять свойствами излучения, распространяющегося в волноводе.
В настоящей работе мы рассматриваем прямоугольные диэлектрические волноводы, содержащие локальные вставки-неоднородности с кусочно-постоянным распределением характеристик (диэлектрической проницаемости). Такие вставки, с одной стороны, просты в изготовлении, а с другой — позволяют в достаточно широких пределах управлять свойствами проходящего излучения. В этом классе вставок отдельно стоит отметить вставки с фрактальным распределением характеристик. Фрактальные структуры обладают уникальным свойством самоподобия, не присущим обычным физическим объектам, описываемым классической евклидовой геометрией [1-4]. Благодаря этим особенностям фрактальные объекты проявляют свойства, резко отличающиеся от свойств объектов с обычными геометрическими формами и строго периодических структур. Так, например, дифракция электромагнитных волн на фрактальных решетках приводит к образованию самоподобных дифракционных картин [5]. Свойство самоподобия передается от физической системы ее откликам на внешние воздействия. Аналогично излучение, проходящее через фрактальную вставку в волноводе, также проявляет свойства самоподобия (например, име-
ет самоподобный спектр), обусловленные самоподобной структурой вставки.
В настоящей работе мы исследуем одно-, двух-и трехмерные периодические и фрактальные вставки. Полученные результаты для периодических и фрактальных вставок сравниваются друг с другом, выявляются особенности спектров пропускания каждого типа вставок и обсуждается возможное практическое применение этих вставок.
1. Постановка задачи и методика численного расчета
Рассмотрим трехмерную скалярную задачу дифракции волны в регулярном прямоугольном волноводе, бесконечном по продольной координате г и содержащем локальную вставку-неоднородность в ограниченной области пространства Б (рис. 1). Поле и внутри системы описывается уравнением Гельмгольца. На границах волновода ставятся однородные граничные условия Дирихле. В случае, когда свойства вставок зависят только от продольной координаты &2 = &2(,г), данная постановка соответствует векторной задаче, граничные условия — идеально проводящим стенкам, причем и является продольной составляющей вектора электрического поля в волноводе и = Ег. Отметим, что это замечание справедливо, в частности, для всех одномерных вставок. На открытых концах волновода ставятся парциальные условия излучения [6] (временная зависимость выбирается в виде е~ы). Таким образом,
Рис. 1. Схема волновода с локальной неоднородностью
полностью математическая постановка задачи в данном случае выглядит следующим образом:
Ди + у, г)и = О, ди . .к
г=0
.г е£>,
УкЛх<У)с1х <1у = 2гЧь/,Л«ь/,» йы
ди дг
П'^и
ЪАХ'У) <1х с1у = 0.
Здесь 5 — сечение волновода, дБ — его граница; ПАх.у) — нормированные собственные функции сечения, — постоянные распространения мод левой и правой регулярных частей волновода, / = 1,2,...; Ак»,1» — амплитуда возбуждающей моды номера (&0> /о). В случае кусочно-постоянных вставок постановка задачи дополняется условиями сопряжения на поверхностях раздела коэффициента кг.
В рамках данной работы характеристики волновода слева и справа от вставки мы полагаем одинаковыми. Кроме того, как было отмечено выше, мы ограничимся рассмотрением кусочно-постоянных распределений диэлектрической проницаемости внутри вставки.
Численное решение необходимо строить лишь в центральной части волновода, где расположена неоднородность. Построение решения проводится с помощью неполного метода Галеркина [6]. Применение данного метода сводит исходную задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для коэффициентов в разложении поля по собственным функциям сечения. Система дополняется граничными условиями третьего рода, явно следующими из парциальных условий излучения. Для данной задачи строится разностная схема, и полученная система линейных уравнений решается методом матричной прогонки [7].
2. Основные результаты расчетов 2.1. Одномерные вставки
Рассмотрим одномерные периодические и фрактальные вставки. Распределение диэлектрической проницаемости в волноводе в случае периодической вставки представлено на рис. 2, а. Оптически более плотные слои, показанные более темным цветом на рисунке, имеют значение г = 2, менее плотные — е=\. Такая структура представляет собой одномерный фотонный кристалл. Спектр пропускания для такой вставки (рис. 2,6) характеризуется наличием запрещенной зоны [8]. Полученные результаты хорошо согласуются с данными, приведенными в литературе [8-10].
Одномерная вставка, построенная на основе фрактала Кантора (рис. 3,о), также проявляет свойства фотонного кристалла. В его спектре состояний присутствуют запрещенные зоны, однако расчеты показывают, что структура этих зон существенно отличается от структуры запрещенных зон периодических фотонных кристаллов (рис. 3,6). Стоит отметить несколько особенностей. Во-первых, спектральная характеристика фрактальной структуры является более изрезанной, нежели характеристика периодического фотонного кристалла,
1.0 1.2 1.4 Нормированная частота
Рис. 2. Периодическая вставка: распределение диэлектрической проницаемости (а) и спектр пропускания (б)
и число запрещенных зон увеличивается. Эти эффекты проявляются тем сильнее, чем выше порядок итерации фрактала (рис. 3). Во-вторых, внутри запрещенной зоны образуется резкий пик пропускания, ширина которого мала по сравнению с шириной запрещенной зоны. В силу симметрии фрактала этот пик располагается практически в центре запрещенной зоны. Наличие этого свойства обусловлено также и тем фактом, что фрактальный фотонный кристалл можно рассматривать как периодический фотонный кристалл с дефектами [8-9].
2.2. Двумерные и трехмерные вставки
Двумерная периодическая вставка по сути представляет собой двумерный фотонный кристалл. Рассчитанный для такой вставки спектр пропускания также характеризуется наличием запрещенной зоны. Здесь стоит сразу сделать оговорку. С точки зрения исследования свойств двумерных фотонных кристаллов, эта характеристика справедлива только для волн, распространяющихся вдоль направления одного из элементарных векторов решетки. В рамках настоящей работы не анализируются те свойства фотонных кристаллов, которые проявляются при несовпадении направления распространения волны с одним из направлений векторов решетки. Это замечание справедливо для всех рассмотренных в работе двумерных и трехмерных вставок. В силу данного замечания спектральные характеристики, рассчитанные для выбранных двумерных и трехмерных как периодических, так и фрактальных вставок, похожи, однако между ними есть и некоторые отличия. Например, в спектрах, полученных для
11 ВМУ. Физика. Астрономии. .>6 2
22
ВМУ. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2011. № 2
1.0 1.2 1.4 1.6 1. Нормированная частота
Рис. 4. Структура фрактальных вставок 3-го порядка итерации: двумерная вставка (ковер Серпинского) (а) и трехмерная вставка (губка Менгера) (б)
1.0 1.2 1.4 1.6 Нормированная частота
Рис. 3. Канторовская вставка: распределение диэлектрической проницаемости (вставка 3-го порядка итерации) (а); спектр пропускания (вставка 3-го порядка итерации) (б); спектр пропускания (вставка 2-го порядка итерации) (в)
двумерной и трехмерной периодических вставок присутствует запрещенная зона, однако, согласно расчетам, при переходе от двумерной вставки к трехмерной частота центра запрещенной зоны заметно смещается в сторону больших частот.
Рассмотрим далее двумерные и трехмерные фрактальные вставки. В двумерном случае исследовалась вставка, построенная на основе ковра Серпинского (рис. 4, а). Расчеты показывают, что спектр пропускания такой вставки существенно отличается от характеристик как двумерного периодического фотонного кристалла, так и одномерной канторовской вставки. В спектре пропускания ковра Серпинского получены очень узкие запрещенные зоны, представляющие собой
0.2 0.3 0.4 0.5 Нормированная частота
_ ... 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Нормированная частота
Рис. 5. Спектры пропускания фрактальных вставок 3-го порядка итерации: двумерная вставка (ковер Серпинского) (а) и трехмерная вставка (губка Менгера) (б)
скорее «точки непропускания» (рис. 5,а). Аналогичные результаты получены для вставки, построенной на основе трехмерного аналога ковра Серпинского — губки Менгера (рис. 4,6). В спектре пропускания губки Менгера (рис. 5, б) также присутствуют «точки непропускания». Однако, как и в случае с двумерной и трехмерной периодическими структурами, частоты непропускания на спектральной характеристике губки Менгера оказались смещены вправо относительно частот непропускания ковра Серпинского. Кроме того, некоторые диапазоны непропускания стали более узкими и глубокими.
Заключение
В заключение подведем некоторый итог полученным результатам и скажем несколько слов о перспективах и направлениях дальнейших исследований. В работе проведено моделирование процесса дифракции волны на неоднородности в волноводе, проведены численные эксперименты для одномерных, двумерных и трехмерных периодических и фрактальных вставок. В отличие от свойств периодических структур, фрактальные вставки обладают самоподобными спектрами пропускания. Запрещенная зона одномерных канторовских вставок имеет более сложное строение, в ней появляются узкие пики пропускания. В то же время двумерные и трехмерные вставки проявляют противоположные свойства: на фоне широкого диапазона частот, для которого вставка оптически прозрачна, наблюдаются запрещенные частоты. Таким образом, фрактальные вставки можно, например, применять в качестве различных оптических фильтров с хорошими характеристиками.
Список литературы
1. Кроновер Р. Фракталы и хаос в динамических системах. М„ 2006.
2. Яновский В.В. // Universitates. 2003. N 3.
3. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. М.; Ижевск,
2004.
4. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. Ижевск, 2005.
5. Боголюбов А.Н., Петухов А.А., Шапкина Н.Е. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2008. № 2. С. 7.
6. Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М., 1991.
7. Калиткин Н.Н. Численные методы. М., 1978.
8. Monsoria J.A., Zapata-Rodriguez C.J., Silvestre Е., Furlan W.D. U Opt. Cornrnun. 2005. 252. Р. 46.
9. Laurinenko A.V., Zhukousky S. V., Sandomirski K.S., Gaponenko S.V. // Phys. Rev. E. 2002. 65. P. 036621.
10. Marcuse D. // IEEE J. Quant. Electronics. 1992. 28, N 2. P. 459.
11. Левин Л. Теория волноводов. Методы решения волновод -ных задач. М., 1981.
12. Маркузе Д. Оптические волноводы. М., 1974.
13. Марков Г. Т., Васильев Е.Н. Математические методы прикладной электродинамики. М., 1970.
14. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М., 1974.
15. Унгер Х.-Г. Планарные и волоконные оптические волноводы. М„ 1980.
16. Васильев Е.Н., Сурков В.И. Радиоволноводы. М., 1990.
17. Никольский В.В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики. М., 1967.
18. Wik Al, Dumas D., Yevick D. // J. Opt. Soc. Arner. A.
2005. 22, N 7. P. 1341.
19. Боголюбов A.H., Лавренова А.В. // Матем. моделирование. 2008. 20, № 2. С. 122.
Mathematical modeling of waveguides with fractal insets A. N. Bogolyubova, A. A. Petukhov' , N. E. Shapkina
Department of Mahematics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.
E-mail: a bogan7@yandex.ru, bpetukhov@physics.msu.ru.
The paper is devoted to mathematical modeling of rectangular dielectric waveguides with local periodic and fractal insets. A three-dimensional scalar boundary-value problem for the Helrnholtz equation is considered. The solution is obtained numerically by means of incomplete Galerkin method and finite-difference techniques. The transmission spectra for one-, two- and three-dimensional periodic and fractal insets are computed and compared with each other. Practical applications are suggested.
Keywords: waveguide with local non-regularities, fractals, photonic crystals. PACS: 42.79.Gn. Received 1 November 2010.
English version: Moscow University Physics Bulletin 2(2011).
Сведения об авторах
1. Боголюбов Александр Николаевич — докт. физ.-мат. наук, профессор; тел.: (495) 939-10-33, e-mail: bogan7@yandex.ru.
2. Петухов Андрей Андреевич — аспирант; e-mail: petukhov@physics.msu.ru.
3. Шапкина Наталья Евгеньевна — канд. физ.-мат. наук, доцент; тел.: (495) 939-10-33, e-mail: neshapkina@mail.ru.
12 ВМУ. Физика. Астрономия. № 2
