Об одном возможном обобщении понятия пространства Соболева Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.634

ОБ ОДНОМ ВОЗМОЖНОМ ОБОБЩЕНИИ ПОНЯТИЯ ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА

М. Д. Малых

(.кафедра математики) E-mail: [email protected]

Введено понятие ко-пучка пространств Соболева, обобщающее понятие пространства Соболева, доказано обобщение теоремы Реллиха-Фридрихса, под которое подпадают операторы краевых задач в неограниченных областях и, в частности, волноводах.

Ряд проблем, возникающих при рассмотрении краевых задач акустики и электродинамики, можно представить в новом свете, если систематически изучить проникновение топологии области «-мерного евклидова пространства, в котором рассматривается задача, в топологию соответствующего пространства Соболева. В качестве примеров проникновения одной топологии в другую можно указать теорию узловых линий Куранта [1], теорию множеств закрепления, развитую A.A. Самарским [2], теоремы о существенном спектре [3-6] или наши исследования о распространении понятия обобщенного решения задачи Дирихле на решения, не принадлежащие L2 [7].

1. Ко-пучок гильбертовых пространств

о

При введении пространства Соболева Wl2(X) его элементы перестают быть функцией на X, иными словами, забывается топология пространства X, но при этом между объектами, имеющими смысл

о

в топологии Wl2(X), и объектами, имеющими смысл в топологии Ж", существует ускользающая при таком подходе связь.

Для того чтобы сохранить топологию X, рассмотрим правило, по которому каждому открытому множеству U в X с К" ставится в еоответ-

о

ствие гильбертово пространство W2(U), причем для

о

определенности W2(0) = 0. Эту конструкцию будем

о

называть ко-пучком пространств Соболева Wl2(X) на топологическом пространстве X с К".

На языке теории категории [8] это можно выразить так: пусть ТорХ — категория, объектами которой являются открытые множества в X, а стрелками — вложения, тогда предпучок — /соктрвариантный функтор из Top X в категорию 2Ш абелевых групп. В нашем случае можно сказать, что ко-пучок Соболева — это /совариант-ный функтор из ТорХ в категорию 2Ш абелевых групп, чем и объясняется приставка «ко». При этом,

конечно, последнюю категорию можно уменьшить

о

до категории подпространств Ш12(Х), в которой стрелками опять являются вложения. Эта аналогия позволит дальше использовать некоторые конструкции из алгебраической геометрии.

Отметим, что указанное соответствие корректно определено для любой области II, даже с негладкой границей. В самом деле, множество (II) вложено в Со°(Ж'1), поэтому норма и скалярное произведение Ш2 вполне определены на этом множестве как обычные римановы интегралы по области в Ж" . Следовательно, предгильбертово пространство С™ (II)

о

можно замкнуть по норме и получить Ш2(11). Точно так же, как исследование разрешимости задачи Дирихле на компакте X опирается на теорию компактных операторов в гильбертовых пространствах, исследование в случае произвольной области X опирается на теорию операторов в ко-пучках гильбертовых пространств. Последние понимаются так.

Определение 1. Скажем, что на топологическом пространстве X задан ко-пучок гильбертовых пространств %(Х), если каждому открытому множеству II с X отвечает гильбертово пространство $)(11), причем

1) вложение £У с и' влечет #(£/) С$)(и')-,

2) Ж0) = О;

3) конечному пересечению областей Ц- отвечает

4) произвольному (быть может, несчетному) объединению областей 11а соответствует замыкание по норме $) линейного пространства, образованного всевозможными конечными суммами элементов из пространств ЫЮ, т-е-

Жи£4) = 5>04).

В качестве гильбертова пространства, индуцированного на замкнутом множестве X, примем ортогональное дополнение к $)(Х — X), т.е.

Ш) :=ИХ-г)Т.

2. Операторы, компактные на множестве в X

Теперь можно ввести новый класс операторов, занимающий промежуточное положение между компактными и ограниченными операторами в &(Х). Оператор А б £(&(Х)) назовем компактным на открытом или замкнутом множестве У С X, если этот оператор переводит любую последовательность уп ограниченную по норме в компакт-

ную, т. е.

уп ||о„|| ^ С =4- Avn| сходится по норме

(1)

Аналогично квадратичная форма а(и) называется компактной на У, если верно

а(ип) а (а). (2)

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Самосопряженный, ограниченный, положительно определенный и вещественный оператор А является компактным на У, если квадратичная форма (и,Аи) компактна на У.

Доказательство. Обозначим спектральное семейство самосопряженного ограниченного оператора А как £(А) [9, с. 341]. Тогда при сделанных предположениях оператор

1ИН

у/А =

л/\йЕ(Х)

будет самосопряженным. Поэтому \\VAv\f = (у,Ау),

и компактность квадратичной формы (о,/Ь) на У влечет компактность \/А. Но тогда и оператор компактен на У.

Теоремы (6) и (9) из [10, с. 35], восходящие к Эрлингу, позволяют сформулировать следующий критерий локальной компактности квадратичной формы.

Квадратичная форма а на ^ компактна на У, если для любого числа € € (0, 1] существует такая окрестность 11х и компактная квадратичная форма а€ на что

|а(о)| < е||о|| + |ае(о)|, оеЖК).

(3)

Наоборот, если а — компактная на У квадратичная форма, а Ь — компактная симметричная, строго положительная квадратичная форма на 1}(У)> то для любого положительного числа е > 0 найдется такое положительное число к(е), что справедливо неравенство

|а(о)| ^ б||о||2 + к{е)Ь{и), ие^(У).

(4)

3. Обобщение теоремы Реллиха-Фридрихса

о

Рассмотрение в Ш12(Х) задачи Дирихле об отыскании функции V, удовлетворяющей условиям

До + Хди = / в X, V\эх = 0,

(5)

где ц и / — данные функции, а А — данное число, в некомпактной области X осложнено тем, что билинейная форма

д(х) йх

х

порождает ограниченный, но не компактный оператор. Используя введенные выше понятия, можно утверждать следующее.

Теорема 2 (обобщение теоремы Реллиха-Фридрихса). Оператор А, порожденный билинейной формой

(ш, Аи) о

Ш)2(Х)

д(х) йх

х

где д(х) — кусочно-непрерывная комплекснознач-ная функция, абсолютное значение которой ограничено сверху, является компактным на любом компактном множестве.

Доказательство. Заметим, что комплекено-значная функция д может быть представлена в виде суммы

ч(х) = <71 (х) - д2(х) + 1д3(х) - 1д4(х), где цп(х) — кусочно-непрерывные неотрицательные функции. Каждая из них порождает неотрицательно определенные операторы Ап, к которым можно применить предыдущий критерий компактности. Поскольку А = А\ — + 1А% — ¿/Ц, все сводится к случаю неотрицательно определенной д, положительной на компакте У.

В силу теоремы Реллиха квадратичная форма, соответствующая оператору А, компактна на любом

о

множестве Ш2(11), где II — открытый компакт в X С К" .

Большие трудности доставляет случай, когда рассматриваемый компакт У замкнут. Пусть {ип} — слабо сходящаяся к нулю относительно екалярно-

о

го произведения элементов пространства Ш2(У), а следовательно, и ограниченная поеледователь-

о

ность элементов Ш2(У): II Уп

<С.

Существует открытая компактная область II с гладкой границей, содержащая целиком У, поэтому можно воспользоваться разбиением единицы, а именно взять две гладкие функции <р(х) и ф(х) на Ж" , для которых

■ф(х) + <р(х) = 1, Щу = 1, вирр^с и.

Тогда

при этом

ип = фип + <рип, 'ipvneWl2(U),

\Фип\\ж,

поскольку ф € Со°(и). Раз II — компакт, то из {Афип} можно выделить сходящуюся к некоторому элементу и по норме Ш2 подпоследовательность

Афущ

Но, с другой стороны,

и.

(т,Афу)

q(x) dx тфу = ('фт,Аи),

и в силу vn —1 0 верно

{т,Афуп ) = {Афт, vn

0.

Поэтому (т,АфуПк — и) стремится к — (хю,и) и к нулю одновременно. В силу положительной определенности А

Афц

«к

0

в норме Ш12(Х). Положим теперь

тк\=(руПк, %\=Ашк

и докажем, что эти последовательности ограниченны. Первая последовательность есть разность ограниченных по норме Ш2 последовательностей уПк и фуПк. Относительно второй заметим, что

о

€ Ш2(У) влечет

Аип = 0, х еХ — У,

поэтому

Д = Ашк = А (<рьПк) = уПкА(р + фьПк,Ч<р)

при всех х Е X. Поскольку функция ф € С™(II) и функция <р меняется лишь в некоторой компактной области и, то и Д € Ь2(11) равномерно ограниченна: ^ С'.

В силу компактности вложения Ш2 (II) в Ь2(11) из {ау^} как последовательности элементов Ш2 (II) можно извлечь последовательность, сходящуюся

к некоторому элементу w в норме L2(U). В силу того что эта последовательность слабо сходится к нулю, сам элемент и равен нулю. Но тогда в силу

\\т\\щЧх) = \(m,fk)LHu)\< IKIIí.2(t/)> ll/n|ll2(t/) ^ C|WIí.2(í7)

подпоследовательность wkp сходится к нулю

о

и в норме Wl2(X).

Как указывает пример сужающейся трубы, рассмотренный в начале работы Реллиха [11], обратное неверно: существуют некомпактные области, на которых определенный таким образом оператор А не является компактным.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 06-01-00146).

Литература

1. Гильберт Д., Курант Р. Методы математической физики. Т. 1. М.; Л., 1951; Т. 2. М., 1945.

2. Самарский A.A. // Докл. АН СССР. 1948. 63, № 6. С. 631 (Избр. труды. М„ 2003. С. 23-27).

3. Бирман М.Н. // Вести. Ленингр. ун-та. 1962. № 1. С. 22.

4. Wolf Fr. II Koninklijke Nederlandse Akademie van Wettenschappen. Proceedings. Ser. A. 1959. 62, N 2. P. 142.

5. Iones D.S. 11 Proc. Camb. Phil. Soc. 1954. 49. P. 668.

6. Krejciric D., Kriz J. // Publ. Res. Inst. Math. Sei. Kyoto University. 2005. 41. P. 757.

7. Боголюбов A.H., Малых M.Д. I ! Вести. Моск. ун-та. Сер. 3. 2005. № 4. С. 12 (Moscow University Phys. Bull. 2005. N 4. P. 13).

8. Манин Ю.И. Лекции по алгебарической геометрии. Ч. 1. Аффинные схемы. М., 1970.

9. Рисс Ф., С.-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М., 1979.

10. Stummel F. Rand- und Eigenwertaufgaben in Sobolewschen Räumen. Berlin; Heidelberg; N. Y., 1969.

11. Reilich Fr. Studies and Essays Presented to R. Courant. N. Y., 1948. P. 329.

Поступила в редакцию 15.03.06