CC BY
36
Системы управления,связи и безопасности №3. 2018
Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com
УДК 681.5.09
Логические методы исследования надежности сложных систем.
Часть II. Применение к некоторым классам систем
Левин В. И.
Актуальность. В последние годы все большее внимание ученых и проектировщиков технических систем приобретают вопросы совершенствования методов оценки надежности и безопасности этих систем, в связи с задачами повышения значений этих характеристик. Цель статьи заключается в разработке автоматно-логической модели надежности сложных технических систем и соответствующих логических методов оценки надежности таких систем, которые в отличие от известных используют не традиционные вероятностные показатели надежности, а детерминированные логические показатели. Метод. Для достижения поставленной цели в статье предложено использовать в качестве исходных данных наблюдаемые моменты последовательных отказов и восстановлений элементов технической системы, а в качестве характеристик надежности самой системы - моменты последовательных отказов и восстановлений этой системы. В этом случае задача оценки надежности системы сводится к построению ее математической модели в виде автоматных логических функций, выражающих моменты ее последовательных отказов и восстановлений через аналогичные моменты всех ее элементов. Данная статья представляет собой вторую часть работы, в которой детально разрабатывается автоматно-логическая модель, предназначенная для вычисления логической функции надежности сложных технических систем. Новизна работы заключается в построении адекватной логической модели надежности сложной системы, позволяющей свести оценку надежности сложной технической системы к вычислению ее логических функций надежности. В процессе вычислений впервые используется математический аппарат логических определителей, что и позволяет решить проблему сложности. Результат. В статье детально разработаны логическая модель надежности и методы ее исследования, позволяющие вводить новые показатели надежности сложных технических систем, не требующие для своей оценки использования вероятностных методов и исходных статистических данных об отказах элементов. На основе разработанной логической модели надежности и методах ее исследования решена задача построения автоматной модели надежности систем, которая позволит вести практические расчеты сложных технических систем методами теории динамических автоматов с помощью аппарата логических определителей.
Ключевые слова: сложная система, переключательный процесс, надежностный процесс, динамический автомат, двоичный оператор, структура оператора, логическая теория надежности.
Введение
В первой части работы [1] было показано, что использование в теории надежности, вместо традиционного вероятностного подхода, математической логики открывает новые возможности в исследовании надежности технических систем. В развитие этой идеи был подробно описан математический аппарат создаваемой автором логической теории надежности сложных систем. Этот аппарат так называемых логических определителей играет ту же роль укрупненного (блочного) описания изучаемых нелинейных надежностных систем, что и обычные определители при изучении линейных систем [2, 3]. В этой статье, являющейся второй частью работы, строится и детально описывается автоматная
Библиографическая ссылка на статью:
Левин В. И. Логические методы исследования надежности сложных систем. Часть II. Применение к некоторым классам систем // Системы управления, связи и безопасности. 2018. № 3. С. 184-196. URL: http://sccs.intelgr.com/archive/2018-03/09-Levin.pdf Reference for citation:
Levin V. I. Logical Methods of Research of Complex Systems Reliability. Part II. Application to Some Classes of Systems. Systems of Control, Communication and Security, 2018, no. 3, pp. 184-196. Available at: http://sccs.intelgr.com/archive/2018-03/09-Levin.pdf (in Russian).
Systems of Control, Communication and Security
sccs.intelgr.com
математическая модель для оценки характеристик надежности сложных систем. Подробно изложена методика исследования и расчета надежности таких систем с помощью аппарата логических определителей.
1. Надежность симметрических систем
Изучим методом эквивалентных схем ([1], § 9) надежность класса систем без памяти, у которых симметрические функции работоспособности (ФР), а надежностные процессы (НП) в блоках и на входах произвольны. Симметричность ФР означает, что надежностное состояние (НС) любого выхода системы определяется лишь общим числом блоков (входов), НС которых равны 0 и 1, но не зависит от того, какие именно это блоки. К этому классу принадлежат, например, параллельные и последовательные системы ([1], § 11, 12). Обратимся к общей схеме-модели надежности системы ([1], § 9). В ней без ограничения общности можно опустить ступень 1 (задержки) и внешние входы, а из г выходов оставить какой-нибудь один. В результате получим (п,1) -полюсник, реализующий на выходе симметрическую булеву функцию своих входов
у = 1(ах,..,ап). (1.1)
Воздействия ),..., ап (?) на его входах - НП в блоках изучаемой системы, реакция у(?) - НП в системе. Найдем у(?) по заданным ах(г),...,ап(?).
Любую симметрическую функцию / от п переменных (14.1) можно конкретизировать как симметрическую функцию /р'"Рг с некоторым набором индексов р1,...,рг. По определению /р1^ = 1, если ровно р1 или ... или ровно рг из п переменных (безразлично каких) равны единице. Выделим фундаментальную симметрическую функцию = 1 индекса р от п переменных. По определению = 1 если ровно р из п переменных (безразлично каких) равны 1. Ясно, что
г
/Л^ =\//пр . (1.2)
'=1
Согласно (1.2), (п,1) -полюсник - модель нашей системы - можно заменить эквивалентной двухступенчатой схемой. Ступень 1 содержит г параллельно соединенных элементов, реализующих симметрические функции /р, ' = 1,..., г, от одного и того же множества переменных а,...,аи; ступень 2 -один дизъюнктор, входы которого - это выходы ступени 1. В качестве стандартных примем воздействия на схему вида [1], (8.2), начинающиеся и оканчивающиеся импульсами (блоки в момент ?0 = 0 неработоспособны, затем восстанавливаются, отказывают, ..., окончательно отказывают).
Найдем реакцию ур (?) любого элемента /пр ступени 1 на указанные воздействия. В силу симметричности функции эти воздействия можем заменить эквивалентной совокупностью М свободных импульсов
/ -V п
х(г)(?) = 1(Аг,вг), г = 1,...,м, м = £т, (1.3)
г=1
Systems of Control, Communication and Security
sccs.intelgr.com
с моментами Аг,Вг начала и окончания вида [1], (8.6), упорядоченных таким образом, что импульс с большим номером начинается (оканчивается) позже импульса с меньшим номером (см. [1], § 8). Число пересекающихся импульсов (1.3) в любой момент г совпадает с этим числом для совокупности входных процессов схемы [1], (8.2) и не превосходит п. Элемент /р имеет значение выхода у = 1 в момент г, если в этот момент имеется ровно р единиц на п его входах, т.е. пересекаются р импульсов импульсной последовательности [1], (8.3). Причем так пересекаться может каждая пачка из р последовательных импульсов (1.3):
1( Ак, Вк),...,1(Ак+р-1, Бк+р~1), к = 1,..., М - р +1. (1.4)
Пересечение всех р импульсов (1.4) в силу их упорядоченности происходит, если первый импульс оканчивается позже, чем начинается р -й импульс. Поэтому каждой к -й пачке импульсов (1.4), если не учитывать ее взаимодействие с другими пачками импульсов, соответствует фрагмент искомой реакции
|1(Ак+р-1, Вк) при Ак+р-1 < Вк; Ук () =[0 = 1(Вк, Вк) при Ак+р-1 > Вк, или в терминах непрерывной логики (НЛ)
ук (г) = 1( ВкАк+р-1, Вк), к = 1,..., М - р +1. (1.5)
Учтем взаимодействие различных пачек импульсов. Рассмотрим две соседние пачки - к -ю и (к +1) -ю. Если они не взаимодействуют, то соответствующие им два выходных импульса (1.5) ук и ук+1 не пересекаются и реакция элемента на 2 выбранные пачки импульсов образуется парой разделенных во времени импульсов ук и ук+1 . Взаимодействие этих двух пачек импульсов проявляется в пересечении импульсов ук, у^+1 на некотором интервале (а, Ь), что означает пересечение на интервале (а, Ь) всех импульсов к -й и (к +1) -й пачек, т.е. всех р +1 импульсов объединенной пачки. Значит, в интервале (а,Ь) на р +1 из п входов элемента /пр действуют единицы, а на его выходе получается у = 0. Таким образом, эффект взаимодействия соседних к -й и (к +1) -й пачек импульсов (1.4) приводит к объединению их реакций у д. и у^+1 (1.5) в одну
У к ,к+1 по правилу
_ Г 1(ВкАк+р-1 , Вк )0(-,-)1(Вк+1 Ак+р , Вк+1) при Вк < Вк+1Ак+р ; Ук,к+1(г) = [1(ВкАк+р-1, Вк+1 Ак+р )0(-,-)1(Вк, Вк+1) при Вк > Вк+1 Ак+р , или в терминах НЛ с учетом очевидного неравенства Вк < Вк+1
ук,к+1(г) = 1(ВкАк+р-1, ВкАк+р )0(-,-)1(Вк V Вк+1 Ак+р, Вк+1). (1.6)
Взаимодействие несоседних пачек импульсов (1.4) специально не учитываем, ибо в интервале пересечения соответствующих выходных импульсов (1.5) появляется тот же сигнал у = 0, что и для соседних пачек, а сам интервал -часть аналогичного интервала для некоторых соседних пачек.
Итак, реакция элемента /пр на стандартные воздействия вида [1], (8.2) есть последовательность импульсов (1.5), сжатых (ср. (1.5) с (1.6)) согласно выражению
Systems of Control, Communication and Security
sccs.intelgr.com
вк ^ вкАк+Р, к = _ р. (1.7)
вкАк+р_1 ^ вк_ V ВкАк+р_\ к = 2,...,м _ р +1,
и ставших в результате непересекающимися. Преобразование (1.7) есть замена момента начала каждого импульса (1.5) (кроме первого) его дизъюнкцией НЛ с моментом окончания соседнего слева импульса и момента окончания каждого импульса (1.5) (кроме последнего) его конъюнкцией НЛ с моментом начала соседнего справа импульса. Окончательно реакция элемента /р' на воздействия вида [1] (8.2) такова:
ур (?) = 1(В1 Ар, В1 АР+1)0(_,_)1(В1 V В 2 Ар+1, В2 АР+2)...1(Вм _р_1 V
(1.8)
V Вм_р Ам_1, Вм_Р Ам )0(_,_)1(Вм_Р V Вм_Р+1 Ам, Вм_Р+1 ),
где Аг и Вг - из [1], (8.6). Из (1.8) видно, что реакция - процесс того же вида, что и воздействия, и имеет до м _ р +1 импульсов (м _ р пауз).
Согласно (1.2), реакцию уР1^ (?) на выходе схемы-модели можно вычислить как реакцию г -входового дизъюнктора (ступень 2 схемы) на воздействия, являющиеся выходными процессами элементов /р1,...,/ ррг с входными воздействиями вида [1], (8.2); последние можно определить по формуле (1.8) при р = рь...,рг. Но реакция дизъюнктора с р входами на произвольные воздействия вида [1], (8.2), начинающиеся и оканчивающиеся импульсами, находится по формуле [1], (12.1). Теперь для получения уР1^ (?) осталось лишь уточнить выражение [1], (12.1), учитывая, что в данном случае дизъюнктор имеет г входов, а воздействия на него - не процессы вида [1], (8.2), а процессы (1.8) при р = р1,...,рг. Окончательно реакция р-вхо-довой схемы-модели с симметрической функцией /Р'"Рг на входные воздействия вида [1], (8.2)
ур1...рг (?) = 1(А1, В1А 2 )0(_,_)1( А 2, В 2 А3)... 1(АМ _1, Вм _1 Ам) •
• 0(_,_)1( Ам, Вм). Здесь А" и В* - логические определители (ЛО) вида
(1.9)
As
(B1 Ap )(B1 v B2APl+1)..._(BM-pp v BM"pi+1 AM) (BrAPr )( B1 v B2 APr ^y^-Pr "V 'BM~Pr +1 AM )
( s )
Bs
(В1 А^1) (Вм_р Ам)Вм_р^ +1
(В1Арг +1)"("Вм _р^Ам)Вм _ рг +1
с ЛО Аг и Вг из [1], (8.6); N - количество имеющихся импульсов в г процессах (1.8) с р = ръ..., рг, т.е.
г г
N = 1 (м _ р1 + 1) = (м + 1)г Рг . (1.11)
г=1 г=1
Итак, НП в произвольной системе с симметрической ФР /Р'"Рг и р блоками, имеющими НП вида [1], (8.2), в общем случае есть восстановление начальной работоспособности системы и последующая ее эксплуатация до исчерпания ресурса. Ресурс системы - N восстановлений - выражается через
и
суммарный ресурс всех блоков м = ^ по формуле (1.11); интервалы работо-
г =1
( s )
, s = 1,..., N,
(1.10)
Systems of Control, Communication and Security
sccs.intelgr.com
способности системы (А3, Б3 А3), я = 1,..., N -1; (Ан, Вн). Первое изменение НС системы - восстановление в момент А1, первый отказ - в момент В1А2, последний (окончательный) отказ - в момент В N.
Из базовой реакции (1.9) схемы-модели на стандартные воздействия вида [1], (8.2) можно найти ее реакции на любые воздействия. Найдем, например, ее реакцию на воздействия вида [1], (12.2). Представим эти воздействия в стандартном виде [1], (12.3). Реакция на воздействия вида [1], (12.3) вычисляется согласно формулам (1.9)—(1.11) при замене М ^М+п и ЛО Аг и Вг из [1], (12.4). В силу р <п,...,р <п элементы 1-го столбца ЛО А3 суть -да, так что
А1 =... = Аг = -да и первые г импульсов в (1.9) сливаются в один с началом -да . Выполнив нужные преобразования ([1], §§ 11, 12), найдем искомую реакцию п -входовой схемы-модели с функцией /пр1.рг на воздействия вида [1], (12.2):
yPi-Pr (t) = 0(Br A1 ,-)1(A1,Br+1A2)...1(AN-1,BN+r-1 AN) ■
• 0(-,-)1( AN, BN+r ),
(1.12)
где As и Bs - ЛО вида
As
( B1 v B2 Ap -n+1 ^ (^ßM+n-P1 r>M+n- v B -P1+1 AM ) (s)
( B1 v B2 Ap' " -n+1 ^ (^ßM+n-Pr r>M+n- vB -Pr+1 aM )
s = 1,..., N ;
Bs
(B1APl-"+1) (BM+"-p1 AM)BM+n-p1+1 (B^APr-ra+!) (BM+n-PraM)BM+n-Pr +1
( s)
(1.13)
s = 1,..., N + r,
с ЛО Ar из [1], (8.6), Br из [1], (12.4) и
N--
(1.14)
(М + п)г -X Р> .
г=1
Итак, НП в системе с симметрической ФР /гР1^]Рг и п блоками с НП вида [1], (12.2) имеет смысл потери имевшейся вначале работоспособности. При этом ресурс системы - N восстановлений - выражается формулой (1.14). Интервалы работоспособности рассматриваемой системы имеют вид (ц, БГА1); (А3, Б3+гА3+1\ 3 = 1,..., N -1; (AN, БN+г). Первое изменение НС системы - отказ в момент ВгА1, окончательный отказ - в момент В1^+г.
2. Надежность равновесных пороговых систем
Симметрическая ФР (1.1), как и любая ФР, должна быть монотонно неубывающей функцией своих аргументов а. Наиболее часто употребляемые в надежности симметрические функции, удовлетворяющие условию монотонности, составляют равновесные пороговые функции. По определению функция у = /(а,...,а) называется пороговой, если
У = 1
1 при £Tiai > p; i=1
n
о при £Tiai < p.
(2.1)
i=1
Здесь Т - веса аргументов а{; р - порог. При Т =... = Тп пороговая функция называется равновесной; ее без ограничения общности запишем как
Systems of Control, Communication and Security
sccs.intelgr.com
y
1 при X аг ^ Р.
гР (2.2)
0 при X аг < р.
1 г=1
Пороговая ФР описывает системы, которые работоспособны, если общее число работоспособных блоков, взятых с учетом их весов Т в системе, не меньше заданного порога р. В частности, ФР (2.2) описывает параллельную (р = 1) и последовательную (р = п) системы. Изучим НП в произвольной системе с равновесной пороговой ФР (2.2).
ФР (2.2) есть частный случай симметрической функции /Д^ в случае г = п _р + 1; р1 = р, р2 = р+1,..., рг = п. Поэтому НП в системе с ФР (2.2) и НП в блоках вида [1], (8.2) выражаются формулами (1.9)—(1.11) при указанных г и р1; при этом N = (п _ р+1)(м+1 _ 0,5(р+п)). Аналогично, НП во всей системе с НП в блоках вида [1], (12.2) выражается формулами (1.12)-(1.14) при тех же г и рг, причем N = (п _ р + 1)(м + 0,5(п _ р)).
Более обозримые выражения НП в системе с ФР (2.2) можно получить при непосредственном использовании метода, описанного в § 1. Рассмотрим пороговый элемент - модель системы. На его выходе реализуется функция (2.2). Воздействия ах(?),..., ап (?) на его входах - это НП в блоках, реакция у(?) на его выходе - НП в системе. Найдем у(?) по заданным а1 (?). За стандартные (как и в § 1) примем воздействия а1(?),..., ап (?) вида [1], (8.2). Так как пороговая функция (2.2) является симметрической, то воздействия вида [1], (8.2) мы можем заменить эквивалентной совокупностью свободных импульсов вида (1.3) с параметрами [1], (8.6). Пороговый элемент реализует функцию /р р+1,.,п. Он выдает на выходе единицу в момент времени ?, если в этот момент имеется р или р +1
или......или п единиц на п его входах, т.е. если в этот момент пересекается не
менее р импульсов в эквивалентной воздействиям [1], (8.2) импульсной последовательности (1.3). Так пересекаться может каждая пачка импульсов вида (1.4) с р последовательными импульсами из (1.3). Повторяя рассуждения § 1, находим, что каждая такая пачка при ее изолированном рассмотрении дает вклад (1.5) в искомую реакцию у(?). Учтем теперь взаимодействие пачек между собой. Рассмотрим соседние пачки - к -ю и (к +1) -ю. Если они не взаимодействуют, то соответствующие им выходные импульсы (1.5) ук и ук+1 не пересекаются и реакция на обе пачки есть пара (ук, ук+1). Взаимодействие этих пачек проявляется в пересечении импульсов ук, ук+1 на некотором интервале (а, Ь), что означает пересечение на (а,Ь) всех импульсов обеих пачек, т.е. всех р +1 импульсов объединенной пачки. Значит, в интервале (а, Ь) на р +1 из п входов элемента действуют единицы и потому на выходе элемента имеем у = 1. Таким образом, взаимодействие соседних к -й и (к +1) -й пачек импульсов вида (1.4)
Systems of Control, Communication and Security
sccs.intelgr.com
требует объединения соответствующих реакций ук и ук+1 (1.5) в одну укк+1 согласно
\(БкЛк+р_1, Вк )0(_,_)1(Вк+1 Ак+р, Вк+р), при Вк < Вк+1 Лк+р;
ук к+1 (?) = 11(ВкЛк+р_, Вк+1) = 1( ВкЛк+р_, Вк+1 Лк+р )0(_,_)1(Вк+1 Лк+р, Вк+1),
, при Вк > Вк+1Лк+Р,
^
или в терминах НЛ с учетом очевидного неравенства Вк < Вк+1
ум+1(?) = 1(ВкЛк+р_1, ВкЛк+р )0(_,_)1(Вк+1 Лк+р, Вк+1). (2.3)
Взаимодействие несоседних пачек импульсов здесь, как и в § 1, мы не учитываем. Итак, искомая реакция у(?) есть последовательность импульсов (1.5), преобразованных (ср. (1.5) с (2.3)) согласно
Вк ^ВкЛк+Р, к = 1,...,м-р. (2.4)
Окончательно реакция порогового элемента-модели на воздействия вида [1], (8.2) такова
у(?) = 1( В1 Лр, В1 ЛР+1)...1( Вм _РЛм _1, Вм _РЛм) •
.0(__)1(Вм_р+1 Лм,Вм_р+1), ( . )
где Лг и Вг - ЛО [1], (8.6). Таким образом, НП в системе с равновесной пороговой ФР (2.2) и НП вида [1], (8.2) в блоках есть начальное восстановление работоспособности системы и последующая ее эксплуатация до исчерпания реп
сурса, равного м _ р +1 восстановлений, где м = X т - суммарный ресурс всех
г=1
блоков; р - порог ФР. Интервалы работоспособности системы (ВгЛг+Р_\ВгЛг+Р), г = 1,...,м _р; (Вм_Р+1 Лм,Вм_р+1). Первое изменение НС системы - восстановление в момент В1 Лр, первый отказ системы - в момент В1 Лр+1, последний (окончательный) - в момент Вм _Р+1.
Вычислим теперь реакцию порогового элемента-модели на воздействие вида [1], (12.2). Представим [1], (12.2) в стандартном виде [1], (12.3). При этом реакция на воздействия вида [1], (12.3) вычисляется по формуле (2.5) при м ^м+п и ЛО Лг,Вг из [1], (12.4). После нужных преобразований (см. [1], §§ 11, 12) имеем реакцию порогового элемента-модели на воздействия вида [1], (12.2):
у(?) = 0(Вп_ Р+1 Л1,_)1( Вп_р+2 Л1, Вп_р+2 Л2)...1(Вм+п_ РЛм _1,
^Ы +п_Ру^м^д^__+п_р+1 ^м +п_р+1)
где Лг - ЛО из [1], (8.6), Вг - ЛО из [1], (12.4), т.е. НП в системе с равновесной пороговой ФР (2.2) и НП [1], (12.2) в блоках имеют смысл потери имевшейся вначале работоспособности. Ресурс системы составляет м восстановлений, интервалы ее работоспособности можно определить по формулам
(Вп_ р+г+1 Лг, Вп_р+г+1 Лг+1), г = 1,..., м _ 1; (Вм+п_р+1 Лм, Вм+п_р+1). Первое изменение НС системы - отказ в момент Вп_Р+1 Л1, окончательный отказ системы происходит в момент Вм+п_Р+1.
Systems of Control, Communication and Security
sccs.intelgr.com
При р = 1 надежностные процессы (2.5), (2.6) переходят в соответствующие НП [1], (12.1) и [1], (12.5) в параллельных системах, а при р = п - в соответствующие НП в последовательных системах (один из них рассмотрен в [1], (12.9)).
3. Надежность неравновесных пороговых систем
Изложим методику отыскания НП в системе с ФР в виде общей (неравновесной) пороговой функции (2.1).
1. Веса Ть...,Тп - целые, порог р - произвольный. Для определенности примем п = 4, Т = Т2 = Т3 = 1, Т4 = 2, р = 3. Тогда ФР (2.1)
_ J1, a1 + a2 + a3 + 2a4 > 3 У 10, a1 + a2 + a3 + 2a4 < 3
5
1, £ a; > 3
i=1 5
0, £ ai < 3
i=1
(3.1)
а4=а5
Согласно (3.1) наш 4-входовый пороговый элемент-модель системы эквивалентен по реакции 5-входовому элементу с равновесной пороговой функцией (2.2) и порогом р = 3 при а4(г) = а5(г). Найдя реакцию последнего на заданные воздействия (§ 2) и учтя дополнительное условие а4 (г) = а5 (г), получим реакцию 4-входового порогового элемента-модели (искомый НП в системе). Изложенная процедура применима при любых п, Т и р. Ее основа - переход от данного неравновесного порогового элемента к эквивалентному пороговому элементу с равными (единичными) весами, но с большим числом входов.
2. Веса Тъ..,Тп - рациональные, порог р - произвольный. Тогда
Т = 4/в,, , = 1,...,п, (3.2)
где А и В - целые числа. Пусть число В - наименьшее общее кратное чисел В,,..., Вп. Тогда можно записать
Т = С,/В, , = 1,...,п, (3.3)
где С = А В / В,, = 1, . .,п, - целые числа. При выполнении умножения всех параметров Тъ..,Тп,р порогового элемента на одно и то же число Я функция, реализуемая элементом, не меняется. Выберем Я = В. Тогда, учитывая (3.3), видим, что наш элемент эквивалентен пороговому элементу с весами Т' = С,, , = 1,...,п и порогом р = рВ. Так как теперь веса Т/ - целые числа, расчет реакции элемента можно выполнить по методике из п. 1. Тем самым найдем реакцию на заданные воздействия исходного порогового элемента-модели, т.е. искомый НП в системе.
Пример 1. Система с четырьмя блоками работоспособна, если общее число работоспособных блоков, с учетом их весов в системе, не меньше трех. Веса блоков Т = Т2 = Т3 = 1, Т4 = 2. Блоки в начальный момент исправны, затем отказывают, один раз восстанавливаются и переходят в состояние окончательного отказа. Найти НП в системе.
<
Systems of Control, Communication and Security
sccs.intelgr.com
Функция работоспособности рассматриваемой системы имеет вид пороговой функции (3.1). Соответствующий пороговый элемент-модель системы эквивалентен 5-входовому элементу с равновесной пороговой функцией (2.2) и порогом р = 3. Воздействия на входах 5-входового элемента, моделирующие надежностный процесс в блоках, таковы: а1(г) = 0(Ъ10,-)1(ап, Ь11),
а2(г) = 0(^20,-)1(а21, М, а3(г) = О^,-)^, ¿31), а4(г) = а5(г) = О^-Д^АО. Реакция элемента (НП в системе) по формуле (2.6) при п = 5, р = 3
у(г) = 0(В3 А1 ,-)1(В 4 А1, В 4 А2 )...1(В 7 А4, В7 А5)0(-,-)1(В8 А5, В8). (3.4)
Здесь Ar =
a1.1. a41 a41
( r )
, r = 1,...,5; Br =
b10b11
b40b41 b40b41
(r)
, r = 1,...,10.
Таким образом, система вначале исправна, в момент В3 А1 впервые отка-
4 1 Я
зывает, в момент В А восстанавливается и т.д. и в момент В окончательно отказывает. Заметим, что число различных элементов в ЛО Аг равно 4. Поэтому в семействе ЛО А1,..., А5 есть два равных ЛО (Аг, Аг+1), т.е. в НП системы (3.4) какой-то один интервал работоспособности фактически вырожден. Аналогично в семействе ЛО В1,... , В10 есть две пары равных логических определителей (Вр, Вр+1) и (В9, В9+1), так что в НП (3.4) может быть вырождено до двух интервалов работоспособности.
4. Приближенный метод анализа надежности систем
Приближенный метод анализа надежности сложных систем есть вариант аналогичного метода для простых систем, отличающийся тем, что в качестве структурной модели системы используется четырехступенчатая схема, принятая в методе эквивалентных схем (см. [1], § 9). Относительная простота этой схемы делает возможным анализ весьма сложных систем. Для реализации приближенного метода нужно иметь оценки моментов начала а и окончания Ъу
реакций у(г) элементов схемы через аналогичные моменты ах, Ъх в их воздействиях х(г) (см. [4], § 3.8). В 4-ступенчатой схеме имеется четыре типа элементов: задержки, инверторы, п -входовые конъюнкторы, п -входовые дизъюнкто-ры (см. [1], § 9). Для первых двух нужные оценки даются формулами из [4], § 3.8. Для п -входовых конъюнктора и дизъюнктора нужные оценки получаются аналогично случаю п = 2, который рассмотрен в [4], § 3.8.
5. Практический пример
Найдем НП в сложной системе электроснабжения, состоящей из трех
подсистем: 1) генератор Г1 (его НС обозначим а1), распределительный щит ге-
нератора РЩ1 (его НС а3), кабель К1 (НС а5); 2) генератор Г2 (НС а2), распре-
делительный щит генератора РЩ2 (НС а4), кабель К2 (его НС обозначим а6);
3) общий распределительный щит РЩ (НС а7), к которому через РЩ1 и К1 подключен Г1, а через РЩ2 и К2 - Г2; перемычка П (НС а8), соединяющая
Systems of Control, Communication and Security
sccs.intelgr.com
РЩ1 с РЩ2. Система работоспособна, если работоспособны все блоки хотя бы одной из подсистем 1 или 2 и блок РЩ, либо если работоспособны все блоки одного из подмножеств (Г1, РЩ1, П, РЩ2, К2, РЩ) или (Г2, РЩ2, П, РЩ1, К1, РЩ). Данная система - автономная однофункциональная логическая. Ее ФР y = fljflgflgfly v а1а3а8а4а6а7 v a2а4a6a7 v a2a4a8a3a5a7.
Пусть любой i -й блок начинает работу в исправном состоянии и имеет ресурс m восстановлений, так что НП в блоках имеют вид:
ai (t) = 0(bi0 -)1(ai1, bi1)- 1(aimi , birnt X i = 1 v,8 •
Для вычисления НП в системе y(t) будем применять метод эквивалентных схем [1]. Сначала по [1], формула (12.9) вычисляем процессы на выходах конъюнкторов (1-й ступени)
где
где
где
y (t) = a (t)аз (t )a5 (t )a7 (t ) = 0( B} ,-)1( Bj2 A, B? )... 1( B^1 Af1, Bf1+1 ),
a11. ..a1m1 (r ) b10. ..b1m1 (r)
A\ = a31. a51. ..a3m3 ..a5m5 , B1r = b30. b50. ..b3mi ..b5m5 , r = 1,...,M1, M1 = m1 + m3 + m5 + m7 ;
a71. ..a7m7 V ..b7m7
У2 (t) = a1 (t)a3 (t)a4 (t)a6 (t)a7 (t)a8 (t)
7(
= 0( b2 ,-)1(B22 A1 , B22 )... 1(Bf 2+1 A™ 2, Bf 2+1 ),
АГ =
a11. ..a1m1 (r) b10. ..b1m1
a31. ..a3m3 b30. ..b3mi
a41. a61. ..a4m4 ..a6m6 , B2r = b40. b60. ..b4m4 ..b6m6
a71. ..a7m7 b70. ..b7 m7
a81. ..a8m8 b80. ..b8 m8
(r )
r = 1,..., f
M2 = m1 + m3 + m4 + m6 + m7 + m8; Уз (t) = a2 (t)a4 (t)a6 (ta (t) = 0$,-)
■1(b32а1,вз2)...1(b3 a3 ,b3
?m3 +1 Afi Bfi +1)
a21. ..a2m2 (r ) b20. ..b2m2 (r)
A3 = a41. a61. ..a4m4 ..a6m6 , B3r = b40. b60. ..b4 m4 ..b6m6 , r = 1,..., M3, M3 = m2 + m4 + m6 + m7 ;
a71. ..a7m7 b70. ..b7m7
y4 (t ) = a2 (t)a3 (t )a4 (t )a5 (t )a7 (t )a8 (t ) = = 0( B4 ,-)1(B42 A4, B42 )... 1(Bf4 +1 Af4, Bf
Systems of Control, Communication and Security
sccs.intelgr.com
где
a: =
«21. ..«2m2 (r) b20. ..b2m2
«31. ..«3m3 b30. ..b3m3
a41. «51. ..«4m4 ..«5m5 , B4 = V V ..b4m4 ..b5m5
«71. ..«7m7 V .b7m7
а81. ..«8m8 V Am8
(r )
r = 1,..., M 4,
М 4 = т2 + т3 + т4 + т5 + т7 + т8. После этого по [1], формула (12.5) вычисляем процесс на выходе дизъ-юнктора (второй ступени), т.е. искомый надежностный процесс в системе
ХО = У1 (г) V у2 (г) V Уз (г) V у4 (г) =
0(B 4 A1 ,-)1( A1, B5 A2)... 1( AM-1, BM+3 AM )0(-,-)1( AM, BM+4 ),
где
Ar
bj2 a11...b1M1 +1 aM1
bjaj"
BM 4 +1 AM 4
(r )
Br =
b;...bM
b4...b4
m 4 +1
г = 1,..., М;
4
'4 А4
(г) 4
г = 1,...,М + 4, м = £М1.
г=1
Полученное аналитическое представление у(г) является избыточным и при численном задании НП в блоках часть его участков оказывается вырождена. Пусть, например, наработка между отказами Т, время восстановления Тв и ресурс т1 для блоков / системы такие: для генераторов (/ = 1,2) Т = 10000 ч, Тв = 100 ч, т1 = т2 = 2; для щитов (I = 3,4,7) Т = 20000 ч, Тв = 20 ч,
■ т6 = 2; для пере-
m-.
тл
■ т7 = 3; для кабелей (/ = 5,6) Т = 30000 ч, Тв = 50 ч, т5
мычки (/ = 8) Т = 40000 ч, Тв = 10 ч, т8 = 3. Тогда НП в блоках конкретизируются ах{г) = а2(г) =0(10000,—)1(10100,20100)0(-,-)1(20200,30200); а3(г) = а4(г) = =а7 (г) =0(20000,—)1(20020,40020)0(—,—)1(40040,60040)0(—,—)1(60060,80060), а5 (г) = =а6(г) =0(30000,—)1(30050,60050)0(—,—)1(60100, 90100); а8(г) = 0(40000,—)1(40010, 80010)0(—,—)1(80020,120020)0(—,—)1(120030,160030), М1 = 10, М2 = 16, М3 = 10, М4 = 16. По приведенным выше формулам подсчитываем нужные ЛО: сначала А{,...,АГ,В{,...,В4Г, затем Аг и Бг, наконец, конъюнкции Вк+3Ак. Подставляя все в выражение НП в системе у(г), после исключения вырожденных участков найдем
у(г) = 0(10000, —)1(10100,20000)0(—,—)1(20020,30100) • • 0(—,—)1(20200,30000)0(—,—)1(30050,30200).
Итак, система вначале исправна, в момент гх = 10000 впервые отказывает, в момент г2 = 10100 восстанавливается, в момент г3 = 20000 снова отказывает и т.д., наконец, в момент г5 = 30100 окончательно отказывает.
Системы управления,связи и безопасности №3. 2018
Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com
Заключение
Содержательно использованная в настоящей работе надежностная модель сложной системы в виде логической зависимости надежностного состояния системы от надежностных состояний ее блоков аналогична рассмотренной ранее модели надежности простых систем. Поэтому она так же структурно воплощается в виде некоторого динамического автомата, входные процессы которого моделируют надежностные процессы в блоках системы, а выходной процесс -надежностный процесс в самой системе. Так что вычисление надежностных процессов в системах сводится к хорошо разработанным в теории автоматов методам вычисления выходных процессов динамических автоматов по их входным процессам. При этом использование математического аппарата логических определителей позволяет преодолеть «проклятие размерности» системы, что дает возможность выполнять вычисления в системах большой сложности. В настоящей, второй части работы с помощью аппарата логических определителей решены задачи построения аналитических формул для вычисления характеристик надежности нескольких классов сложных систем.
Работа в целом продолжает цикл исследований автора, посвященных разработке математического аппарата логической теории надежности. От опубликованных ранее работ автора [2, 3] данная работа существенно отличается использованием аппарата логических определителей.
Литература
1. Левин В. И. Логические методы исследования надежности сложных систем. Часть I. Математический аппарат и модели надежности // Системы управления, связи и безопасности. 2018. № 3. С. 150-183. URL: http://sccs.intelgr.com/archive/2018-03/08-Levin.pdf (дата обращения 9.08.2018).
2. Левин В. И. Логические методы в теории надежности сложных систем. Часть I // Вестник Тамбовского университета. 2011. Т. 16. № 5. С. 15-28.
3. Левин В. И. Логические методы в теории надежности сложных систем. Часть II // Вестник Тамбовского университета. 2011. Т. 16. № 6. С. 25-39.
4. Левин В. И. Логическая теория надежности сложных систем. - М.: Энергоатомиздат, 1985. - 129 с.
References
1. Levin V. I. Logical Methods of Research of Complex Systems Reliability. Part I. Mathematical Apparatus and Models of Reliability. Systems of Control, Communication and Security, 2018, no. 3, pp. 150-183. Available at: http://sccs.intelgr.com/archive/2018-03/08-Levin.pdf (accessed 9 August 2018) (in Russian).
2. Levin V. I. Logicheskie metody v teorii nadezhnosti slozhnyh system. I [Logical Methods in Reliability Theory of Complex Systems. I]. Vestnik Tambovskogo universiteta, 2011, vol. 16, no. 5, pp. 15-28 (in Russian).
3. Levin V. I. Logicheskie metody v teorii nadezhnosti slozhnyh system. II [Logical Methods in Reliability Theory of Complex Systems. II]. Vestnik Tambovskogo universiteta, 2011, vol. 16, no. 6, pp. 25-39 (in Russian).
4. Levin V. I. Logicheskaya teoriya nadezhnosti slozhnyh system [Logical Theory of Reliability of Complex Systems]. Moscow, Energoatomizdat, 1985, 129 p. (in Russian).
Системы управления,связи и безопасности №3. 2018
Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com
Статья поступила 9 августа 2018 г.
Информация об авторe
Левин Виталий Ильич - доктор технических наук, профессор, PhD, Full Professor. Заслуженный деятель науки РФ. Пензенский государственный технологический университет. Область научных интересов: логика; математическое моделирование в технике, экономике, социологии, истории; принятие решений; оптимизация; теория автоматов; теория надежности; распознавание; история науки; проблемы образования. E-mail: vilevin@mail.ru Адрес: 440039, Россия, г. Пенза, пр. Байдукова/ул. Гагарина, д. 1а/11.
Logical Methods of Research of Complex Systems Reliability.
Part II. Application to Some Classes of Systems
V. I. Levin
Relevance. In recent years the increasing attention of scientists and designers of technical systems has been acquiring the issues of improving methods for assessing the reliability and safety of these systems, in connection with tasks of increasing the values of these characteristics. The purpose of the article is to develop an automata-logical model of reliability of complex technical systems and corresponding logical methods for evaluating the reliability of such systems, which, unlike known ones, use not the traditional probabilistic reliability indicators, but deterministic logical indicators. Method. In order to achieve this goal, the article suggests using the observed moments of successive failures and recovery of the elements of the technical system as initial data, and as the reliability characteristics of the system itself the moments of successive failures and recovery of this system. In this case, the problem of estimating the reliability of a system is reduced to constructing its mathematical model in the form of automata logical functions expressing the moments of its successive failures and reconstructions through analogous moments of all its elements. This article is the second part of the work in which an automata-logical model designed to calculate the logical function of reliability of complex technical systems is developed in detail. The novelty of the work is the construction of an adequate logical model of the reliability of a complex system, which makes it possible to reduce the estimation of reliability of a complex technical system to the calculation of its logical reliability functions. In the process of calculation, the mathematical apparatus of logical determinants is used for the first time, which allows us to solve the complexity problem. Result. In the article the logical model of reliability and methods of its investigation are developed in detail, allowing to introduce new indicators of reliability of complex technical systems that do not require for their evaluation the use of probabilistic methods and initial statistical data on element failures. On the basis of the developed logical model of reliability and methods of its investigation, the problem of constructing an automata system for reliability of systems is solved, which will allow to fulfill practical calculations of complex technical systems by methods of the theory of dynamic automata using the apparatus of logical determinants.
Keywords: complex system, switching process, reliability process, dynamical automaton, binary operator, structure of operator, logical theory of reliability.
Information about Author
Vitaly Ilich Levin - Doctor of Technical Sciences, Full Professor. Honoured Scientist of Russia. Penza State Technological University. Field of Research: logic; mathematical modeling in technics, economics, sociology, history; decision making, optimization, recognition, automata theory, reliability theory, history of science, problems of education. E-mail: vilevin@mail.ru
Address: Russia, 440039, Penza, pr. Baydukova / Gagarin st., 1a/11.
