Логический синтез алгоритмов распознавания в терминах переменнозначной логики Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.7

ЛОГИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ РАСПОЗНАВАНИЯ В ТЕРМИНАХ ПЕРЕМЕННОЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ

1 9

© Л.А. Лютикова1, Е.В. Шматова2

Институт прикладной математики и автоматизации,

360000, Россия, Кабардино-Балкарская Республика, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89а.

Рассматривается логический метод синтеза алгоритмов для расширения области решений заданных алгоритмов в задачах распознавания образов. Переменнозначная логика, рассматриваемая в статье, повышает выразительность кодирования исходной информации, дает возможность для введения определенных решающих правил. В результате предлагается метод построения нового алгоритма, являющегося логической комбинацией существующих алгоритмов и решающих правил нераспознаваемых объектов не одним ранее заданным алгоритмом. Ключевые слова: переменнозначная логика; дизъюнкты; решающее правило; алгоритмы; обучающая выборка.

LOGIC SYNTHESIS OF RECOGNITION ALGORITHMS IN TERMS OF VARIED-VALUED LOGIC L.A. Lyutikova, E.V. Shmatova

Institute of Applied Mathematics and Automation,

89a Shortanov St., Nalchik, Kabardino-Balkarian Republic, 360000, Russia.

The paper deals with the logic method of algorithm synthesis to extend the solution domain of the specified image recognition algorithms. The logic of varied values studied here improves input information coding and enables the introduction of certain decision rules. As a result, the authors propose a method of new algorithm construction, which is a logic combination of already existed algorithms and decision rules for the objects previously unrecognizable by the specified earlier algorithms.

Keywords: logic of varied values; clauses; decision rule; algorithms; training set.

В настоящее время известно значительное количество программных систем, используемых для решения таких сложных задач, как оценка ситуации и выбор решения при управлении сложными процессами; оценка и выбор оптимальных проектных решений; техническая и медицинская диагностика; оценка рисков. В силу интеллектуального характера решаемых задач, а также того, что самим системам присущи способности: достигать высокого качества формируемых решений, обучаться и объяснять свои решения, такие системы называются интеллектуальными системами (ИС). К ним относятся экспертные системы (expert systems), системы для численного обоснования принятия решения (decision support systems), системы для распознавания образов (текстов, изображения, речи) и некоторые другие.

Одной из основных проблем при создании интеллектуальных систем является проблема синтеза алгоритмов, работающих на данной предметной области. Каждый отдельный алгоритм не является универсальным, однако их комбинация может дать достаточно хороший метод для исследования закономерностей представленных данных.

Логические алгоритмы хорошо зарекомендовали себя в решениях обозначенных задач главным образом потому, что они делают возможным качественный

анализ исходной предметной области [1].

В данной работе рассматривается логический метод построения алгоритмов, расширяющих область получаемых решений на базе уже существующих алгоритмов.

Постановка задачи

Описание объекта представляет собой т-мерный вектор X = {х1, х2,...,хт}, где т - число признаков, используемых для характеристики объекта, причем j-я координата этого вектора равна значению j-го признака, j = 1 ,..., т. В описании объекта допустимо отсутствие информации о значении того или иного признака. Совокупность некоторого числа объектов и их признаков представляет собой выборку, на которой проработало п алгоритмов. Качество работы каждого алгоритма оценивается булевой функцией а^(Х1,у1). В результате оценки работы всех алгоритмов обнаружены объекты нераспознаваемые не одним из данных алгоритмов. Для расширения области получаемых решений предлагается метод построения нового алгоритма, являющегося логической комбинацией существующих алгоритмов и решающих правил нераспознаваемых объектов.

Формальная постановка задачи

На предметной области, состоящей из объектов и их признаков, рассматривается ряд алгоритмов

1Лютикова Лариса Адольфовна, кандидат физико-математических наук, заведующий отделом интеллектуализации информационных и управляющих систем, тел.: 89187208687, e-mail: [email protected]

Lyutikova Larisa, Candidate of Physical and Mathematical sciences, Head of the Department of Intellectualization of Information and Control Systems, tel.: 89187208786, e-mail: [email protected]

2Шматова Елена Витальевна, младший научный сотрудник отдела интеллектуализации информационных и управляющих систем, тел.: 89287168542, e-mail: [email protected]

Shmatova Elena, Junior Researcher at the Department of Intellectualization of Information and Control Systems, tel.: +7(918)7208687, e-mail: [email protected]

А1,А2,...,Ап, дающих некоторые решения задачи распознавания.

Пусть X = {х1,х2,...,хт}, XI е {0,1,.,к1 - 1} - множество признаков рассматриваемых в рамках пере-меннозначной логической системы; У = {у1,у2,.,у[} - множество объектов; А = {А1,А2,...,Ап} - множество алгоритмов,

ц (Хи у;)е{0,1}; 1 = 1,2.....1;

] = 1,2,...,п -качество работы алгоритма на заданном наборе признаков

= {Xl(Уi), ^у^-.х^Л [ = 1,2.....1:

aJ(Xi,yi) =

1, Aj(Xt) = Vi 0, MXi) Ф y,

, i = 1,2,...,1, j = 1,2,...,n,

т.е. результат работы алгоритма на заданном наборе признаков оценивается в рамках булевой алгебры:

1 - алгоритм А] распознал объект у1 по заданным признакам XI;

0 - алгоритм А] не распознал объект по заданным признакам Х>.

= {а1(у1),а1(у2),...,а1(у1)}Л = 1,2,...,п.

Некоторые из заданных в обучающей выборке объектов не распознаются не одним из рассматриваемых алгоритмов, т.е.

3 у1е¥ | А1(Х1) Ф у,, А2Ш Ф у,.....Ап(Х1) Ф уи

I = 1,2,.,I.

Найти Ап+1(Х1)1 Ап+1(Х1) = У1. Зависимость между объектами, их свойствами и качеством работы алгоритмов представлена в табл. 1.

и свойств многозначной логики.

0&Х = 0, (к- 1) vX = (к- 1), 1&Х = X, 0vX = X.

i (j, xi = j jn k ( x>, j = к x; = jn ... , x]&xk = J J. ,, 1 (0, Х1ФУ (0, }Фк'

[k -1 при X = j (X ) = [ ' n v ■

j [ 0 приХ ф j.

Обобщенной инверсией является следующее выражение:

xl = x0v x1v ... v x'-1 v xi+1 v ... v xk-1

Заданная таким образом инверсия обеспечивает включение всех возможных интерпретаций отрицания в различных многозначных логических системах.

Будем утверждать, что дизъюнкцией двух элементов разной значности является следующая функция:

X v Y = max

где l =

k -1 при

X

X Y

k -1'k -1

Y

>-

k -1 k -1 ■

k -1 иначе Конъюнкцией двух элементов разной значности:

X & Y = min

X

k -1 k -1

Входные данные и оценочные функции алгоритмов

Таблица 1

х2 .. Y Ai A2 . ■ An

Xi(yi) Х2(У1) . xm(yi) У1 ai(yi) a2(yi) . ■ an(yi)

ХЛУ2) Х2(У2) . Хт(У2) У 2 al(V2) aг(У2) ■ Оп(У2)

Xi(yi) Х2(У1) . Хт(У0 Vi а1(У0 a2(yù . ■ an(yl)

Для анализа предметной области будем использовать алгебру переменнозначной логики [2], которая дает возможность для выразительного кодирования разнородной информации, так как каждый отдельный признак XI е {0,1,...,к> - 1} может быть закодирован предикатом любой значности удобной именно для данного признака.

Алгебра переменнозначной логики

Высказывания строятся над множеством {В,0,1,...,^ - 1}, где В - не пустое множество, над элементами которого определены три операции:

- отрицание (унарная операция),

- & конъюнкция (бинарная),

- дизъюнкция (бинарная),

а также константы - логический ноль 0,1... к - 1.

Пусть X, - независимая многозначная переменная величина, Х,е [0, ..., к,-1], являющейся одной из характеристик объекта. Введем еще несколько функций

где 1 =

' X Y

k -1 при -— < -

k-1 k-1

к -1 иначе

Импликацию для переменнозначной логики зададим следующим выражением: X ^У = X VУ.

Любая функция рассматриваемой системы может быть представлена в следующем виде:

[(х1, Х2 Хп ) =

= V I &X&..1 &X & [(а.,...,а ).

Г 1 <7„ п •■> V р 5 и У

Элементарная конъюнкция представляет характеристическую функцию некоторого интервала I, пространства М, а интервал - это простое произведение не пустых подмножеств а|,, взятых по одному из каждого X,:

I = а,ха,х.....а ,а, еX

1 1 И' 1 1,

а.Ф0, i = 1,2..., и .

Тогда элементарная переменнозначная конъюнкция представляется выражением:

K = (x effj)& (х2 е а2).....(xn е ап),

а. ^ 0, i = 1,2...,п.

Решающие правила и функция качества отве-

тов

Решающим правилом для заданной предметной области назовем следующее высказывание:

&Г=1Х№-) Vi, 1 = 1.....1, е {0,1.....к - !)■

В данном случае решающие правило - это правило продукции, логическая интерпретация которого говорит, что из совокупности определенных признаков (этот и этот, и т.д. признак) следует определенный объект.

Пусть имеется набор алгоритмов {А1,А2,...,Ап}, частично распознающих заданную область. Для каждой заданной строки признаков

^ = {х1(у1),х2(у1),.,хт(у1)},1 = 1,2, .,1 строим функции качества работы этого алгоритма:

А\ = ^^а^г^.-.^Уди = 1,2.....п.

Получаем столбец значений качества работы алгоритма на каждой заданной строке, соответствующей объекту у,,, этому же объекту соответствует продукционное правило

^ У1, фи)е{0,1.....к-1},

I = 1,...,1 (признак - объект).

Полученный столбец можно рассматривать как частично заданную булеву функцию на множестве переменных {Х,у}.

Построения алгоритма, расширяющего область решений

При обработке данных целесообразным является выбор алгоритма, имеющего свойства: А](Х>) = у1, а](ХиУд = 1. В случае если хотя бы один алгоритм нашел решение вида: А1(Х)) = у}, то = 1.

Если ни один из рассматриваемых алгоритмов не распознает объект у],то а^у^) = 0.

Представим всеобучающую выборку в виде решающих правил:

&Г=1Х№) Vi, 1 = 1.....1, ФЛ е {0,1.....к- 1}.

Для каждого алгоритма выберем решающие правила, на которых алгоритмы распознают объекты

3 а,(У1) = 1, то &=1Х](у1) - у1,

I = 1,...,1, Х](уи) е {0,1,.,к- 1}.

Составим функцию, являющуюся конъюнкцией таких решающих правил для данного алгоритма. Руководствуясь следующими логическими рассуждениями: алгоритм А] распознает объект у1 и алгоритм А] распознает объект ур и все остальные объекты, распознаваемые этим алгоритмом:

ДО = К^^фд - у,) =

= &

аЫ

(y^iXjtävyt).

Далее можно применить алгоритм сокращения в адаптированном для многозначных логик варианте:

- Если некоторая переменная входит в дизъюнктивную нормальную форму (ДНФ) с одним знаком во всех дизъюнктах, то удаляем все дизъюнкты, содержащие эту переменную (данная переменная неинформативна).

- Если в ДНФ имеется какой-то однолитерный дизъюнкт х{, то выполняем следующее действие: удаляем все дизъюнкты вида х{&.... (правило поглощения).

В результате для заданного алгоритма Аполучаем функцию Р](Х,У), соответствующую тем решающим правилам, которые распознал заданный алгоритм. Данная функция обладает рядом свойств [3] и практически строит базу знаний данного алгоритма, разбивая область решения на все возможные для данной области классы.

Теорема. Необходимым и достаточным условием, характеризуемого набором признаков {X/} к классу Кг, является равенство: =КГ.

Доказательство. Пусть Р1(Х)=КГ, так как Г(Х) = Ш) V Ь(Х), тогда и Г (Х)=К,

1(Х) - однозначно характеризует заданную БД (базу данных). Можно утверждать, что конкретный набор признаков X}, используя представленные данные в БД, характеризует класс Кг.

Предположим, набор признаков {X} характеризует объект класса Кг и это не противоречит исходным данным, тогда функция f(X) примет значение

где f(X)=Kr. Так как 12(Х) - не содержит дизъюнкты, характеризующие классы, то можно утверждать, что т=Кг.

Построив для каждого алгоритма соответствующие функции Р1(Х,У), ¿ = 1,2,...,п, получаем множество функций Г1(Х,У),...,Гп(Х,У). Продолжая наши рассуждения, построим обобщающую функцию, являющуюся конъюнкцией функций Р1(Х,У),...,Рп(Х,¥)\

Р(Х,У) = ^^(Х.У), I = 1,2,.,п.

Проведя вычисления и преобразования, получим функцию:

i

р(х,у) = г1(х)чмх,у),

где [1(Х) - функция, содержащая только переменные XI, и назовем [1(X) функцией настройки, а дизъюнкты этой функции - элементами настройки, которые не имеют значения для идентификации объекта, но имеют значение в случае построения нового алгоритма на ранее нераспознанных объектах.

/) - функция, содержащая конъюнкцию признаков и объектов, являющаяся функцией для определения индивидуальных признаков заданных объектов.

Для построения нового корректного алгоритма на наборах данных нераспознаваемых прежними алгоритмами достаточно использовать функцию [1(X). Новый алгоритм является конъюнкцией ^(Х) и решающего правила объекта нераспознанного другими алгоритмами. В результате получаем уникальную характеристику объекта и сочетания его признаков, которые не относятся ни к одному из ранее распознанных объектов.

А_= &\=1 (УГ^фиШ) когда а^.уд = 1, А) = Ц=1 (ф=1фТ)чУ1) когда а^Хьуд = 0.

Вся исследуемая предметная область может быть представлена в виде решающих правил вида:

&Г=1Х№) - yt,1 =1.....l'xi(yt) е {0Д.....к -

Теорема. Пусть задано множество решающих правил вида

&Г=Муд -Vi, i = 1.....l'Xjiyd е {0,1.....к - 1},

представляющих собой некоторую исследуемую предметную область, тогда на всей исследуемой области

А'п+1(А\,А'2 ...А'п) = Ч\=1&?=1А<",(у1) = 1, I = 1,2,. ,1, } = 1,2,.,п.

Доказательство. Каждый алгоритм входит в предлагаемую дизъюнкцию как А^ в одну или нескольких конъюнкций и как А', так же в одну или несколько конъюнкций. Поскольку в противном случае это либо универсальный алгоритм, для которого все а](ХиУд = 1,г = 1,2,.,1, либо неработающий алгоритм а.](Хиу1) = 0,1 = 1,2, .,1. Поскольку А■ и А/это

Таблица 2

Входные данные, оценочные функции алгоритмов, оценочная функция корректного алгоритма

Ап+^МХЩ&^^у^чиА^.

Логический подход к построению корректного алгоритма на заданной предметной области

Учитывая требования корректности к алгоритму Ап+1(^), табл. 1 может быть представлена следующим образом (табл. 2).

Xi х2 - ■ Y А1 А2 - Ап An+i

Xi(yi) - *2(У2) - xm(yi) Хт(У2) У1 У2 ai(yi) ai (у 2) - а2(У2) - ап(У1) 1 0-пЫ 1 - 1 ^п(У1) 1

xi(Vi) *2(yi) - ХтШ У1 ai(y 1) а2(У1) -

Т.е. для Ап+1(Х) все значения

а^Х^у^ = 1, 1 = 1,2,.,1, } = 1,2,.,п.

Поскольку а^Х^у^ может быть рассмотрена как булева переменная, то А'п+1(А!1,А!2...А!п) как булева функция, имеющая значения 1 на всех заданных в предметной области наборах (А!1,А!2.А!п). И может быть представлена следующим образом:

А'п+1(^1,^2 .^п) = У\=1&1=1Аа',(уд, I = 1,2, .,1, ] = 1,2,.,п, А), а1(Х1,у1) = 1

A'W =

А), а](Х1,у1) = 0.

Будем считать, что А] - это совокупность решающих правил распознаваемых алгоритмом, А^ - совокупность решающих правил нераспознаваемых данным алгоритмом.

А = &\=1 (&Г=1Х№-) ^ Уд когда а](ХиуО = 1,

A'j = &li=i

1*](У1,) ^ Уд когда а](Х1,у1) = 0. Выразим импликацию и получим следующие выражения:

наборы решающих правил тех, которые распознал этот А] и не распознал, то дизъюнкция этих правил даст полную предметную область для каждого алгоритма.

При построении ДНФ на стадии

А'п+1(А'1,А'2-А'п)=У\=1&?=1А°)(У1)

она может быть сокращена до тупиковой известными методами. На стадии, когда на место А] будут подставлены решающие правила и можно применить алгоритм сокращения в адаптированном для многозначных логик варианте:

- Если некоторая переменная входит в ДНФ с одним знаком во всех дизъюнктах, то удаляем все дизъюнкты, содержащие эту переменную (данная переменная неинформативна).

- Если в ДНФ имеется какой-то однолитерный дизъюнкт х{, то выполняем следующее действие: удаляем все дизъюнкты вида х{&. (правило поглощения) дизъюнкта.

В результате для каждого дизъюнкта получим минимизированную базу знаний, соответствующую набору правил, описанных этим дизъюнктом. Такие дизъюнкты обладают рядом свойств [2] и разбивают

область решения на все возможные для данной области классы. Объединение этих областей строит минимизированную базу знаний для всей заданной области.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 15-01-03381-а.

Статья поступила 26.08.2015 г.

Библиографический список

1. Журавлёв Ю.И. Об алгебраическом подходе к решению задач распознавания или классификации // Проблемы кибернетики. 1978. Вып. 33. С. 5-68.

2. Лютикова Л.А. Использование математической логики с переменной значностью при моделировании систем знаний

// Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 2008. № 6 (65). С. 20-27. 3. Лютикова Л.А. Логический подход к модели представления знаний // Естественные и технические науки. 2014. № 6 (74). С. 107-108.

УДК 519.233.5

ИСЧИСЛЕНИЕ СМЕШАННЫХ МОМЕНТОВ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ПРИ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

© А.В. Петров1

Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Проводится анализ вероятностных числовых характеристик, отражающих структурно сложные виды вероятностных зависимостей. Описаны результаты теоретических исследований полиномиально-зависимых случайных величин. Представлены выражения для вычисления сложных моментов высших порядков и нормированных сложных моментов высших порядков для полинома порядка п. Приведены результаты численных экспериментов, подтверждающие справедливость полученных теоретических исследований. Расчеты основывались на генерации случайных чисел, равномерно распределенных в заданном интервале, и вычислении значений полинома с задаваемыми коэффициентами с расчетом оценок сложных моментов.

Ключевые слова: регрессионный анализ; полином; моментные функции; численный эксперимент.

CALCULATION OF MIXED HIGHER-ORDER MOMENTS UNDER POLYNOMIAL DEPENDENCE OF RANDOM VARIABLES A.V. Petrov

Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

The paper deals with the probabilistic numerical characteristics reflecting the structurally complex types of probabilistic dependencies. The results of theoretical studies of polynomial-dependent random variables are described. The expressions for calculation of complex higher-order moments and normalized complex higher-order moments for the polynomial of n order are submitted. The article also presents the results of numerical experiments confirming the validity of the obtained theoretical results. The calculations were based on the generation of random numbers uniformly distributed in a set interval, and computations of the values of the polynomial with specified coefficients and the estimates of complex moments.

Keywords: regression analysis; polynomial; moment functions; numerical experiment. В рамках решения задачи полиномиального анализа рассматривается полином

п

у V V

где х - независимая переменная (случайная величина с т)( и 0^; у - зависимая переменная (случайная величина с т и Бу); Ь/ - искомые коэффициенты; п - порядок полинома.

Найдем числовые характеристики для переменной ул: - начальный момент 1-го порядка (математическое ожидание)

1 Петров Александр Васильевич, доктор технических наук, профессор кафедры автоматизированных систем, тел.: 89148992771, e-mail: [email protected]

Petrov Alexander, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Automated Systems, tel.: 89148992771, e-mail: [email protected]