CC BY
39
© Д.В. Гусаров, И.В. Чернышев, 2007-2008
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
УДК 532.529
ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ ВСПЛЫВАЮЩИХ КАПЕЛЬ
Д.В. Гусаров, И.В. Чернышев
Численно решена двумерная задача о всплытии двух деформирующихся капель в покоящейся жидкости. Проведено три численных эксперимента для различного взаимного расположения капель. Особое внимание уделено отслеживанию сильно деформирующихся и разрывающихся межфазных границ.
Введение
В классическом методе отслеживания фронтов (ЕТМ) [1], [2] движение двухфазной несжимаемой среды описывается единой системой уравнений Навье — Стокса
+ (и ■ У)и = 1 ^—Ур + ¥ + V ■ ^(Уи + Ути) + J ак'и'5(х — х') ¿з'^ , (1)
V ■ и = 0, (2)
где и, р — скорость и давление, р, ^ — плотность и вязкость жидкости, ¥ — объемные силы, к' — кривизна межфазной поверхности, а — коэффициент поверхностного натяжения. При этом на границах частиц плотность и вязкость терпят разрыв. А силы межфазного взаимодействия, действующие на границе частиц, учитываются в (1) последним интегралом, в котором интегрирование ведется по поверхностям всех дисперсных включений.
Кроме неподвижной прямоугольной сетки для расчета полей скорости и давления, на границе каждой дисперсной частицы также задается одномерная криволинейная подвижная сетка, которую называют фронтом, при помощи которой отслеживается перемещение и деформация частиц. В течениях с интенсивным слиянием и разрушением частиц перестройка границ для классического ЕТМ представляет большие алгоритмические трудности, в связи с этим возникает потребность в изменении методов отслеживания для применения в исследованиях таких течении. Один из таких методов был предложен в [3].
В настоящей работе методом отслеживания границ была решена задача о гидродинамическом взаимодействии двух деформируемых капель, всплывающих в покоящейся жидкости. За основу для численного решения уравнений (1), (2) взят метод, подробно описанный в [4], [5].
Идея метода построения фронтов, примененного в настоящей работе, состоит в том, что для задания положения границ используется линия уровня, соответствующая некоторому значению скалярной функции-индикатора ^, удовлетворяющей уравнению
Процесс перестройки фронтов состоит из двух этапов. Сначала, используя текущее положение фронта, восстанавливается функция 1^, далее строится новый фронт. Это делается путем проведения линии уровня, соответствующей значению // = 0, 5. При таком построении элементы из соседних ячеек будут иметь одинаковое расположение конечных точек, а поскольку для точек с одинаковыми координатами скорость одинакова, то и перемещаться они будут одинаково. В данном методе близкие границы автоматически объединяются, как только они сблизятся на расстояние нескольких ячеек. Частота обновления фронтов зависит от конкретной задачи и не требует перестройки на каждом шаге по времени.
В работе [6] методом отслеживания фронтов проводились расчеты движения небольшого облака частиц в параболическом потоке, при этом допускалось лишь сближение отдельных частиц, но их объединения не происходило, а значительные деформации капель не приводили к их распаду. В настоящем же исследовании численно моделировалось движение двух одинаковых цилиндрических жидких капель в другой покоящейся жидкости.
Целью было не оценить общие пульсационные гидродинамические поля, а адекватно описать динамику парного взаимодействия капель и эволюцию их границ, которые могут деформироваться, сливаться и распадаться. Соотношения параметров дисперсионной и дисперсной фаз брались следующие: ро/р1 = 20, ^0/^1 = 20, где индекс «0» обозначает несущую жидкость, а «1» — капли другой жидкости. Характерные безразмерные параметры локального течения (числа Рейнольдса, Фру-да, Вебера), рассчитанные по радиусу частицы, в численных экспериментах задавались соответственно Re = 100, Ег = 0, 25, We = 2. Расчеты проводились на сетке 384 х 256, которая покрывала область [0; 1] х [0; 1, 5], а по времени они продолжались до момента достижения облаком границ расчетной области.
1. Отслеживание деформирующихся и разрывающихся границ
2. Взаимодействие пары капель
Рис. 1. Вертикальное расположение капель
Вертикальное расположение капель. В первом случае капли всплывали соосно друг за другом (рис. 1). Верхняя капля приобретала сплющенную форму, нижняя вытягивалась и впоследствии, увлекаемая потоком от головной капли, сливалась с первой. Затем происходило разделение капли по вертикальной оси симметрии на две половинки. Края этих половинок, расположенные ближе к центральной оси, заворачивались внутрь. С противоположного края потоком срывались фрагменты малого размера (г ~ 0,1Д) и, находясь в следе от основных капель, они участвовали в вихревом движении несущей жидкости. Далее крупные капли двигались рядом друг с другом, совершая вращательные покачивания.
Горизонтальное расположение капель. Во втором численном эксперименте рассматривалось начальное расположение капель на одном горизонтальном уровне (рис. 2). В начале движения края, расположенные рядом друг с другом, вытягивались нисходящим потоком в хвосты. По достижении критической длины перемычки, соединяющей основную каплю и снесенную часть, происходил ее разрыв. Аналогичный процесс имеет место с противоположного края частиц, но на этот раз наряду с отрывом происходит образование двух вихрей, которые остаются неподвижными немного выше изначального расположения капель. Далее капли всплывали, теряя фрагменты то с внутреннего края, то с внешнего, совершая при этом покачивания, затухающие со временем из-за увеличения расстояния между каплями.
Рис. 2. Парное всплытие
Рис. 3. Несимметричное всплытие капель
Несимметричное всплытие капель. В последнем эксперименте рассматривалось всплытие капель, которые в начальный момент располагались несоосно как по вертикали, так и по горизонтали (рис. 3). Отстающая капля отклонялась от прямолинейного движения, увлекаемая следом опережающей частицы, но они не сразу объединялись как в первой задаче. Головная капля двигалась вправо и вверх, а отстающая продолжала следовать за ней. Совершив такое зигзагообразное движение, капли догоняли друг друга, объединялись в одну и далее двигались как единое целое.
Заключение
Методом отслеживания фронта было проведено численное моделирование гидродинамического взаимодействия двух деформируемых капель при их поступательном всплытии. Проведено три численных эксперимента в полной постановке для различного начального расположения капель. В процессе всплытия капли испытывали значительные деформации и дробились, и при этом алгоритм построения межфазной границы работал вполне адекватно. Так, изменение суммарного объема капель в первом и втором эксперименте не превышало 5 %. В случае несимметричного всплытия капель при значительном измельчении хвостовой части границы некоторых фронтов не разрешались, и потери полного объема составляли более 20 %. Однако в данном случае, при наличии больших деформаций, слабым местом является не сам алгоритм перестройки границы, а недостаточная мелкость неподвижной сетки.
Summary
HYDRODYNAMIC INTERACTION OF TWO RISING DROPS
D.V. Gusarov, I.V. Chernyshev
The two-dimensional problem on rising of two drops in stationary liquid was solved numerically. Three computational experiments were performed for different location of the drops. Special attention was devoted to tracking of deformable and breaking interfaces.
Список литературы
1. Unverdi S.O., Tryggvason G. A front-tracking method for viscous, incompressible, multi-fluid flows // J. Comput. Phys. 1992. V. 100. P. 25-37.
2. Tryggvason G., Bunner B., Esmaeeli A., et al. A front-tracking method for the computations of multiphase flow // J. Comput. Phys. 2001. V. 169. P. 708-759.
3. Shin S., Juric S. Modeling Three-Dimensional Multiphase Flow Using a Level Contour Reconstruction Method for Front Tracking without Connectivity // J. Comput. Phys. 2002. V. 180. P. 427-470.
4. Puckett E.G., Almgren A.S., Bell J.B., et al. A high-order projection method for tracking fluid interfaces in variable density incompressible flows // J. Comput. Phys. 1997. V. 130. P. 269-282.
5. Sussman M., Almgren A.S., Bell J.B., et al. An adaptive level set approach for incompressible two-phase flows // J. Comput. Phys. 1999. V. 148. P. 81-124.
6. Гусаров Д.В., Чернышев И.В. Локальные гидродинамические поля системы всплывающих капель в параболическом потоке // Вестн. ВолГУ. Сер. 1, Математика. Физика. Вып. 10. 2006. С. 75-81.
