О способе повышения нижней границы непрерывного спектра в задачах спектральной теории волноведущих систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА УДК 517.958; 621.372.8

О СПОСОБЕ ПОВЫШЕНИЯ НИЖНЕЙ ГРАНИЦЫ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА В ЗАДАЧАХ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ВОЛНОВЕДУЩИХ СИСТЕМ

М. Д. Малых

(.кафедра математики) E-mail: [email protected]

Рассмотрена задача о возбуждении установившихся колебаний в волноводе. Показано, что неэквивалентная ей задача, нижняя граница непрерывного спектра которой выше, чем у исходной, может быть использована для доказательства фредгольмо-вости. Это доказательство не использует ни бесконечных сумм, ни специфических функциональных пространств.

Поскольку локализованный в пространстве волновода ток ]'еш1 создает поле в дальней зоне при частотах, больших первой частоты отсечки, это поле заведомо не является элементом пространства Ь2, и потому для доказательства фредгольмовой разрешимости задачи о возбуждении установившихся колебаний приходится рассматривать некоторые вспомогательные задачи, тем или иным способом отрезая бесконечную часть области и поднимая нижнюю границу непрерывного спектра [1, 2]. Обычно при этом стремятся к тому, чтобы получить эквивалентную задачу, т.е. чтобы существование решения одной из них влекло существование решения другой, жертвуя простотой задачи. Из-за этого возникают сложные функциональные пространства, в которых применение стандартных методов функционального анализа (теории возмущений, например) представляет отдельную и в общем виде до сих пор не решенную задачу. В настоящей работе пожертвуем как раз эквивалентностью и покажем, что это не мешает доказательству фредгольмовости.

В качестве волноведущий системы рассмотрим следующий достаточно общий случай. Пусть X — область в Ж" , состоящая из компактной области Хо (резонатора) и цилиндра Х\ постоянного сечения 5; пусть д — вещественная кусочно-непрерывная функция, характеризующая заполнение волновода, а / — гладкая функция, характеризующая распределение тока внутри волновода. Пусть, далее, носители Бирр(<7 — 1) и эирр/ лежат в резонаторе. Направим ось Ох по оси цилиндра, а переменные, меняющиеся вдоль сечения цилиндра 5, обозначим как у. Пусть X выходит на цилиндр при х = ао. Далее, обозначим как фп и ап собственные функции и собственные значения задачи Дирихле на

сечении 5, т. е.

Аф + а2ф = 0, ^€^1(5). Задачу о возбуждении установившихся колебаний возьмем для простоты в скалярной постановке

Аи + \аи = /, х Е X,

(1)

и = 0, хедХ,

с парциальными условиями излучения. Понятие обобщенного решения введем следующим образом. Определение. Функция и = V + т,

о

где V € Ш12(Х), а т — один раз непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая граничным условиям ш)\дх = 0 и парциальным условиям излучения

и>= Кпе{^^1х1ф„(у) + ^/]2(Х), (х,у)еХь

п: А><*]

называется обобщенным решением (1), если

dтu(A + Xq)g*-fg* = 0 V деС?(Х), (2)

х

где йт = йхйу — элемент объема области X.

При Л < а\ обобщенное решение и является про-

о

сто элементом Ш12(Х). В этом пространстве в силу теоремы Рисса задача может быть записана как

и — ХАи = Я/,

где А и Н — самосопряженные операторы и, как и в случаях, рассмотренных в [3] и в [4],

ае^(А) = [а?, оо).

Поэтому при Л < а\ задача (1) — фредгольмова в

о

гильбертовом пространстве Ш12(Х), т.е. при данном

А или существует единственное ее решение из клас-

о

са Wl2(X), или имеется нетривиальное решение из

о

Wl2(X) однородной задачи. Это решение называется ловушечной модой, отвечающей изолированному собственному значению Л.

Для того чтобы аналогично рассмотреть случай Л € (а|,а|), нужно поднять нижнюю границу непрерывного спектра. С этой целью зададимся произвольным числом а ^ ао и введем вспомогательное пространство Sj, образованное всеми функциями

о

V е Wl2(X), для которых

у{х,у)'ф\{у)йу = 0 Vx^a.

В силу теоремы о следах это условие имеет смысл

о

во всем TFgCS). Рассмотрим теперь в пространстве Sj обобщенную задачу

dr(Vg,Vv)-Xqg*v + g*f = 0 VgESj. (3)

х

В силу теоремы Рисса эта задача может быть записана как

v — XAv = Hf, где А и Н — самосопряженные операторы и (7eSs04) = [а|,оо). Поэтому при рассматриваемых Л эта задача фредгольмова. Решение задачи (3) будем для краткости обозначать как v = v(a), указывая лишь на существенную для всего дальнейшего зависимость от а.

Решение этой вспомогательной задачи (3) не является, конечно, решением (1), но при его помощи можно таковое построить.

Теорема. Если при данном А € (а|, а2) и при некоторых а\ и а,2 существуют решения v(a\) и о(аг) задачи (3) при а = а\ и а = аг соответственно, то и задача Дирихле (1) имеет решение, которое внутри резонатора есть линейная комбинация v(a\) и 0(02).

Доказательство. 1. Пусть v = v(a) и / — вещественная функция. Покажем, что можно подобрать такую элементарную функцию w(x), что функция

и = v + ф\(y)w(x) будет удовлетворять соотношению

dr(Vg,Vv)-Xqg*v + g*f = 0 V geC$°(X).

х

В самом деле, поскольку множество гладких функций, носитель которых лежит в области |х| ^ а,

о

принадлежит Sj, функция v € Sj С Wl2(X) удовлетворяет уравнению

dT(Vg,Vv)-\qg*v + g*f = 0 VgeCf(X0).

(Отсюда в силу леммы Вейля видно, что v(a) классические решения задачи (1) в резонаторе.) В цилиндре Х\, где q = 1, верно и уравнение

dT(Vg(x)if)n, Vo) - \g(x)if)nv = О

для любой g с компактным носителем и п > 1. При п= 1 выражение g(x)'ф\(y) принадлежит $) лишь в случае, когда g(x) = 0 при х > а. Заметим, что функцию

Щ (х) =

dyv-ф 1

s

можно наити явно с точностью до множителя, а именно, она удовлетворяет условию

+ (Л _ а2)щ = о

при ао < х < а, и и б Я дает у\ (х) = 0 при х > а, поэтому

Щ (х) =

k sin О,

у^А — а\{х — а)

, хе(а0,а),

х > а,

где & — некоторая вещественная константа, зависящая от а, А и /. Положим

и = V + т{х)ф 1 (у),

у^А — а|(х — а)

где

w(x) = h(x — a)k sin

/г — функция Хевиеайда, т. е. продолжим у\(х) симметрично через точку х = а. По построению очевидно, что уравнение

dr (Vg(x)i/>i, Vu) - Xg(x)$\u = 0

удовлетворяется при всех g(x) с компактным носителем и g(a) = 0.

Покажем, что последнее условие излишне. Для этого возьмем произвольную g(x) с носителем в (ао, ао + 2(а — ад)) и, используя то, что в этой области т(а + 0 = —ш(а — I), получим

dr (Vg(x)i/>i, Vu) - Xg(x)^\и ■■

x

a—ciQ

dt [g(a + t)-g(a-t)]'w' --(X-a2l)[g(a + t)-g(a-t)]w = 0,

поскольку + — обращается в нуль при

I = О, т.е. х = а.

В силу ортогональности фп доказанное можно объединить в равенство

с1т {Уц(,х)фп, Уи) - Хд(х)фпи = О У деС^(а0,оо), п= 1,2...,

О

откуда в силу полноты <фп в ^(5) видно, что

dт(Vg,Vv) + Xqg*v + g*f = 0 V

х

2. Решение и(а), построенное выше, не удовлетворяет парциальным условиям излучения. Вместо них верно условие

и = k(á) sin

Л — а\ (х — а)

W¡(X),

где к(а) — некоторая константа, зависящая, вообще говоря, от а. Рассмотрим теперь линейную комбинацию двух таких функций

и := с\и(х,у;а\) + с2и(х,у;а2).

В силу линейности всех задач II будет решением (1) лишь если

С\+С2=1.

Покажем, как подобрать эти константы так, чтобы и удовлетворяла и парциальным условиям излучения _

и = + (X).

Это условие приводит к системе

k{a\)e^illül с\ +k(a2)e"

■4la2

с2-К = О,

k{a\)e+iliaiс\ +k(a - 2)e+i^a42 = О, c¡+c2= 1, определитель которой равен

Ь(а2)е^а2 - k(a¡)e^m

(4)

и может обратиться в нуль при вещественных & лишь при к(а) = к(Ь) = 0. Но если к(а) = 0, то и(х,у\а) не терпит разрыва при х = а и само есть решение (1) в X. Теорема доказана.

Заметим теперь, что задача (3) фредгольмова при Л € (а2, а|), поскольку этот участок не вложен в непрерывный спектр. Поэтому при данном значении параметра а и данном значении Л или имеется решение неоднородной задачи (3), или Л — собственное значение, т. е. при этом значении задача

är(Vg,Vv)-Mg'v = 0 VgESj

(5)

X

имеет нетривиальное решение. В силу теорем регулярной теории возмущений собственное значение этой задачи зависит от а непрерывно, поэтому если при некотором значении а = a¡ число Л не является собственным значением, то же верно и для всех достаточно близких к а = а\ значений. Значит, если задача (3) имеет решение при а = a¡, то обязательно и при некотором другом значении а. Используя это замечание, доказанную теорему можно сформулировать в виде альтернативы: или задача (3) имеет решение при некотором значении а, и тогда задача (1) тоже имеет решение, или Л является собственным значением (5) при всех значениях а.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 06-01-00146).

Литература

1. Делицын А.Л. // ЖВМ и МФ. 2000. 40, № 4. С. 606.

2. Боголюбов А.Н., Малых М.Д. 11 Радиотехника и электроника. 2005. 50. № 2. С. 218.

3. Jones D.S. Ц Ргос. Camb. Phil. Soc. 1954. 49. P. 668.

4. Боголюбов A.H., Малых М.Д., Свешников А.Г. 11 ЖВМ и МФ. 2002. 42. № 12. С. 1833.

5. Боголюбов А.Н., Малых М.Д., Свешников А.Г. // Докл. РАН. 2002. 385. № 6. С. 744.

Поступила в редакцию 03.06.05