Логический подход к синтезу оптимального алгоритма распознавания Текст научной статьи по специальности «Математика»

Обобщенные результаты статистического анализа аэродинамических проявлений глобального изменения климата показывают, что наибольшую угрозу для различных сфер человеческой деятельности, в том числе для строительных конструкций, лесного и паркового хозяйства, морского и воздушного транспорта, представляет не только глобальное потепление, но и риск реализации на урбанизированных территориях экстремальных ветровых процессов.

При сохранении такой тенденции на текущий период градостроительного планирования (например, 100 лет) вполне реален риск роста интенсивности этих явлений.

Такое вполне вероятное развитие процесса глобального изменения климата не может оставаться без внимания инвесторов, саморегулируемых организаций, собственников строительных объектов, управляющих и энергетических компаний, страховщиков и, в

первую очередь, муниципальных, региональных и федеральных служб регулирования и планирования градостроительной деятельности, а также авиационных и морских транспортных компаний.

Эта проблема, как в России, так и за рубежом, существенно обостряется не прогнозируемым ранее ростом интенсивности и иных, аварийно-опасных техногенных и природных климатических и геолого-геофизических процессов и факторов, которые являются причиной реализации новых и, как следствие, ненормированных комплексных сверхпроектных нагрузок и воздействий на объекты техносферы [2].

Верификация авторами квантовых закономерностей формирования порывов ветра также и в других городах на разных континентах планеты [5] подтверждает их фундаментальный характер.

Статья поступила 29.10.2014 г.

Библиографический список

1. Метеоданные // Каталог открытой геоинформации [Электронный ресурс]. URL: Ь|Йр://орепдеоЬа1а.ги/метеоданные

2. Хлыстунов М.С., Могилюк Ж.Г. Метод и алгоритм оценки снижения остаточного ресурса надежности элементов строительных конструкций зданий и сооружений // Вестник МГСУ. № 2 (2). С. 196-201.

3. Climate Change 2013. The Physical Science Basis/Working Group I Contribution to the Fifth Assessment Report of the Intergovernmental Panel on Climate Change. UK.: Cambridge University Press, 2013. 1536 р.

4. Hilborn R.C. Sea gulls, butterflies, and grasshoppers: a brief history of the butterfly effect in nonlinear dynamics // American Journal of Physics. 2004. № 72 (4). P. 425-427.

5. Hlystunov M.S., Prokopjev V.I., Mogiljuk Zh.G. Quantum Regularities of Shock Wind Processes Formation // World Applied Sciences Journal. 2013. № 26 (9). P. 1219-1223.

6. Managing the Risks of Extreme Events and Disasters to Advance Climate Change Adaptation Special Report of the Intergovernmental Panel on Climate Change. UK.: Cambridge University Press, 2012. 582 p.

УДК 519.7

ЛОГИЧЕСКИЙ ПОДХОД К СИНТЕЗУ ОПТИМАЛЬНОГО АЛГОРИТМА РАСПОЗНАВАНИЯ

© Е.В. Шматова1

Институт прикладной математики и автоматизации,

360000, Россия, Кабардино-Балкарская Республика, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89а.

Рассматривается логический подход к построению алгоритма, входными данными которого являются уже работающие с той или иной точностью алгоритмы распознавания на заданной предметной области. Целью проводимого исследования является нахождение логических операций, позволяющих объединить уже имеющиеся алгоритмы в один, дающий наиболее качественные ответы. Для этого строится дискретный аналог среднего по Колмогорову и проводится оценка мощности класса функций, улучшающих работу алгоритмов поставленной задачи. Табл. 4. Библиогр. 4 назв.

Ключевые слова: алгоритм; k -значная логика; среднее по Колмогорову; аксиомы среднего.

LOGICAL APPROACH TO SYNTHESIS OF THE OPTIMAL RECOGNITION ALGORITHM E.V. Shmatova

Institute of Applied Mathematics and Automation,

89a Shortanov St., Nalchik, Kabardino-Balkaria Republic, 360000, Russia.

The paper considers a logical approach to the development of an algorithm, whose input data are recognition algorithms in a given domain already operating with some accuracy. The objective of the undertaken research is to find logical operations enabling to combine the existing algorithms into the one that can provide best-quality answers. For this purpose, the author constructs a discrete analog of the Kolmogorov average and evaluates the capacity for the class of functions improving the operation of the algorithms for the set task. 4 table. 4 sources.

Key words: algorithm; K valued logic; the Kolmogorov average; axioms of the average.

1Шматова Елена Витальевна, младший научный сотрудник отдела интеллектуализации информационных управляющих систем, e-mail: [email protected]

Shmatova Elena, Junior Researcher of the Department of Information Control System Intellectualization, e-mail: [email protected]

В прикладных задачах, таких как распознавание и прогнозирование, часто удается построить несколько различных алгоритмов решения одной задачи, работающих с той или иной степенью точности на множестве наборов входных данных. В этом случае имеет смысл построить некоторый алгоритм В, объединяющий начальные алгоритмы А1,А2, ...,Ап так, чтобы качество работы алгоритма В было лучше, чем каждого из заданных.

Постановка задачи

На предметной области, состоящей из объектов и их признаков, рассматривается ряд алгоритмов А1,А2, .~,Ап, качество работы которых определяется по контрольной выборке.

Пусть х\ - качество работы алгоритма на заданной последовательности данных а> = (а[,а1г,...,а1т) и х{ е {0,1} (то есть результат работы алгоритма оценивается в рамках булевой алгебры) (табл. 1).

Таблица 1

Таблица зависимости наборов данных и алгоритмов_

Входящие данные Алгоритмы

Ai Аг Ап

а1 = (а!, а!,..., а Х1 х[ у1 лп

а2 = « «2.....«т) х\ 4 Хп

а" = .....О х\ х2 ХР лп

Требуется построить алгоритм, реализуемый булевой функцией, переменными которой являются значения работы алгоритмов на заданных векторах. Значения булевой функции должны максимально соответствовать значениям (элементам) контрольной выборки.

Оценка мощности класса корректирующей операции

В качестве булевой функции рассмотрим функцию голосования:

/ =ми ЪЦ^Х;.

Эта функция является средним арифметическим для значений переменных на данном наборе (в рамках булевой алгебры). Функция голосования не будет ухудшать работу всех алгоритмов и является нижней границей корректирующих операций. Верхней границей будет единица. Так как число единиц - это положительная оценка работы алгоритма, а нуль - отрицательная, то можно изменить значение функции в ту или иную сторону, улучшив или ухудшив показания значений функции.

Пусть I - количество точек несовпадений (неточности работы алгоритма). Тогда количество значений функции, не совпадающих с заданными значениями контрольной выборки, равно С2. Так как среди этих функций имеются такие, которые ухудшают работу алгоритма (то есть прибавляют количество нулей на заданное I), то количество функций, улучшающих работу алгоритма, Л, равно С2/к.

Утверждение. Мощность класса функций, улучшающих работу алгоритмов А1,А2,...,Ап, вычисляется как

й = С?/2.

Рассмотрим постановку задачи в рамках к-значной логики, то есть х{ е {0,1,.,к - 1}. Функция голосования имеет вид

тах?= 1XI тт!--! х^.

Утверждение. Мощность класса функций, улучшающих работу алгоритмов А1,А2,...,Ап в рамках многозначной логики, вычисляется по формуле

й = сГ/к,

где к - значность логической системы.

Переход на к-значную логическую систему становится необходим тогда, когда оценка работы алгоритма проводится по более гибкой шкале. Например, в рамках трехзначной логической системы это плохо, удовлетворительно и хорошо.

Дискретный аналог среднего по Колмогорову для к-значной логики

А.Н. Колмогоров обобщает различные виды среднего для вещественных чисел [1]. В работах [2; 3] предложено построение регулярных конечных сумм по Колмогорову, которое обобщает частные случаи суммирования. В данной работе предлагается нахождение аналога среднего по Колмогорову для к-значной логикой системы.

Задан набор значений X = (х,,х2,...,хп}, где х е {0,1,...,к -1}. Требуется определить их среднее ¡л(хх,х2,...,хп) е (0,1,...,к -1} .

Функцию /л(х, х,..., X), удовлетворяющую следующим условиям:

1) у - симметрическая функция;

2) у - монотонная функция;

3) ¿и(х, х,..., х) = х;

4) МХ— х, у^..^ ут) = ^(x,..., х у^..^ ут), где х = i«(Л,..., х),

30

ВЕСТНИК ИрГТУ №11 (94) 2014

ISSN 1814-3520

назовем аналогом среднего по Колмогорову для Л-значной логики, а условия 1-4 - аксиомами среднего по Колмогорову.

Случай k=2 (данные заданы в рамках двузначной логики)

Аналог среднего по Колмогорову для булевых функций - это ответ на вопрос: чего больше - нулей или единиц - в рассматриваемом наборе.

fi, kol0 < koli

При n нечетном u(x,x,■■■,x ) = [ .

р U( l' 2' ' n) [0, kol0 > koll

В случае, если количество переменных четно, то нулей и единиц может быть одинаковое число, и тогда ставится вопрос: чему равно среднее 0 и 1? В этом случае можно рассмотреть две функции: верхнюю, которая будет иметь значение 1 в заданном наборе, и нижнюю, которая будет иметь значение 0:

1) g = x v x назовем верхним средним от двух переменных, так как на наборе 0 1 и 1 0 значение среднего будем считать равным единице;

2) h = x &x назовем нижним средним от двух переменных, так как на наборе 0 1 и 1 0 значение среднего будем считать равным нулю.

А среднее четного количества переменных будем находить с помощью предыдущего нечетного средних величин:

g(X,X2э■■■?xn) = MX,Х —Xn-i) v xn ,

h(X,xn) = U(X,X —Xn-i)& Xn .

Если g=h , то есть число нулей не равно числу единиц, то среднее будет одно.

АЛГОРИТМ: Пусть задано множество значений переменной x,X,■■■,X определенное на множестве E = {0, 1}, тогда функция, являющаяся аналогом среднего арифметического по Колмогорову для булевых функций, будет иметь вид:

U(x,х,-,xn) = xn &g(x,x,-,xn_i) vh(xi,x2,■■■,xn_i) при n=2m+1;

g(x ,x2,■■■,X) = u(xi,X —Xn-i) v xn , h(x,X —xn) = u(xi,x2^^Xn-i)&xn при n=2m.

Случай k>2

Верхним средним двух величин Л-значной логики назовем функцию g(x,X) = max(x,x), а нижним средним _ h(x, x2 ) = min( x, x2 )

ТЕОРЕМА. Аналог среднего по Колмогорову для n дискретных величин x,x,■■■,x е {0, i,-,k-i} Л-значной логики представим в виде:

- для n четного:

Umax (x, x2 ^^ xn ) = max(min[g(xn, xn-i), U(xi ,■■■, Xn-2 )], max[h(xn, xn-i X U(X ,■■■, xn-2 )]) ;

Umin(X ,X — xn) = min(min[g(xn,xn-i),U(xi,■■■,xn-2)],max[h(xn,Xn-i),U(xi,■■■,Xn-2)]) ;

- для n нечетного:

U(xi, x2, ■■■, xn ) = max(min(xn, Umax(X ,■■■, X-i)), Umin (X ,■■■, X-i)) = min(max(xn, Umm(xi ,■■■, xn-i)), Umax(x —, Xn-i)) ,

где u(x,x2,■■■,xn)e {0, i,-,k-i}.

Действительно, функция u(x,x,■■■,x) является аналогом среднего, то есть соответствует аксиомам среднего:

1) u(x,x,■■■,x) - симметрическая, так как любая перестановка аргументов не влияет на значение max и min этих аргументов;

2) u(x, x ,■■■, x) - монотонная, так как функции max(x, x) и min(x, x) являются монотонными;

3) Un (х, x,■■■,х) = min(min[g(x, x),u(x,---, x)],max[h(x, x),u(x,^ = x)]) = x; Umax(X x) = max(min[X Umax (x, x)],Umn(X x)) = x ;

4) u(X,■■■,X,У ,■■■,Ут) = U(X,■■■,x,У,■■■,У™), где x = u(X,■■■,X). Для наглядности пусть l=4, m=2, n=l+m - четное число, x = u(x, X, X, X), тогда

Umax(XPX2,X3, X4,Уl,У2) = maX(min[g(Уl,y2), Umax(X2, X3, X4)],max[h(Уl,y2X Umin(Xl, X2, X3, X4)]) =

= max(min[ g (y, y2), x)], max[hCy, y2), x]) = max[(min[g(yi, y2 X Umax(x, x, X x)], max[hCy, y2 X U (X x, x, x)]) =

= U( x, x, x, x, y, y2), так как x = Umax(x,X,X,x) = Umm(x,X,X,x) .

Аналогично доказывается и для Umn(X,■■■,X), если n=l+m - четное число. Для n=l+m нечетного числа доказательство проводится аналогично.

Замечание. При рассмотрении к-значной логики число функций, отвечающих аксиомам среднего, возрастает с возрастанием к.

Например, в трехзначной логике кроме функций g (х, х) и к(х, х2) существуют и другие функции, удовлетворяющие аксиомам среднего (табл. 2) [4].

Таблица 2

Функции среднего для трехзначной логики от двух переменных

Переменные 0 0 0 1 1 1 2 2 2

х 0 1 2 0 1 2 0 1 2

gCx х) 0 1 2 1 1 2 2 2 2

Функции h(x, X) 0 0 0 0 1 1 0 1 2

X, X2) 0 1 1 1 1 1 1 1 2

P( X, X2) 0 0 0 0 1 2 0 2 2

Функция /(х,х2,х) = тах(тт(х,g(x1,х2)),Н(х,х2)) представлена в табл. 3 и выражается через функции

g(x1, х2), ср(хх, х) и И(х, х), то есть /л(х, х, х) = х°Н(х, х) V х°с(х, х) V (х, х).

Таким же образом можно построить функции, являющиеся аналогом среднего по Колмогорову для трех переменных с использованием среднего для двух величин из табл. 2; из 24 возможных функций у аксиомам среднего удовлетворяют только три - /,/,/ (табл. 4):

/(х, х, х) = х°р(х, х) V х\с(х, х) V х^?(х, х); / (х, х, х) = х°И(х1, х) V хС(х, х) V х1р(х, х).

Таблица 3

Среднее по Колмогорову от трех переменных

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Х3

0 0 0 1 1 1 2 2 2 0 0 0 1 1 1 2 2 2 0 0 0 1 1 1 2 2 2 X2

0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 x

0 0 0 0 1 1 0 1 2 0 1 1 1 1 1 1 1 2 0 1 2 1 1 2 2 2 2 н

Таблица 4

Функции среднего в трехзначной логике от трех переменных_

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Хз

0 0 0 1 1 1 2 2 2 0 0 0 1 1 1 2 2 2 0 0 0 1 1 1 2 2 2 х

0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 X

0 0 0 0 1 2 0 2 2 0 1 1 1 1 1 1 2 2 0 1 2 1 1 2 2 2 2

0 0 0 0 1 1 0 1 2 0 1 1 1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 1 2 0 2 2 Иг

Таким образом, среднее п дискретных величин трехзначной логики может быть представлено в виде разложения по переменной хи и средних значений от переменных х, х,..., хиЧ. Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 12-01-00162-а.

Статья поступила 02.09.2014 г.

Библиографический список

1. Колмогоров А.Н. Об определении среднего. В кн.: Избранные труды. Математика и механика. М.: Наука, 1985.

2. Шибзухов З.М. О регулярных конечных суммах по Колмогорову // Уравнения смешанного типа, родственные проблемы анализа и информатики: мат-лы II Междунар. российско-казахского симпозиума (Нальчик, 23-27 мая 2011 г.). Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2011. С. 220-221.

3. Шибзухов З.М. О поточечно корректных операциях над алгоритмами распознавания и прогнозирования // Доклады РАН. 2013. Т. 450. № 1. С. 24-27.

4. Шматова Е.В. Об одном дискретном аналоге среднего по Колмогорову для к-значной логики // Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики: мат-лы XI Школы молодых ученых. Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2013. С. 84-85.

3 2

ВЕСТНИК ИрГТУ №11 (94) 2014

ISSN 1814-3520