Логистическая модель материальных потоков Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Функционирование операции ТТ описывается неоднородным марковским процессом

#3(0 = (#3i0%#32(t),- -,#35(0) над пространством X3 из 16 вместо 32 состояний:

Х3 = {(11111), (11110), (11101), (11011), (10111), (01111), (11100), (11010), (11001), (10101), (10011), (01011), (00111), (10110), (01110), (01101)}.

Граф переходов между состояниями процесса ^(t), приведенный на рис. 3, позволяет построить матрицу Л3 (t) и с помощью системы уравнений (4) найти стационарные вероятности р£3), Ті є X3 .

УДК 519.71

ЛОГИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МАТЕРИАЛЬНЫХ ПОТОКОВ

ТУМАНОВА А.В.______________________

Приводится математическое описание модели материальных потоков, построенной на основе методов динамического моделирования. Представляется также краткое аналитическое описание результатов, полученных с помощью описанной модели. Однако эти результаты не совсем полные, поскольку получены без учета финансовых ограничений, которые относятся к модели финансовых потоков.

Исходными данными для численного анализа являются: средние времена tотк наработки до первого отказа и средние времена te восстановления. Тогда vi = 1/ tomK — интенсивность возникновения /-го фактора простоя, i = 1,...,mj; jui (te) — интенсивность устранения /-го фактора простоя, i = 1,...,mi, где mi — число факторов простоя, характерных для /-операции.

Таким образом, технологический процесс £(t) функционирует нормально, если все составляющие его операции не простаивают.

Рассмотренная в статье задача использует теорию неоднородных марковских процессов для анализа различных технологических процессов на примере горного дела. Выполненная в работе формализация расширяет возможности применения математического аппарата для изучения и последующего повышения эффективности сложных многофакторных технологических процессов.

Литература: 1. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. М.: Наука, 1989. 320с. 2. ДикаревВ.А. Точки фокусировки и теоремы о существовании предельных вероятностей. Харьков: ХТУРЭ, 1995. 11с.—Деп. в ГНТБ Украины 28.02.95 №526-Ук95. 3. Дикарев В.А. Фокусировка распределений марковских процессов // Доп. НАН України. 1999. №11. С. 100-103. 4. АнаньинГ.П., Башарин Г.П., Верма Р.К., Гупта С. Анализ вероятностных характеристик некоторых технологических процессов в горном деле // Системы массового обслуживания и информатика: Сб. научн. трудов / Под ред. Г.П.Бар шина, И.Л.Толмачева. М.: Изд-во УДН, 1987. 160с.

Поступила в редколлегию 13.04.2001

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Кривуля Г.Ф.

Агапова Ирина Степановна, аспирант кафедры прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: теория вероятностей и математическая статистика. Адрес: Украина, 61093, Харьков, пер. Кульбицкий, 22, кв. 2, тел. (0572) 40-39-13.

Рассмотрим модель предприятия, функционирующего на рынке ограниченной емкости в условиях конкуренции между предприятиями, выпускающими одинаковый или аналогичный товар. В такой ситуации производитель не может точно определить количество товара, который будет продан за будущий плановый период.

Зная тенденцию изменения спроса на данном рынке и основываясь на статистике спроса за предыдущие периоды функционирования и маркетинговых исследованиях, производитель может с определенной степенью точности оценивать или прогнозировать эту величину. Однако учитывая то, что действия конкурентов ему неизвестны, реальное значение этой величины не может быть вычислено точно.

66

РИ, 2001, № 4

Кроме того, количество проданного товара в точках розничной торговли неодинаково, поскольку они не равноценны, хотя бы с точки зрения их территориального расположения.

Поэтому на каждом шаге моделирования необходимо вводить реальную величину спроса по каждой торговой точке. Эти величины можно задавать также на несколько шагов моделирования функциями, отражающими тенденции спроса на рынке.

Общий темп продаж через розницу обозначим DT(t), тогда

DT(t) = Z DTi(t), (1)

i = 1

где DTi — темп продаж в конкретной торговой точке; r — количество торговых точек;

DTi(t) = , (2)

т

здесь Di — количество товара, проданного в і-й торговой точке за период т; т — период между решениями уравнений.

Количество товара, проданного і-й торговой точкой, может быть определено как доля всего рынка данного вида товара, приходящаяся на конкретную торговую точку.

Период между решениями уравнений следует выбирать исходя из интенсивности производства. Так, если предприятие производит продукты питания, которые имеют небольшой срок хранения и изготавливаются из скоропортящихся компонентов, то закупка материалов для изготовления товара и завоз готовой продукции в точки оптовой торговли происходит чаще, а производственный цикл короче, чем на предприятии, выпускающем, например, промышленные товары. Следовательно, и период между решениями уравнений при моделировании функционирования первого предприятия должен быть короче (например один день), чем при моделировании работы второго предприятия.

Кроме того, этот интервал определяется длительностью запаздываний, возникающих в процессе функционирования предприятия. Запаздывания представляют собой процесс преобразования, в результате которого на основе заданного темпа входящего потока устанавливается темп потока на выходе. В динамических системах, где темпы являются переменными величинами, темп исходящего потока может в различные моменты времени не совпадать с темпом входящего потока [1].

Запаздывания могут возникать на различных этапах функционирования предприятия. Например, запаздывания, связанные с производством товара. Поступление материалов в производство и отгрузка готовой продукции на склад разделены некоторым временным отрезком, равным производственному циклу. Количество товара, находящегося в незавершенном производстве, определяется темпом поступления материала и длительностью производственного цикла. Или, например, между отгрузкой

товара оптовым покупателям и поступлением денег на счет предприятия тоже проходит определенное время, которое в совокупности с темпом отгрузки товара определяет дебиторскую задолженность предприятия.

В [1] приведены показательные функции запаздываний, как простые по форме и наиболее наглядно отражающие процессы запаздывания.

Показательное запаздывание первого порядка состоит из уровня (который поглощает разность темпов входящего и исходящего потоков) и темпа исходящего потока, зависящего от уровня и средней длительности запаздывания (константы), темп входящего потока определяется другими частями системы.

Показательные запаздывания высшего порядка получаются путем проведения потока через два или более последовательно расположенных запаздывания первого порядка [1].

В практике моделирования наиболее распространены показательные запаздывания третьего порядка. Его функции наиболее полно описывают процессы, связанные с запаздываниями. Дальнейшее уточнение функции запаздывания потребовало бы тщательного изучения каждого из запаздываний в реальной системе и их распределения во времени. Маловероятно, что дальнейшее уточнение будет заметно влиять на поведение системы; запаздывания третьего порядка представляют собой компромисс между сложностью и точностью.

В каждой торговой точке в текущий момент времени находится некоторое количество товара:

KTTi(t) = KTTi(t -т) +

+ x(OSi(t) - DTi(t)), (3)

где KTTi — количество товара, находящегося в i-й торговой точке; 0Si — темп поступления товара со склада предприятия в торговую точку; DTi — темп продаж в конкретной торговой точке.

Следует отметить, что уравнения темпов есть диф-ференцальные уравнения, а уравнения уровней — интегральные. Если записать выражение (3) в виде интегрального уравнения, оно будет иметь следующий вид:

т

KTTi = KTTit = 0 + J (oSi - DTi)dt,

0

здесь KTTit=0 — количество товара, находящегося в і-й торговой точке в начальный момент времени.

В обозначениях настоящей модели это количество определяется переменной KTTi(t~т) и соответствует количеству товара, находящегося в торговой точке в момент предыдущего решения уравнений.

Поскольку алгебраические уравнения нагляднее, чем дифференциальные и интегральные, то в данной модели процессы, происходящие при функционировании предприятия, описаны в виде алгебраических уравнений.

РИ, 2001, № 4

67

Темп поступления товара со склада предприятия в торговую точку определяется следующим уравнением:

OSi(t)

RTTj(t)

(4)

Количество товара, заявляемое торговой точкой, определяется следующим образом:

ZTTi (t) = PDTTi (t + VTR) XT- KTTi(t + t + VTR), (7)

где RTTi — количество товара, которое может быть предоставлено торговой точке.

Количество товара, предоставляемое торговой точке, определяется на основании заявки, поступившей из торговой точки, и количества товара, находящегося на складе готовой продукции.

Предприятие больше заинтересовано в оптовых покупателях, поскольку при оптовой торговле не тратятся средства на аренду и благоустройство торговых точек, оплату труда продавцов и менеджеров, а товар реализуется более крупными партиями. В связи с этим оптовые покупатели имеют ряд привилегий: во-первых, оптовая цена, как правило, ниже розничной; во-вторых — готовая продукция со склада предприятия сначала отправляется оптовым покупателям в размере, удовлетворяющем их спрос, определяемый переменной ZOOP(t), а затем оставшееся количество товара поступает в розничную сеть.

При описанном механизме распределения товара, находящегося на складе готовой продукции, может возникнуть ситуация, когда товара недостаточно для удовлетворения заявок, поступивших из торговых точек. Тогда оставшееся количество товара распределяется между ними пропорционально их коэффициенту привлекательности, представляющему собой соотношение между количеством товара, проданного торговой точкой за предыдущий период моделирования, и общим количеством товара, проданного через розничную торговлю за тот же период:

ZTTi(t),

RTTi(t) = <

r ZTTi(t) < ST(t) если У

i =!- ZOOP(t);

nra4e(ST(t) - ZOOP(t))

[x QVi(t),

(5)

где ZTTi — количество товара, заявленное і-й торговой точкой; ST — количество товара на складе предприятия; ZOOP — количесто товара, заявленное оптовыми покупателями; QV; — коэффициент привлекательности 1-й торговой точки:

QVi (t) = rDi(t ~т) . (6)

Z Di(t -Т) i = 1

Количество товара заявляется торговой точкой исходя из планируемого уровня продаж на следующем шаге моделирования с учетом времени запаздывания на транспортировку и оформление заказа и количества товара, имеющегося в точке на момент составления заявки.

где PDTTi — планируемый темп продаж 1-й торговой точкой в следующем периоде; KTTi — количество товара на складе торговой точки (товар, не продавшийся за предыдущий этап планирования); VTR — время, необходимое на оформление и транспортировку заказа.

Количество товара, находящегося на складе готовой продукции, определяется следующим уравнением:

ST(t) = ST(t -т) + тх

(

х

V

TP(t)

r

Z OSi(t) - TOOP(t) , i = 1 )

(8)

здесь TP — темп поступления товара на склад (темп производства); TOOP — темп отгрузки товара оптовым покупателям; OSi — темп поступления товара со склада предприятия в торговую точку:

TOOP(t) = ZOOP(t) . (9)

т

Темп производства определяется многими параметрами. Основными из них являются: темп производительности оборудования, темп производительности рабочих, темп поступления материалов.

Значения этих темпов, а соответственно и темпа производства находятся на некотором отрезке, ограниченном минимальными и максимальными значениями этих величин. Минимальное значение темпа производительности определяется тем количеством товара, изготовляемого за определенный период времени, ниже которого производство становится убыточным. Это значение, также как и максимальная производительность, зависит от масштабов производства. Так, если масштабы производства рассчитаны на выпуск десяти тысяч единиц продукции в сутки, то не имеет смысла выпуск десяти единиц, поскольку в этом случае не окупаются затраты на выпуск товара и производство лучше прекратить. Кроме того, с наращиванием мощностей в случае развития предприятия изменяется не только максимальное значение производительности, но и минимальное.

Если количество и квалификация имеющихся на предприятии основных рабочих позволяют выпускать определенное количество товара за период моделирования TPRmax, а имеющегося на предприятии оборудования не хватает для обеспечения максимального темпа производства рабочих, то темп производства будет ниже TPRmax и будет равен максимально возможному темпу производства оборудования TPCmax. И наоборот, если количество и техническое состояние оборудования позволяет выпускать определенное количество товара за пе-

68

РИ, 2001, № 4

риод, а производительность рабочих ниже, то оборудование простаивает или работает не на полную мощность, а производительность предприятия равна максимальной производительности рабочих.

Однако возможен случай, когда по какой-либо из причин предприятие не обеспечено материалами. Это может быть из-за халатности отдела снабжения, либо по вине поставщиков, либо при отсутствии на предприятии финансовых средств, необходимых для закупки нужного количества материала. В таком случае производительность предприятия определяется темпом поступления материалов в производство.

Поскольку, как было сказано ранее, предприятие функционирует в условиях конкуренции на рынке ограниченной емкости, то темп его производства, прежде всего, определяется спросом на его продукцию. Если спрос имеет сезонную тенденцию, то для повышения производительности предприятие может нанимать сезонных рабочих, арендовать оборудование и закупать больше материала. Однако в настоящей модели принято допущение, что темпы производительности оборудования и рабочих ограничены некоторыми величинами, являющимися константами, вводимыми в начале моделирования.

Таким образом, темп производства определяется наименьшей величиной следующих составляющих:

TP(t) == min

Tpr max. tpc max. OTPM;NTR(t)

(10)

где TPRmax — темп максимальной производительности рабочих, занятых на предприятии в настоящий момент; TPCmax — темп максимальной производительности оборудования при текущем количестве станков на предприятии (если предприятие работает не на полную мощность, станки простаивают); OTPM — уровень поступления материалов в производство; NTP — нормальный темп производства, т.е. темп, необходимый для удовлетворения заявок, поступивших от точек розничной торговли, и пакета заказов оптовых покупателей:

NTP(t) - PDT(t) -ST(t + *> , (11)

X

здесь pdt — общее количество товара, которое планируется реализовать на следующем этапе планирования; ST — количество товара на складе предприятия;

количество равно сумме товаров, заказанных оптовыми покупателями, и товаров, которые планируется продать во всех торговых точках. Размер заказа оптовых покупателей является известной величиной, вводимой в начале каждого шага моделирования (или реализуемой некоторой функцией). Количество товара, которое предприятие планирует реализовать в точках розничной торговли, может также вводиться в начале каждого шага моделирования как информация, поступающая из маркетинговых служб. Если принять допущение об относительной стабильности спроса, т.е. об изменении реального спроса от одного шага моделирования к другому в размере, который по сравнению с настоящими объемами производства незначителен, т.е. предприятие не понесет значительных убытков, если выпустит продукцию в размере спроса предыдущего шага моделирования, то в таком случае планируемый объем продаж через i-ю торговую точку может быть принят равным количеству товара, проданного в этой точке за предыдущий

период моделирования, т.е. PDTTi(t) = Di(t - т).

Оплата труда рабочих предполагается по сдельной форме и заложена в себестоимость товара. В случае, если предприятие работает не на всю мощность, то снижаются нормы выработки (может быть предусмотрена выплата за простой, которая включается в поток выплат на социальные нужды и другие отчисления).

Общий уровень поступления материалов в производство предприятия (OTPM(t)) определяется как минимальный уровень материалов, поступающих в производство:

OTPM(t) = min{rPMj(t)}; j = , (13)

где TPMj — темп поступления j-го материала; v — количество наименований материалов, необходимых для производства товара.

Темп поступления материалов в производство определяется нормальным темпом производства, т.е. материал поступает в таком количестве, которое необходимо для производства в размере, удовлетворяющем спрос. Такой подход к поступлению материалов отражает метод управления запасами “Точно в срок”, наиболее распространенный в США и странах Западной Европы. Этот метод повышает гибкость производства, возможность противостояния возрастающей конкуренции и является одним из методов сокращения запасов [2].

PDT(t) = I PDTTi + ZOOP(t), (12)

i = 1

где PDTTi — планируемый темп продаж i-й торговой точкой в следующем периоде; ZOOP — коли-често товара, заявленное оптовыми покупателями.

Общее количество товара, который планируется продать на следующем шаге моделирования, определяет темп производства в текущем периоде. Это

Он основывается на следующих предпосылках:

— заявкам потребителей готовой продукции должны соответствовать не ее предварительно накопленные запасы, а производственные мощности, готовые перерабатывать сырье и материалы, поступающие почти “с колес”; вследствие этого объем производственных запасов, квалифицируемый как замороженные средства, минимизируется;

РИ, 2001, № 4

69

—необходима непрерывная рационализация в организации и управлении производством, так как высокий объем запасов демпфирует, в известном смысле маскирует ошибки и недостатки в этой области;

— для оценки эффективности производственного процесса, помимо уровня затрат и производительности фондов, следует учитывать срок реализации заявки, так называемую длительность полного производственного цикла.

Однако в условиях, сложившихся на рынке нашей страны к настоящему времени, применение описанного метода затруднительно, поскольку для его успешной реализации необходима высокая точность и своевременность поставок, поэтому полностью исключать создание запасов сырья и материалов невозможно. Товарно-материальные запасы считаются фактором, обеспечивающим безопасность системы материально-технического снабжения, ее гибкое функционирование, и являются своего рода “страховкой”. Кроме того, запасы имеют ряд недостатков:

— требуют дополнительных расходов на хранение и содержание;

— качество товаров, находящихся в запасах, снижается в связи с их физическим и моральным устареванием;

—деньги, вложенные в запасы, представляют собой замороженные средства, а следовательно, не приносят прибыли.

TPMj(t) = -

SMj(t)

т

SMj(t)

если------— < NTP(t) х QM j;

т J

NTP(t) x QMj,

SMj(t)

если-----— > NTP(t) x QM;,

T. J

(14)

где SMj — уровень j-го материала на складе; QMj — количество j-го материала, необходимое для производства одной единицы товара (материалоемкость товара по j-му материалу); NTP — нормальный темп производства, т.е. темп, необходимый для удовлетворения заявок, поступивших от точек розничной торговли, и пакета заказов оптовых покупателей.

Уровень материала на складе определяется по следующей формуле:

SM(t) = SM(t -т) +тх х (TPPj(t) - TPMj(t)) , (15)

здесь TPPj — темп поступления j-го материала на склад производителя со склада поставщика; TPMj — темп поступления j-го материала:

RPMi

TPPj(t) =----1, (16)

J т

где RPMj — реальное количество материала, поступающего на склад производителя.

В теории управления запасами различают следующие их уровни (если классифицировать их по времени):

1) максимальный желательный запас — определяет его уровень, экономически целесообразный в данной системе управления запасами; этот уровень используется как ориентир при расчете объема заказа;

2) пороговый уровень запаса — используется для определения момента времени выдачи очередного заказа;

3) текущий запас — соответствует его уровню в любой момент учета;

4) гарантийный запас — предназначен для непрерывного снабжения потребителя в случае непредвиденных обстоятельств.

Все перечисленные выше уровни запасов определяются исходя из сроков поставок и оптимального размера заказа (величина которого будет определена ниже).

Из-за несвоевременных поставок или недопоставок по вине поставщиков, халатности отдела поставок или дефицитности какого-либо из необходимых материалов может возникнуть ситуация, когда материала на складе меньше, чем необходимо. Тогда темп поступления материала в производство определяется его количеством на складе:

Темп поступления материала на склад предприятия определяется количеством материала, предоставленного производителем. Оно, в свою очередь, определяется количеством материала, необходимым для производства товара в планируемом объеме, и тем количеством материала, за которое может заплатить предприятие. Поскольку почти все поставщики работают на условиях полной или частичной предоплаты, то необходимо ввести дополнительную переменную — OBM j , для определения количества j-го материала, которое предприятие может оплатить при сложившемся на данный момент финансовом положении. Эта переменная определяется в модели финансовых потоков:

NPMj(t),

OBMj(t)

если NPMj(t) <-----—;

J CMj

RPMj = -

OBMj(t)

CMj ’

OBMj(t)

если NPMj(t) >----—,

CMj

(17)

где NPMj — количество j-го материала, необходимое для производства планируемого количества товара в следующем периоде; OBMj — количество материала, обеспеченное денежными средствами (эта дополнительная переменная определяется по схеме денежных потоков); CMj —цена единицы материала j-го вида.

70

РИ, 2001, № 4

Количество материала]-го вида, которое необходимо заказать для обеспечения бесперебойной работы предприятия, должно определяться исходя из компромисса между потерями от дефицита и затратами на хранение запасов. Оптимальный размер заказа по критерию минимизации совокупных затрат на хранение и повторение заказа рассчитывается по формуле Вильсона [2]:

Кроме того, в начале процесса моделирования необходимо определить константы, характеризующие технологические параметры производства:

1) максимальная производительность рабочих;

2) максимальная производительность оборудования;

3) материалоемкость товара по всем видам материалов, участвующих в производстве.

ОРЗ =

2AS I ,

где ОРЗ — оптимальный размер заказа; а — затраты на поставку единицы заказываемого продукта; S — потребность в заказываемом продукте; I — затраты на его хранение.

Под затратами на поставку единицы заказываемого продукта понимается стоимость транспортировки заказа, упаковки и т.д.

Анализируя данную формулу с точки зрения описываемой модели материальных потоков, можно провести следующие аналогии:

— оптимальный размер заказа определяет необходимое количество материала NPMj(t);

— потребность в заказываемом продукте определяется произведением нормального темпа производства NTP(t) и количества материала j-го вида, необходимого для производства единицы продукции QMj;

— затраты на поставку и хранение единицы заказываемого продукта являются для данной модели постоянными величинами.

Таким образом, приведенная выше формула в обозначениях данной модели будет иметь следующий вид:

Выходными переменными данной модели являются:

1) количество товара в торговых точках KTTj(t);

2) количество товара на складе готовой продукции ST(t);

3) оптимальная величина заказа NPMj(t);

4) количество материала каждого вида на складе предприятия SMj(t);

5) количество товара, находящегося в производстве в данный момент времени VP(t).

Описанная модель реализована на Delphi 4.0. Программная реализация модели проверена для ситуации спада и роста спроса на продукцию фирмы (т.е. уменьшения и увеличения доли рынка рассматриваемой фирмы) в случае отсутствия товара на складе готовой продукции на первом шаге моделирования. Такая ситуация соответствует началу производства вновь созданной фирмы, при этом на первых шагах моделирования переменная KTTj может иметь отрицательное значение, что свидетельствует о неудовлетворенном спросе. В реальных условиях неудовлетворенный спрос может возникать по следующим причинам:

— ошибка в прогнозе величины продажи в будущих периодах;

— нехватка оборотных средств;

NTPj(t)

2 х ZP х NTP(t) х QMj ZNH

(18)

где ZP — затраты на поставку единицы заказываемого продукта; ZNH — затраты на его хранение.

— нарушения в сроках поставок материалов и др.

В случае резкого падения спроса нереализованный товар остается на складе готовой продукции и учитывается при прогнозе величины продажи в будущих периодах.

В каждый момент времени в производстве находится определенное количество товара—VP(t), которое определяется запаздыванием третьего порядка с константой запаздывания VPC, с исходящим потоком TP(t). Запаздывание третьего порядка описывается тремя уравнениями уровней и тремя уравнениями потоков [1]. Для простоты записи в данной работе приведены функциональные обозначения следующего вида:

VP(t) = NZAP3(TP, VPC). (19)

Таким образом, в предложенной модели материальных потоков входными являются следующие переменные:

— количество товара, реализуемое через i-ю торго -вую точку Di (t);

— количество товара, заказанное оптовыми покупателями ZOO Pi (t);

Дальнейшая доработка программной реализации модели предусматривает определение платежей в бюджет, отчислений на зарплату, в амортизационный фонд, за материалы и т.д., а также расчет величины чистой прибыли, которая отражает эффективность функционирования предприятия.

В рассматриваемом модуле программной реализации эффективность работы предприятия определяется количеством проданного товара и размером неудовлетворенного спроса, величина которого свидетельствует о потерях предприятия вследствие недоиспользования всех возможностей.

Литература: 1. Дж. Форрестер. Основы кибернетики предприятия. М.: Прогресс, 1971. 337с. 2. Логистика. Учебное пособие / Под ред. проф. Б.А. Аникина. М.: ИНФРА-М, 1999. 326с. 3. Савицкая Г.В. Анализ хозяйственной деятельности предприятия. Минск: ООО “Новое знание”, 2000. 687с.

Поступила в редколлегию 26.06.2001

— количество товара, планируемое реализовать на следующем этапе PDTTi(t);

— количество материала j-го вида, обеспеченное денежными средствами OBMj(t).

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Нефедов Л.И.

Туманова Анна Валерьевна, аспирант кафедры системотехники ХНУРЭ. Научные интересы: оптимальное распределение ресурсов. Адрес: Украина, 61172, Харьков, ул. Зубарева, 49, кв. 42, тел. 17-64-77.

РИ, 2001, № 4

71