CC BY
33
Д.В. Гусаров, И.В. Чернышев, 2006
УДК 532.529
ЛОКАЛЬНЫЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОЛЯ СИСТЕМЫ ВСПЛЫВАЮЩИХ КАПЕЛЬ В ПАРАБОЛИЧЕСКОМ ПОТОКЕ
Д.В. Гусаров, И.В. Чернышев
Методом отслеживания фронта (FTM) численно решается двумерная задача о всплытии малого облака деформирующихся капель в параболическом сдвиговом потоке. Проведены оценки масштабов пульсационных скоростей, вносимых каплями в основной поток.
Введение
Большинство гидродинамических потоков, встречающихся в природе и реализуемых в технологических процессах (транспортировка углеводородного топлива, флотация, кипение и барботаж жидкости), являются многофазными. С математической точки зрения моделирование таких течений усложнено тем, что кроме классических проблем, связанных с решением уравнений гидродинамики (например, в рамках модели Навье — Стокса), возникает ряд сложностей, обусловленных присутствием межфазных границ, свободных поверхностей и разрывов иного рода. Наибольший прогресс в рассмотрении таких гидродинамических задач наметился в последние несколько лет, это обусловлено развитием современных численных методов и вычислительных технологий. Стало возможным напрямую моделировать течения с множественными межфазными границами (суспензии, эмульсии, аэрозоли и т. п.), усложненные различными физическими и химическими процессами [ 1] — [3].
1. Метод отслеживания границ, численная реализация
Наиболее популярным и перспективным в последнее время считается так называемый метод отслеживания фронта (Front-Tracking Method, FTM), разработанный группой Г*. Трайгвасона [1]. В этом методе удачно скомбинировано как нахождение гидродинамических полей, так и отслеживание межфазных границ. Многофазный поток рассматривается как единая сплошная среда с разрывными значениями физических параметров — динамической вязкости р и плотности р. Межфазное взаимодействие учитывается в уравнениях, как дополнительные объемные силы с использованием обобщенных функций. FTM-метод получил дальнейшее развитие во многих публикациях, как в плане нахождения гидродинамических полей, так и в @ способах отслеживания эволюции межфазных границ [2]-[4].
Рассмотрим двумерное течение несжимаемой вязкой жидкости, содержащей взвешенные в ней капли другой нерастворяющейся жидкости. Движение двухфазной несжимаемой среды описываем единой системой уравнений Навье — Стокса
^ + (и • У)и = - Ур 4- Г + V • //(Уи + Уги) + J стк'п'5(х — х') , (1)
V ■ и = 0, (2)
где и — скорость жидкости, р — давление, £ — плотность объемных сил. При этом на границах частиц плотность и вязкость терпят разрыв. Последнее слагаемое содержит интегрирование по поверхности всех дисперсных включений и учитывает силы межфазного взаимодействия, действующие на границе частиц, здесь к' — кривизна межфазной поверхности, а — коэффициент поверхностного натяжения.
За основу для численного решения уравнений (2), (8) взят метод, подробно описанный в [3], [4]. Дискретизация уравнения производится на неподвижной прямоугольной сетке, так что значения всех величин задаются в центре ячеек, за исключением давления, которое задается в их углах. На границе каждой дисперсной частицы также задается одномерная криволинейная подвижная сетка, которую называют фронтом, при помощи которой отслеживается перемещение и деформация частиц. Решение системы на каждом временном шаге можно подразделить на несколько этапов. В начале решается уравнение для промежуточного значения скорости и*
= _,(и. У1иг«/2 - Ср,‘~1/2 + £, + ь'‘ _ о,
дг К ’I р»+1/2 2р"+!/2 р"^1/2 ’
где Ь — разностная аппроксимация второго порядка слагаемого У • д(Уи + Уги), С и М — аппроксимации для Ур и последнего слагаемого в (2). Нелинейный член [(и • У)и]п+1/2 в (10) вычисляется при помощи явной схемы предиктор-корректор и требует только данных на момент времени £п. Затем по скоростям, известным на момент £п+1/2 после дискретизации [(и • У)и]п+1/2, перемещается фронт (границы капель). Поля плотности и вязкости находятся по методу, предложенному в [2], в котором градиент плотности распределяется на несколько ячеек возле фронта и в итоге после интегрирования градиента получается гладкое поле. Несмотря на размазывание скачка, численной диффузии не происходит, так как поля реинициализиру-ются на каждом шаге по времени. Поскольку вязкость зависит от положения фронта и меняется в пространстве, то (2) подразумевает решение параболической системы для компонент скорости. Для решения уравнения (10) и эллиптических уравнений, возникающих при расщеплении, использовался один из вариантов многосеточного итерационного метода [6]. Поле скорости и*, в общем случае, не удовлетворяет уравнению неразрывности, поэтому к этому полю применяем операцию проецирования
ип+Х ~ и" = п /и*-_иЛ (4)
At \ дг
1 ;Ср^ = ^вр^ + (1-П)(±^), (5)
здесь П — дискретное представление для оператора проецирования [4]. В итоге этапы (10)—(1) вместе с перемещением границ составляют один шаг по времени расчетов эволюции течения.
2. Капли в параболическом потоке
Дисперсные частицы, оседающие или всплывающие в движущейся жидкости, создают мелкомасштабные пульсации скорости в основном потоке. Масштаб и интенсивность пульсаций определяются характером межфазного гидродинамического взаимодействия жидкость — дисперсные частицы. Наличие такого внутреннего пуль-сационного фона существенно увеличивает переносные свойства этих сред даже при ламинарных режимах течения [7]. В настоящей работе на основе прямого численного расчета гидродинамического взаимодействия в кластере частиц, методом РТМ, определяются локальные поля скорости в облаке частиц, всплывающих в сдвиговом потоке.
В качестве начального распределения скоростей брался классический параболический профиль Пуазейля [5] для течения вязкой жидкости в плоском канале шириной 2Я с приведенным расходом <2. В безразмерном виде этот профиль имеет вид (обезразмеривание проводилось по масштабу длины Я и масштабу скорости
<2/н)
и(х,у) = ^(2 -у)у, и(х,у) = 0. (6)
Используемый в расчетах фрагмент канала имеет размеры [0; 4] х [0; 2]. Рассматриваются два начальных расположения облака из 16 сферических частиц радиуса г .= 0,04, расположенных в центре канала или ближе к его нижней стенке. Соотношения параметров дисперсной и дисперсионной фаз брались следующие: ро/рг = 20, Ро/р1 = 20, где индекс «0» обозначает жидкость, а «1» — капли. Характерные безразмерные параметры локального течения, рассчитанные по радиусу частицы, были: число Рейнольдса Яе = 30, число Фруда Гг = 0,25, число Вебера 1¥е = 2. Расчеты проводились на сетке размером 384x128, а по времени продолжались до достижения облаком границ расчетной области.
В первой задаче в качестве расчетной области взята нижняя половина канала [0; 4] х [0; 1], частицы в начальный момент t = 0 занимают площадь 0, 5 х 0, 5 возле стенки, рис. 1а. На левой границе задается входной параболический поток, на нижней стенке канала — условие прилипания, правая и верхняя границы — свободные. На давление ставятся нулевые условия Неймана на всех четырех границах расчетной области.
На рис. 1б-з представлены увеличенные в два раза фрагменты течения, описывающие эволюцию облака в последовательные моменты времени, с шагом по времени ДI — 0,235 (время обезразмерено на Я2/(3). Последний рисунок иллюстрирует положение частиц на момент завершения счета при г = 1,655. В первые моменты времени частицы в облаке испытывают разное ускорение, что сопровождается вытягиванием облака, а отдельные капли деформируются с образованием «зонтика» в
головной части. Далее сопротивление, испытываемое каплями со стороны жидкости, становится настолько большим, что капли участвуют только в поступательном всплытии за счет силы Архимеда, а движение головной части облака замедляется. Частицы в следовой части облака, не испытывая подобного сопротивления, «врезаются» в головные и тем самым «разваливают» облако. Так как набегающий поток неоднороден, и возле стенки он медленнее, то развивающийся при всплытии частиц слабый вихрь не симметричен и искажает форму хвостовой части облака. В процессе эволюции облака под действием вязких напряжений происходит вытягивание границ капель в тонкие полосы с последующим коллапсом некоторых капель, и разрешения сетки не хватает, чтобы верно перенести форму частицы, используя информацию о фронте.
•' - * • ■ > 1 ■ * 4 4 у ' - - • ч - - * - - *■ - •- * - - - - ......................................................................................................................................................................................................................................... - •
Рис. 1. Облако капель в окрестности стенки канала
В качестве второй задачи рассчитывалось возмущение поля скорости в фрагменте канала [0;4] х [0,7; 1,7], облако частиц располагалось в центре канала сим-
метрично относительно его оси. Граничные условия были следующие: на левой границе задан параболический поток, нижняя, правая и верхняя границы — свободные. Результаты расчетов для этого случая приведены на рис. 2. Рис. 2а описывает начальное положение частиц, а рис. 2б-з изображают увеличенные фрагменты в последовательные моменты времени через время Д£ = 0,224. Расчет прекращен в момент времени і = 1,574.
Рис. 2. Облако капель в окрестности оси канала
Поскольку скорость сдвига в этом фрагменте потока мала, то картина течения напоминает всплытие частиц в покоящейся жидкости. Однако в дальнейшем вихрь, создаваемый всплывающими частицами, усиливается, что приводит (как и в первой задаче) к развалу облака. После смещения облака выше оси симметрии канала, скорость сдвига становится более неоднородной. Частицы на правом краю облака, испытывая меньшее сопротивление со стороны жидкости, движутся по потоку быстрее, постепенно удаляясь от остальных частиц. Напротив, частицы, находящиеся
слева, уплотняются к центру облака.
Для оценки масштабов пульсационного движения, вносимого в поток всплывающими каплями, внутри кластера частиц в процессе расчетов фиксировалась средняя скорость геометрического центра. Значения модуля пульсационной составляющей скорости для рассмотренных задач представлены на рис. 3. На начальном этапе численного решения изменения пульсационной скорости, как у стенки, так и в центре канала, проявляются очень похожим образом, и определяются главным образом поступательным разгоном частиц в вертикальном направлении. Далее на интервале времени Ь ~ 0,3 —1,0 наблюдается более высокий фон пульсаций скорости при всплытии частиц в окрестности оси канала, это обусловлено более интенсивным гидродинамическим взаимодействием капель с основным потоком. На более поздних временах, после сильного разупорядочивания облака и коллапса отдельных капель, масштабы пульсаций в обоих случаях примерно совпадают.
0.6 и
'0.5 0.4 0.3 0.2
0 0.25 0.5 0.75 1.0 1.25 1.5 Г
Рис. 3. Пульсационная скорость: о — около стенки; Д — около оси канала
Заключение
На примере двух задач проведено численное моделирование эволюции малого кластера капель, всплывающего в сдвиговом парабалическом потоке. Проведены оценки фона пульсаций, вносимого каплями в поток. Более высокий уровень пульсаций получен для течения в окрестности оси канала. Расчеты были ограничены довольно грубыми сетками (384 х 128) и малым количеством взвешенных частиц (до 16 штук). Тем не менее результаты позволяют сделать вывод о качественном поведении уастиц и оценить интенсивность пульсаций, создаваемых в потоке каплями или пузырями. Вычисления, представленные в работе, проводились на процессоре АМО К7 850МЬг и занимали порядка 5-7 часов машинного времени для каждой постановки. Заметим, что задача легко допускает масштабируемость, можно без труда увеличить количество капель, все лимитируется только производительностью вычислительной техники. Кроме того, задача допускает параллельную организацию вычислений в случае расчетов систем с большим числом частиц. Отметим, что в работе [8] для оценки кинетической энергии псевдотурбулентного фона проводились
дддДДДд
уьоо000ооооо0о оо*
АдДл0°оО°0 АЛ оД ЛдДдддд
од
од
д
расчеты с числом частиц до 180 штук, но они относились к случаю недеформируе-мых сферических пузырей, всплывающих в неподвижной жидкости, и по существу из метода FTM в этой статье использовался только один из вариантов схемы для нахождения гидродинамических полей. В настоящей работе расчеты выполнены в полной постановке для деформирующихся капель в неоднородном потоке с использованием всех преимуществ метода FTM.
Summary
LOCAL HYDRODYNAMIC FIELDS OF THE SYSTEM OF RISING DROPS
IN THE PARABOLIC FLOW
D. V. Gusarov, I. V. Chernyshev
The two-dimensional problem on rising of a little cloud of drops in parabolic flow is solved by front-tracking method (FTM). The scales of velocity pulsation generated by rising bubble in main flow are evaluated.
Список литературы
1. Unverdi S.О., Tryggvason G. A front-tracking method for viscous, incompressible, multi-fluid flows // J. Comput. Phys. 1992. V. 100. P. 25-37.
2. A front-tracking method for the computations of multiphase flow / G. Tryggvason, B. Bunner, A.J. Esmaeeli [et al.J // Comput. Phys. 2001. V. 169. P. 708-759.
3. A high-order projection method for tracking fluid interfaces in variable density incompressible flows / E. G. Puckett, A.S. Almgren, J.B. Bell [et al.] // J. Comput. Phys. 1997. V. 130. P. 269-282.
4. An adaptive level set approach for incompressible two-phase flows / M. Sussman, A.S. Almgren, J.B. Bell [et al.] // J. Comput. Phys. 1999. V. 148. P. 81-124.
5. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. 840 с.
6. Trottenberg U., Shuller A., Oostrelee С. Multigrid. London: Academic Press, 2001. 631 p.
7. Chernyshev I.V. MicrobUbble medium: production and hydrodynamic properties // Atomization & Sprays. 1997. V. 7. № 6. P. 649-661.
8. Чернышев И.В. Пульсационная энергия и межфазное гидродинамическое взаимодействие // Тр. Матем. Центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 27. Модели механики сплошной среды. Материалы 17 сессии Междунар. шк. по моделям механики сплошной среды. Казань (4-10 июля 2004 г.). Казань: Изд-во Казан. Матем. об-ва, 2004. С. 222-228.
