Нижняя оценка сложности функций трехзначной логики в классе поляризованных полиномов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.7

H.К. Маркелов1

НИЖНЯЯ ОЦЕНКА СЛОЖНОСТИ ФУНКЦИЙ ТРЕХЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ В КЛАССЕ ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ПОЛИНОМОВ*

В настоящей работе найдена нижняя оценка функции Шеннона сложности функций трехзначной логики в классе поляризованных полиномов.

Ключевые слова: функция многозначной логики, полином, поляризованный полином, сложность, функция Шеннона.

I. Введение. В работе рассматриваются функции многозначных логик. Полиномиальные формы являются одним из распространенных способов задания функций многозначных логик. Исследование

1 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: nord_rkQbk.ru

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 09-01-00701а.

сложности задания функций многозначных логик в классе полиномиальных форм важно с теоретической и практической точек зрения. Известно, что при простых к функции fc-значной логики пред-ставимы обычными полиномами по модулю к единственным образом [1]. Исследуются и более общие понятия полиномов — поляризованные и обобщенные полиномы.

В классе поляризованных полиномов для булевых функций найдено точное значение функции Шеннона [2]. В случае к ^ 3 найдены верхняя [3] и нижняя [4] оценки функции Шеннона, а также точное значение функции Шеннона от единицы [5]. Для обобщенных полиномов известны верхняя и нижняя оценки сложности функции Шеннона [6, 7]. Для поляризованных полиномов при к ^ 3 нижняя и верхняя оценки расходятся асимптотически, а для обобщенных полиномов они расходятся даже по порядку.

В настоящей работе найдены сложные в классе поляризованных полиномов функции трехзначной логики, а также улучшена известная нижняя оценка функции Шеннона сложности функций трехзначной логики в классе поляризованных полиномов.

2. Основные понятия. Пусть к ^ 2, Е^ = {0,1,..., к — 1}. Функция f(xn) называется функцией k-значной логики, если на всяком наборе а € ее значение содержится в /•.'/,. Совокупность всех функций fc-значной логики от п переменных обозначается Р'£. Функцию fc-значной логики f(xn) можно задавать вектором ее значений а* = («о, «i,..., akn-i), где координата оц — это значение функции на наборе, представляющем запись числа % в fc-ичной системе счисления.

Введем понятия обычных и поляризованных полиномов. Далее в полиномах все суммы и произведения берутся по mod к.

Полиномом (обычным) назовем выражение вида

Y1 с/(«)-жГ

a=(ai,...,an)£E'g

в котором Cf (а) (г /•-'/. — некоторые коэффициенты, а ж"4 — степени, т.е.

Жаг - ry . , ry . , , ry . - 1

2 - % «XV 2 » » » Ju 2 } % -

iи раз

Поляризованным по вектору поляризации а = (а\,..., о„) € полиномом назовем выражение вида

Y^ сЦа) ■ (®i + a1)(l1 • ... • (хп +(т„)а",

a=(ai,...,an)£E'g

в котором с^(а) (г /•.'/, — некоторые коэффициенты, и (Xi + Cj)ai — степени, т.е.

(Xi + (Tj)ai = (Xi + Oi) • (Xi + Oi) • . . . • (Xi + (Tj), (Xi + (Tj)0 = 1.

4-v-'

at раз

При о = (0,..., 0) поляризованный по вектору о полином — обычный полином по mod к.

При простых к каждая функция f(xn) € РЦ однозначно задается полиномом по модулю А; [1]. В [3] показано, что для каждого вектора поляризации о € /*//.'. каждая функция f(xn) € Р^ представима поляризованным по вектору о полиномом единственным образом. Поляризованный по вектору о € полином функции f(xn) € будем обозначать Pa(f). Назовем вектором коэффициентов поляризованного по вектору поляризации а € полинома функции f(xn) € Р'£ вектор значений функции caf(xn). Далее под выражением Щ{хп) будем понимать этот вектор коэффициентов.

Введем характеристику сложности функций fc-значной логики в классе поляризованных полиномов. Сложностью 1(Ра) полинома Ра, поляризованного по вектору а, назовем число его слагаемых с ненулевыми коэффициентами. Сложность функции fc-значной логики / в классе поляризованных полиномов определяется как минимальная по всем поляризациям сложность полинома, реализующего эту функцию:

L(f)= mm l(P°).

<тЕЕ%

Функция Шеннона сложности функций fc-значной логики в классе поляризованных полиномов Lfc(n) определяется как сложность самой сложной функции fc-значной логики от п переменных:

Lk(n) = max L(f).

Известно точное значение функции Шеннона сложности булевых функций, полученное H.A. Пе-рязевым в 1995 г. [2]:

Ь2(п) =

Для k ^ 3 С. Н. Селезневой в 2002 г. [3] найдена верхняя оценка функции Шеннона:

В 2003 г. В. Б. Алексеевым, A.A. Вороненко и С.Н. Селезневой [4] получена нижняя оценка функции Шеннона:

Ып) >

В настоящей работе рассматриваются некоторые функции /j трехзначной логики, для каждой из которых имеет место нижняя оценка сложности в классе поляризованных полиномов

Отсюда получена нижняя оценка функции Шеннона для функций трехзначной логики:

Ып) >

3. О сложности функций из Рз в классе поляризованных полиномов. Рассмотрим систему функций из

/1 = 2®? + ®1 + 1 = 2(®1 + I)2 + 2 = 2(®1 + 2)2 + 2(®1 + 2) + 1,

д1=х\ + 1 = {х1 + I)2 + (®1 + 1) + 2 = (®1 + 2)2 + 2(®1 + 2) + 2, щ = 2x1 + 2®1 = 2(®1 + I)2 + (х! + 1) = 2(®1 + 2)2 + 1, у1 = 2х1 + 1 = 2(®1 + 1) + 2 = 2(®1 + 2). При п ^ 1 положим

/п+1 = (1 - ж2+1)/п + (1 - (хп+1 - 1 )2)дп - (1 - (хп+1 - 2)2)/п, 5>п+1 = (1 - ж2+1)5„ - (1 - (жп+1 - 1)2)/п - (1 - (жп+1 - 2)2)дп, ип+1 = (1 - х2п+1)ип - (1 - {хп+1 - 1)2)ип - (1 - (жп+1 - 2)2)ип, «п+1 = (1 - ж2+1)«п + (1 - (жп+1 - 1)2)и„ - (1 - (жп+1 - 2)2)«п.

Заметим, что в зависимости от поляризации последней переменной функции можно удобно представить следующим образом:

/п+1 = -х2п+1дп + хп+1 ип + ¡п = ~(хп+1 - 1 )2дп - (хп+1 - 1)/п + дп =

= -(Жп+1 + 1 )2д-п + (хп+1 + 1)«п - /п, <7п+1 = Хп+1/п — %п+1'Уп + 9п = (Жп+1 — 1 )2/п — (Жп+1 — 1)<7п — /п =

= (жп+1 + 1)2/„ + (жп+1 + 1)и„ -«п+1 = ^п-Ц^п ~~ жп+15п + «п = (Жп+1 - 1 )2«п - (Жп+1 - 1)«п - «п =

= (жп+1 + 1)2г>п - (жп+1 + 1)/п -

«п+1 =

Хп+11п + «п = -(жп+1 - 1 )2ип - (жп+1 - 1)уп

«п =

= + 1)2ип + (жп+1 + - г>п.

Пусть /¿(/) — эт0 минимальная по всем поляризациям вида а = (а\,а2, поляризованного полинома, реализующего функцию /(х\, • • •, хп). Тогда

¿о(/п+1 ^ Шп ) ^ Цдп) 4 - Ь(ип)

к)(9п+1 > Шп) ^(ЗпН -

1а(ип+1 > Шп) + Ь(ип) ¥Ь(уп)

1о(ъп+1 > Н9п) +■ Ь(ип) Н Ь(уп)

М/п+1 > Н9п) ± £(/«) Л -Цдп),

Ь(дп+1 > Шп) ± Н9п) 4

к(ип+1 А\ + Ь(ип) Ып)

к('оп+1 А\ + Цуп) - Н Ь(ип)

Ь(/п+1 Н - Цдп),

Ь(дп+1 > Шп) +■ Ь(ип) - ^Цдп)

к(ип+1 А\ + Цдп) - н ь(ип)

А\ ь Ып)

тт(/0(/)Л(/), 2(1)).

, стп_1,г) сложность

(2)

(3)

(4)

Для краткости будем называть значения Ь(/г) и Ь(д^ слагаемыми типа 1, а значения и Ь(щ) — слагаемыми типа 0, г = 1, 2,... .

Лемма 1. Если раскрывать Ь(/п), Ь(—/п), Ь(дп), Ь(—дп) по формулам (2), (3), (4), то вне зависимости от поляризации в финальной сумме слагаемых типа 1 (¿(/1) и Ь(д\)) будет больше, чем слагаемых типа 0 (Ь(у 1) и Ь(щ)).

Доказательство леммы проведем индукцией по шагам разложения.

На нулевом шаге разложения слагаемых типа 1 будет больше, чем слагаемых типа 0, в силу того, что слагаемое всего одно.

Предположим, что на г-м шаге разложения (0 ^ г < п — 1) имеется а слагаемых типа 1 и Ь слагаемых типа 0. Тогда на следующем шаге при стп-г+1 = 1 получим За слагаемых типа 1 и 3Ь слагаемых типа 0. Если же стп-г+1 Ф 1, то получим 2а+Ь слагаемых типа 1 и 2Ь+а слагаемых типа 0. Таким образом, вне зависимости от поляризации, имеем число слагаемых типа 1 больше, чем число слагаемых типа 0.

Лемма 2. Для сложностей Ь(/п), Ь(—/п), Ь(дп), Ь(—дп), Ь(ип), Ь(—ип), Ь(уп), Ь(—уп) имеет место одно из следующих утверждений:

1) в финальной сумме число слагаемых типа 1 (¿(/1) и Ь(д\)) совпадает, а число слагаемых типа 0 (Ь(щ) и Ь(у 1)) различается ровно на единицу;

2) в финальной сумме число слагаемых типа 1 (¿(/1) и Ь(д\)) различается ровно на единицу, а число слагаемых типа 0 (Ь(щ) и Ь(у 1)) совпадает.

Доказательство проведем индукцией по шагам разложения.

Если сделано 0 шагов разложения, то утверждение леммы верно в силу того, что слагаемое всего одно.

Докажем индуктивный переход, рассмотрев два случая.

1. Пусть на каком-то шаге п — г, г = 1,..., п — 1, получено равное число слагаемых Ь(Уг) и Ь(щ), а слагаемых Ь(/г) (£(<7г)) на 1 больше, чем слагаемых Ь(д¿) (¿(/¿)).

Тогда на следующем шаге, если 01 = 1, соотношение числа слагаемых типа 0 не изменится, а соотношение числа слагаемых типа 1 изменится на противоположное.

Если же Стг ф 1, то соотношение числа слагаемых типа 1 станет равным, а слагаемых станет на 1 меньше (больше) при = 0 и больше (меньше) при а% = 2, чем слагаемых Ь(щ).

2. Пусть на каком-то шаге имеется равное число слагаемых Ь(/г) и £(<7г); а слагаемых (Ь(щ)) на 1 больше, чем слагаемых типа Ь(щ) Тогда на следующей итерации при а = 1

соотношение числа слагаемых типа 1 не изменится, а соотношение числа слагаемых типа 0 изменится на противоположное.

Если же а ф 1, то соотношение числа слагаемых Ь(/г) станет на 1 меньше (больше) при а = О и больше (меньше) при а = 1, чем слагаемых типа Ь(д¿), а число слагаемых типа 0 сравняется.

Сформулируем теперь основную теорему настоящей работы.

Теорема. Для каждой из функций /п, —/п, дп, —дп ее сложность Ь в классе поляризованных

3 ... 1 3 ... 1

полиномов не меньше, чем

если п нечетно, и не меньше, чем

если п четно.

Доказательство. Принимая во внимание то, что, согласно лемме 1, слагаемых типа 1 (не менее сложных, согласно формулам (1)) в финальной сумме всегда больше, чем слагаемых типа 0 (а следовательно, суммарная сложность максимальна при оп ф 1), и то, что, согласно лемме 2, число различных слагаемых одного типа различается не более, чем на единицу, получим следующие выкладки.

1. При нечетных п слагаемых типа 0 в финальной сумме будет не больше, чем половина от всех, "Г-1 1\

т.е. 1 —---- 1, и каждое из них равно 2 (так как верно (1) и ап ф 1). Соответственно слагаемых

типа 1 в финальной сумме будет

~>п — 1

1

. А число слагаемых типа 1 различается не более, чем

на единицу в худшем случае из слагаемых типа 1, равных 3, найдется

1 1

2 1

а равных 2

I ) ) • Тогда

L > 3

2 ' 2__L i •> 2 ' 2

2 2 + 2

= 3

jn —1

4 4

>п —1

>п —1

4 4

2. При четных п слагаемых типа 1 будет поровну: четное. Тогда

jn-i l\_g/3n"1

4 4

1 ^ 1

4"4^ 4'

jn-l fZn-\ 1

—:---- . так как

число

1 _ 3on

4 _ 4

4 4,

Следствие. Справедлива следующая нижняя оценка функции Шеннона:

13(п) ^

Заметим, что полученная нижняя оценка функции Шеннона сложности функций трехзначной логики в классе поляризованных полиномов улучшает известную ранее оценку из [4].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Яблонский C.B. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.

2. Перязев Н. А. Сложность булевых функций в классе полиномиальных поляризованных форм // Алгебра и логика. 1995. 34. № 3. С. 323-326.

3. Селезнева С. Н. О сложности представления функций многозначных логик поляризованными полиномами // Дискретная математика. 2002. 14. № 2. С. 48-53.

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 15. ВЫЧИСЛ. МАТЕМ. И КИБЕРН. 2012. № 3

4. Алексеев В. Б., Воронен ко А. А., Селезнева С. Н. О сложности реализации функций fc-значной логики поляризованными полиномами // Труды V Международной конференции "Дискретные модели в теории управляющих систем". М.: МАКС Пресс, 2003. С. 8-9.

5. Селезнева С.Н. О сложности поляризованных полиномов функций многозначных логик, зависящих от одной переменной // Дискретная математика. 2004. 16. № 2. С. 117-120.

6. Even S., Kohavi I., Paz A. On minimal modulo 2 sums of products for switching functions // Electronic Computers, IEEE Transactions. 1967. 16. N 5. P. 671-674.

7. Кириченко К.Д. Верхняя оценка сложности полиномиальных нормальных форм булевых функций // Дискретная математика. 2005. 17. № 3. С. 80-88.

Поступила в редакцию 08.11.11

THE LOWER BOUND OF THREE-VALUED FUNCTION COMPLEXITY IN THE CLASS OF POLARIZED POLYNOMIALS

Markelov N. K.

In the paper the lower bound of Shannon's function of three-valued function complexity in the class of polarized polynomials is found.

Keywords: fc-valued function, polynomial, polarized polynomial, complexity, Shannon's function.