LOKAL KUCHSIZ SEPARABEL FAZOLARNING TOPOLOGIK XOSSALARI Текст научной статьи по специальности «Гуманитарные науки»

Mamatov J.X.

Jizzaxpolitexnika instituti "Oliy matematika"

kafedrasi o'qituvchisi

LOKAL KUCHSIZ SEPARABEL FAZOLARNING TOPOLOGIK

XOSSALARI

Annotatsiya. Ushbu maqolada lokal kuchsiz separabel fazosining ta 'rifi, hamda uning turli topologik xossalari o 'rganilib, ularga doir muhim teoremalar isbotlangan va salmoqli natijalar olingan. Xususan, lokal kuchsiz separabel fazolarning ixtiyoriy ochiq qism to 'plami va kanonik yopiq qism to 'plami lokal kuchsiz separabel fazo bo 'lishlik shartlari topilib isbotlangan. Shu bilan lokal kuchsiz separabelfazosiga 2-simmetrikdarajali funktor Sp2 ta'sir qilganda ham lokal kuchsiz separabel fazo bo 'lishlik shartlari topilgan va isbotlangan.

Kalit so 'zlar: topologik fazolar, separabel fazolar, lokal kuchsiz separabel fazolar, topologik xossa, kuchsiz zichlik, ochiq to 'plam, Tixonov ko 'paytmasi, Hattori fazosi, Zorgenfrey chizig'i.

Mamatov J.Kh. teacher

"Higher Mathematics " department Jizzakh Polytechnic Institute

TOPOLOGICAL PROPERTIES OF LOCALLY WEAKLY SEPARABLE

SPACES

Abstract. In this article, the definition of locally weak separable space and its topological properties are studied, important theorems related to them are proved and important results are obtained. In particular, the conditions for an arbitrary open partial set of locally weakly separable spaces and a canonical closed partial set to be a locally weakly separable space are found and proved. In this way, the conditions for splitting the locally weakly separable space even when the 2nd symmetric functor acts on the locally weakly separable space have been found and proved.

Keywords: topological spaces, separable spaces, locally weakly separable spaces, topological property, weak density, open set, Tikhonov multiplication, Hattori space, Zorgenfrey line.

Xtopologik fazo x e X nuqtada lokal kuchsiz separabel deyiladi, agar ^ eng kichik kardinal son bo'lsa, bunda x ning X topologik fazoda kuchsiz separabelatrofga ega bo'ladi [2]. x nuqtada lokal kuchsiz zichlik lwd(x) orqali ifodalanadi. X fazoning lokal kuchsiz zichligi x e X uchun barcha lwd(x) kardinal

, . . Iwd{X) = supilwd{x): x e Xj , ,• »

sonlarning supremumi va v ' < v ' ) orqali lfodalanadi. Agar

Iwd {X) K0 b0'isa, x topologlk fazo lokal kuchslz separabel fazo deyiladi. Har

qanday topologik fazo uchun lwd {X)" wd {X) ekanligi ma'lum.

X ning almashtirishlar guruhi - barcha almashtirishlar guruhidir (ya'ni, X ^X bitta-bitta va ustiga akslantirish). X to'plamning almashtirishlar guruhi

S(X)orqali ifodalanadi. Agar X = n)bo'lsa, S(X) ham Sn orqali

ifodalanadi.

X"-X kompakt fazoning n-darajasi bo'lsin. Barcha almashtirishlarning o'rin almashish guruhi Sn, koordinatalarni almashtirish sifatida n-chi darajali Xn

ga ta'sir qiladi. Ushbu harakatning barcha orbitalari to'plamini SP"X orqali

ifodalanadigan faktor topologiyasi bilan belgilaymiz. Shunday qilib, SP"X

Xn

fazoning nuq lulun . ko'paytmaning chekli qism to'plamlaridir.Shunday qilib,

ikkita(Xi'x2'. .'xnn y2'...'ynn e X nuqtalar ekvivalent deb hisoblanadi, agar

ae Sn almashtirish o bo'lsa. SP"Xfazo X fazoning n-almashtirish darajasi

deyiladi [3].

1. Tasdiq. X - lokal kuchsiz separabel fazo va bo'lsin f: X ^Y- uzluksiz ustiga akslantirish bo'lsin. U holda Y ham lokal kuchsiz separabel fazo bo'ladi.

Isbot. f - ustiga akslantirish bo'lganligi uchun har qanday ylY nuqta uchun fl(y) proobraz (qayta akslantirish)- X da bo'shbo'lmagan qism to'plamdir. Har bir xlfl(y) nuqta uchun shundayOx atrof mavjudki, bu erda Ox - kuchsiz separabel. f - ochiq akslantirish bo'lganligi uchun f(Ox) ham Y da ynuqtani o'zichiga olgan ochiqto'plambo'ladi. f - uzluksiz akslantirish bo'lganligi sababli f(Ox) to'plamY da kuchsiz separabeldir. 1-Tasdiq isbotlandi.

2. Tasdiq. X - lokal separabel va G - X ning qandaydir qism to'plami bo'lsin. Agar G quyidagi shartlarning xech bo'lmaganda bittasini qanoatlantirsa lokal kuchsiz separabel bo'ladi, ya'ni:

A) G - X da ochiq b) G - X da hamma joyda zich v) G - X da kanonik yopiq. Isbot. A) G - X ning bo'sh bo'lmagan ochiq qism to'plami bo'lsin. Ta'rifga

ko'ra har qanday xÍG nuqta uchun OxÍX atrof mavjud bulib, bu Ox atrof kuchsiz separabeldir. U holdaOxQG=0'x - x nuqtani o'zichiga olgan G dagi bo'sh bo'lmagan ochiq to'plamdir. Kuchsiz separabel fazoning har qanday ochiq qism to'plami kuchsiz separabel bo'lganligi uchun O'x ham kuchsiz separabeldir.

B) MÍX- X fazoning hamma joyda zich qism to'plami bo'lsin. Ixtiyoriy yÍM nuqtani qaraymiz. X lokal kuchsiz separabel bo'lganligi uchun y nuqtaning shunday OyÍX atrofi mavjud bulib, bunda Oy ham kuchsiz separabel. OyQM=O'ni tekshiramiz. U holdaO' - M ning bo'sh bo'lmagan ochiq qism to'plami. Bundan tashqariOÍO vaO'qism to'plamlar Oy atrofda hamma joyda zich. Kuchsiz separabel fazoning hamma joyda zich bo'lgan har qanday qism to'plami ham kuchsiz separabel bo'lganligi uchun O'y ham kuchsiz separabeldir.

V - X fazoning kanonik yopiq qism to'plami bo'lsin. U holda shunday U ochiq to'plam mavjudki, G=[U] bo'ladi. A) punkt nuqtai buyicha qaralganda U-lokal kuchsiz separabel. Ixtiyoriy zÍG nuqta va uning kuchsiz separabel bo'lgan OzÍXatrofini qaraylik. U holdaO'z = O'Q G - G to'plamning bo'sh bo'lmagan ochiq qism to'plami bo'ladi. V=OzQU ni tekshirsak, modomiki kuchsiz separabel fazoning barcha ochiq qism to'plamlari kuchsiz separabel bo'lar ekan, u holda V ham kuchsiz separabeldir. Boshqacha qilib aytganda V to'plamO'z da hamma joyda zichdir. 1-tasdiqga ko'ra z nuqtaning O'z atrofi kuchsiz separabel bo'ladi. 2-Tasdiq isbotlandi.

3. Tasdiq. Har qanday aeA nuqta uchun Xa - lokal kuchsiz separabel fazo bo'lsin. U holdaX =0 {Xa: aeA} ham lokal kuchsiz separabel fazo bo'ladi.

Isbot. xÍX - ixtiyoriy nuqta bo'lsin. U holda shunday aÍA nuqta mavjudki xaÍXa bo'lsin. Xa fazo lokal kuchsiz separabel bo'lganligi uchun xa nuqtaning shunday OxaíXa atrofi mavjud bo'ladiki, bu Oxa atrof ham kuchsiz separabel bo'ladi. Xa fazo X fazoda ochiq-yopiq bo'lganligi uchun Oxa atrof hamX fazoda ochiq va kuchsiz separabeldir. 3-Tasdiq isbotlandi.

4. Tasdiq. XiÍX, i=1,2,...,n va har birXi lokal kuchsiz separabel bo'lsin. U holda lokal kuchsiz separabel bo'ladi.

Isbot. xínf=!^i - ixtiyoriy nuqta bo'lsin.U holda xÍX, i=1,2,...,n bo'ladi. Xi fazo lokal kuchsiz separabel bo'lganligi uchun shunday OxiÍX atrof mavjudki, har bir i=1,2,...,n uchun Oxl atrof kuchsiz separabel bo'ladi. Hf^O *= Ox ni qaraymiz. Oxi, i=1,2,...,n da Ox ochiq to'plam bo'lganligi uchun Ox to'plam da kuchsiz separabel bo'ladi. 4-Tasdiq isbotlandi.

Adabiyotlar ro'yxati:

1. R.B. Beshimov: Weakly separable spaces and their separable compactifications, Doklady Uzbek. Akad. Nauk 1 (1997), 15-18 (in Russian).

2. R. Engelking: General Topology, Warszawa, 1977.

3. Mukhamadiev F., Mamatov J. "A NOTE ON LOCALLY WEAKLY SEPARABLE SPACES". Matematik fizika va matematik modellashtirishning zamonaviy muammolari. Xalqaro ilmiy-amaliy konferensiya materiallari. 3-4 dekabr. 2021 yil. Qarshi Davlat universiteti, 2021 yil. 372-373 bb.

4. Mamatov J. KUCHSIZ SEPARABEL FAZOLARNING TOPOLOGIK XOSSALARI //Евразийский журнал матeматичeской тeории и компьютeрных наук. - 2023. - Т. 3. - №. 2. - С. 7-14.

"Экономика и социум" №6(121)-1 2024

www.iupr.ru

401