О значении элемента пространства Соболева w\{x) в точке области x Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.634

О ЗНАЧЕНИИ ЭЛЕМЕНТА ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА W\(X)

В ТОЧКЕ ОБЛАСТИ X

М. Д. Малых

(.кафедра математики) E-mail: [email protected]

Введено понятие ко-пучка пространств Соболева и значения элемента Соболева пространства в точке. Указаны некоторые теоремы о связи сходимости по норме и поточечной сходимости.

При исследовании краевых задач, рассматриваемых в области X п-мерного евклидова пространства Ж", требуется изучить проникновение топологии пространства X в топологию пространства Собо-

о

лева Ш12(Х), чему посвящены работы [1, 2]. При этом удобно ввести следующее обобщение понятия гильбертова пространства:

Определение. Скажем, что на топологическом пространстве X задан ко-пучок гильбертовых пространств %(Х), если каждому открытому множеству II с X отвечает гильбертово пространство $)(и), причем

1) вложение и С и' влечет #(£/) С$)(и')-,

2) Ж0) = О;

3) конечному пересечению областей Ц- отвечает

4) произвольному (быть может, несчетному) объединению областей 11а соответствует замыкание по норме # линейного пространства, образованного всевозможными конечными суммами элементов из пространств &(иа), т.е.

Жи£4) = 5>04).

В качестве гильбертова пространства, индуцированного на замкнутом множестве X, примем ортогональное дополнение к — т.е.

В частности, поставив в соответствие каждому открытому множеству II в X с Ж" пространство

о о

Соболева Ш12(11) и приняв Ш12(0) = 0 для определенности, получим ко-пучок пространств Соболе-

о

ва УУ2(Х) на топологическом пространстве

Широкий класс приложений открывает уже то простое наблюдение, что любая точка х в Ж" является замкнутым множеством, и поэтому определено

о

пространство Ш12(х). Удается доказать следующее:

Теорема 1. Пространство W2(x) одномерно,

о

и если обозначить проектор на Wl2(X) как Р(х), то для любой гладкой в точке х функции v верно

P(x)ü = ü(x)P(x)w, (1)

где w — произвольная гладкая функция, равная единице в точке х.

о

Тем самым для любого элемента Wl2(X) можно ввести понятие значения в точке х как коэффициента в разложении P(x)v по базису, состоящему из одного вектора ех = Р(х), т.е. равного образу произвольной гладкой функции, равной единице в точке х.

Доказательство теоремы 1 разобьем на несколько утверждений.

о

1. Пространство W2(x) образовано гармоническими функциями с особенностью в точке х, причем

C2(X)nW]2(x) =0. (2)

о

В самом деле, пространство W2(x) образова-

о

но всеми элементами W2()0, ортогональными

о

к Cq°(X — х), поэтому v € W2(x) означает, что dx(Vw,Vv) = 0 V ш € Cq°(U)

и

и для любой области U, не содержащей х. Отсюда в силу леммы Вейля [3] следует, что функция v принадлежит С2(Х — х) и является гармонической в области X — х. Если к тому же функция v € С2(Х), то ее лапласиан До € С(Х) и всюду в X — х равен нулю, значит, он равен нулю и в точке х и v € С2(Х) — гармоническая функция в X из

о

Wl2(X), а такая функция равна нулю.

2. Элемент v € Cq°(X), равный тождественно 1 в некоторой окрестности U точки х, не принад-

лежит Ш12(Х — х), и поэтому

т.е. Ш12(х)ф0. (3)

Допустим противное: пусть элемент о € С^^Х), тождественно равный единице в некоторой кубической окрестности II точки х, не принадлежит

о

Ш12(Х — х), но существует сходящаяся к нему последовательность итеСо°(Х — х). Взяв пробную функцию <р € С™ (II), видим, что существует последовательность тт = <р(\—ут) € С00 (11), для которой верно

dy |Vay„

О,

х

wm(x) = 1,

(4)

(5)

поскольку носитель vm не содержит точку х, и наконец,

|2

dy | w„

0.

(6)

х

Так же как при доказательстве неравенства Пуанкаре [4], из соотношения

&>т(!/) - 1 =

('Vwm,dl),

где интеграл берется по произвольному контуру, соединяющему точки х и у, получается

dy\wm{y) - 1|2 2L2

dy \ Vwm(y)\

и

и

где Ь — длина ребра куба II. Поэтому из утверждения (4) следует, что тт сходится в среднем к единице, что противоречит (6). Поэтому последовательности тт с указанными свойствами действительно существовать не может.

3. Наоборот, любой элемент и (у) € Со°(Х),

о

равный нулю в точке х, принадлежит Ш2(Х — х). Окружим х малой шаровой окрестностью \х — у \ ^ г радиуса г, и воспользуемся теоремой о существовании пробной функции [5], т.е. функции (р(у, г) € С°°(Х), которая

1) равна тождественно нулю в круге \х—у\ ^ г/2;

2) равна единице вне \х — у \ ^ г;

3) заключена на интервале 0 ^ <р ^ 1;

4) \Чу<р(у,г)\ ^ С/г, где С — константа, не зависящая от г.

Образуем при ее помощи последовательность {и(у)<р(у, г)} € Со°(Х — х) и заметим, что

V(p(r) |

dy\Vyv(y)(l -ip(y,r))\2

< 2

dy\Vyv(y)f+2

dy\Vyf{y,r)f\v{y)\2 <

2S(n) rn sup |Vo(i/)

• c2

„и—2

sup \v(y)\

\ /

где S(n) — площадь га-мерной сферы. Из условия v(x) = 0 следует, что

sup |o(i/)|^C'r,

поэтому ||о — Vip(r)\f- ^ С"гп и, значит, стремится к нулю при г —)■ 0. Тем самым построена последовательность элементов Cq°(X — х), сходящаяся по норме W2 к рассматриваемой функции о, а значит, и доказано вложение

{veC^(X): о(х) = 0}с W\(X-x). (7) Соотношения (3) и (7) позволяют подсчитать

о

размерность линейного пространства W2(x). Из соотношения (3) следует, что существует такой элемент weCq°(X), что w(x) = 1 и P(x)w=£ 0. Тогда для любого элемента v € С^°(Х) можно образовать функцию

и(у) :=v(y)-v(x)w(y)eC^(X),

которая равна нулю в точке х. Поэтому в силу соотношения (7) верно

0 = Р(х)и = P(x)v - v(x)P(x)w,

т. е.

P(x)v = v(x)P(x)w. (8)

Если обозначить P(x)w ф 0 как ех, то получается, что все линейное пространство P(x)Cq°(X) в точности совпадает с линейным пространством,

о

натянутым на элемент ех € Wl2(x). Отсюда ясно, что это пространство имеет размерность 1 и что

о

его замыкание Р(х) W2(x) совпадает с ним. Это и завершает доказательство теоремы 1.

Если о v известно лишь, что она непрерывна, то к ней сходится некоторая последовательность vn € Cq°(X), причем всегда можно добиться того, чтобы в заданной точке х все функции vn принимали значение v(x), тогда

||Р(х)о — v(x)ex\\ = ||Р(х)о — P(x)vn|| -л 0,

и поэтому соотношение (8) остается в силе для любой непрерывной функции.

Замечание. Элемент ех весьма похож на

о

функцию Грина. Будучи элементом Wl2(x), он является гармонической функцией с особенностью в точке х, причем

ißx, v)^{x) = ißx, О) = (Р(х)ех, V) = (ex,P(x)v) =

= и(х)(ех,ех)

или, если положить р(х) := ||еЛ||-1,

(р(х)ех>и)ог =и(х) V иеСХ°(Х).

Функция р(х)2ех является гармонической функцией

о

с одной особой точкой у = X из С2(Х — х) П Ш12(Х) , которую мы будем обозначать как д(х,у). Ее особенность такова, что

¿У Фуё(х,у), ^Уь{у)) = у(х) V о € Ш\(Х) П С(Х).

(9)

Подчеркнем, что из этого соотношения не следует йуу{у)^{х,у) = О,

X

но лишь

dyv(y)Ayg(x,y) = х-их щ

Более того, при п > 1 соотношение Ауд(х,у) = = 8(у — х) невозможно, поскольку тогда д(х,у) была бы функцией Грина и как функция у принадле-

о

жала бы Ш12(Х).

Тем не менее многие свойства функции Грина остаются в силе. Например, соотношение (9), примененное к и(у) = д(г,у), дает

g(x,z)

dy(^yg(x,y),Vyg(z,y)),

х

откуда видно, что д(х,у) — симметричная функция. Поэтому д(х,у) и как функция х тоже гармоническая при хфу. Фактически же установлено существование некоторого аналога функции Грина относительно скалярного произведения в Ш2 : для произвольной области X с Ж" существует симметричная по х и у функция д(х,у), удовлетворяющая условиям

Ayg(x,y) = о, уеХ-х,

= 0,

2(х>УЦуш

о

и для любой функции V € С(Х) П Wl2(X) верно

(10)

ü(x) =

dy (Vyg(x,y),Vuv(y)).

(11)

Тем самым установлено существование некоторой функции д, удовлетворяющей условиям (10)—(11), которое вовсе не очевидно даже в Ж2. Казалось бы, если х = О — начало координат, то

функция g(0,y) должна быть симметрична относительно группы поворотов осей. Поэтому она должна зависеть только от \у\, и из обыкновенного дифференциального уравнения Д^ = 0 моментально получается

g = C\ \п\у\ + С2,

о

которая не принадлежит ^(Ж2) против нашего утверждения. На самом деле преобразование из этой группы должно переводить g(0,y) в некото-

о

рый элемент W2(0), и она может зависеть от углов. Точно так же аналитическая функция f(z) = z-1 является симметричной, а ее действительная часть таковой не является. Используя неравенство

|о(х) — w(x)I \\ех\\ = ||Р(х)(о — да)|| ^ ||о — ш||, можно доказать следующее утверждение:

Теорема 2. Если элементы v и w простран-

о

ства Wl2(X) близки к друг другу по норме W2 ||о — w\\ ^ е

и непрерывны в X, то они близки и поточечно: |о(х) — w(x)\< р(х)е УхеХ,

где

Р(х) = 1ЫГ1-

В частности, если имеется численный алгоритм

о

построения последовательности v(x,h) € Wl2(X)il Г\С(Х), сходящийся по норме W2 к классическому решению v(x) € С2(Х) с порядком k, т. е.

\\v(h)-v\\^Chk,

где С — некоторая константа, ah — параметр, характеризующий выбранное приближение (например, длина грани в триангуляции области для метода конечных элементов), то для любого компакта К, отделенного от границы X, существует такая константа С'(К), что

\v(x,h)-v(x)\^C'(K)hk.

Отсюда ясно, что метод конечных элементов порядка один и выше, как и любой другой проекционный метод, использующий непрерывные функции, сходится равномерно на любом компакте. Этот факт хорошо известен в рамках численного эксперимента, но его обоснование доставляет множество хлопот. К примеру, в [7] его доказывают только для линейных конечных элементов при k = 1.

Литература

1. Боголюбов А.Н., Малых М.Д. 11 Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2005. № 4. С. 12 (Moscow University Phys. Bull. 2005. N 4. P. 13).

2. Малых М. Д. И Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2007. № 1. С. 28 (Moscow University Phys. Bull. 2007. N 1).

3. Hellwig G. Differentialoperatoren der mathematischen Physik. Berlin; Göttingen; Heidelberg, 1964.

4. Гильберт Д., Курант Р. Методы математической физики. Т. 1. М.; Л., 1951; Т. 2. М., 1945.

5. Хермандер J1. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 1. М., 1986.

6. Stummel F. Rand- und Eigenwertaufgaben in Sobolewschen Räumen. Berlin; Heidelberg; New York, 1969.

7. Марчук Г.И., Агошкин В.И. Введение в проекцион-но-сеточные методы. М., 1981.

Поступила в редакцию 15.03.06