Логические методы исследования надежности сложных систем. Часть I. математический аппарат и модели надежности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Системы управления,связи и безопасности №3. 2018

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

УДК 681.5.09

Логические методы исследования надежности сложных систем.

Часть I. Математический аппарат и модели надежности

Левин В. И.

Актуальность. В последние годы все большее внимание ученых и проектировщиков технических систем приобретают вопросы совершенствования методов оценки надежности и безопасности этих систем, в связи с задачами повышения значений этих характеристик. Цель статьи заключается в разработке автоматно-логической модели надежности сложных технических систем и соответствующих логических методов оценки надежности таких систем, которые в отличие от известных используют не традиционные вероятностные показатели надежности, а детерминированные логические показатели. Метод. Для достижения поставленной цели в статье предложено использовать в качестве исходных данных наблюдаемые моменты последовательных отказов и восстановлений элементов технической системы, а в качестве характеристик надежности самой системы - моменты последовательных отказов и восстановлений этой системы. В этом случае задача оценки надежности системы сводится к построению ее математической модели в виде автоматных логических функций, выражающих моменты ее последовательных отказов и восстановлений через аналогичные моменты всех ее элементов. Данная статья представляет собой первую часть работы, в которой детально разрабатывается автоматно-логическая модель, предназначенная для вычисления логической функции надежности сложных технических систем. Новизна работы заключается в построении адекватной логической модели надежности сложной системы, позволяющей свести оценку надежности сложной технической системы к вычислению ее логических функций надежности. В процессе вычислений впервые используется математический аппарат логических определителей, что и позволяет решить проблему сложности. Результат. В статье детально разработаны логическая модель надежности и методы ее исследования, позволяющие вводить новые показатели надежности сложных технических систем, не требующие для своей оценки использования вероятностных методов и исходных статистических данных об отказах элементов. На основе разработанной логической модели надежности и методах ее исследования решена задача построения автоматной модели надежности систем, которая позволит вести практические расчеты сложных технических систем методами теории динамических автоматов с помощью аппарата логических определителей.

Ключевые слова: сложная система, переключательный процесс, надежностный процесс, динамический автомат, двоичный оператор, структура оператора, логическая теория надежности.

Введение

Имеется огромное число публикаций по классической, вероятностной теории надежности [1-4]. Значительно меньше публикаций по постклассической, детерминистской теории надежности. Начало последней было положено работами автора [5-7], в которых была открыта возможность моделирования надежностных процессов автоматно-логическими методами. Затем последовали различные реализации этой возможности.

Библиографическая ссылка на статью:

Левин В. И. Логические методы исследования надежности сложных систем. Часть I. Математический аппарат и модели надежности // Системы управления, связи и безопасности. 2018. № 3. С. 150-183. URL: http://sccs.intelgr.com/archive/2018-03/08-Levin.pdf Reference for citation:

Levin V. I. Logical Methods of Research of Complex Systems Reliability. Part I. Mathematical Apparatus and Models of Reliability. Systems of Control, Communication and Security, 2018, no. 3, pp. 150-183. Available at: http://sccs.intelgr.com/archive/2018-03/08-Levin.pdf (in Russian).

Системы управления,связи и безопасности №3. 2018

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

В работах [8, 9] были предложены автоматно-логические модели и методы анализа надежности технических систем, основанные на математическом аппарате двузначной (булевой) и бесконечнозначной (непрерывной) логики (НЛ). Было показано, что предложенные модели и методы позволяют анализировать надежность в принципе любых систем в аналитической форме, что имеет большое теоретическое и практическое значение. Затем эти модели и методы были усовершенствованы в работах [10, 11]. Но попытки непосредственного применения предложенного подхода к сложным системам, у которых логические схемы-модели сложны, а их входные процессы имеют большое число последовательных изменений сигнала (что является следствием многоразового восстановления блоков системы), наталкиваются на очень большие трудности. Эти трудности обусловлены необозримостью получаемых аналитических выражений и большой сложностью их вычисления. В связи с этим в настоящей работе предложен другой подход к анализу надежности сложных систем, основанный на математическом аппарате логических определителей (ЛО), вводимых как числовые характеристики некоторых квазиматриц, вычисляемые по соответствующим формулам алгебры НЛ [12, 13]. В целом квазиматрицы и ЛО в рассматриваемой нами области играют ту же роль параметров укрупненного (блочного) описания изучаемых, существенно нелинейных систем, что и обычные матрицы и определители в области линейных систем, т.е. способствуют лучшей обозримости и вычислимости различных характеристик изучаемых технических систем. В нашем случае это характеристики надежности.

Настоящая работа публикуется в двух частях. В первой части излагается математический аппарат логических определителей и другие математические заготовки, необходимые для исследования надежности сложных систем (типовые модели, методы и т.д.). Этот материал уже публиковался ранее [12, 13]. Для настоящей статьи его изложение усовершенствовано. Во второй части подробно изложена собственно методика исследования надежности сложных систем с помощью указанной математики. Работа в целом может рассматриваться как минимонография по логической теории надежности сложных систем, подробно описывающая нетрадиционный подход к изучению надежности таких систем.

1. Порядковая логика и логические определители

1. Рассмотрим множество X = (xb...,xn} из n элементов xt, xt e[A,B] и расположим элементы в порядке неубывания:

x(1) <x(2) <...<x(n), x(r) eX. (1.1)

Введем над множеством X операцию выделения произвольного порядкового элемента x(r) этого множества (r -операцию):

y - f(r)(xi,...,xn) = x(r), r = 1,..., n. (1.2)

Здесь r называется рангом операции. Легко видеть, что r -операция обобщает операции конъюнкции л = min и дизъюнкции v = max непрерывной логики (НЛ), переходя в них соответственно при r = 1 и r = n. Результатом r -операции над элементами множества является один из элементов этого же множества. Назовем произвольную функцию, аргументы которой x ,...,x взяты

Системы управления,связи и безопасности №3. 2018

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

из множества X и которая представляется в виде суперпозиции г -операций над X с различными значениями ранга г, функцией порядковой логики. Простейший пример такой функции - сама г -функция (1.2). Более сложный пример - функция У=/ (2)[/(2)(х1, х2, х3), / (3)(х1з х2, х3, х4)]. Любая функция порядковой логики у = / (хь..., хп) на любом наборе аргументов (хь..., хп) принимает значение одного из аргументов. Это связано с тем, что г -операции, суперпозицией которых представляется выражение у, всегда имеют своим результатом одну из переменных, участвующих в операциях.

Задать функцию порядковой логики у = / (х1?..., хп) можно, перечислив все п! вариантов упорядочения аргументов хь...,хп и указав для каждого варианта аргумент хг, значение которого принимает функция. Такое задание функции порядковой логики есть частный случай первичного задания любой функции непрерывной логики. Поэтому от такого первичного задания функции порядковой логики можно перейти к ее аналитическому представлению с помощью суперпозиции операций НЛ - конъюнкции и дизъюнкции (отрицание здесь не участвует, так как г -операция всегда имеет своим результатом значение одной из переменных, но не ее отрицания). Методика перехода та же, что и для функций НЛ.

Пример 1. Функция порядковой логики у = /(2)(х1 , х2, хз) — медиана — задана табл. 1. Найти ее представление с помощью НЛ.

Таблица 1. Задание функции-медианы у = / (2)( хь х2, х3).

Упорядочение аргументов Значение функции Упорядочение аргументов Значение функции

Xj < X2 < X3 X2 X2 < X3 < Xj X3

Xj < X3 < X2 X3 X3 < Xj < X2 Xj

X2 < Xj < X3 Xj X3 < X2 < Xj X2

Согласно табл. 1, искомую функцию можно представить так:

У = 1

Xj при x2 < Xj < x3 или x3 < Xj < x

2'

х2 при х1 < х2 < х3 или х3 < х2 < х1; х3 при х1 < х3 < х2 или х2 < х3 < х1.

Объединим при помощи конъюнкции НЛ 1 -ю строку при 2-м условии со 2-й строкой при 2-м условии, 1-ю строку при 1-м условии с 3-й строкой при 2-м условии и 2-ю строку при 1-м условии с 3-й строкой при 1-м условии:

х1х2 при х1х2 > х3 (т.е. при х1х2 > х х3, х2 х3 ); х1 х3 при х1 х3 >х2 (т.е. при х1 х3 >х1 х2,х2х3); х2х3 при х2х3 > х1 (т.е. при х2х3 > х1 х2, х1 х3 ).

Объединяя теперь три строки в одну с помощью операции дизъюнкции НЛ, получаем искомое представление у = х1х2 V х1х3 V х2х3.

Из сказанного следует, что функции порядковой логики - отдельный класс функций НЛ. Поэтому выражения функций порядковой логики можно

У = 1

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

(1.3)

(1.4)

подвергать эквивалентным преобразованиям (с целью их упрощения) с помо щью законов НЛ. Однако некоторые законы присущи лишь порядковой логике:

тавтология

/(г ч X,..., X) = X; переместительный

/(г)(х1?..., хи ) = /(г)(х^,..., хги) (здесь X;,...,X; - любая перестановка аргументов х1?...,хп); распределительный

/(ГXI,...,хп), ^2)(XI,...,хп),...,^Р)(XI,...,хп)] = = ^г )(XI,..., хп )

(здесь < q2 <... < qp; 1 < г < р) и его частные случаи

(1.5)

A f( r )(x1,..., xn ) = f ^ J ( Xj,..., xn ); i=1

n

A ri

V/(гЧ*,...,хп) = /^ ;(X!,...,хп).

;=1

При помощи этих законов можно преобразовывать представления функций порядковой логики, не являющиеся выражениями НЛ.

2. Рассмотрим множество Xq, состоящее из q непересекающихся подмножеств (х^,...,х;щ), ; = 1,...,q, с элементами ху е [А,В], упорядоченными согласно

1 ' (1.7)

n

V ri

(1.6)

xi < xi <... < xim

i1 i2 imi

; =1,...,q.

Число элементов этого множества п

q

Z mi

i=1

Множество Хп частично

упорядоченное; его удобно записывать в виде квазиматрицы q -го порядка со строками - упорядоченными подмножествами

x11. .. x1mi

xq1 . .x • qmq

x;,

i = 1,...,q; j = 1,...,mt.

(1.8)

Квазиматрица (1.8) отличается от обычной матрицы неодинаковым числом элементов в различных строках и упорядоченностью элементов в строках согласно (1.7). Рассмотренное выше неупорядоченное множество Х = (х1,...,хп) есть частный случай множества (1.8) при п строках из одного элемента каждая. Поэтому неупорядоченное множество X можно записать в следующем виде матрицы-столбца

x

x„

(1.9)

В другом частном случае, когда множество Хд полностью упорядочено,

оно содержит лишь одно упорядоченное подмножество (одну строку в (1.8)). В этом случае матричная запись множества Хд имеет вид матрицы-строки

n

n

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

Хп =| 1*1,..., Хп\\. (1.10)

Для частично упорядоченного множества Хд, заданного своей квазиматрицей (1.8), как и для упорядоченного множества X, вводится г -операция (1.2) в виде функции

у -/{г)(хи,..г ) = Х(г), г = 1,...,п, (1.11)

q

выделяющей нужный порядковый элемент х(г) из Х„. Эта функция называется

q '

логическим определителем (ЛО) г -го ранга q -го порядка от квазиматрицы Хд =

xü

и обозначается

Х q =

x11. . x1m (г ) Xj (Г )

Xq1 . . Xqmq

г = 1,...,n. (1.12)

Специально отметим частные случаи - определитель-столбец

ХГ =

- n

Xn

( г )

г = 1,...,n. (1.13)

соответствующий матрице-столбцу (1.9) и совпадающий с обычной г -функцией вида (1.2), и определитель-строку

Х[ = |х1,..., хп\(г) = хг, г = 1,..., п, (1.14)

соответствующий матрице-строке (1.10). Логический определитель Хгд от квазиматрицы Xq является числовой характеристикой этой квазиматрицы, как обычный определитель (детерминант) есть характеристика квадратной матрицы. Формально ЛО - это обобщение обычной г -функции (1.2) на случай частично упорядоченного множества аргументов, сохраняющее все основные черты

г -функции. Так, любой ЛО Хгд = х ^ (г) на любом наборе элементов х11,...,х

принимает значение одного из элементов. Далее, любая функция, аргументы которой - элементы х11,...,х квазиматрицы Хч и которая представлена в виде

суперпозиции ЛО Хгч различных рангов г от Хч есть функция порядковой логики. Так что ЛО и суперпозицию ЛО можно задать, указав для каждого варианта упорядочения элементов х11,...,х элемент х ^, значение которого принимает

функция. От такого задания ЛО можно перейти к их аналитическому представлению с помощью операций НЛ (пример 1). Значит, ЛО и их суперпозиции образуют специальный класс функций НЛ. Их можно подвергать эквивалентным преобразованиям с помощью законов НЛ и порядковой логики (1.3)-(1.6).

2. Свойства логических определителей Свойство 1. ЛО является монотонно неубывающей функцией ранга

Xq > Хр, если г > р, (2.1)

Свойство 2. Перестановка любых 2 строк ЛО Хгд не меняет его значения.

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

Доказательства свойств 1, 2 вытекают из определения Хгд.

Свойство 3. Общее для всех элементов определителя слагаемое можно

вынести за знак ЛО:

(r )

xij+ c

xj

(r)

+ с. (2.2)

Доказательство: прибавление общего слагаемого ко всем элементам х,

не меняет их взаимной упорядоченности согласно (1.7).

Свойство 4. Общий для всех элементов дизъюнктивный (конъюнктивный) член можно вынести за знак ЛО:

х, (г) а с. (2.3)

xj v c

( r )

x

(r )

v c;

xj л c

(r)

Доказательство следует из того, что введение общего для всех элементов дизъюнктивного (конъюнктивного) члена с не вменяет взаимной упорядоченности элементов, а лишь приводит с замене на с тех из них, которые вначале были меньше (больше) с.

Свойство 5. Общий для всех элементов сомножитель с можно вынести за знак ЛО с сохранением первоначального ранга г, если с > 0, и с заменой его на дополнительный ранг п - г +1 при с < 0:

xjc

( r )

xj

x

(r )

(n-r+1)

c > 0 c < 0

(2.4)

Доказательство. В случае с > 0 упорядоченность значений х,с и х, (г = 1,...,д; , = 1,...,т г) одинаковая, а в случае с <0 - обратная (максимальному х , соответствует минимальное х ,с и т.д.).

Свойство 6. Если с > х т ( г=1,...,д), то значение ЛО не меняется при добавлении к нему справа столбца из элементов с:

x11 • •• x1 m c

xq1 • •• xqmq c

( r )

x11 ••• x1m,

xq1 ••• xqmq

(r )

r = 1,

, n;

(2.5)

с , г = п +1,..., п + д.

Свойство 7. При добавлении к ЛО столбца из с; при с < хг1 ( г = 1,...,д) значение ЛО не изменится, если его ранг уменьшить на число строк:

с

c x11 • •• x1 m

cxq1 • • xqmq

( r )

xii ••• x

1m,

xq1 ••• xqmq

(r-q)

r = q; r = q +q + n.

(2.6)

Свойство 8. Значение ЛО не меняется при исключении элемента да (бесконечность) в конце какой-либо строки:

x11 • • x1m,

xq1 • •• xqmq

( r )

x11 ••• x1m.

xq1 ••• xqmq

ад

(r )

r = 1,_, n; r = n + L

(2.7)

<

zz <

zz <

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

Свойство 9. Значение ЛО не меняется, если из него исключить, элемент -да в начале какой-либо строки, а ранг уменьшить на единицу:

— ад

-да X11 • •• X1mi

Xq1 • •• X • qmq

(r )

X11 ••• X1mi X„i ••• X.

( r-l)

r = q; r = q + 1V„, q + n.

(2.8)

V •••

Доказательства свойств 6-9 вытекают из определения ЛО.

Свойство 10. Значение ЛО не изменится, если любую совокупность строк заменить ЛО, образованными этой совокупностью и расположенными в одной строке в порядке возрастания ранга:

X

q\i •••k

^•k^k

yN

(r )

(2.9)

Здесь XqXi k - квазиматрица, полученная из квазиматрицы Xq исключе-

нием строк i, ••• , k ; Xpk =

- ЛО p -го ранга из строк i, • • • , k.

Доказательство. Указанная замена означает совместное упорядочение элементов строк г,... ,к и не влияет на значение порядкового элемента х(г) множества Хп следовательно, и на значение ХГ.

Ч Ч

Свойство 11. ЛО ч -го порядка с двумя одинаковыми строками можно представить как ЛО (ч — 1) -го порядка с различными строками:

X11 X1m1

Xq- -1,1 ••• Xq- "1,mq-1

Xq- -1,1 ••• Xq- "1,mq-1

( r )

X11 • • • X1m1

X.

q 1,1 Xq-1,1 • • • Xq-1,mq-1 Xq-1,mq-1

(r)

(2.10)

Доказательство. Такая перестановка удовлетворяет условию упорядоченности элементов в строках (1.7), т.е. снова дает логический определитель, причем не меняет его значения.

Свойство 12. Конечный ЛО можно представить как бесконечный:

(2.11)

X11 • • X1m1 (r ) X11 . • X1m1 ••• (r)

Xq1 • • • Xqmq Xq1. • • X дада ••• qmq

Доказательство данного свойства получается повторным применением формулы (2.7).

Бесконечности в формуле (2.11) можно заменить конечными элементами хй, к > т, такими, чтобы сохранилась упорядоченность (1.7) элементов в строках

Ч

и выполнялись неравенства хгк > V хт, г = 1, . . . , ч .

i=1

Свойство 13. Значение ЛО г -го ранга не изменится, если в любой г -й строке исключить элементы хг г+1;хг г+2...:

X11 • • X1m1 ( r ) X11 • • X1r1 (r)

Xq1 • X •• qmq Xq1 • • Xqrq

где г. = r a m..

(2.12) 156

<

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

Доказательство. Действительно, г -м порядковым элементом х(г) квазиматрицы Хд может быть только один из г первых элементов какой-либо ее строки.

Свойство 14 (закон тавтологии):

x. . x

x. . x

(r )

: x,

r = 1,..., n.

Доказательство следует из определения ЛО.

Свойство 15 (распределительный закон):

Xpii xPlmi

X q ... X q

XPsl YPsms q ... Xq

(r )

pr X q :

где Pr =

mi

P11 - Pi

ps1 ... psm.

(r)

Здесь ph < Pi2 <... < Pm, r = n, n = £

m,

i =i

Свойство 16 (частный случай распределительного закона):

n

n л Pi

Л XP' =Xi=i i=i

"9

Свойство 17 (частный случай распределительного закона):

V XP

i=i

n

V Pi

: X ^ q

(2.13)

(2.14)

(2.15)

(2.16)

Доказательство свойств 15-17 вытекает из свойства 1. По нему упорядочение множества ЛО Хгч различных рангов г от одной квазиматрицы Хд можно заменить упорядочением множества рангов.

3. Раскрытие логического определителя

Раскрыть ЛО - значит указать аналитическое представление функции НЛ, выражающей значение ЛО через значения его элементов. В § 1 был предложен прямой метод раскрытия ЛО. Однако этот метод громоздок и не работает в случае больших ЛО. Удобнее раскрывать ЛО по готовым формулам, дающим аналитическое представление функции НЛ, выражающей значения целого класса ЛО.

1. ЛО-столбец г -го ранга с п элементами выражается такой дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ)

Xr„ =

xi xn

(r )

= V CV-V^X xk е^ь.-xn}

-r+i

или такой конъюнктивной нормальной формой (КНФ):

xr

x

x»

( r )

Л (xii V...Vxir X xik е^ь...xn}•

(3.1)

(3.2)

Доказательство (3.1). Пусть х(1),..., х(п) - упорядоченные согласно (1.1) элементы X},...,хи. Каждая конъюнкция состоит из п - г+1 различных элементов.

Одна конъюнкция вида Ь = х(г)х(г+1)...х(п), остальные вида Ь{ =х(5)Ьг', где 5 < г, т.е.

h ^...^i

n

Системы управления,связи и безопасности №3. 2018

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

Ь = х(г), Ь ^ х(г) и правая часть выражения (3.1) равна х(г) т.е. левой части. Формула (3.2) доказывается аналогично.

2. Общий бесконечный ЛО г -го ранга д -порядка выражается ДНФ:

Xq

xn...xXii...

Xl\-Xgiq-

( r )

V (xli1...xqiq ) .

q

S is =r+q-1

s=1

(3.3)

Доказательство. Сначала докажем частный случай (3.3) при q = 2.

X2

x11. ..-%1... ( r )

x21. ..x2i2...

V (x1kx2,r+1-к ) . к=1

(3.4)

Согласно свойству 13 логический определитель X2 можно представить как конечный ЛО:

x 2

x11. ..x1r ( r )

x21. ..x2r

(3.5)

который, не учитывая упорядоченности элементов в строках, представим в виде ЛО-столбца

Х2Г =

x

11

x

1r

x

21

x

2r

(r )

(3.6)

Раскроем ЛО (3.6) по формуле (3.1). Каждая конъюнкция в (3.1) включает г +1 различных элементов. Из этих элементов хотя бы один вида х1г и хотя бы один вида х2у. Пусть Бь - 5 -я из конъюнкций, включающих к элементов вида

x

2 j

и r +1 - к элементов вида xh-. Тогда согласно (3.1) X2 =VV Bks. При фикси-

к=1 s

рованном к по условию (1.7) максимальна та конъюнкция Б^ (5 = 1,2,...), в которую входят элементы х1к,...,х1г; х1г+1_к,...,х2г: она равна х1кх2г+1_к. Отсюда VБк5 = = х1кх2г+1_к. Подставив это в выражение X2, получим (3.4). Теперь

формулу (3.3) докажем индукцией по д. При д = 1 (3.3) переходит в равенство

X[ =

x11 ...x1i1...

(г) = х1г, (см. (1.14)), а при д = 2 - в доказанное соотношение (3.4). Допустим, что формула (3.3) верна для некоторого д = р. Докажем, что тогда она верна и при д = р +1. Представим хр+1 по правилу (2.9) в виде блочного определителя 2 порядка:

х11... хил...

X^+1 =

xp1 ... xpip... xp+1,1... xp+1,ip+1.

(r )

X

1

p..

p+1,1

X'1 p

lp+1,i

p+1

(r)

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

Раскроем последний по формуле (3.4) X

p+i = v Xpxp+\,r+i-k • Согласно вы-

k=i

шеуказанному допущению, ЛО Хк можно выразить в виде (3.3). Отсюда

xp+i =v

k=i

V x1ii ■■■xpip

2 is =k+p-i

V s=i

p+i,r+i-k

У

-V V х1г1"хрг„хр+1,г+1-к = V аИ1---ар+1,1„+1

к=1 р+1 р Р+1 р

Е ¡з-г+р Е ¡з-г+р>

3-1 з-1

Кр+1<г

В последнем полученном выражении по свойству 13 можно опустить условие 1 < ¡р+1 < г, не изменив значение ЛО. В итоге будет справедливо равенство хр+1 - V хи •••хр+1г , что и требовалось доказать.

р р+1 1 р ' р+х Е ¡з -г+р

3. Общий конечный ЛО г -го ранга д -го порядка выражается ДНФ:

xqr =

xii. ••ximi ( r )

Xqi • ••x * qmq

= V

xiii ••• xqiq

4

2 is =r+q-1V

(3.7)

Здесь и ниже запись Х1г- означает, что элемент хи

исключается из тех

конъюнкций, для которых из условия на Е формально получается ¡к > тк.

Доказательство формулы (3.7) получается, если в соответствии с (2.11) представить конечный ЛО хд как бесконечный и применить к последнему правило раскрытия (3.3), учитывая, что х л да - х.

Пример 2. По формуле (3.1) раскроем ЛО-столбец

xi ( r ) xix2 x3, r = i,

x 3r = x2 = • xix2 V xix3 V x2x3 , r = 2,

x3 xi V x2 x3 , r = 3^

Второе из выписанных выражений было получено более сложным путем с использованием прямого метода в примере 1.

Пример 3. По формуле (3.7) раскроем общий ЛО 2-го порядка

х11х21, г = 1,

x 3

xii xi2 x2i x22

( r )

xiix22 v x12x21, r = 2 xi2x22 V xiix2i' r = 3

xi2x22'

r = 4.

4. Раскрытие больших логических определителей

1. Раскрытие больших ЛО (т.е. ЛО с большим числом элементов) по явным формулам § 3 слишком трудоемко. В таких случаях целесообразнее при-

r

r

q

s=i

<

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

менять разложения ЛО на ЛО меньших размеров. Простейшее такое разложение

- (2.9).

Пример 4. Раскроем ЛО 4-го порядка

X4 =

x11x12 x21x22 x31 41

х

(4)

Запишем данный ЛО как блочный ЛО 2-го порядка, объединив 1-ю строку со 2-й и 3-ю с 4-й:

X 4

в2

El

в2

в4

C C2

(4) Х11Х12 (r ) Х31

; где в2 = , r = 1,...,4; C2 =

Х21Х22 Х41

( г )

,r = 1,2.

B2 V b2C22 V в4d

'2C2 •

Раскроем теперь ЛО Х^ по (3.7): Х24 Остается подставить сюда выражения В2 из примера 3 и значение С2:

er

Х31Х41,

IX31 V Х41,

r = 1; r = 2.

Получаем окончательно выражение ЛО, сложность которого - 13 двухместных операций V и а НЛ:

Х2 = Х11Х22 V Х12Х21 V (Х12Х22 V Х11 V Х21) а (х31 V Х41) V (х12 V Х22)Х31Х41.

Раскрытие этого ЛО по (3.7) дает выражение

X. 2 — Х11Х22 V Х12Х21 V Х11Х31 V Х11Х41 V Х21Х31 V Х21Х41 V V Х12Х22Х31 V Х12Х22Х41 V Х12Х31Х41 V Х22Х31Х41'

сложность которого - 23 операции.

Более конкретные правила разложения ЛО, когда однозначно указываются блоки, на которые разлагается ЛО, изложены ниже.

2. Назовем логическим дополнением элемента х^ в ЛО Хг ЛО, полученный из Хгл исключением элемента х„ . Обозначим его Хг„ \ х, . ЛО-столбец г -го

4 Ч 44

ранга с п элементами можно разложить поэлементно по такой ДНФ:

Xn =

( r ) n

= V xXn \ Xj i=1

(4.1)

Доказательство. Раскрыв ЛО ХП \ хчв правой части по правилу (3.1), получим раскрытый по этому правилу ЛО левой части Хпг .

Общий ЛО г -го ранга 4 -го порядка разложим поэлементно по ДНФ:

xr =

Х11. . .Х1т1 ( r )

Х91. . .xqmq

= V xX \ X,

(4.2)

Доказательство. Рассматривая ЛО Хг без учета упорядоченности элементов в строках (т.е. как ЛО-столбец), применяем к нему формулу (4.1). Формулы (4.1), (4.2) задают разложения ЛО по элементам.

n

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

3. Пусть xq =

Xql--Xqlq ••

(r )

- общий бесконечный ЛО г -го ранга д -го по-

рядка, а Х'5,Ь - это блок-ЛО 5-го ранга, составленный из строк й,й +1,...,Ь ЛО Хд. Справедливо разложение ЛО по блокам:

xr=

V х,\х?

1,ki &1+1,&2

...XSp

kp-i+1,q '

(4.3)

Ê Sj =r+p-1 j=1

Доказательство. Представим Хд в блочном виде (2.9):

хГ =

Y1 Yl1 х 1k1 ... х 1,k1...

X1

1

k1+1,k2

... Xj2

k1+1,k2 '

X1

p-1+1,q

... X

kp-1+1,q.

(r )

Рассматривая теперь блоки Х5Ь как элементы ЛО Хд, раскроем его по

(3.3). Получим (4.3).

X11...X1ra1

Пусть хд

Xq1...Xqmq

( r )

- общий конечный ЛО г -го ранга д -го порядка, а

Х'й Ь - см. выше. Тогда справедливо разложение ЛО по блокам:

ыл

M,

Mr

Xq

V

YS1 VS2 VSP

X1,k1 Xk1 +1,k2 ...Xkp-1 +1,q .

(4.4)

Ë Sj =r+p-1 j=1

Здесь М, - это число элементов в соответствующем блок-ЛО Х^ь, а заМ,

пись Х5'ь означает, что ЛО Х^ь не входит в те конъюнкции, для которых из

условия на ^ 5, получается 5, > М,. Доказательство повторяет доказательство разложения (4.3), но с раскрытием ЛО по (3.7).

4. Разложения (2.9), (4.1)-(4.4) составляют основу иерархических процедур раскрытия ЛО. В такой процедуре 1-й шаг - это разложение вычисляемого ЛО Хд =| Ху \г по одной из формул (2.9), (4.1)-(4.4) на блоки-ЛО низшего порядка;

2-й шаг - разложение получившихся ЛО на ЛО еще более низкого порядка и т.д., пока не придем к выражению исходного ЛО через ЛО 1 порядка, т.е. элементы Ху. Иерархическая процедура раскрытия ЛО показана выше в примере 4.

Трудоемкость такой процедуры и сложность получаемого выражения ЛО зависят от формулы разложения ЛО и способа его разделения на блоки. Наибольший эффект достигается при использовании поблочных разложений с делением на каждом шаге имеющихся ЛО на два равновеликих. При этом формулы разложения бесконечного (4.3) и конечного (4.4) ЛО таковы

Хд = V Х1,]д/2[Х]д/2[+1,д , (4.5)

,+у=г +1

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

Mi

M9

yr Xq

: v X

i+j=r+1

]q/2[ X]q/2[+1,q

(]a[ - целая часть a).

(4.6)

Получаемые по ним выражения ЛО обладают сложностью Nq = r \q-1) + 2r-1,

(4.7)

Nq = krn, k < 2 (k - const). (4.8)

Оценка (4.8) получена в предположении одинакового числа элементов m во всех q строках ЛО; в ней n - общее число элементов (n = mq). Использование дихотомических блочных разложений (4.5), (4.6) обеспечивает раскрытие больших ЛО с приемлемой сложностью вычислений.

5. При раскрытии особенно больших ЛО получаемые с помощью разложений (4.5), (4.6) выражения ЛО могут оказаться недопустимо сложными. В таких случаях целесообразно приближенное раскрытие ЛО, основанное на получении двусторонних аналитических оценок величины ЛО. Эти оценки имеют следующий вид: для ЛО-столбца

(x1 •••xn-r+1) V (xn-r+2 •••x2(n-r+1)) V •••V (x(M1-1)(n-r+1) •••xM1(n-r+1)) V

v (xr -xn ) <

( r )

<

( xi v ... v xr ) A ( xr+1 v ... v x2r ) A ...

(4.9)

• •• A (x(M2 -1)r+1 V ••• V xM2r ) Л (xn-r+1 V •••V xn X

где M1 =]n /(n - r+1)[, M2 =]n / r[; для общего бесконечного ЛО

x1l A... A <

ql

x11 ...x1

xqi...xqiq ■

(r )

< x1l v... v x

ql '

(4.10)

где l = [г / q] и [•] - символ округления до ближайшего большего целого числа; для общего конечного ЛО

m1

xW, A ... A xqdq <

x11. ..x1m1 (r )

xq1. ..xqmq

< x1l1 v ... v xqlq

(4.11)

где dp =

(q + r - 1)m,

q

Z mi

i=1

lp =

rmp

q

Z mi

i=1

p =1,..., q.

Данные оценки позволяют получать приближенные выражения ЛО со сложностью, пропорциональной размерам ЛО, что делает возможным вычисление ЛО практически неограниченных размеров.

Пример 5. Оценим ЛО X4 из примера 4. Так, d1 = d2 =]7 • 2/6[= 2, d3 = d4 = =]7 • 1/6[= 1, l1 = ^ = [4 • 2/6] = 2, 1з = l4 =]4 -1/6] = 1, и искомые оценки имеют вид:

Х12Х22Х31Х41 — Х4 — х12 v х22 v Х31 v Х41 •

Сложность их совместного вычисления - в наличии шести операций, а точность зависит от численных значений xij. Например, если *12 = %22 = 10,

x31 = x41 = 11, то имеем оценки 10 < X^ < 11, погрешность которых 10%.

n

Системы управления,связи и безопасности №3. 2018

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

5. Проблема анализа надежности сложных систем

Анализ надежности простых систем без памяти [6-11] несложен, что обусловлено простотой логических схем, моделирующих такие системы. Однако попытки применить соответствующие методы к сложным системам (чьи логические схемы-модели сложны) обычно неэффективны и приводят к необозримым выражениям, трудоемкость вычисления которых слишком велика. Проблема обостряется тем, что блоки системы могут многократно восстанавливаться после отказов. Это означает, что надежностные процессы (НП) в блоках, служащие входными воздействиями схемы-модели, могут иметь большую длину. Ниже излагается другой подход к анализу надежности сложных систем, использующий аппарат логических определителей (ЛО) [12, 13]. При этом, во-первых, вместо двухблочных систем в качестве элементарных выбираются более крупные, многоблочные системы; во-вторых, вместо отдельных моментов отказов и восстановлений блоков рассматриваются определенные совокупности моментов, порождающие соответствующие квазиматрицы и ЛО [12, 13]. Такое укрупнение элементарных параметров системы дает возможность блочного описания системы, что создает обозримость анализируемых НП в системе, несмотря на сложность ее самой и НП в блоках. Данный подход подобен матричному анализу линейных систем, однако здесь он применяется к другим, надежностным системам, которые существенно нелинейны.

6. Классы сложных систем и методы анализа их надежности

Исследуемые системы, учитывая специфику анализа их надежности, можно разбить на три класса: 1) простые системы со сложными (длинными) входными процессами и НП в блоках; 2) сложные системы с простыми (короткими) входными процессами и НП в блоках; 3) сложные системы со сложными входными процессами и НП в блоках. Анализ надежности систем 1-го класса целесообразно выполнять методом подстановок [8-11]. Для этого надо иметь соотношения «входные процессы - выходной процесс» одно- и двух-входовых элементов логической схемы-модели системы при сложных входных процессах. Эти соотношения находятся в процессе анализа надежности элементарных одноблочных [8-11] и двухблочных систем с многократным восстановлением блоков и, возможно, многократно изменяющимися входными воздействиями (§ 11). Анализ надежности систем второго класса выполняется с помощью метода эквивалентных схем - варианта метода подстановок, отличающегося более простой логической схемой-моделью, но включающей более сложные элементы (§ 9). Реализация данного метода требует отыскания соотношений «входы - выход» для сложных (многовходовых) элементов при сложных входных процессах, т.е. анализа надежности элементарных многоблочных систем с многократным восстановлением их блоков и изменяющимися входными воздействиями (§ 12). Анализ надежности систем 3-го класса выполняется численным или приближенным методом. Численный метод основан на выделении интервалов постоянства выходного процесса схемы-модели и вычислении значений процесса в каждом интервале с помощью функции работоспособности (ФР) схемы. Приближенный метод - вариант аналогичного метода для простых систем (см. [8-11]); его

Системы управления,связи и безопасности №3. 2018

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

отличие - в более простой схеме-модели, состоящей, однако, из более сложных элементов (см. § 9).

Заметим, что менее сложные системы (меньший номер класса) могут анализироваться методами, предназначенными для более сложных (но не наоборот). Так, системы 1-го класса можно анализировать методами эквивалентных схем, численным и приближенным, системы 2-го класса - численным и приближенным методами. Но такое использование более сильных методов имеет свои издержки. Например, анализ систем 1-го и 2-го классов численным (приближенным) методом дает лишь численный (приближенный) результат, в то время как их анализ методами подстановок (для систем 1-го класса) и эквивалентных схем (для систем 2-го класса) дает аналитический точный результат.

Анализ надежности любой системы означает отыскание как НП в системе, так и ее показателей надежности (ПН). Но вторые выражаются через первые соотношениями, не зависящими от сложности системы (см. [6-11]). Таким образом, сложность системы влияет непосредственно на форму ее НП и лишь через нее на ПН системы. Поэтому в данной работе анализ надежности сложной системы понимается, прежде всего, как отыскание НП в системе.

7. Построение математической модели надежности системы

Шаг 1. Первым шагом при анализе надежности некоторой системы является составление ее математической модели, т.е. отыскание ФР, связывающих надежностные состояния (НС) системы с НС ее блоков и состояниями ее входов. Для простых систем ФР можно получить непосредственно из первичного описания надежности системы [8-11]. Для сложных систем это обычно не удается, и для отыскания их ФР приходится применять формальные методы, основанные на том, что каждой однофункциональной автономной системе без памяти соответствует свой эквивалентный двухполюсник, звенья которого соответствуют блокам системы [8-11]. Связность двухполюсника (наличие путей между входным и выходным его полюсами) означает работоспособность, а несвязность -отказ системы. Аналогично присутствие (обрыв) звена означает работоспособность (отказ) соответствующего блока. Таким образом, отыскание ФР системы сводится к 1) переходу от первичного описания надежности системы к ее эквивалентному двухполюснику и 2) отысканию всех минимальных (без повторения звеньев) путей между входным и выходным полюсами двухполюсника. Функция работоспособности записывается в ДНФ, элементарные конъюнкции которой соответствуют найденным путям (одна буква конъюнкции означает присутствие одного звена цепи). Изложенная процедура выполняется без труда.

Шаг 2. Обозначим входной и выходной узлы двухполюсника А и В и пронумеруем в произвольном порядке остальные узлы. Выберем какой-либо узел ц, отличный от А, но смежный с ним, затем узел ,2, отличный от А и ц и смежный с ц, и т.д. Таким образом, найдем первый минимальный путь £ = А1112..лкВ из А в В, не имеющий одинаковых узлов. Следующий путь определим, исходя из найденного: от предпоследнего узла ,к найдем новое продолжение 1к1к+1...1к+рВ, где новые узлы /к+1,...,/к+р отличны от пройденных А,,1,...,,к. Про-

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

должений может быть несколько, и мы получим группу путей. Следующую группу путей получим, исходя из предпредпоследнего узла ik_1 найденного пути

S, строя продолжения ik ik+1..4+pB, где опять новые узлы ¡'к, ik+1,..., ik + отличны от пройденных узлов А,i1,...,ik_1 и, кроме того, гк ф 1к. Дальнейший ход процедуры аналогичен. Для ускорения процедуры надо всегда выбирать новый узел так, чтобы приближаться к B (удаляться от А).

Пример 6. Найдем ФР системы электропитания переменным током в самолете (рис. 1). Ток создается с помощью силовой установки C и генератора переменного тока Г или с помощью C, генератора постоянного тока Г2 и преобразователя П, а в аварийной ситуации - с помощью батарей Б и П. Обозначим НС блоков С, Г1, Б, П, Г2 соответственно a1, a2, а3, a4, a5. Тогда системе соответствует эквивалентный двухполюсник (см. рис. 1), в котором ребро а5 ориентировано от 1 к 2. Зададим двухполюсник таблицей смежности узлов

A 1 2

1,2 2, B B.

Поиск пути в двухполюснике начнем в строке А. Найдем узел 1, смежный с узлом А. Далее, в строке 1 ищем узел, смежный узлу 1. Найдем узел 2. В строке 2 находим единственный узел, смежный 2 (узел B). В итоге получаем 1-й путь А12B. Ищем следующий путь, отыскивая новое продолжение от предпоследнего узла 2 найденного пути. Такого продолжения нет. Ищем новый путь, отыскивая новое продолжение от предпредпоследнего узла 1. По таблице смежности это продолжение 1Б. Новый путь АШ. Наконец, от 1-го узла А находим новое продолжение А2,2Б, что дает еще один путь А2Б. Найденным трем путям из А в B соответствует функции работоспособности системы у = а1а4а5 V а1а2 V а3а4.

C

Рис. 1.

Г1

Описанная процедура поиска путей в эквивалентном двухполюснике системы не нужна, если изучаемая система - каноническая, т.е. последовательная или параллельная, или последовательно-параллельная, или параллельно-последовательная. В этих случаях, независимо от сложности системы, ее ФР

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

выписывается сразу по соответствующему 2-полюснику. Экономию вычислений при отыскании ФР сложных систем можно получить, если система декомпозируется в последовательное или параллельное объединение подсистем. В первом случае ФР всей системы у выражается через ФР подсистем у г в виде

У = А у, (7.1)

/

во втором случае - в виде

У ^ У. (7.2)

8. Упорядочение процессов

Рассмотрим логический (п,1) -полюсник - модель надежности некоторой однофункциональной логической системы. На входы этой схемы поступают процессы х1(?),...,хп(?) (НП в блоках системы), а с выхода снимается процесс у(?) (искомый НП на выходе изучаемой системы). Пусть булева функция у = / (х1,..., хп), реализуемая (п,1) -полюсником (ФР изучаемой системы) является симметрической, т.е. не меняется при перенумерации аргументов

I (х1,..., хп) = I(х >...> хгп). (8.1)

Здесь (х ,...,х ) - любая перестановка аргументов (х1?...,хп). Значение симметрической функции определяется количеством аргументов, равных 0 и 1, однако не зависит от того, какие именно это аргументы. Например, у = х1х2 V х1х3 V х2х3 (у = 1, если любые два из трех аргументов равны 1). Пусть входные процессы некоторого (п,1) -полюсника начинаются и оканчиваются импульсами

...М?)=.1(а!1 '..611.)0(г:.~)!(а.121612):.:. Мт^' Ът*) А (8 2)

хп (?) = 1(ап1> Ьп1 )0(-.-)1(ап2 > Ьп2 )... 1(аптп , Ьптп ) {

Ниже мы убедимся, что это не ограничивает общности (см. § 11, 12). Исходя из симметричности функции, реализуемой (п,1) -полюсником, совокуп-

п

ность его входных процессов (8.2) можно трактовать просто как набор М = ^ тг

г=1

импульсов из (8.2), не указывая входов, по которым они подаются. При этом некоторые импульсы, принадлежавшие различным входам, станут пересекающимися. Преобразуем этот набор импульсов так, чтобы: 1) для любой пары импульсов начинающийся позднее импульс оканчивался также позднее (условие упорядоченности); 2) реакция (п,1) -полюсника не изменилась (условие эквивалентности). Пусть хг (?) = 1(агг, Ьг) и х^ (?) = , Ьу) - пара импульсов, взятых из процессов на г -м и у -м входах, Если I = у, т.е. импульсы действуют на одном входе, условие упорядоченности уже выполнено и преобразования не требуется. Преобразование не нужно и в случае, если импульсы действуют на различных входах (г ф у) и не пересекаются. Пусть импульсы принадлежат к различным входам и пересекаются. Пусть еще импульс х^ (?) начинается позднее,

чем х1г (?), т.е. а г < а^. Тогда, если х^ (?) и оканчивается позднее хг (?), условие

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

упорядоченности выполнено. Если (г) оканчивается раньше хг>(г), т.е. Ьу5 < Ьг, упорядоченность отсутствует. В этом случае необходимое преобразование состоит в изъятии «лишнего» участка (Ь^, Ь гг) импульса хг> (г) и присоединении его к импульсу х^ (г). Новая пара импульсов х)г (г) = 1«, Ь^), х'у3 (г) = 1(а^,Ь г) удовлетворяет условию упорядоченности.

А так как перенос импульсов с одного входа схемы, реализующей симметрическую функцию, на другой не меняет реакции схемы, то выполненное преобразование - эквивалентное.

В результате указанного преобразования всех неупорядоченных пар импульсов, подаваемых на различных входах, получим эквивалентную воздействию

п

(8.2) совокупность М = ^щ импульсов:

¿=1

х(г}(г) = 1(а(гЬ(г}), г = 1,...,М, (8.3)

действие которых уже не зависит от входов, по которым они подаются (свободные импульсы). Импульсы (8.3) упорядочены по условию

а(1) <а(2) <...<а(М), Ь<Ь(2) <...<ЬМ. (8.4)

Операция переноса, упорядочивая импульсы, не меняет множеств моментов начала и моментов окончания импульсов. Поэтому в (8.4) моменты начал (окончаний) импульсов остались в совокупности прежними, т.е.

а(г) e{a11,...,а1 ;...;«п^ аптп},

< \ (8.5)

Ь(г) е{Ьи,...,Ь1т1;...;Ьп1,...,Ьптп}, г = 1,..,М.

Из (8.4), (8.5) с учетом упорядоченности моментов изменений а^,Ь^ в

(8.2) следует, что моменты начала (окончания) импульсов в полученной совокупности импульсов (8.3) выражаются через моменты начала (окончания) импульсов в исходном воздействии (8.2) с помощью ЛО п -го порядка:

(г )

a(r} = Ar =

all---alm

bll-blm

bnl •••bnmn

r = 1,...,M. (8.6)

(г)

, Ь(г) = вг =

ап1 ...«пщ

Полученный результат суммируется так: совокупность процессов (8.2), действующих на входах схемы, реализующей симметрическую булеву функцию,

можно всегда заменить эквивалентной совокупностью из М =£ т1 свободных

¿=1

импульсов х(г)(г) = 1(а(г),Ьг)), г = 1,...,М, интервалы существования которых выражаются через параметры процессов (8.2) с помощью ЛО (8.6) и которые упорядочены таким образом, что импульс с большим номером начинается (оканчивается) позже, чем импульс с меньшим номером. Число к (г) импульсов, действующих в произвольный момент времени г в совокупности процессов (8.2) и эквивалентной ей совокупности импульсов, одинаково и не превышает числа п процессов.

Системы управления,связи и безопасности №3. 2018

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

9. Метод эквивалентных схем

Как известно [8-11], любая система без памяти имеет модель надежности в виде двухступенчатой временной логической схемы. На входы этой схемы подаются процессы х1(?),..., хп (?) (внешние воздействия на систему) и а1 (?),..., ан (?) (НП в блоках системы), а с выходов схемы снимаются процессы у (?),..., уг (?) (искомые НП в системе). Первая ступень схемы - чисто временная, построенная из операторов задержки и реализующая временной сдвиг входных процессов, вторая ступень схемы - чисто логическая, реализующая булевы ФР системы ук = 1к (..., хг,..., а у,...). Опишем теперь метод эквивалентных схем.

Представим ФР /ь...,/г в ДНФ. В соответствии с этим вторая ступень схемы-модели заменится эквивалентной 3-ступенчатой схемой, где ступень 1 образована инверторами, ступень 2 - многовходовыми конъюнкторами, ступень 3 - мно-говходовыми дизъюнкторами, а схема-модель в целом станет четырехступенчатой. п -входовый конъюнктор - это п -местный элементарный логический оператор, преобразующий воздействия а1(?),..., ап (?) в реакцию у(?) в соответствии с булевой функцией - элементарной п -местной конъюнкцией [8-11]

у = а1 а а2 а ... а ап; (9.1)

п -входовый дизъюнктор - это п -местный элементарный логический оператор, преобразующий воздействия а1 (?),..., ап (?) в реакцию у(?) согласно булевой функции - элементарной п -местной дизъюнкции [8-11]

у = а1 Vа2 V... Vап. (9.2)

Значения входов а1,...,ап и выхода у элемента в (9.1), (9.2) относятся к одному и тому же моменту ?. Пусть нам известны соотношения «входные процессы - выходной процесс» для каждого типа элемента схемы. Тогда, используя принцип подстановок (см. [8-11]), можно последовательно определить процессы на выходах ступени 1, затем процессы на выходах ступеней 2 и 3 и, наконец, процессы на выходах схемы. Последние и есть искомые НП у1 (?),..., уг (?) в изучаемой системе.

Таким образом, анализ надежности системы без памяти сводится к отысканию реакции логической схемы-модели системы на заданные входные воздействия, что, в свою очередь, сводится к отысканию реакций типовых элементов схемы на различные входные процессы. Для одновходовых элементов - задержки и инвертора - данная задача проста и решена в [8-11]. Для многовходо-вых элементов - конъкюнтора и дизъюнктора - эта задача решается в § 12. В отличие от метода подстановок метод эквивалентных схем характерен ограниченным числом ступеней схемы-модели (четыре), не зависящим от сложности изучаемой системы. Благодаря этому становится возможным анализировать надежность достаточно сложных систем. При сравнении (9.1), (9.2) с (7.1), (7.2), видим, что п -входовый конъюнктор является моделью надежности системы п последовательно соединенных блоков, а п -входовый дизъюнктор - моделью надежности системы п параллельно соединенных блоков. Таким образом, метод эквивалентных схем сводит анализ надежности произвольной системы без памя-

Системы управления,связи и безопасности №3. 2018

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

ти к анализу надежности элементарных систем без памяти, но последние оказываются более сложными, чем в методе подстановок.

В основу метода эквивалентных схем можно также положить представление ФР системы в КНФ. В этом случае в схеме-модели ступень 2 образуется многовходовыми дизъюнкторами, а ступень 3 - многовходовыми конъюнктора-ми. Возможны и другие варианты данного метода. Метод эквивалентных схем наиболее приспособлен для анализа последовательных, параллельных, последовательно-параллельных и параллельно-последовательных систем, когда ФР представлена в нужной форме - ДНФ или КНФ. Применение метода эквивалентных схем не отличается от применения метода подстановок, но позволяет анализировать сразу целые классы систем.

10. Метод анализа надежности элементарных систем с длинными надежностными процессами в блоках

Рассмотрим метод нахождения соотношений «входы-выход» для п -входовых элементов - конъюнктора и дизъюнктора (п > 2) при длинных входных процессах. Поскольку п -входовый конъюнктор - модель надежности системы из п последовательно соединенных блоков, а п -входовый дизъюнктор - системы из п параллельно соединенных блоков, данный метод, по существу, есть метод анализа надежности элементарных - параллельных и последовательных систем при многократном восстановлении блоков. Получаемые при этом соотношения «входы-выход» элементов нужны при анализе методом подстановок надежности систем класса 1 и методом эквивалентных схем - класса 2. Для отыскания реакции п -входовых конъюнктора и дизъюнктора на произвольные входные процессы а1(г),...,ап(г) поступаем так.

1. Учитывая симметричность функции, реализуемой конъюнктором или дизъюнктором, на основании § 8 заменим процессы на входах элемента эквивалентной совокупностью свободных упорядоченных импульсов.

2. В полученной совокупности выделим несколько произвольных соседних импульсов и прямым методом (см. [8-11]) найдем соответствующий фрагмент реакции элемента, считая, что выделенные импульсы не взаимодействуют с остальными импульсами совокупности.

3. Устанавливаем, какое преобразование над выделенными импульсами воздействий пришлось совершить, чтобы получить соответствующий фрагмент реакции элемента. На основании этого суммируем отдельные фрагменты реакции, учитывая, в случае необходимости, их взаимодействие между собой. В результате находим искомую реакцию элемента.

При использовании данной методики надо начинать с определения реакции конъюнктора или дизъюнктора на стандартные входные процессы. В качестве стандартных выбираем процессы, реакция на которые определяется наиболее просто. Реакция на нестандартные процессы находится сведением к реакции на стандартные процессы. При этом проводится стандартизация процессов, т.е. представление процессов в необходимой форме - с начальным (конечным) импульсом или паузой (см. § 11, 12).

Системы управления,связи и безопасности №3. 2018

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

11. Анализ надежности элементарных двухблочных систем с произвольными надежностными процессами в блоках

Рассмотрим 2-входовые логические элементы: конъюнктор и дизъюнктор, получающие входные воздействия а1(?), а2(?) любой длины. Методом § 10 найдем для этих элементов выходной процесс у(?) - реакцию на заданные воздействия. Эта задача содержательно означает отыскание НП у(?) на выходе системы из двух последовательно (параллельно) соединенных блоков, НП в которых имеют вид а1(?), а2(?).

В качестве стандартных выберем пару входных процессов

а1 (?) = 1(а!!, Ъ11 )0(-,-)1(а12, Ъ12 )... 1(а1т , Ь1т ) 1 /11 1 л

а2(?) = 1(a2!,Ь2!)0(-,-)1(a22,Ь22)...1(а2р ,Ь2р )/ , ( .

которые начинаются и оканчиваются импульсами. Таким образом, блоки в начальный момент находятся в состоянии отказа, затем восстанавливаются, снова отказывают и т.д. и, наконец, переходят в состояние невосстанавливаемо-го отказа; ресурсы блоков - т и р восстановлений соответственно.

Дизъюнктор. Найдем реакцию дизъюнктора на стандартные воздействия вида (11.1). В силу симметричности дизъюнкции заменим (11.1) эквивалентной совокупностью свободных импульсов (см. § 8)

х (г)(?) = 1(Аг, Вг), г = 1,2,..., т + р, (11.2)

упорядоченных так, что импульс с большим номером г начинается (оканчивается) позже импульса с меньшим номером. Моменты начала и окончания импульсов выражаются через аналогичные моменты в (11.1) с помощью логических определителей:

(г )

, г = 1,2,...,т + р. (11.3)

Ar =

au...alm a2l---a2 p

( r )

, Br =

bll ...blm b2l..b2 p

Из § 8 следует, что число пересекающихся импульсов (11.2) в любой момент не превосходит 2. Это и условие упорядоченности импульсов показывают, что пересекаться могут лишь соседние импульсы (их номера г отличаются на единицу). Дизъюнктор выдает единицу в момент ?, если в этот момент есть единица хотя бы на одном из его входов, т.е. действует хотя бы один из импульсов (11.2). Поэтому каждой паре соседних (г -го и (г +1) -го) импульсов, если учитывать лишь их взаимодействие между собой, соответствует фрагмент реакции элемента

= Г1(Аг,Вг)0(-,-)1(Аг+1,Вг+1), Вг < Аг+1;

уг() [1(Аг,Вг+1) = 1(Аг, Аг+1)0(-,-)1(Аг+1, Вг+1), Вг > Аг+1,

или в терминах непрерывной логики (НЛ)

уг (?) = 1(Аг, ВгАг+1)0(-,-)1(Аг+1, Вг+1). (11.4)

Согласно формуле (11.4) искомая реакция есть последовательность импульсов (11.2), подвергшихся преобразованию (сжатию) справа:

Вг ^ ВгАг+1, г = 1,2,...,т + р, (11.5)

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

и потому уже не пересекающихся во времени. Преобразование (11.5) есть замена момента окончания каждого импульса (11.2) его конъюнкцией НЛ с моментом начала соседнего справа импульса. Таким образом, реакция двухвходового дизъ-юнктора на воздействия (11.1)

у(г) = 1( Л1, в1 Л2 )0(-,-)1( Л2, в 2 Л3)... 1( Ат+р-1, вт+р-1 Лт+р) • а 1 6)

• 0(-,-)1(Лт+Р, вт+р). ( . )

где Лг и вг определяются из (11.3).

Формула (11.6) означает, что система с двумя параллельно соединенными блоками, имеющими ресурс т и Р восстановлений соответственно и НП (11.1), имеет ресурс т+р восстановлений и интервалы работоспособности (Лг,вгЛг+1), г = 1,...,т+р-1, и (Лт+р,вт+р). При этом первое изменение НС системы есть ее восстановление в момент Л1, первый отказ системы наступает в момент в1 Л2, последний (окончательный) - в момент вт+р. Содержание НП (11.6) - восстановление отсутствовавшей вначале работоспособности системы и последующая ее эксплуатация до исчерпания ресурса. Используя базовую реакцию вида (11.6), можно анализировать случаи нестандартных (отличных от (11.1)) воздействий. Найдем, например, реакцию дизъюнктора на воздействия

«1(г) = 0(Ь10,—)1(а11, Ь11)... 1(а1т ,Ь1т ) 1 т 7ч

«2 (г) = 0(Ь20 ,-)1(«21, Ь21)... 1(«2р , Ь2р )/ , (11.7)

отличающиеся от (11.1) тем, что начинаются паузами. Этот случай представляет наибольший практический интерес: здесь блоки в начальный момент исправны, затем отказывают, восстанавливаются и т.д., вплоть до невосстанавливаемо-го отказа. Ресурсы блоков равны т и р восстановлений.

Начальные изменения 0^о и в процессах (11.7) можно рассматривать

как импульсы 1(-да, Ь10) и 1(-да, Ь20) (см. [8-11]). Это позволяет представить воздействия (11.7) в стандартном виде (11.1):

«1 (г) = 1(-да, Ьш )0(-,-)1(ап, Ьп)... 1(«1т, Ьщ ) 1

а2 (г) = 1(-даЬ20)0(-,-)1(а21,Ь21)... 1(а2р ,Ь2р )} .

Реакцию на воздействия (11.8) можно вычислить по (11.6):

у(г) = 1( Л1, в1 Л2 )0(-,-)1( Л2, в2 Л3)... 1( Л т+р+1, вт+р+1 Л т+р+2) •

• 0(-,-)1( Л т+р+2, вт+р+2),

(11.8)

где

Ar

œall...alm œa21...a2 p

( r )

b10...b1m b2Q...b2 p

(r)

r = 1,2,...,m + p + 2. (11.9)

Согласно свойству 9 ЛО (см. (2.8)): ■ да, г = 1,2;

— (

Лг =

Л |Лг-2, г > 3,

где Лг - ЛО из (11.3). Таким образом, 1-й импульс вырождается, а последующие конкретизируются и реакция двухвходового дизъюнктора на воздействия (11.7) имеет вид:

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

у(?) = 0( В 2 А1 ,-)1( А1, В3 А2)... 1( Ат+р-1, Вт+р+1 Ат+р) • П 1 10)

• 0(-,-)1( Ат+р, Вт+р+2), ( . )

где Аг определяется из (11.3), Вг - из (11.9). Видим, что система с двумя параллельными блоками, имеющими ресурсы т и р восстановлений и НП вида (11.7), имеет ресурс т + р восстановлений и интервалы работоспособности (?0, В2А1); (Аг,Вг +2Аг+1), г = 1,...,т+р -1; (Ат+р,Вт+р+2), причем первый отказ системы происходит в момент времени В2 А1, последний (окончательный) - в момент Вт+р+2. Смысл НП (11.10) - потеря имеющейся вначале работоспособности системы.

Конъюнктор. Начнем рассмотрение со случая стандартных воздействий

(11.1). Учитывая симметричность функции, реализуемой конъюнктором, заменим исходные воздействия (11.1) эквивалентной совокупностью свободных импульсов (11.2). Конъюнктор выдает единицу в момент ?, если в этот момент имеются единицы на обоих его входах. Поэтому изолированной паре взаимодействующих между собой соседних г -го и (г +1) -го импульсов совокупности

(11.2) соответствует фрагмент реакции элемента

у () = {1(Аг+1,Вг), Вг > Аг+1; уг [0 = 1(Вг,Вг), Вг < Аг+1, или в терминах НЛ

уг (?) = 1(ВгАг+1, Вг). (1111)

Другим словами, каждая г -я пара соседних импульсов (11.2), действующих на элемент, создает вклад в его реакцию в виде отдельного импульса (11.11), а последние для различных г не пересекаются. Таким образом, реакция двухвхо-дового конъюнктора на воздействия (11.1)

у(?) = 1(В1 А2, В1 )0(-,-)1(В2 А3, В2)... 1(Вт+р-1 Ат+р, Вт+р-1), (11.12)

где Аг и Вг определяются из (11.3). Согласно (11.12) система с двумя последовательно соединенными блоками, имеющими ресурс т и р восстановлений и НП вида (11.1), имеет ресурс т + р -1 восстановлений и интервалы работоспособности (ВгАг+1, Вг), г = 1,..., т + р -1. При этом первое изменение НС системы - ее восстановление в момент В1 А2, первый отказ системы наступает в момент В1, а последний (окончательный) - в момент Вт+р-1. Смысл НП (11.12) тот же, что и НП (11.6).

Используя реакцию (11.12) как базовую, можно анализировать случаи нестандартных воздействий. Например, реакция двухвходового конъюнктора на воздействия (11.7) имеет вид:

у(?) = 0(В1 ,-)1(В2 А1, В2)... 1(Вт+р+1 Ат+р, Вт+р+1). (11.13)

Видим, что система с 2 последовательными блоками, имеющими ресурс т и р восстановлений и НП вида (11.7), имеет ресурс т+р восстановлений и интервалы работоспособности (?0,В1);^^1 Аг,Вг+1), г = 1,...,т + р.

Первый отказ системы происходит в момент В1, последний (окончательный) - в момент Вт+р+1. Смысл НП (11.13) тот же, что и НП (11.10).

Системы управления,связи и безопасности №3. 2018

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

Выше найдены НП в двухблочных параллельных (последовательных) системах при некоторых длинных НП в блоках. Случаи остальных НП в блоках анализируются аналогично.

12. Анализ надежности элементарных многоблочных систем с произвольными надежностными процессами в блоках

Теперь найдем методом § 10 реакции у(?) п -входовых конъюнктора и дизъюнктора на воздействия а (?),..., ап (?) произвольной длины. Смысл этой задачи - отыскание НП у(?) на выходе системы из п последовательно (параллельно) соединенных блоков с НП а1(?),..., ап (?).

Дизъюнктор. Выберем в качестве стандартных входных воздействий а1(?),...,ап(?) воздействия (8.2), начинающиеся и оканчивающиеся импульсами (т.е. блоки в начальный момент ?0 = 0 неработоспособны, затем восстанавливаются, отказывают и т.д., пока не перейдут в состояние окончательного отказа). Найдем реакцию элемента-дизъюнктора на воздействия (8.2). В силу симметричности функции, реализуемой элементом, мы можем заменить воздействия (8.2) эквивалентной им совокупностью М свободных импульсов (8.3), имеющих моменты начала и окончания (8.6) и упорядоченных так, что импульс с большим номером начинается (оканчивается) позже импульса с меньшим номером (§ 8). При наличии п входов элемента количество пересекающихся импульсов может доходить до п. Поэтому при п > 2 пересекаться могут не только соседние г -й и (г +1) -й, но и любые из имеющихся импульсов, отстоящие друг от друга не более чем на п -1 импульс. Однако достаточно учитывать пересечение лишь соседних импульсов, так как: 1) именно пересечение (непересечение) соседних импульсов определяет отсутствие (наличие) очередной промежуточной паузы в реакции элемента; 2) совокупность пересечений всех пар соседних импульсов однозначно определяет картину пересечений всех М импульсов. Повторив те же рассуждения, что и для двухвходового дизъюнктора (§ 11), запишем реакцию п -входового дизъюнктора на воздействия (8.2) в виде

у(?) = 1(А1,В1 А2)0(-,-)1(А2,В2А3)...1(АМ"1,ВМ-1 АМ)• (и ^

• 0(-,-)1(АМ, ВМ), ( . )

где Аг и Вг - из (8.6).

Формула (12.1) обобщает аналогичную формулу (11.6) для двухвходового дизъюнктора и имеет тот же смысл. А именно, в общем случае реакция дизъюнктора на входные процессы, начинающиеся и оканчивающиеся импульсами, - процесс того же вида, содержащий число импульсов, равное (или меньшее) сумме чисел импульсов всех входных процессов. Формула (12.1) означает, что система с п параллельными блоками, имеющими соответствующие ресурсы т1,...,тп восстановлений и надежностные процессы (8.2), имеет ресурс

п

М = ^ т{ восстановлений и интервалы работоспособности

г=1

(Аг, ВгАг+1), г = 1,...,М -1; (АМ, ВМ). Первое изменение НС системы - ее восстанов-

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

ление в момент времени А1, первый отказ системы - в момент В1 А2, последний (окончательный) - в момент Вм.

Используя реакцию (12.1) как базовую, можно находить реакцию дизъюнктора на любые воздействия. Найдем его реакцию на воздействия

а1 ) = 0(^10 -Жяц, ¿11)... 1(аЫ1, Ь^) 1

ап (о=о(ь;о",-)1(а;1,ь;г)Т.:г(а;;1-,ъ;1;1-)/' ^^

начинающиеся паузами и оканчивающиеся импульсами. Эти воздействия практически наиболее интересны; они означают, что блоки в начальный момент исправны, затем отказывают, восстанавливаются и т.д. до состояния окончательного отказа; ресурсы блоков равны т1,...,тп восстановлений соответственно. Представим воздействия (12.2) в стандартном виде (8.2):

а1 (*) = К-^¿10)0(-,-)1(а11,¿л)-. 1(а1т1_,Ь1т1 ) 1 аП (7) = Ц-'^ bn0")O(-,-)i(anГ, ¿^^•".^(«птп"Ьп'т'п )] .

Реакцию на воздействия (12.3) вычислим по (12.1):

у(*) = 1( А1, В1 А2 )0(-,-)1( А2, В 2 А3)... 1( А м+п-1, Вм+п-1 А м+п) ■ • 0(-,-)1( А м +п, Вм+п),

где

(^)

(12.3)

Ar

— адап. ..a\mx ( r ) Br = b\o. ..b\m\

a ■ Mnmn bn0. b nmn

r = \,...,M + n. (12.4)

По свойству 9 ЛО (см. (2.8))

А г = г = 1,..., п;

[Аг-п, г = п +1,...,м + п,

где Аг - ЛО (8.6). Реакция п -входового дизъюнктора на воздействия (12.2) после тех же преобразований, что и в случае п = 2 (§ 11), получается в виде

у(*) = 0(ВпА1 ,-)1(А1, Вп+1 А2)... 1(Ам-1, Вм+п-1 Ам) • (и 5)

• 0(-,-)1(Ам, Вм+п), ( . )

где Аг - из (8.6), Вг - из (12.4). Итак, система с п параллельными блоками, имеющими ресурсы т1,...,тп восстановлений и НП в блоках вида (12.2), сама

п

имеет ресурс м = ^ т( восстановлений и интервалы работоспособности

г=1

(*0,ВпА1);(АГ,Вг+пАг+1), г = 1,...,м - 1;(Ам,Вм +п), причем первый отказ системы

происходит в момент времени Вп А1, а последний (окончательный) отказ - в момент Вм+п. Формула (12.5) обобщает формулу (11.10) для двухвходового дизъюнктора и имеет тот же смысл. Случаи других нестандартных надежностных процессов в блоках рассматриваются аналогично.

Конъюнктор. В качестве стандартных выберем входные воздействия

а\(1). _=. 0(biOl-.)i.(aГГ, Ьп):: .}(а.\т1 lb^m_)_0(_-_, a1,mг+L) .1 (12 6)

а! (>)=o(bno,-)i(anгГbnг)•••l(anmmJ, ьптж-; ^т^)/' 1 ■'

начинающиеся и оканчивающиеся паузами. Реакцию конъюнктора ук (*) на воздействия (12.6) можно найти из реакции уд (*) (12.1) дизъюнктора на воздействия

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

(8.2), начинающиеся и оканчивающиеся импульсами, с помощью закона де Моргана [1]:

Ука(t ) = A a(t ) = V ai(t ) = У да(t ) •

i=1 i=1

Отсюда находим реакцию конъюнктора на воздействия (12.6) в виде

ХО = 0В ,-)1(В2А1, В2)... 1(ВМ+пАм +п-1, ВМ+п )0(-, Ам+п), (12.7)

где M = 2 m ; Br - из (12.4);

i=i

a11. ..a1,m1+1 (г )

an1. ..an,mn +1

г = 1,..., M + n.

(12.8)

Формула (12.7) показывает, что система с п последовательными блоками, имеющими ресурсы щ +1,...,тп +1 восстановлений и НП (12.6) в блоках, имеет ресурс М + п восстановлений и интервалы работоспособности

(?0, В1);(ВГ+1АГ, Вг+1), г = 1,..., М + п -1; (Ам+п, ад). Смысл НП (12.7) - восстановление

начальной работоспособности системы.

Из реакции (12.7) можно найти реакции конъюнктора на воздействия, отличные от стандартных (12.6). Найдем реакцию на воздействия (12.2). Так как (12.2) есть частный случай (12.6) при а1щ +1 =... = а +1 =да, то согласно формуле (12.7):

y(t) = О^1 ,-)1(B 2 A1, B 2)...1(BM+1AM, BM+1)0(-,-)1(BM+2 A M+1, BM+2).

ЦВМ+n~M +n-1 ßM~M+n^

Здесь Br - из (12.4), а A'

a11...a1,m1

ад

an1...an,m ^

(г )

г = 1,..., M + n.

По свойству 8 ЛО (см. (2.7))

А г = | Аг, г = 1,...,М;

[ад, г = М + 1,...,М + п,

где Аг - ЛО (8.6), так что подчеркнутые участки выражения у(?) вырождаются.

В итоге реакция п -входового конъюнктора на воздействия (12.2)

у{() = 0{В1 ,-)1(В2 А1, В 2)... 1(ВМ+1 Ам, Вм+1), (12.9)

где Аг - из (8.6), Вг - из (12.4). Т.е. система с п последовательными блоками с

ресурсами т1,...,тп восстановлений и НП в блоках (12.2) имеет ресурс М = ^т^

I=1

восстановлений и интервалы (?0,В1);(Вг+1 А,Вг+1), г = 1,...,М, работоспособности. 1-й отказ наступает в момент В1, последний (окончательный) - в момент ВМ+1. Формула (12.9) обобщает формулу (11.13) для 2-входового конъюнктора и имеет тот же смысл. Системы с другими нестандартными НП в блоках анализируются аналогично этому.

n

n

n

n

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

13. Надежность систем с элементарными надежностными процессами в блоках и произвольными функциями работоспособности

Проанализируем методом эквивалентных схем надежность класса систем без памяти, у которых НП в блоках и на входах имеют одну из элементарных форм: тождественные 0 или 1; 1'а; 0'а, а ФР произвольны. Иначе говоря, в течение изучаемого времени входы системы и ее блоки меняют состояние не более одного раза (блоки, начав работу в исправном состоянии, не отказывают или отказывают один раз, а начав ее в отказовом состоянии, не восстанавливаются или восстанавливаются один раз).

Представим схему-модель системы в виде четырехступенчатой схемы: ступени 1 (задержек), 2 (инверторов), 3 (многовходовых конъюнкторов), 4 (мно-говходовых дизъюнкторов). Воздействия на входах этой схемы известны - это заданные НП в блоках системы и процессы на ее входах. По этим воздействиям мы должны найти последовательно процессы на выходах ступеней 1-4. Процессы на выходах ступени 4 (выходах схемы) есть искомые НП в системе. Для задержек и инверторов преобразование входных процессов в выходные выполняются согласно [8-11] и потому анализ ступеней 1 и 2 можно считать решенной задачей. Ограничимся изучением одной выходной функции схемы (подсхемы для реализации различных функций анализируются одинаково). Без ограничения общности можно считать, что изучаемая система автономна, т.е. не имеет (внешних) входов, а содержит лишь (внутренние) блоки. Действительно, входные процессы системы и НП в ее блоках выступают на равных правах в качестве воздействий на входах схемы-модели.

В соответствии с вышеизложенным будем изучать двухступенчатую логическую схему-модель этой системы (ступень 1 - многовходовые конъюнкторы, ступень 2 - многовходовый дизъюнктор), реализующую ФР системы в ДНФ. Воздействия на входах схемы - это заданные НП в блоках системы. Реакция у(г) на выходе схемы - это искомый НП в системе. Наша задача: найти процесс у(г). Разобьем все конъюнкторы / на 3 группы, в соответствии с типом их входных воздействий ал(г),...,а ^(г). Здесь ау(г) - воздействие на у-м входе, щ - число входов / -го конъюнктора. 1) Конъюнкторы первой группы (/ е 5 ={1,..., Щ). Воздействия на их входы могут быть 2 сортов: ау (г) = 1'а при у е р и аи (г) = 0^,

^ У У

при у е Ц. 2) Конъюнкторы второй группы ( / е 82={Ы+1,...,N+Р}). Воздействия на их входы а у (г) = 1'а , где у е р. 3) Конъюнкторы третьей группы

^ У

( / е 53 = ^+Р+1,...,N+Р + 0). Воздействия на их входы ау (г) = 0^ , где у е Ц.

^ У

Здесь р,Ц - подмножества входов /-го конъюнктора с указанными воздействиями.

В схему не включены конъюнкторы /, в которых а) хотя бы один из входов ау (г) = 0 (в этом случае выход конъюнктора у (г) = 0 и потому не влияет

на выход всей схемы); б) часть входов а у (г) = 1 (эти входы можно оборвать, не

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

изменив выхода конъюнктора); в) все входы ац (?) = 1 (здесь у(?) = у (?) = 1 и поставленная задача тривиальна).

Найдем сначала реакции у (?) конъюнкторов (ступени 1) схемы. Для конъюнкторов первой группы согласно [8-11]

Уг (t)

л

ji '

Л

л o—

VJeDi "

■\'a, Л 0— = 1(ai, bi X г e S\:

где

а = V ач, ь = л , ^ = щ V ^. Аналогично для конъюнкторов второй группы

у (*)=л 1аг7 = 1аг, 1 е ^,

и конъюнкторов третьей группы

У (?) =л 01 = 0Ь , I е .

1 1

Так как выходы конъюнкторов поступают на входы дизъюнктора, все конъюнкторы второй группы можно заменить одним с реакцией 72(?) вида

(13.1)

(13.2)

(13.3)

(13.4)

Y (t) = V Уг (t) = V \'a = \

ieS

ieS7

aN+1

где

a

N+\

Л ai = Л V aij, ieS2 ieS2 j'e^

а все конъюнкторы третьей группы - одним с реакцией 73 (?) вида

Y3(t) =V У (t) =V ob- = ob

ieS

ieS

N+\ •

где

—n+\ = V bi = V Л -

(13.5)

(13.6)

(13.7)

(13.8)

ie&>

ieS3 j'eDi

Итак, дизъюнктор имеет N+2 входа, из которых N получают воздействия в виде одиночных импульсов (13.1) с параметрами (13.2), один - воздействие в виде изменения (13.5) в момент (13.6) и еще один - воздействие в виде изменения (13.7) в момент (13.8). Но оба указанных изменения можно представить как импульсы (см. [8-11]):

ад=^N+1 = ^N+1,«), ад=0'^ = 1(-«,¿N+1). (13.9)

Таким образом, на входах дизъюнктора действуют лишь одиночные импульсы: на первых N входах - вида (13.1), на последних двух - вида (13.9).

Согласно (12.1) реакция п -входового дизъюнктора на воздействия в форме одиночных импульсов 1(а, Ь), 1 = 1,.., п, имеет вид:

у(?) = 1( А1, В1 А2 )0(-,-)1( А2, В 2 А3)... 1(Ап-1, Вп-1 Ап) •

• 0(-,-)1( Ап, Вп), '

где Аг и В г - ЛО-столбцы:

(13.10)

A

( r )

Br

( r )

, r = \,...,n .

(13.11)

n

n

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

Использовав формулы (13.10), (13.11), можно найти реакцию схемы:

у(г) = 1( А1, В1 Л2 )0(-,-)1( Л2, Б2 Л3)... 1( А м+1, В м+1 А м+2) • • 0(-,-)1( А ы+2, В ы+2),

где Ar и Вr - ЛО-столбцы: A r =

a1 (r) b1

aN+1 Вr = bN+1

— ад ад

( r )

r = 1,..., N + 2.

По свойствам 8 и 9 ЛО (см. (2.7), (2.8)) имеем

г = 1; ~ г = \вг , г = 1,..., N+1;

г = 2,..., п + 2; 1ад, r = N+ 2,

A'

A

ад, r-1

где

Ar

a

a

N+1

(r )

Br

b

b

N+1

(r)

r = 1,..., N +1.

(13.12)

Окончательно реакция схемы-модели на воздействия типов 1,0,1' и 0'ь принимает вид

у (Г) = 0( А1 В1 ,-)1( А1, А2 В 2)... 1( AN, AN+1BN+1 )0(-, AN+1), (13.13)

временные параметры которого определяются формулами (13.2), (13.6), (13.8), (13.12). Ясно, что Аг в (13.13) - это момент г -го по времени изменения вида 1'а

на входах ступени 2 схемы-модели, а Вг - это момент г -го по времени изменения вида 0^ на этих входах. Итак, НП в произвольной системе с НП в блоках

одного из 4 элементарных типов: 1,0,1а ,0Ь - в общем случае носит характер

восстановления начальной работоспособности системы, имеет ресурс N +1 восстановление и интервалы работоспособности (¿0,А1В1);(АГ,АГ+1ВГ+1),г = 1,...,N,(AN+1,ад); Здесь N - число конъюнкторов с воздействиями двух типов: и 0Ь в двухступенчатой схеме-модели системы. РасУ У

смотрим ряд частных случаев.

1. В схеме-модели системы есть только конъюнкторы 1-й группы (с воздействиями двух типов: 1'а и 0'ь..). В этом случае на выходах ступени 1 схемы нет

У У

изменений и 0Ь , а есть только N одиночных импульсов вида (13.1). Реакция схемы определится по формуле (13.10), где п заменено на N. В этом случае НП в системе имеет смысл потери работоспособности; ресурс всей системы - N восстановлений, а интервалы работоспособности (Аг,ВГАГ+1), г = 1,..., N -1; А,BN); первое изменение НС системы - восстановление

1 1 О

в момент А1, первый отказ системы наступает в момент В А , а последний (окончательный) - в момент ВN. Аналогично интерпретируются последующие случаи.

2. В схеме-модели есть лишь конъюнкторы второй группы (их воздействия 1'а - модели одноразового восстановления блоков). На единственном вы-

У

ходе ступени 1 действует процесс (13.5), без изменения проходя на выход схе-

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

мы. Реакция схемы у(?) = 1 , таким образом, содержание НП в системе - одноразовое восстановление в момент aN+i (13.6).

3. В схеме-модели есть лишь конъюнкторы третьей группы (получающие воздействия 0'ь - модели невосстанавливаемых отказов блоков). Поэтому на

единственном выходе ступени 1 действует процесс (13.7) - он и проходит на выход схемы, т.е. реакция схемы у(?) = 0Ь , и содержание НП в системе -

невосстанавливаемый отказ в момент bN+i (13.8).

4. В схеме-модели есть только конъюнкторы 1-й и 2-й групп. Тогда на выходах ступени 1 нет изменения 0Ь . Это можно рассматривать, не меняя реакции схемы, как наличие изменения 0Ь при Ьж+1 = . Значит, общее выражение (13.13) реакции схемы конкретизируется:

В1 =-«, Вг = Вг-1, г = 2,..., N +1, (13.14)

где Br =

—\

b

N

(г )

, г = 1,..., N и реакция приобретает вид

у (?) = 1( А1, В1 А2)... 1( AN, BNAN+1 )0(-, AN+1), (13.15)

где Аг - из (13.12), Вг - из (13.14). Таким образом, в данном случае НП в системе имеет смысл восстановления первоначально отсутствовавшей работоспособности, причем ресурс системы N +1 восстановление, а интервалы ее работоспособности (Аг,ВгАг+1), г = 1,...,N; (А^1,«).

5. В схеме-модели есть только конъюнкторы 1-й и 3-й групп. В этом случае на выходах ступени 1 нет изменения 1а . Это можно трактовать как наличие

изменения 1'а с а^ =«. Выражение (13.13) конкретизируется:

( r )

A = A =

a\

a

N

r = \,..., N; An+\ =«, (13.16)

и реакция схемы принимает вид

у(?) = 0( А1 В1 ,-)1( А1, А 2 В 2)... 1( А-1, )0(-,-)1( А1^, +1), (13.17)

где Аг - из (13.16), Вг - из (13.12). НП в системе имеет смысл потери первоначально имевшейся работоспособности; ресурс системы - N восстановлений, интервалы работоспособности (Аг, Аг+1Вг+1), г = 1,..., N -1; (AN, В^1); первый отказ системы происходит в момент времени А1 В1, последний (окончательный) - в момент +1.

6. В схеме-модели есть лишь конъюнкторы 2-й и 3-й групп. Тогда на выходах ступени 1 присутствуют только два изменения: 1а и 0Ь и реакция

схемы такова

у(?) = ^N+1 V0^+1 = 0(Ь^1,aN+i V¿N+1), (13.18)

где aN+i - из (13.6), bN+i - из (13.8). Здесь НП в системе - это ее кратковременное (в интервале (bN+i, aN+i VbN+i)) отказовое состояние.

Системы управления,связи и безопасности №3. 2018

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

Методом эквивалентных схем можно также анализировать надежность класса систем без памяти, у которых надежностные процессы в блоках произвольно сложны. Однако при этом получаются громоздкие выражения надежностных процессов в системе.

Заключение

Настоящая работа публикуется в двух частях. В данной статье - первой части работы описан математический аппарат создаваемой автором логической теории надежности сложных систем, так называемые логические определители. Изложена также общая методика и конкретные методы использования указанного аппарата для вычисления характеристик надежности сложных систем, сопровождаемые содержательными примерами. Во второй части работы на основе разработанного математического аппарата логической теории надежности решены задачи построения аналитических формул для вычисления характеристик надежности нескольких классов сложных систем произвольно высокой размерности.

Данная работа продолжает цикл исследований автора, посвященный разработке математического аппарата логической теории надежности. От опубликованных ранее работ автора [6-13] данная работа существенно отличается использованием нового оригинального математического аппарата логических определителей. Это позволило принципиально упростить как вычисление характеристик надежности сложных систем, так и анализ их надежностного поведения. Причем эти операции оказались применимы в равной степени как к низкоразмерным, так и к высокоразмерным системам.

Литература

1. Ллойд Д. К., Липов М. Надежность: организация, исследования, методы, математический аппарат. - М.: Советское радио, 1964. - 350 с.

2. Барлоу Р., Прошан Ф. Математическая теория надежности. - М.: Советское радио, 1969. - 410 с.

3. Райншке К. Модели надежности и чувствительности систем. - М.: Мир, 1979. - 454 с.

4. Левин Б. Р. Теория надежности радиотехнических систем. - М.: Советское радио, 1978. - 264 с.

5. Левин В. И. Динамика конечных автоматов и надежность сложных систем // Автоматика и вычислительная техника. 1976. № 6. С. 17-24.

6. Левин В. И. Динамические автоматы и надежность технических систем. Часть I // Электронное моделирование. 1980. № 4. С. 12-17.

7. Левин В. И. Динамические автоматы и надежность технических систем. Часть II // Электронное моделирование. 1980. № 5. С. 63-72.

8. Левин В. И. Логические методы в теории надежности. Часть I // Вестник Тамбовского государственного технического университета. 2009. Т. 15. № 4. С. 873-884.

Системы управления,связи и безопасности №3. 2018

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

9. Левин В. И. Логические методы в теории надежности. Часть II // Вестник Тамбовского государственного технического университета. 2010. Т. 16. № 1. С. 119-132.

10. Левин В. И. Логические методы расчета надежности систем. Часть I. Математический аппарат // Системы управления, связи и безопасности. 2017. № 2. С. 182-195.

11. Левин В. И. Логические методы расчета надежности систем. Часть II. Математическая модель надежности // Системы управления, связи и безопасности. 2017. № 3. С. 84-97.

12. Левин В. И. Логические методы в теории надежности сложных систем. Часть I // Вестник Тамбовского университета. 2011. Т. 16. № 5. С. 15-28.

13. Левин В. И. Логические методы в теории надежности сложных систем. Часть II // Вестник Тамбовского университета. 2011. Т. 16. № 6. С. 25-39.

References

1. Lloyd D. K., Lipov M. Reliability: Management, Methods and Mathematics. Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice-Hall, 1962, 528 p.

2. Barlow R. E., Proshan F. Mathematical Theory of Reliability. N.-Y, John Wiley and Sons, 1965.

3. Reinschke K. Modelle Zur Zuverlassigkeits- und Empfindlichkeitsana-lyse von Systemen [Models of Reliability and Sensitivity of Systems]. Berlin, VEB Verlag Technik, 1979 (in German).

4. Levin B. R. Teoriya nadezhnosti radiotehnicheskih system [Theory of Reliability of Radiotechnical Systems]. Moscow, Sovetskoe radio, 1978. 264 p. (in Russian).

5. Levin V.I . Dinamika konechnyh avtomatov i nadezhnost slozhnyh sistem [Finite Automata Dynamics and Reliability of Complex Systems]. Avtomatika i vychislitelnaya tehnika. 1976, vol. 10, no. 6, pp. 17-24 (in Russian).

6. Levin V. I. Dinamicheskie avtomaty i nadezhnost tehnicheskih system. I [Dynamical Automata and Reliability of Technical Systems. I]. Elektronnoe modelirovanie. 1980, vol. 2, no. 4, pp. 12-17 (in Russian).

7. Levin V. I. Dinamicheskie avtomaty i nadezhnost tehnicheskih system. II [Dynamical Automata and Reliability of Technical Systems. II]. Elektronnoe modelirovanie. 1980, vol. 2, no. 5, pp. 63-72 (in Russian).

8. Levin V. I. Logicheskie metody v teorii nadezhnosti. I [Logical Methods in Reliability Theory. I]. Vestnik Tambovskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta. Mathematics, Physics, 2009, vol. 15, no. 4, pp. 873-884 (in Russian).

9. Levin V. I. Logicheskie metody v teorii nadezhnosti. II [Logical Methods in Reliability Theory. II]. Vestnik Tambovskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta. Mathematics, Physics, 2010, vol. 16, no. 1, pp. 119-132 (in Russian).

10. Levin V. I. Evaluation of Reliability of Systems by Logical Methods. Systems of Control, Communication and Security, 2017, no. 2, pp. 182-195. Available at: http://sccs.intelgr.com/archive/2017-02/07-Levin.pdf (accessed 12 August 2018) (in Russian).

Системы управления,связи и безопасности №3. 2018

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

11. Levin V. I. Logical Methods of Computing of Systems Reliability. Part II. Mathematical Model of Reliability. Systems of Control, Communication and Security, 2017, no. 3, pp. 84-97. Available at: http://sccs.intelgr.com/archive/2017-03/04-Levin.pdf (accessed 12 August 2018) (in Russian).

12. Levin V. I. Logicheskie metody v teorii nadezhnosti slozhnyh system. I [Logical Methods in Reliability Theory of Complex Systems. I]. Vestnik Tambovskogo universiteta, 2011, vol. 16, no. 5, pp. 15-28 (in Russian).

13. Levin V. I. Logicheskie metody v teorii nadezhnosti slozhnyh system. II [Logical Methods in Reliability Theory of Complex Systems. II]. Vestnik Tambovskogo universiteta, 2011, vol. 16, no. 6, pp. 25-39 (in Russian).

Статья поступила 9 августа 2018 г.

Информация об авторах

Левин Виталий Ильич - доктор технических наук, профессор, PhD, Full Professor. Заслуженный деятель науки РФ. Пензенский государственный технологический университет. Область научных интересов: логика; математическое моделирование в технике, экономике, социологии, истории; принятие решений; оптимизация; теория автоматов; теория надежности; распознавание; история науки; проблемы образования. E-mail: [email protected]

Адрес: 440039, Россия, г. Пенза, пр. Байдукова/ул. Гагарина, д. 1а/11.

UDC 681.5.09

Logical Methods of Research of Complex Systems Reliability. Part I. Mathematical Apparatus and Models of Reliability

V. I. Levin

Relevance. In recent years the increasing attention of scientists and designers of technical systems has been acquiring the issues of improving methods for assessing the reliability and safety of these systems, in connection with tasks of increasing the values of these characteristics. The purpose of the article is to develop an automata-logical model of reliability of complex technical systems and corresponding logical methods for evaluating the reliability of such systems, which, unlike known ones, use not the traditional probabilistic reliability indicators, but deterministic logical indicators. Method. In order to achieve this goal, the article suggests using the observed moments of successive failures and recovery of the elements of the technical system as initial data, and as the reliability characteristics of the system itself the moments of successive failures and recovery of this system. In this case, the problem of estimating the reliability of a system is reduced to constructing its mathematical model in the form of automata logical functions expressing the moments of its successive failures and reconstructions through analogous moments of all its elements. This article is the first part of the work in which an automata-logical model designed to calculate the logical function of reliability of complex technical systems is developed in detail. The novelty of the work is the construction of an adequate logical model of the reliability of a complex system, which makes it possible to reduce the estimation of reliability of a complex technical system to the calculation of its logical reliability functions. In the process of calculation, the mathematical apparatus of logical determinants is used for the first time, which allows us to solve the complexity problem. Result. In the article the logical model of reliability and methods of its investigation are developed in detail, allowing to introduce new indicators of reliability of complex technical systems that do not require for their evaluation the use of probabilistic methods

Системы управления,связи и безопасности №3. 2018

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

and initial statistical data on element failures. On the basis of the developed logical model of reliability and methods of its investigation, the problem of constructing an automata system for reliability of systems is solved, which will allow to fulfill practical calculations of complex technical systems by methods of the theory of dynamic automata using the apparatus of logical determinants.

Keywords: complex system, switching process, reliability process, dynamical automaton, binary operator, structure of operator, logical theory of reliability.

Information about Author

Vitaly Ilich Levin - Doctor of Technical Sciences, Full Professor. Honoured Scientist of Russia. Penza State Technological University. Field of Research: logic; mathematical modeling in technics, economics, sociology, history; decision making, optimization, recognition, automata theory, reliability theory, history of science, problems of education. E-mail: [email protected]

Address: Russia, 440039, Penza, pr. Baydukova / Gagarin st., 1a/11.