CC BY
59
УДК 681.5.09
ЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НАДЕЖНОСТИ
© В.И. Левин
Ключевые слова: классы сложных систем; формальное моделирование надежности; метод эквивалентных схем. Сформулирована проблема анализа надежности сложных систем. Дана классификация сложных систем. Изложена общая методика построения модели надежности сложной системы на основе аппарата логических определиелей.
5. ПРОБЛЕМА АНАЛИЗА НАДЕЖНОСТИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
Анализ надежности простых систем без памяти [ 1 ] несложен, что обусловлено простотой логических схем, моделирующих такие системы. Однако попытки применить методы [1] к сложным системам (чьи логические схемы-модели сложны) обычно неэффективны и приводят к необозримым выражениям, трудоемкость вычисления которых велика. Проблема обостряется тем, что блоки системы могут многократно восстанавливаться после отказов. Это означает, что надежностные процессы (НП) в блоках, служащие входными воздействиями схемы-модели, могут иметь большую длину. Ниже излагается другой подход к анализу надежности сложных систем, использующий математический аппарат логических определителей (ЛО) [2].
При этом, во-первых, вместо двухблочных систем в качестве элементарных выбираются более крупные, многоблочные системы; во-вторых, вместо отдельных моментов отказов и восстановлений блоков рассматриваются определенные совокупности моментов, порождающие квазиматрицы и ЛО [2]. Такое укрупнение элементарных параметров дает возможность блочного описания системы, что создает обозримость анализируемых надежностных процессов в системе, несмотря на сложность ее самой и НП в блоках. Данный подход подобен матричному анализу линейных систем.
6. КЛАССЫ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ И МЕТОДЫ ИХ АНАЛИЗА
Исследуемые системы, учитывая специфику анализа их надежности, можно разбить на три класса: 1) простые системы со сложными (длинными) входными процессами и НП в блоках; 2) сложные системы с простыми (короткими) входными процессами и НП в блоках; 3) сложные системы со сложными входными процессами и НП в блоках.
Анализ надежности систем 1-го класса целесообразно выполнять методом подстановок [1]. Для этого надо иметь соотношения «входные процессы - выходной процесс» одно- и двухвходовых элементов логической схемы-модели системы при сложных входных процессах. Эти соотношения находятся в процессе
анализа надежности элементарных одноблочных [1] и двухблочных систем с многократным восстановлением блоков и, возможно, многократно изменяющимися входными воздействиями (§ 11). Анализ надежности систем 2-го класса выполняется с помощью метода эквивалентных схем - варианта метода подстановок, отличающегося более простой логической схемой-моделью, включающей более сложные элементы (§ 9). Реализация данного метода требует отыскания соотношений «входы - выход» для сложных (многовходо-вых) элементов при сложных входных процессах, т. е. анализа надежности элементарных многоблочных систем с многократным восстановлением блоков и изменяющимися входными воздействиями (§ 12). Анализ надежности систем 3-го класса выполняется численным или приближенным методом. Численный метод основан на выделении интервалов постоянства выходного процесса схемы-модели и вычислении значений процесса в каждом интервале с помощью функции работоспособности (ФР) схемы. Приближенный метод - вариант аналогичного метода для простых систем [1]; его отличие - в более простой схеме-модели (см. § 9), состоящей, однако, из более сложных элементов.
Заметим, что менее сложные системы (меньший номер класса) могут анализироваться методами, предназначенными для более сложных систем (но не наоборот). Так, системы 1-го класса можно анализировать методами эквивалентных схем, численным и приближенным, а системы 2-го класса - численным и приближенным методами. Однако такое использование более сильных методов имеет некоторые издержки. Например, анализ систем 1-го и 2-го классов численным (приближенным) методом дает лишь численный (приближенный) результат, в то время как анализ методами подстановок (для систем 1-го класса) и эквивалентных схем (для систем 2-го класса) дает аналитический точный результат.
Анализ надежности любой системы означает отыскание как НП в системе, так и ее показателей надежности (ПН). Но вторые выражаются через первые соотношениями, не зависящими от сложности системы [1]. Сложность системы влияет непосредственно на форму ее НП и лишь через нее - на ПН системы. Поэтому в данной работе анализ надежности сложной системы понимается прежде всего как отыскание НП в системе.
7. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМЫ
Первым шагом при анализе надежности некоторой системы является составление ее математической модели, т. е. отыскание ФР, связывающих надежностные состояния (НС) системы с НС ее блоков и состояниями ее входов. Для простых систем ФР можно получить непосредственно из первичного описания надежности системы [1]. Для сложных систем это обычно не удается, и для отыскания их ФР приходится применять формальные методы, основанные на том, что каждой од-нофункциональной автономной системе без памяти соответствует свой эквивалентный двухполюсник, звенья которого соответствуют блокам системы [1]. Связность двухполюсника (наличие путей между входным и выходным его полюсами) означает работоспособность, а несвязность - отказ системы. Аналогично присутствие (обрыв) звена означает работоспособность (отказ) соответствующего блока. Таким образом, отыскание ФР системы сводится к 1) переходу от первичного описания надежности системы к ее эквивалентному двухполюснику и 2) отысканию всех минимальных (без повторения звеньев) путей между входным и выходным полюсами двухполюсника.
Функция работоспособности записывается в ДНФ, элементарные конъюнкции которой соответствуют найденным путям (одна буква конъюнкции означает присутствие одного звена цепи). Шаг 1 изложенной процедуры выполняется без труда. Опишем содержание шага 2.
Обозначим входной и выходной узлы двухполюсника А и В и пронумеруем в произвольном порядке остальные узлы. Выберем какой-либо узел ц , отличный от А , но смежный с ним, затем узел г2, отличный от А и ц и смежный с ц , и т. д. Таким образом, найдем первый минимальный путь 5 = из А в В , не имеющий одинаковых узлов. Следующий путь определим, исходя из найденного: от предпоследнего узла гк найдем новое продолжение 1к1к+х..1к+рВ, где
новые узлы ,..;1/с+р отличны от пройденных А,1],...,1к . Продолжений может быть несколько, и мы получим целую группу путей. Следующую группу путей получим, исходя из предпредпоследнего узла 1к_х найденного пути 5 , строя продолжения 1к_^'к1к+х..лк+рВ, где опять новые узлы отличны от прой-
денных узлов А,11,...,1к_1 и, кроме того, ¿'к Ф 1к . Дальнейший ход процедуры аналогичен. Для ускорения процедуры надо всегда выбирать новый узел так, чтобы приближаться к В (удаляться от А ).
Пример 6. Найдем ФР системы электропитания переменным током в самолете. Ток создается с помощью силовой установки С и генератора переменного тока Г, или же с помощью С, генератора постоянного тока Г2 и преобразователя П, а в аварийной ситуации - с помощью батарей Б и П. Обозначим НС блоков С,Гх,Б,П,Г2 соответственно а1,а2,а3,а4,а5.
С
Рис. 1.
Тогда системе соответствует эквивалентный двухполюсник (рис. 1), в котором ребро а5 ориентировано от 1 к 2. Зададим двухполюсник таблицей смежности уз-
ЛОВ:
А 1,2
1 2, В
2 В.
Поиск пути в двухполюснике начнем в строке А . Найдем узел 1, смежный с узлом А . В строке 1 ищем узел, смежный узлу 1. Найдем узел 2. В строке 2 находим единственный узел, смежный 2 (узел В ). В итоге получаем 1-й путь А\2В . Ищем следующий путь, отыскивая новое продолжение от предпоследнего узла 2 найденного пути. Такого продолжения нет. Ищем новый путь, отыскивая новое продолжение от предпредпоследнего узла 1. По таблице смежности это продолжение 1В . Новый путь А1В . Наконец, от 1-го узла А находим новое продолжение А2,2В , что дает еще один путь А2В. Найденным трем путям из А в В соответствует ФР системы у = ща4а5 v аха2 v а3а4 .
Описанная процедура поиска путей в эквивалентном двухполюснике системы не нужна, если изучаемая система каноническая, т. е. последовательная или параллельная, или последовательно-параллельная, или параллельно-последовательная. В этих случаях, независимо от сложности системы, ее ФР выписывается сразу по соответствующему 2-полюснику. Это связано с тем, что экономию вычислений при отыскании ФР сложных систем можно получить, если система декомпозируется в последовательное или параллельное объединение подсистем. В первом случае ФР всей системы у выражается через ФР подсистем у; в виде
У = АЯ> <49>
I
во втором случае - в виде
y = \ZVi- (50)
8. УПОРЯДОЧЕНИЕ ПРОЦЕССОВ
Рассмотрим логический (и,1)-полюсник - модель
надежности некоторой однофункциональной логической системы. На входы схемы поступают процессы л:, (?),•••>*„ (0 (НП в блоках системы и ее входные воздействия), а с выхода снимается процесс _у(/) (искомый НП на выходе изучаемой системы). Пусть булева функция у = /(хи...,хп), реализуемая (и,1)-полюсником (ФР изучаемой системы), является симметрической, т. е. не меняется при перенумерации аргументов
(51)
Здесь {х^,...,х1 ) - любая перестановка аргументов
(*,,...,*,,). Значение симметрической функции определяется числом аргументов, равных 0 и 1, но не зависит от того, какие это аргументы. Например, у = х]х2 V х{х3 V х2х3 (у = 1), если любые два из трех аргументов равны 1). Пусть входные процессы (и,1)-полюсника начинаются и оканчиваются импульсами
xn(Ö = ^,л,Ьп[Щ-.-)\{ап1,Ьп'2)..Л(апт,Ьпт)
(52)
Ниже мы убедимся, что это не ограничивает общности (см. § 11, 12). Исходя из симметричности функции, реализуемой (и,1) -полюсником, совокупность его входных процессов (52) можно трактовать просто как
п
набор М = ^ /и,- импульсов из (52), не указывая вхо-1=1
дов, по которым они подаются. При этом некоторые импульсы, принадлежавшие различным входам, станут пересекающимися. Преобразуем этот набор импульсов так, чтобы: 1) для любой пары импульсов начинающийся позднее импульс оканчивался тоже позднее {условие упорядоченности)', 2) реакция (я, 1) -полюсника осталась прежней (условие эквивалентности). Пусть = 1(а,УАг ) и Х]Л1) = Чар>Ьр) - пара импульсов, взятых из процессов на г -м и _/ -м входах. Если I = ] , т. е. импульсы действуют на одном входе, условие упорядоченности уже выполнено и преобразования не требуется. Преобразование не нужно и в том случае, если импульсы действуют на различных входах (г Ф у) и не пересекаются. Пусть импульсы принадлежат к различным входам и пересекаются. Пусть импульс начинается позднее, чем х;Д/), т. е. а1г<а^.
Тогда, если ху5(() и оканчивается позднее х,у((), условие упорядоченности выполнено. Если оканчивается раньше х^), т. е. Ь^<Ь1г, упорядоченность отсутствует. В этом случае нужное преобразование состоит в изъятии «лишнего» участка (Ь/5, Ь1г)
импульса х(>(/) и присоединении его к импульсу Хр^). Новая пара импульсов х\г(/) = 1(а,г,¿>;л.), х'^ (?) = Цйр, Ъ^) удовлетворяет условию упорядоченности. А так как перенос импульсов с одного входа схемы, реализующей симметрическую функцию входов, на другой не меняет реакции схемы, то выполненное преобразование - эквивалентное.
В результате указанного преобразования всех неупорядоченных пар импульсов, подаваемых на различных входах, получим эквивалентную воздействию (52)
совокупность М = ^ т( импульсов: 1=1
х(г\1) = \{а{г),Ь(г)),г^\,...,М,
(53)
действие которых уже не зависит от входов, по которым они подаются (свободные импульсы). Импульсы (53) упорядочены по условию
а(1) < а(2) <... < а(м\ 6(1> < й(2) <... < Ь(м). (54)
Операция переноса, упорядочивая импульсы, не меняет множеств моментов начала и моментов окончания импульсов. Поэтому в (54) моменты начал (окончаний) импульсов остались в совокупности прежними, т. е.
a(r) e{au,...,almi ■,...;ап1,...,апт},
b(r) е (V-Am,;...;bnU...,bnm }, r=l,..,M
(55)
Из (54), (55) с учетом упорядоченности моментов изменений в (52) следует, что моменты начала
(окончания) импульсов в полученной совокупности импульсов (53) выражаются через моменты начала (окончания) импульсов в исходном воздействии (52) с помощью ЛО п -го порядка:
6(г)=Вг =
«II- ■•«Im,
■аптп
V Am,
Ki- ■Кт„
(г)
(г)
(56)
г = 1,...,М
Полученный результат суммируется так: совокупность процессов (52), действующих на входах схемы, реализующей симметрическую булеву функцию, можно всегда заменить эквивалентной совокупностью из п
Л/= ]>>,. свободных импульсов =
1=1
= 1 (я(г),А(г)), г = ],...,М , интервалы существования
которых выражаются через параметры процессов (52) с помощью ЛО (56) и которые упорядочены так, что импульс с большим номером начинается (оканчивается) позже, чем импульс с меньшим номером.
[
Число &(?) импульсов, действующих в произвольный момент времени / в совокупности процессов (52) и эквивалентной ей совокупности импульсов, одинаково и не превышает числа п процессов.
9. МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНЫХ СХЕМ
Как известно ([2], § 2.7) любая система без памяти имеет модель надежности в виде двухступенчатой временной логической схемы. На входы этой схемы подаются процессы ;*:,(/),...,*„(<) (воздействия на систему) и а,(?),...,ад,(?) (НП в блоках системы), а с выходов снимаются процессы ух(!),..,,уг({) (искомые НП в системе). Первая ступень схемы - чисто временная, построенная из операторов задержки и реализующая временной сдвиг входных процессов, вторая ступень схемы - чисто логическая, реализующая булевы ФР системы ук=. Опишем теперь метод эквивалентных схем.
Представим ФР в ДНФ [1]. В соответствии
с этим вторая ступень схемы-модели заменится эквивалентной 3-ступенчатой схемой, где ступень 1 образована инверторами, ступень 2 - многовходовыми конъ-юнкторами, ступень 3 - многовходовыми дизъюнкто-рами, а схема-модель в целом станет четырехступенчатой. п -входовый конъюнктор - это п -местный элементарный логический оператор, преобразующий воздействия а,(/),...,ая(/) в реакцию >>(/) в соответствии с элементарной П -местной конъюнкцией [1]:
у = а1ла2л...лап; (57)
п -входовый дизъюнктор - это п -местный элементарный логический оператор, преобразующий воздействия ах{(),...,ап{() в реакцию _у(г) согласно булевой функции - элементарной п -местной дизъюнкции [1]:
у = щ V аг v...v ап . (58)
Значения входов а,.....ап и выхода у элемента в
(57), (58) относятся к одному и тому же моменту времени t. Пусть нам известны соотношения «входные процессы - выходной процесс» для каждого типа элемента схемы. Тогда, применяя принцип подстановок [1], можно последовательно найти процессы на выходах ступени 1, затем процессы на выходах ступеней 2 и 3 и, наконец, процессы на выходах схемы. Последние и есть искомые НП _У](0»в системе.
Таким образом, анализ надежности системы без памяти сводится к отысканию реакции логической схемы-модели системы на заданные входные воздействия, что, в свою очередь, сводится к отысканию реакций типовых элементов схемы на различные входные процессы. Для одновходовых элементов - задержки и инвертора - данная задача решена в [1]. Для многовхо-довых элементов - конъкюнтора и дизъюнктора - эта задача решается в § 12. В отличие от метода подстановок [1] метод эквивалентных схем характерен ограниченным числом ступеней схемы-модели (четыре), не
зависящим от сложности изучаемой системы. Благодаря этому становится возможным анализ надежности достаточно сложных систем. Сравнивая (57), (58) с (49), (50), видим, что п -входовый конъюнктор является моделью надежности системы п последовательно соединенных блоков, а соответственно, «-входовый дизъюнктор - моделью надежности системы п параллельно соединенных блоков. Таким образом, метод эквивалентных схем сводит анализ надежности произвольной системы без памяти к анализу надежности элементарных систем без памяти, однако последние оказываются более сложными, чем в методе подстановок.
В основу метода эквивалентных схем можно также положить представление ФР системы в КНФ [1]. В этом случае в схеме-модели ступень 2 образуется многовходовыми дизъюнкторами, а ступень 3 - многовходовыми конъюнкторами. Возможны и другие варианты данного метода. Метод эквивалентных схем наиболее приспособлен для анализа последовательных, параллельных, последовательно-параллельных и параллельно-последовательных систем, когда ФР уже представлена в нужной форме - ДНФ или КНФ. Применение метода эквивалентных схем не отличается от применения метода подстановок [1], однако позволяет анализировать сразу целые классы систем.
10. МЕТОД АНАЛИЗА НАДЕЖНОСТИ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СИСТЕМ С ДЛИННЫМИ НАДЕЖНОСТНЫМИ ПРОЦЕССАМИ В БЛОКАХ
Изложим метод отыскания соотношений «входы-выход» для п -входовых элементов - конъюнктора и дизъюнктора (и > 2) при длинных входных процессах. Поскольку п -входовый конъюнктор - модель надежности системы из п последовательно соединенных блоков, а п -входовый дизъюнктор - системы из и параллельно соединенных блоков, данный метод, по существу, есть метод анализа надежности элементарных - параллельных и последовательных - систем при многократном восстановлении блоков. Получаемые при этом соотношения «входы-выход» элементов нужны при анализе методом подстановок надежности систем класса 1 и методом эквивалентных схем - класса 2. Для отыскания реакции п -входовых элементов -конъюнктора и дизъюнктора - на произвольные входные процессы ах(1:),...,ап(/) поступаем так.
1. Учитывая симметричность функции, реализуемой конъюнктором (дизъюнктором), на основании § 8 заменим процессы на входах элемента эквивалентной совокупностью свободных упорядоченных импульсов.
2. В полученной совокупности выделим несколько произвольных соседних импульсов и прямым методом [1] найдем соответствующий фрагмент реакции элемента, считая, что выделенные импульсы не взаимодействуют с остальными импульсами совокупности.
3. Устанавливаем, какое преобразование над выделенными импульсами воздействий пришлось совершить, чтобы получить соответствующий фрагмент реакции элемента. На основании этого суммируем отдельные фрагменты реакции, учитывая, в случае необходимости, их взаимодействие между собой. В результате находим искомую реакцию элемента.
При использовании вышеописанной методики надо начинать с определения реакции конъюнктора (дизъ-юнктора) на стандартные входные процессы. В качестве стандартных при этом выбираем такие процессы, реакция на которые определяется наиболее просто.
Реакция на нестандартные процессы находится сведением к реакции на стандартные процессы. При этом проводится стандартизация процессов, т. е. представление процессов в необходимой форме - с начальным (конечным) импульсом или паузой (см. § 11, 12).
11. АНАЛИЗ НАДЕЖНОСТИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ДВУХБЛОЧНЫХ СИСТЕМ С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ НАДЕЖНОСТНЫМИ ПРОЦЕССАМИ В БЛОКАХ
Рассмотрим 2-входовые логические элементы: конъюнктор и дизъюнктор, получающие входные воздействия ах{1),а2{1) любой длины. Методом § 10 найдем для этих элементов выходной процесс _у(/) - реакцию на заданные воздействия.
Эта задача содержательно означает отыскание НП на выходе системы, состоящий из 2 последовательно (параллельно) соединенных блоков, НП в которых а,(£),а2(0 ■ В качестве стандартных выберем пару входных процессов
«1(0 = 10*11 А1Ж-'"Ж«12'М-К^шЛт) «2 (0 = 1(«21А, )0(-,-)1(а22,,Ь22)...1(а2рЬ2р)
(59)
которые начинаются и оканчиваются импульсами. Таким образом, блоки в начальный момент находятся в состоянии отказа, затем восстанавливаются, снова отказывают и так далее и, наконец, переходят в состояние невосстанавливаемого отказа; ресурсы блоков равны т и р восстановлений соответственно.
Дизъюнктор. Найдем реакцию дизъюнктора на стандартные воздействия вида (59). В силу симметричности дизъюнкции заменим воздействия (59) эквивалентной совокупностью свободных импульсов (см. § 8)
¿г)(0 = 1 (АГ,ВГ), г -1,2,...,т + р,
(60)
упорядоченных так: импульс с большим номером г начинается (оканчивается) позже импульса с меньшим номером. Моменты начала и окончания импульсов выражаются через аналогичные моменты в (59) с помощью ЛО:
отличаются на единицу). Дизъюнктор выдает единицу в момент (, если в этот момент есть единица хотя бы на одном из его входов, т. е. действует хотя бы один из импульсов (60). Поэтому каждой паре соседних (г -го и (г +1) -го) импульсов, если учитывать лишь их взаимодействие между собой, соответствует фрагмент реакции элемента
_^1(Аг,Вг)0(-,-)\(Аг+1,Вг+]), Вг < Аг+1;
ЦАг,Вг+,) = \(Аг,Аг+1Щ--)1(Аг+\Вг+1),Вг>Аг+\
или в терминах непрерывной логики (НЛ) у,® = \(АГ,ВГАГ+1Ж-,--ЖАГ+\ВГ+1).
(62)
Согласно (62) искомая реакция есть последовательность импульсов (60), подвергшихся преобразованию (сжатию) справа:
Вг^ВгАг+\ г = \,2,-,т + р,
(63)
и потому уже не пересекающихся во времени. Преобразование (63) есть замена момента окончания каждого импульса (60) его конъюнкцией НЛ с моментом начала соседнего справа импульса. Таким образом, реакция двухвходового дизъюнктора на воздействия (59)
у«) = ЦЛ\В1АгМ-,-)ЦЛг,В2Л>)... (64)
...\(Ат + р-,,Вт*р-1Ат + р)0(--)\(Ат + р,Вт*р)
где Аг и Вг определяются из (61).
Формула (64) означает, что система с двумя параллельно соединенными блоками, имеющими ресурс т и р восстановлений и НП вида (59), имеет ресурс т+р восстановлений и интервалы работоспособности
(Аг,ВгАг+1),г = 1.....т + р-1 и (Ат+р,Вт+р). При
этом первое изменение НС системы есть ее восстановление в момент А1, первый отказ системы наступает в момент В1 А2 , последний (окончательный) - в момент
Вт+Р . Содержание НП (64) - восстановление отсутствовавшей вначале работоспособности системы и последующая ее эксплуатация до исчерпания ресурса. Используя базовую реакцию вида (6 4), можно анализировать случаи нестандартных (отличных от (59)) воздействий. Найдем, например, реакцию дизъюнктора на воздействия
«11 ••■«1т
Аг =
«21 -«2 р
Вг = Ъи Ат
¿>21 ■Ар
(г)
(61)
, г = \,2,...,т + р
Из § 8 следует, что число пересекающихся импульсов (60) в любой момент не превосходит 2. Это и условие упорядоченности импульсов показывают, что пересекаться могут лишь соседние импульсы (их номера г
«1 (0 = Що -Ж«11А1)■■ ■ ■'1(«1ш Ат ) а2(*) = 0(Ь2О,-)1(а21,Ь21)..Л(а2р,Ь2р)\'
(65)
отличающиеся от (59) тем, что начинаются паузами. Этот случай представляет наибольший практический интерес: здесь блоки в начальный момент исправны, затем отказывают, восстанавливаются и так далее, вплоть до невосстанавливаемого отказа. Ресурсы блоков: тир восстановлений. Начальные изменения
0'ь и 0'ь в процессах (65) можно рассматривать как
импульсы 1(-ооД0) и 1(-со,620) [1]. Это позволяет представить воздействия (65) в стандартном виде (59):
а1(/) = 1(-со,г,10)0(--)1(а11,й1,)...1(а1т>й1т)
а2( 0 = 1(-оо, й20 )0(--)1(а21, Ь21).,Л(а2р ,Ь2р)
(66)
Реакцию на воздействия (66) можно вычислить по (64):
у(0 = \(А\В1А2Щ-,-)1(А2,В2А3)... 1 (Ат+Р*1 ,Вт+р+1Ат+р+2)0(__)1 (Ат+Р+2 Вт+Р+2)
где
Аг =
Вг =
-оо аи...а1т -оо а21...а2р
К-Ь\т Ь20..Ъ2р
(67)
, г = 1,2,...,/и + р + 2.
Аг
Согласно свойству 9 логических определителей [2]: -оо, г = 1,2;
Аг~\ г>Ъ,
где Аг - ЛО из (61). Так, 1-й импульс вырождается, последующие конкретизируются и реакция двухвходо-вого дизъюнктора на воздействия (65) имеет вид:
УО) ~ 0(В2А1 ,-)1(А\ В3А2)... ..Л(Ат+р-\Вт+р+,Ат+р)0(--)1(А'"+р,Вт+р+2)
,(68)
где Аг определяется из (61), Вг - из (67). Мы видим, что система с двумя параллельными блоками, имеющими ресурсы тир восстановлений и НП вида (65),
имеет ресурс т + р восстановлений и интервалы работоспособности (¿о ,В2А1); (Аг ,Вг+2Аг+1), г — ...,т + р-1;(Ат+р,Вт+р+2), причем первый отказ системы происходит в момент времени В2 А1, последний (окончательный) - в момент вт+р+2 . Смысл НП (68) - потеря имеющейся вначале работоспособности системы.
Конъюнктор. Начнем со случая стандартных воздействий (59). Учитывая симметричность функции, реализуемой конъюнктором, заменим исходные воздействия (59) эквивалентной совокупностью свободных импульсов (60). Конъюнктор выдает единицу в момент времени / , если в этот момент есть единицы на обоих его входах. Поэтому изолированной паре взаимодействующих между собой соседних г -го и (г +1) -го импульсов совокупности (60) соответствует фрагмент реакции элемента
УА*) = -
г+1.
1 (АГ+1,ВГ),ВГ>А 0 = 1(ВГ,ВГ), Вг < А
г+1
или в терминах НЛ уг(0 = 1(ВгАг+1,Вг).
(69)
Иначе говоря, каждая г -я пара соседних импульсов (60), действующих на элемент, дает вклад в его реакцию в виде отдельного импульса (69), а последние для различных г не пересекаются. Таким образом, реакция двухвходового коньюнктора на воздействия (59)
у(0 = 1 (В1 А2, Вх )0(-,-)1 (В2 А3 ,В2)... ..А(Вт+р~1Ат+р ,Вт+р~1)
(70)
где Аг и Вг определяются из (61). Согласно (70), система с двумя последовательно соединенными блоками, имеющими ресурс тир восстановлений и НП
вида (59), имеет ресурс т+р-\ восстановлений и интервалы работоспособности (ВгАг+1,Вг),г = 1,..., ...,т + р — 1. При этом первое изменение надежностного состояния системы - это восстановление в момент
В1 А2 , первый отказ системы наступает в момент В], последний же (окончательный) отказ происходит в
момент Вт+р~Х. Смысл НП (70) тот же, что и НП (64).
Используя реакцию (70) в качестве базовой, можно анализировать случаи нестандартных воздействий. Например, реакция двухвходового коньюнктора на воздействия (65) имеет вид:
у{!) = 0(В\~ЩВ2А\В2)...
црт+р+\дт+р дт+р+
(71)
Видим, что система с двумя последовательными блоками, имеющими ресурс тир восстановлений и НП вида (65), имеет ресурс т+р восстановлений и
интервалы работоспособности (г0,5');(ВГ+1АГ,ВГ+1), г = \,...,т + р. В рассматриваемом случае первый
отказ системы происходит в момент 51, а последний
(окончательный) - в момент Вт+Р+1. Смысл НП (71) тот же, что и НП (68).
Выше найдены НП в двухблочных параллельных (последовательных) системах при некоторых длинных НП в блоках. Случаи остальных НП в блоках анализируются аналогично.
12. АНАЛИЗ НАДЕЖНОСТИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ МНОГОБЛОЧНЫХ СИСТЕМ С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ НАДЕЖНОСТНЫМИ ПРОЦЕССАМИ В БЛОКАХ
Найдем методом § 10 реакции у(/) и-входовых коньюнктора и дизъюнктора на воздействия а](Г),...,яя(0 произвольной длины. Смысл этой задачи
- отыскание НП на выходе системы из п последовательно (параллельно) соединенных блоков с НП
а,(0,...,«„(0 ■
Дизъюнктор. В качестве стандартных входных воздействий ах((),...,ап(1;) выберем воздействия (52), начинающиеся и оканчивающиеся импульсами (т. е. блоки в начальный момент = 0 неработоспособны, затем восстанавливаются, отказывают и так далее, пока не перейдут в состояние окончательного отказа). Найдем реакцию на воздействия (52). В силу симметричности функции, реализуемой элементом, мы можем заменить воздействия (52) эквивалентной им совокупностью М свободных импульсов (53), имеющих моменты начала и окончания (56) и упорядоченных так, что импульс с большим номером начинается (оканчивается) позже импульса с меньшим номером (§ 8). При наличии п входов элемента количество пересекающихся импульсов может доходить до п. Поэтому при п > 2 пересекаться могут не только соседние г -й и (г +1) -й, но и любые из имеющихся импульсов, отстоящие друг от друга не более чем на п — 1 импульс. Однако достаточно учитывать пересечение лишь соседних импульсов, так как: 1) именно пересечение (непересечение) соседних импульсов определяет отсутствие (наличие) очередной промежуточной паузы в реакции элемента; 2) совокупность пересечений всех пар соседних импульсов однозначно определяет картину пересечений всех М импульсов. Повторив рассуждения для двухвходового дизъюнктора (§ 11), получим реакцию п -входового дизъюнктора на воздействия (52)
у{1) = \(А\ВхА2Щ--ПА2,В2А3)...
... 1 {Ам~х,ВМ~1АМ)0(-,~)\(АМ,Вм )
М т}М \
(72)
где Аг и Вг - из (56).
Формула (72) обобщает аналогичную (64) для двухвходового дизъюнктора и имеет тот же смысл. А именно, в общем случае реакция дизъюнктора на входные процессы, начинающиеся и оканчивающиеся импульсами, - процесс того же вида, содержащий число импульсов, равное (или меньшее) сумме чисел импульсов для входных процессов. Формула (72) означает, что система с п параллельными блоками, имеющими ресурсы т1,...,тп восстановлений и НП (52), сама имеет
п
ресурс М = ^ восстановлений и интервалы рабо-/=1
тоспособности в виде (Аг,ВГАГ+1), г = 1,...,А/-1;
(Ам ,ВМ). Первое изменение НС системы - ее восстановление в момент А1, первый отказ системы - в момент В1 А2 , последний (окончательный) - в момент Вм.
Используя реакцию (72) как базовую, можно находить реакцию дизъюнктора на любые воздействия. Найдем его реакцию на воздействия
а„ (/) = 0(6п0,—)1(а„1, Ьп1)... 1 (а , 6 ) [ '
(73)
начинающиеся паузами и оканчивающиеся импульсами. Эти воздействия наиболее интересны; они означают, что блоки в начальный момент исправны, затем отказывают, восстанавливаются и так далее до окончательного отказа; ресурсы блоков равны тх,...,тп восстановлений. Представим (73) в стандартном виде (52):
«„(0 = 1(-°°АоЖ- -)1(а„1,6л1)...1(а„Шп ,Ь )
.(74)
Реакцию на воздействия (74) вычислим по (72):
у(0 = 1(А1,В1А')0(--)1(А1,В1А3)...
..л(лм+"-1,вм+"-[лм+" Щ--)\(АМ+" ,Вм+п)
где
Аг =
Вг =
~соап1—апт„
^10-Ат, Ко "Ат„
(г)
г = \,...,М + п
(75)
По свойству 9 ЛО [2]
Аг =
-ОО, г = 1,...,и; Аг~п, г = п + \,...,М +п,
где Аг - ЛО (56). Итак, реакция п -входового дизъюнктора на воздействия (73) после тех же преобразований, что и в случае п = 2 (см. § 11):
ЯО = 0( В1" А1 ,-)1(Аг, В"+} А2)...
(76)
где Аг - из (56), Вг - из (75). Итак, система с п параллельными блоками, имеющими ресурсы тх,...,тп восстановлений и НП в блоках вида (73), сама имеет
ресурс восстановлений. Интервалы рабо-
/=1
тоспособности указанной системы таковы:
(г0,ВпАх)\ (АГ,ВГ+ПАГ+'), г = 1,...,М -1; (Ам, Вм+П),
причем первый отказ происходит в момент В" А1, а
последний (окончательный) — в момент Вм+> . Формула (76) обобщает формулу (68) для двухвходового дизъюнктора и имеет тот же смысл. Случаи других нестандартных НП в блоках изучаются аналогично.
Конъюнктор. В качестве стандартных выберем входные воздействия
, (77)
в,(0 = 0(61О-)1(аи,6и)...1(а1и1 ,V, )0(-«,,mi+,)
начинающиеся и оканчивающиеся паузами. Реакцию коньюнктора ук (¿) на воздействия (77) найдем из реакции уд(0 (72) дизъюнктора на воздействия (52),
начинающиеся и оканчивающиеся импульсами, с помощью закона де Моргана [1]:
Л,«, (0 = - V = у^, W ■
i=i i=i
Отсюда находим реакцию коньюнктора на воздействия (77) в виде
..Л(Вм+пАм+"-\Вм+п)0(-,Ам+п) '
П
где M = ^Tm, ; Вг - из (75);
(78)
Аг =
au-ai,m1+i
ап\—ап,т„+\
(г)
, г = \,...,М + п .
(79)
Выражение (78) показывает, что система с п последовательными блоками, имеющими ресурсы т1 +\,...,тп +1 восстановлений и НП в блоках (77), имеет ресурс М + и восстановлений и интервалы работоспособности ,В1);(ВГ+1 Аг, Вг+Х),г = 1,...,
...,М + п-1; (Ам+",ао). Смысл НП (78) - восстановление начальной работоспособности системы.
Из реакции (78) можно найти реакции коньюнктора на воздействия, отличные от стандартных (77). Найдем реакцию на воздействия (73). Так как (73) есть частный случай (77) при а, = ... = ап т^х = оо, то, согласно
(78),
y(t) = Q(B\-)\(B2 Ах ,В2)...
...1(ВМ+1АМ ,Вм+1)0(-,-)1(Вм+'А
%
.Л(Вм+пАм+п-\Вм+п)0(-,Ам+п).
Здесь Вг - из (75), а
Яп-Ям.,00
ап\•••««,«,„00
, г = \,...,М + п .
По свойству 8 JIO [2] 1494
Аг =
[оо, г - M +\,...,М + «,
где Аг - ЛО (56), так что подчеркнутые участки выражения y(t) вырождаются. Реакция и -входового коньюнктора на воздействия (73)
y(t) = 0(Я',~)1(В2А\В2)..Л(Вм+уАм,BM+l), (80)
где Аг - из (56), Вг - из (75), т. е. система с и последовательными блоками с ресурсами тх,...,тп восстановлений и НП в блоках (73) сама имеет ресурс
я
M = ^^ nij восстановлений и интервалы работоспо-/=1
собности (t0,Bl);(Br+lAr,Br+l),r = l,...,M. 1-й отказ наступает в момент В1, последний (окончательный) - в момент Вм+]. Формула (80) обобщает (71) для 2-входового коньюнктора и имеет тот же смысл. Системы с другими нестандартными НП в блоках анализируются аналогично.
13. НАДЕЖНОСТЬ СИСТЕМ С ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ НАДЕЖНОСТНЫМИ ПРОЦЕССАМИ В БЛОКАХ И ПРОИЗВОЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ РАБОТОСПОСОБНОСТИ
Проанализируем методом эквивалентных схем надежность класса систем без памяти, у которых НП в блоках и на входах имеют одну из элементарных форм: тождественные 0 или 1 ; l'a ; 0'а, а ФР произвольны. Другими словами, в течение изучаемого времени входы системы и ее блоки меняют состояние не более одного раза (блоки, начав работу в исправном состоянии, не отказывают или отказывают один раз, а начав ее в от-казовом состоянии, не восстанавливаются или восстанавливаются один раз).
Представим схему-модель системы в виде четырехступенчатой схемы (§ 9): ступени 1 (задержек), 2 (инверторов), 3 (многовходовых конъюнкторов), 4 (много-входовых дизъюнкторов). Воздействия на входах этой схемы известны - это заданные НП в блоках системы и процессы на ее входах. По этим воздействиям мы должны найти последовательно процессы на выходах ступеней 1-4. Процессы на выходах ступени 4 (выходах схемы) есть искомые НП в системе. Для задержек и инверторов преобразование входных процессов в выходные выполняются по [1], и анализ ступеней 1 и 2 можно считать решенной задачей. Ограничимся изучением одной выходной функции схемы (подсхемы для реализации различных функций анализируются одинаково). Без ограничения общности можно считать, что изучаемая система автономна, т. е. не имеет (внешних) входов, а содержит лишь (внутренние) блоки. Именно входные процессы системы и НП в ее блоках выступают на равных правах как воздействия на входах схемы-модели.
В соответствии с вышеизложенным будем изучать двухступенчатую логическую схему-модель нашей
системы (ступень 1 - многовходовые конъюнкторы, ступень 2 - многовходовый дизъюнктор), реализующую ФР системы в ДНФ. Воздействия на входах схемы
- это заданные НП в блоках системы. Реакция у{{) на выходе схемы - это искомый НП в системе. Наша задача - найти процесс у(() . Разобьем все конъюнкторы г на три группы, в соответствии с типом их входных воздействий ап(/),...,аы (/) . Здесь - воздействие на 7 -м входе, щ - число входов I -го конъюнкто-ра. 1. Конъюнкторы первой группы (г е 5, = {1,...,7У}). Воздействия на их входы могут быть 2 сортов: ау(0 = 1„. при и в#(0 = О;., при } е £>.. 2.
Конъюнкторы второй группы (г е 5, =
= {^ + 1,..., А[ + Р}) . Воздействия на их входы а,-, (0 = V где у е /}. 3. Конъюнкторы третьей группы (ге53 = ={Ы + Р + \,...,М + Р + 0)). Воздействия на их входы я,у(/) = , где j е . Здесь /}, Д
- подмножества входов г -го конъюнктора с указанными воздействиями.
В схему не включены конъюнкторы г, в которых а) хотя бы один из входов а у (?) = 0 (в этом случае выход конъюнктора у,(/) = 0 и потому не влияет на выход всей схемы); б) часть входов а,у(?) = 1 (эти входы можно оборвать, не изменив выхода конъюнктора); в) все входы а,Д/) = 1 (здесь _у(/) = >>,(г) = 1 и поставленная задача тривиальна).
Вычислим сначала реакции _у;(/) конъюнкторов
(ступени 1) схемы. Для конъ-юнкторов первой группы, согласно [1],
ieS,
aN+1
(85)
ieS,
где
aN+l ~ /\ ai - /\ V aij ieS2 ieS2 jePj
(86)
а все конъюнкторы третьей группы - одним с реакцией К3(/) вида
ieS, ieS,
(87)
где
Vi = VÄ<=VAV
16.S'3 i'ei'j /еД,
(88)
Итак, дизъюнктор имеет ./V + 2 входа, из которых N получают воздействия в виде одиночных импульсов (81) с параметрами (82), один - воздействие в виде изменения (85) в момент (86) и еще один - воздействие в виде изменения (87) в момент (88). Но оба указанных изменения можно представить как импульсы [1]:
г2(0== 1(^,„°о), г3(0=о;,^ = 1(-сс,^+1). (89)
Итак, на входах дизъюнктора действуют только одиночные импульсы: на первых N входах - вида (81), на последних двух - вида (89).
Согласно (12.1) реакция п -входового дизъюнктора на воздействия в форме одиночных импульсов 1(а,г = 1,...,«, имеет вид:
f \ f л
II л
U6« )
= 1'., Л<£ = 1(в|Л), / . (81) y(t) = 1(А\В1А2)0(--)1(А2,В2А3)...
где
Ч = \/аУ> Ь1 = ЛЬ0> Ь^а^Ь.. (82)
/е/> /6 О,
Аналогично для конъюнкторов второй группы
,.Л(Ап~1 ,В"~1 А")0(-,-)1(Ап ,В") где Аг и Вг -ЛО-столбцы:
(90)
Аг =
а\ М Ъ\ (г)
Вг =
ап К
, г = \,...,п.
(91)
уМ = л1'»,, =1«,' ге52.
и конъюнкторов третьей группы
УМ= А %=%
(83)
(84)
Так как выходы конъюнкторов поступают на входы дизъюнктора, все конъюнкторы второй группы можно заменить одним с реакцией У2(0 вида
Использовав (90), (91), можно записать реакцию изучаемой схемы
где Аг и Вг - ЛО-столбцы:
Аг
«1_
aN+1
— 00
(О
Вг =
bj_
}N+1 оо
М
г = \,...,N + 2.
По свойствам 8 и 9 ЛО [2]
г = Г°°' г = 1;
[л'"1, г = 2.....п + 2;
оо, г - N + 2, ааа
, 5Г =
(г)
г = 1,...,ЛГ + 1. (92)
Окончательно реакция схемы-модели на воздействия типов 1,0,1' и 01
"!/ "и
У(1) = 0(Лб\-)\(А\А2В2)...
(93)
3. В схеме-модели есть лишь конъюнкторы третьей группы (получающие воздействия - модели невос-
станавливаемых отказов блоков). Поэтому на единственном выходе ступени 1 действует процесс (87) - он и проходит на выход схемы, т. е. реакция схемы у{{) = , и содержание НП в системе - невосста-
навливаемый отказ в момент Ьщ+1 (88).
4. В схеме-модели есть только конъюнкторы первой и второй групп. Тогда на выходах ступени 1 нет изменения . Это можно рассматривать, не меняя
реакции схемы, как наличие изменения при
6Лг+1 = -оо . Значит, общее выражение (93) реакции схемы конкретизируется:
В1 =-оо, ВГ=ВГ~\ г = 2,...,ЛГ + 1,
временные параметры которого определяются формулами (82), (86), (88), (92). Понятно, что Аг в (93) -момент г -го по времени изменения вида Г„ на входах
ступени 2 схемы-модели, а Вг - момент г -го по времени изменения вида на этих входах. Итак, НП в
произвольной системе с НП в блоках одного из 4 элементарных типов: 1,0,1д. ,0^. - в общем случае носит
характер восстановления начальной работоспособности системы, имеет ресурс А' +1 восстановлений и интервалы работоспособности (¡0,А1В1); (Аг ,АГ+1ВГ+Х), г = 1,...,N,(AN+1,со) . Здесь N - число конъюнкто-ров с воздействиями двух типов: 1'й. и в двухступенчатой схеме-модели системы. Рассмотрим ряд частных случаев.
1. В схеме-модели системы есть только конъюнкторы первой группы (с воздействиями двух типов: 1'0 и
(94)
где Вг =
, V — 1,..., N, и реакция приобретает
вид:
у(1) = \(Ах,ВХА2).Л(АМ,ВИАИ+ХЩ-,АМ+Х), (95)
где Аг - из (92), Вг - из (94). Таким образом, в данном случае НП в системе имеет смысл восстановлений первоначально отсутствовавшей работоспособности, причем ресурс системы N +1 восстановление, а интервалы ее работоспособности (Аг ,ВГ Аг+Х),
г = \,...,М; (А*+Х,<я).
5. В схеме-модели есть только конъюнкторы первой и третьей групп. Тогда на выходах ступени 1 нет изменения \'а . Это можно трактовать как наличие
О; .). В этом случае на выходах ступени 1 схемы нет с ^ = 00 ■ Выражение (93) конкретизируется:
изменений 1' и 01 , а есть лишь N одиночных
импульсов (81). Реакция схемы определится по (90), где п заменено т N. В этом случае НП в системе имеет смысл потери работоспособности; ресурс системы - N восстановлений, а интервалы работоспособ-
АГ=А'
М
(96)
и реакция схемы принимает вид
ности (АГ,ВГАГ+1), г = 1,...,ЛГ-1; (А*,ВМ)-, первое изменение НС системы - восстановление в момент А1, первый отказ системы наступает в момент В1 А2, а
последний (окончательный) - в момент Вм .
Совершая аналогичные рассуждения, можно интерпретировать все остальные случаи присутствия в схеме логических элементов.
2. В схеме-модели есть лишь конъюнкторы второй группы (их воздействия 1'а - модели одноразового
восстановления блоков). На единственном выходе ступени 1 действует процесс (85), без изменения проходя на выход схемы. Реакция схемы у(<) = , т. е. содержание НП в системе - одноразовое восстановление в момент ад,+1 (86).
уЦ) = Ъ(АхВх-)\(Ах,А2В2)...
... КЛ""1, А "В" )0(-,-)\(А " ,В"+')
N сЛГ+Ь
(97)
где Аг - из (96), Вг - из (92). Здесь НП в системе имеет смысл потери первоначально имевшейся работоспособности; ресурс системы - N восстановлений,
интервалы работоспособности (Аг ,АГ+ХВГ+Х), г = -I; (Ам,В!*+Х); первый отказ системы происходит в момент А1 В1, а окончательный - в мо-мент Вм+1.
6. В схеме-модели есть лишь конъюнкторы второй и третьей групп. Тогда на выходах ступени 1 присутст-
вуют только два изменения: и , и реакция
схемы такова [1]
у® = ^ = 0(Ьм+„ам+1 V Ьк+1), (98)
где Яд,+1 -из (96), йдг+1 - из (98). Здесь НП в системе-кратковременное (в интервале >алг+1 v^;v+l))
отказовое состояние.
Методом эквивалентных схем можно анализировать надежность класса систем без памяти, надежностные процессы в блоках которых произвольно сложны. Но при этом получаются громоздкие выражения надежностных процессов в системе.
ЛИТЕРАТУРА
1. Левин В.И. Логические методы в теории надежности. I, II // Вестник Тамбовского государственного технического университета. 2009. Т. 15. № 4. С. 873-884,2010. Т. 16. № 1С. 119-132.
2. Левин В.И. Логическая теория надежности сложных систем. М.: Энергоатомиздат, 1985. 129 с.
Поступила в редакцию 18 марта 2011 г.
Levin V.I. LOGICAL METHODS IN THEORY OF COMPLEX SYSTEMS RELIABILITY. II. MATHEMATICAL MODEL OF RELIABILITY
The problem of analysis of complex systems reliability is formulated. A classification of complex systems is given. The general method for construction of model of complex system reliability by logical determinants is presented.
Key words: classes of complex systems; formal modeling of reliability; method of equivalent schemes.
