Логическое моделирование надежности систем управления. II Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

IZVESTIA

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO

PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA

IMENI V. G. BELINSKOGO

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011

ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО

ПГПУ

PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES

№26 2011

УДК: 5І9.7ІІ

e-mail: levin@pgta.ru

Левин В. И. — Логическое моделирование надежности систем управления. II // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 578—588. — Предложена автоматно-логическая модель надежности различных систем управления. В ней входные процессы автомата моделируют надежностные процессы в блоках системы, а выходные процессы автомата - надежностные процессы в самой системе. Ключевые слова: автомат, переключательный процесс, оператор

Levin V. I. — Logical Modeling of Reliability of Control Systems // Izv. Penz. gos. pedagog. univ.

im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 578—588. — The automata-logical model of different control systems is presented. In it the input processes model reliability processes in blocks of system and the output processes model the processes in system at all.

Keywords: automaton, switching process, operator

Рассмотрим некоторую произвольную двоичную функцию х = х(£) непрерывного времени £, генерируемую в системе управления. Значения этой функции принадлежат множеству {0,1}. Пусть она удовлетворяет 3 условиям: 1) значение функции х в момент ее изменения а по определению совпадает со значением х при £ > а; 2) значения х определены на интервале времени (-те, то); 3) на любом конечном подынтервале указанного интервала имеется конечное число изменений значения функции. Введенная таким образом функция называется переключательным процессом в системе.

Обозначим: 1 - постоянный процесс, равный единице на некотором интервале времени; 0 - постоянный процесс, равный нулю на некотором интервале времени; 1'------изменение значения процесса

0 ^ 1; 0' - изменение значения 1 ^ 0; 0^ - изменение 0' в момент а; 1^ - изменение 1' в момент а; 1(а, 6) - импульс 1 ^,0^; 0(а, 6) - пауза 0^1^,. По вышепринятому условию 1 в некоторой окрестности момента а изменения значения процесса можно записать так

Согласно (1) импульс - это интервал единичных значений процесса, включающий начало и не включающий конец, а пауза - интервал нулевых значений процесса с аналогичными включениями:

6. ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ

t < a; t a.

(І)

Формулы (2) при а = 6 принимают вид:

1(а, а) = 0; 0(а, а) = 1. (3)

Видим, что импульс (пауза) с совмещенными началом и концом фактически есть отсутствие импульса (паузы), т.е. вырожденный участок, и может быть исключен из рассмотрения. Однако из (3) следует возможность формально рассматривать отсутствие импульса (паузы), т.е. тождественный 0 (тождественную 1), как импульс (паузу) с совмещенными началом и концом, что часто бывает полезно. Отметим также возможность рассматривать изменения процесса (1) как импульс (паузу) на бесконечном интервале:

1'а = 1(а, то) = 0(—то,а); 0^ = 0(а, то) = 1(-то,а). (4)

Введем необходимые определения. Пусть х(£) - любой переключательный процесс, отличный от тождественного 0 или 1; ах - момент первого изменения (начала) и 6Х - момент последнего изменения (окончания) х(£), причем оба момента конечны. Значение хо процесса при £ < ах назовем его начальным значением. При этом будем говорить, что х(£) начинается импульсом (паузой), если хо = 0 (хо = 1). Аналогично значение хто процесса при £ > 6Х будем называть его конечным значением, говоря, что х(£) оканчивается импульсом (паузой), если хто = 0 (хто = 1). Процессы х(£) и у(£) назовем непересекаюш^мися во времени, если 6Х < ау.

Общее число изменений значения переключательного процесса называется длиной Ь процесса. При Ь < 1 процесс считается простым, при Ь > 2 - сложным. Два переключательных процесса равны, если у них одинаковое число соответственно однотипных изменений, моменты которых совпадают. Два переключательных процесса с буквенными моментами изменений будем называть эквивалентными, если при любой численной конкретизации указанных моментов изменений оба процесса становятся равными.

Будем записывать переключательные процессы в виде последовательности изменений с указанием момента изменения или в виде последовательности импульсов и пауз. Во втором случае для простоты опускаем начальное и конечное постоянные значения, а моменты промежуточных изменений указываем один раз либо в импульсе, либо в соседней паузе. Один и тот же процесс можно записать так: х(£) =

или х(£) = 1(аб)0(-с)1(- !)0(— е).

Этот процесс до момента а равен 0, в интервале а < £ < 6 он равен 1, в интервале 6 < £ < с равен

0, в интервале с < £ < ! - снова равен 1, в интервале ! < £ < е снова 0 и при £ > е принимает постоянное значение 1.

7. ДВОИЧНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Пусть имеется множество переключательных процессов хх(£),...,хп(£). Закон О, по которому это множество преобразуется в переключательный процесс у(£), называется двоичным оператором. Таким образом,

у(£) = О[х1(£), ...,х„(£)]. (5)

В технических системах символы х1(£),..., хп(£) означают входные процессы, у(£) - выходной процесс,

О - оператор системы. Оператор, реализующий преобразование (5), называется п-местным, по числу преобразуемых процессов. На операторном языке преобразуемые процессы х1(£), ...,хп(£) называются воздействиями на оператор О, а результирующий процесс у(£) - реакцией этого оператора. Мы ограничимся рассмотрением операторов, удовлетворяющих следующему условию (принцип физической осуществимости): значение реакции у(£) в любой момент времени £ зависит только от значений воздействий х1(£1), ...,х„(£„) в предшествующие £1, ...,£п или текущий £ моменты (£1 < £, ...,£п < £) и от значений самой реакций у(£*) в предшествующие моменты £*(£* < £). Если зависимость у(£) от у*(£) существенна, оператор называется оператором с памятью, если несущественна - оператором без памяти. Число моментов

Ь*і, ...,Ь*8(Ь*і < Ь), таких, что значение у(Ь) существенно зависит от значений у(Ь*і), ...,у(Ь*8), называется глубиной памяти оператора. Это число может быть конечным или бесконечным. В первом случае имеем оператор с конечной памятью, во втором - с бесконечной. Оператор без памяти называется временным, если у(Ь) существенно зависит от значения воздействий ж*(і*) в предыдущие моменты времени Ь*(Ь* < Ь), и логическим - в противном случае, т.е. если у(Ь) зависит только от значений воздействий жі(Ь), ...,жп(Ь) в тот же текущий момент Ь.Для логического оператора зависимость (5) реакции от воздействий такова:

у = / (жь...,ж„), (6)

где /----некоторая булева функция; жі,..., жп, у - мгновенные значения воздействий и реакции в один и

тот же произвольный момент времени Ь.

Двоичный оператор можно задать с помощью уравнения, связывающего значение у(Ь) со значениями жі(Ьі), ...,ж„(Ь„),у(Ь*), где Ь* < Ь, Ь* < Ь, посредством алгоритма, позволяющего вычислить значения у(Ь) для любого Ь, и т.д. Удобным способом задания произвольного оператора является его структурное представление в виде суперпозиции (схемы) из элементарных операторов. Элементарным считается оператор, который является простейшим и потому не представим суперпозицией более простых операторов. Удобство такого представления в том, что изучение произвольного оператора сводится к изучению существенно более простых элементарных операторов, число которых конечно.

Задачи изучения операторов технических систем можно разделить на три типа. Задача анализа оператора заключается в отыскании реакций у(Ь) заданного оператора на заданные воздействия жі(Ь),..., жп(Ь). Задача синтеза оператора состоит в построении оператора, который преобразует заданные воздействия жі(Ь), ...,жп(Ь) в требуемую реакцию у(Ь). Под построением оператора понимается какое-нибудь конструктивное его задание - абстрактное или структурное (абстрактный или структурный синтез). Задача синтеза воздействий заключается в отыскании воздействий жі(Ь), ...,жп(Ь) по заданным оператору О и его реакции у(Ь) .

8. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Будем записывать любой переключательный процесс с неуточненным характером участков (импульсов и пауз) в виде

ж(Ь) = и(аі, а2)и(—, аз)... и(-і) (ат_і,ат), и Є {0,1}, (7)

где и----отрицание и,а

ир =

и при р = 1;

(8)

и при р = — 1.

Рассмотрим несколько элементарных временных операторов, дающих некоторые важные виды реакций на входные воздействия.

1. Оператор ВТ задержки на т - одноместный оператор, преобразующий воздействие ж(Ь) вида (7) в реакцию

у(Ь) = £т[ж(Ь)] = ж(Ь — т) = и(аі + т, а2 + т) и( —, аз + т)... и(-і) (ат_і + т, ат + т), (9)

т.е. сдвигающий входной процесс ж(Ь) на постоянное время задержки т.

2. Оператор ВТф фильтрации на т---------одноместный оператор, преобразующий импульсы и паузы

и(аі,аі+і) воздействия (7) в реакцию

г.\ г>ФГ /• М і и(аі + т, аі+і + т), аі+і — аі - т;

у(Ь) = Д- [и(аі,аі+і)] = < (10)

І и аі+і аі < т,

т.е. сдвигающий входной процесс ж(і) на время т и, кроме того, не пропускающий (фильтрующий) изменения ж(і), отстоящие друг от друга по времени ближе, чем на т.

3. Оператор достройки паузой до с----одноместный оператор, преобразующий воздействие ж(і)

(7) в реакцию (достройка справа, с > ат)

4. Оператор достройки импульсом до с------одноместный оператор, дающий на воздействие ж(і) вида (7)

реакцию (достройка справа, с > ат)

Операторы достройки выполняются по времени раньше других элементарных операторов.

5. Оператор усечения до Ь одноместный оператор, преобразующий воздействие ж(і) (7) в реакцию

путем взятия конъюнкции НЛ моментов изменения ж(£) с данным моментом Ь (усечение справа) или в реакцию

взятием дизъюнкции НЛ указанных моментов (усечение слева). Процесс ж(і Л Ь) отличается от процесса ж(і) заменой на интервале Ь < і < то всех значений ж(і) конечным значением. Процесс ж (і V Ь) отличается от процесса ж(і) заменой при —то < і < Ь значений ж(і) начальным значением.

6. Оператор умножения - двухместный оператор, преобразующий пару воздействий жі(і), ж2(і), не пересекающихся во времени (ЬХ1 < аХ2) и таких, что конечное значение первого процесса жі(і) совпадает с начальным значением второго ж2(і), в реакцию вида

Эта реакция называется произведением процесса Ж1(£) на процесс Ж2(£) и обозначается таким образом:

Из (17) видно, что произведение процесса жі(і) на ж2(і) до момента ЬХ1 окончания жі(і) совпадает с жі(і), с момента аХ2 начала ж2(і) совпадает с ж2(і), на интервале [ЬХ1, аХ2] равно конечному значению жі(і) (начальному значению ж2(і)). Оператор умножения подчиняется ассоциативному закону: при ЬХ1 <

(11)

или в реакцию (достройка слева, с < аі)

и = 0; и = 1.

(12)

(13)

или реакцию (достройка слева, с < аі )

и = 1;

и = 0.

(14)

у(і) = ж(і Л Ь) = и(аі Л Ь, а2 Л Ь)и( —, аз Л Ь)... и( 1) (ат_і Л Ь, ат Л Ь)

(15)

у(і) = ж(і V Ь) = и(аі V Ь, а2 V Ь)и( —, аз V Ь)... и( 1) (ат_і V Ь, ат V Ь)

(16)

(17)

у(і) = жі (і) о ж2(і)

(18)

[жі(і) о ж2 (і)] о жз(і) = жі(і) о [ж2 (і) о жз(і)] = жі(і) о ж2 (і) о жз(і),

(19)

но не подчиняется коммутативному закону, т.е. в общем случае произведение жі(і) о ж2(і) не совпадает с ж2(і) о жі(і).

7. Оператор разбиения - одноместный оператор, который разбивает процесс ж(і) вида (7) на два, последовательных подпроцесса:

жі(і) = и(аі, а2)и(—, аз)... и(а^_1, а*), где и = и или и I (20)

ж2 (і) и(аі,аі+1)и( , аі+2)... и^ ) (ат_ 1, ат) у

так что

*м=( ж1';>' ;<“-; (21)

[ ж2(і), і > а*.

Сравнение (21) с (17) показывает, что

ж(і) = ж1(і) о ж2(і), (22)

т.е. перемножение подпроцессов жі(і) и ж2(і) снова дает исходный процесс ж(і). Потому операторы умножения, и разбиения взаимно обратны. Заключительное изменение в первом подпроцессе жі(і) разбиения (20) назовем точкой деления разбиваемого процесса ж(і). Точка деления может иметь вид 1^ или 0^.

Рассмотрим несколько элементарных логических операторов. В отличие от временных, такие опера-

торы, согласно (6), можно задавать с помощью булевой логической функции, преобразующей мгновенное значение воздействий в любой момент і в мгновенное значение реакции, относящееся к тому же моменту.

1. Конъюнктор - это двухместный оператор, преобразующий воздействия жі(і), ж2(і) в реакцию у (і) согласно конъюнкции (1)

у = жі Л ж2. (23)

2. Дизъюнктор - двухместный оператор, преобразующий воздействия жі (і), ж2(і) в реакцию у(і) согласно дизъюнкции (2)

у = жі V ж2. (24)

3. Инвертор - это одноместный оператор, преобразующий воздействие ж(і) в реакцию у(і) согласно булевой функции отрицания (3)

у = ж. (25)

4. Дизъюнктивный инвертор (оператор Вебба) - двухместный оператор, преобразующий воздействия жі(і), ж2(і) в реакцию у(і) согласно булевой функции “отрицание дизъюнкции”:

у = жі V ж2. (26)

5. Конъюнктивный инвертор (оператор Шеффера) - двухместный оператор, преобразующий воздействия жі(і), ж2(і) в реакцию у(і) согласно булевой функции “отрицание конъюнкции”:

у = жі Л ж2. (27)

Дизъюнктивный и конъюнктивный инверторы, строго говоря, не являются элементарными: они выражаются суперпозицией (23)-(25). Однако на практике оба часто используются как элементарные операторы.

9. СТРУКТУРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ БЕЗ ПАМЯТИ

Удобство структурного представления операторов (см. § 6) делает целесообразной разработку методики перехода от произвольного содержательного описания любого оператора к его структурному представлению, т.е. к схеме, реализующей оператор в виде суперпозиции конечного числа элементарных операторов. Такой переход включает два этапа: первый - от содержательного описания оператора к его

математическому описанию; второй - от математического описания оператора к реализующей его схеме. Первый этап неалгоритмичен и выполняется неформально. Рассмотрим второй этап.

Реакция у(і) оператора без памяти в любой момент і зависит от значений воздействий жі(і),..., жп(і) в этот же момент і, а также от их значений жі(іі),..., ж„(і„) в некоторые предшествующие моменты іі,..., іп (см. § 6). Будем считать, что число таких предшествующих моментов для каждого воздействия конечно. Тогда зависимость реакции оператора без памяти от воздействий принимает вид:

где / - некоторая булева логическая функция; і - текущий момент времени; tij (і^- < і) - предшествующие

і моменты, значения воздействий в которых влияют на значение реакции в текущий момент і.

В частном случае, когда значения воздействий в предшествующие моменты несущественны, т.е. когда оператор логический, зависимость реакции от воздействий приобретает знакомый вид (6):

Здесь xl, ...,xn,y - мгновенные значения воздействий и реакции, взятые в один и тот же произвольный момент времени. Формулы (2З), (29) дают математическое описание двух различных типов оператора без памяти: временного и логического.

Начнем с задачи структурного представления логического оператора, т.е. построения схемы, реализующей булеву функцию / (29) в виде суперпозиции элементарных операторов /*. При этом достаточно ограничиться только логическими операторами /*. Набор /*, позволяющий реализовать любую функцию /, называется функционально полным или базисом. Образуют базис, например, следующие наборы: І) конъюнктор и инвертор; 2) дизъюнктор и инвертор; З) конъюнктор, дизъюнктор и инвертор; 4) оператор Вебба; 5) оператор Шеффера. Будем реализовывать логический оператор в базисе З. Для этого необходимо: І) перейти от имеющегося представления оператора к соответствующей булевой функции /; 2) привести функцию / к эквивалентному выражению в ДНФ или КНФ (см. § І); З) полученное выражение разложить по элементарным операциям - двухместным конъюнкции и дизъюнкции, используя для этого сочетательный закон (І0); 4) сопоставить каждой элементарной операции - конъюнкции, дизъюнкции и отрицанию - соответствующий элементарный логический оператор. При необходимости между этапами

2 и З можно выполнить упрощение функции /, для чего выражение / подвергается подходящим преобразованиям (см. § 2).

Пример 14. Реализуем логический оператор, для которого зависимость реакции y от входных воздействий х1,х2,хз такова, что y =1 на наборах ООО и ІІІ. Этап І) выполнен - функция y = /(Х1,Х2,Хз) задана перечислением единичных наборов. 2) Согласно процедуре § 2 ДНФ этой функции такова: y = Х1Х2Х3 V Х1Х2Х3. З) По закону (ІО) получаем выражение y = (Х1Х2)хз V (х1х2)хз. 4) сопоставляем отрицаниям инверторы, конъюнкциям - конъюнкторы, дизъюнкции - дизъюнктор. В результате находим схему, реализующую оператор (рис. І).

y(t) / [х1 (t), Х1 (t 11), ..^ Х1 (t lml ); ...; Хп (t), Хп (tn1 ), ..., Хп (t nmn )],

(2З)

y = /(Х1, ...,Хп).

(29)

Рис. 1. Структурное представление логического оператора

Итак, любой логический оператор можно представить структурно в виде схемы, построенной из элементарных логических операторов.

Теперь перейдем к структурному представлению временного оператора. Построим схему, реализующую зависимость (28). Введем замену:

Ж1 (і 11) Жп+1 (і), •••, Ж1 (і 1ті ) хп+ті (і)

х2(^2і) хп+ті + 1(^)? •••? ж2(і2т2) хп+ті+т2 (і) V (30)

жп(іп1) = ж п-1 (і) ..., жп(іптп) = ж ™ (і)

ті

п+ £ т4+1 п+Ь

После проведения вышеуказанной замены зависимость (28) примет вид булевой логической функции

У = / жь...,ж„,жп+1,...,ж - (31)

у п+Ъ ті J

от расширенного множества аргументов Ж1, ...,ж - , где ж* и у - мгновенные значения воздействий и

п+£ ті

реакции, взятые в один и тот же, произвольный момент времени. Функция (31) имеет тип (29), т.е. задает некоторый логический оператор. В итоге структурное представление временного оператора распадается на структурное представление логического оператора и соотношений (30). Первая задача рассмотрена выше. Рассмотрим вторую задачу.

Обратимся, например, к первому из соотношений (30). Учитывая, что іц < і, т.е. іц = і — тц, где ти > 0, запишем его в виде жп+1(і) = ж^і — тц) или, используя оператор задержки Д,

Жп+1(і) = Дії [Ж1(і)]. (32)

Видим, что любое соотношение (30) реализуется с помощью оператора задержки Д„ с нужным временем задержки тц. При этом для реализации всех соотношений (30) нет необходимости использовать соответствующее число операторов задержки. Действительно, соединяя последовательно несколько опер

раторов задержки ДТі,..., Д , получаем новый оператор Д с суммарным временем задержки т = ^ т.

І=1

Поэтому достаточно выбрать в качестве элементарного оператор Д с временем задержки т - общим

делителем всех времен тц = і — іц в системе (30). Тогда реализация любого соотношения (30) сведется к

последовательному соединению нужного числа элементарных операторов Д.

Итак, любой временной оператор можно представить структурно в виде логической схемы, построенной из элементарных логических операторов и элементарного оператора задержки.

10. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМЫ

Будем рассматривать произвольную систему управления, состоящую из N взаимодействующих подсистем - блоков. Система имеет п входов и г выходов. По входам система получает предусмотренные условиями ее работы полезные воздействия (физические сигналы, задачи для решения, команды и т.д.) или вредные воздействия (помехи, вибрация, температура, влажность и т.д.), влияющие на ее надежность. При этом каждый из входов предназначен для воздействий одного типа. С выходов системы снимаются результаты ее работы (обработанные сигналы, решенные задачи, выполненные команды и т.д.), причем каждый выход характеризует одну функцию (результат работы) системы. Зададим надежностное состояние (НС) системы двоичным вектором

У =(Уъ...,Уг), У* е {0,1}, (33)

г — я компонента которого у* характеризует НС г-го выхода системы

{1, если система работоспособна по 1-й функции;

0, если система неработоспособна по 1-й функции (34)

(частичный отказ 1-го типа).

Аналогично зададим НС совокупности блоков двоичным вектором

а =(ах,...,а^), а* е {0,1}, (35)

г—я компонента которого а* характеризует НС г-го блока:

1, если і-й блок работоспособен;

0, если і-й блок отказал.

(36)

Опишем НС совокупности входов системы вектором

х = (хь ..., х„), х* е {0,1}, (37)

г—я компонента которого х* (г = 1, ...,п) характеризует НС г-го входа:

1, если система воспринимает воздействие г-го типа;

0 в противном случае.

(38)

Описание входов системы при помощи двоичного вектора (37) годится и в более общем случае, когда существен не только факт наличия или отсутствия воздействия каждого типа, но и значения воздействия. При этом множество возможных значений воздействия каждого типа г дискретизуется (если эти воздействия непрерывные) и кодируется двоичным кодом х*1,..., х*т; последний заменяет х* в основном коде

(37).

Таким образом, надежностную ситуацию в системе в произвольный момент времени £ можно полностью описать тройкой векторов

г = (х, а, у), (39)

где х-----НС входов; а - НС блоков; у----НС выходов системы в некоторый момент времени £. Это

описание - статическое, относящееся к выбранному моменту £. Реально все три вектора зависят от времени и надежностную эволюцию системы можно описать вектор-функцией

г(£) = [х(£),а(£),у(£)]. (40)

Это описание динамическое, оно охватывает необходимый интервал времени функционирования системы.

ш =

Первая компонента (40) - вектор-функция х(£) = [х1(£),..., хп(£)] - задает эволюцию НС входов системы, т.е. воздействия на входах системы. Здесь х*(£) - двоичная функция непрерывного времени £, описывающая эволюцию НС г-го входа, т.е. воздействие на г-м входе системы. Функция х*(£) имеет вид последовательности интервалов наличия и отсутствия г-го внешнего фактора, влияющего на надежность системы. Из физического смысла функции х*(£) следует, что она определена в любой момент бесконечного временного интервала £ (—то < £ < то), причем на любом конечном подынтервале этого интервала х*(£) изменяется конечное число раз. Условимся, что значение х*(£) в момент ее изменения £ = а совпадает с ее значением при £ > а. Таким образом, воздействия на входы системы х1(£),..., хп(£) - некоторые переключательные процессы.

Вторая компонента в (40) - вектор-функция а(£) = [а1(£), ...,а^(£)] - задает эволюцию НС блоков системы, причем а*(£) - двоичная функция времени, задающая эволюцию НС г-го блока в виде последовательности интервалов наличия и отсутствия работоспособности блока. Аналогично предыдущему убеждаемся, что процессы надежностной эволюции блоков а1(£), ...,а^(£) - переключательные процессы. Назовем их надежностными процессами (НП) в блоках.

Третья компонента в (40) - вектор-функция у(£) = [у1 (£), ...,уг(£)] - описывает эволюцию НС выходов системы, т.е. эволюцию работоспособности системы в отношении ее функций. Здесь у*(£) - двоичный процесс, задающий эволюцию НС г-го выхода, т.е. эволюцию работоспособности системы в отношении ее г-й функции; у*(£) имеет вид последовательности интервалов выполнения и невыполнения функции. Процессы надежностной эволюции выходов системы у 1 (£),..., уГ(£) - переключательные. Назовем эти процессы НП на выходах системы.

Итак, надежностную эволюцию в нашей системе можно полностью описать тремя группами переключательных процессов: 1) внешние воздействия х1 (£), ...,хп(£) на п входов системы, влияющие на ее надежность; 2) надежностные процессы а1(£), ...,а^(£) в N блоках; 3) надежностные процессы У1 (£), ...,уГ(£) на г выходах системы, характеризующие эволюцию работоспособности системы в отношении выполнения г различных функций. Эти группы зависимы: выполнение данной системой возложенных на нее функций определяется НП в блоках системы и входными воздействиями на систему. Из физических соображений следует, что выполнение системой любой г—й функции в любой момент времени £ зависит лишь от значений НП в блоках и значений входных воздействий в тот же момент £ и предшествующие моменты (и, возможно, от выполнения функций в предшествующие моменты). Таким образом,

У1 (£) = ^1[х1(£), ..., хп(£); а1(£), ...,ад(£)]

уг (£) СГ [х1 (£) , ..., хп (£); а1 (£) , ..., аД (£)]

где С* (г = 1, ...,г) - некоторые двоичные операторы, удовлетворяющие принципу физической осуществимости. Эти операторы назовем собственными надежностными операторами (НО) системы. Совокупность собственных НО системы

С = (С ,...,Сг ) (42)

является наиболее полной надежностной характеристикой системы. Зная эту характеристику, можно из соотношений (41) вычислить НП на выходах системы у1(£),...,уг(£) при любых заданных входных воздействиях х1(£),..., хп(£) и НП а1(£),..., ад (£) в блоках системы. Получаемые в результате вычислений НП у 1 (£), ...,уГ(£) полностью характеризуют надежность результатов работы системы. По ним можно вычислить любой показатель надежности (ПН) системы. Это связано с тем, что каждый ПН Д представляет собой некоторый функционал ^ от у1 (£), ...,уГ(£):

Д = F[у 1 (£),..., уг(£)]. (43)

Рассмотрим этот вопрос подробнее. Выбор того или иного ПН системы зависит от назначения системы и надежностного режима ее работы - без восстановления или с восстановлением отказавших блоков. Для

(41)

системы без восстановления основным ПН является наработка Т до отказа, определяемая как интервал времени от момента іо начала эксплуатации системы до ее первого отказа. Другим ПН этих систем может служить функция готовности Кг(і), определяемая как

1, если система в момент і работоспособна; 0, если система в момент і неработоспособна,

(44)

Кг(£) = и функция надежности Р(£):

I 1 при отсутствии отказов на интервале [£о,0;

Р(£) = (45)

0 в противном случае.

Функции Р(£), Кг(£) невосстанавливаемой системы есть переключательные процессами одинакового вида

Кг(£)= Р (£)=0Т, (46)

так что ПН Кг(£), Р(£), Т оказываются зависимыми. Для систем с восстановлением основными ПН служат функция готовности Кг(£) (имеющая в отличие от процесса (46) вид переключательного процесса с несколькими изменениями) и ресурс V, определяемый как интервал времени от момента £о начала эксплуатации системы до момента ее окончательного (невосстанавливаемого) отказа. Используется и функция надежности Р(£), имеющая вид (46), а также коэффициент готовности Кг - доля времени, в течение которого система работоспособна. Он равен

*0 + ^ I

Кг = J Кг(£)й£ /V. (47)

. *0 \'

Коэффициент готовности является средним значением функции готовности Кг(£) на интервале (£о, £о+V). Часто надежность восстанавливаемой системы характеризуют наработкой Т между отказами, определяемой как интервал от момента очередного г-го восстановления системы до момента следующего после него отказа, и временем г-го восстановления Тв*. Как видно из (45), (47), готовность Кг(£) является первичным ПН системы, через который выражаются другие ее ПН. Отметим еще, что при Т = Т, Тв* = Тв

Кг = Т/(Т + Тв).

(48)

Вычисление ПН по соотношению (43) требует знания критерия отказа системы. Данный критерий может зависеть от назначения системы, режима эксплуатации и т.д.

Если по условиям работы система должна выполнять одновременно все г своих функций, то критерием отказа системы является невыполнение ей хотя бы одной из этих функций (случай 1). Если система должна выполнять, по крайней мере, одну из своих функций, то критерием отказа системы - невыполнение всех г функций, (случай 2). Если система должна выполнять не менее р (1 < р < г) своих функций, безразлично каких), критерий отказа - невыполнение системой не менее г — р каких-либо своих функций (случай 3).

Возможны более сложные критерии отказа системы, например, учитывающие неравноценность функций системы. Знание критерия отказа системы позволяет выразить ее показатели надежности Кг(£) и Р(£) через НП на выходах системы у 1 (£), ...,уг(£):

Кг(і) — Уэкв(^0 —

Л Уі(і) І=1

V Уі(і) І=1 Г

V V

Я = Р І1=...=І

У(і)

в случае 1, в случае 2, [Уіі(і)...Уіа(і)] в случае 3.

(однофункциональная система)

(многофункциональная система)

(49)

В формуле (49) Л и V - конъюнкция и дизъюнкция двузначной логики, а уэкв(£) - эквивалентный НП в системе, полученный объединением всех НП на выходах системы;

_ \ 1 если уэкв(т) = 1 при 0 < т < £,

Р(£) = (50)

0 в противном случае.

Таким образом вычисление различных ПН системы сводится к одной более общей задаче - определению НП на выходах системы.

Введенные выше операторные зависимости (41) НП на выходах произвольной системы от НП на ее входах и в блоках задают надежностную модель системы. Эта модель имеет две важные особенности: 1) работоспособность системы определяется не только работоспособностью ее блоков, но и воздействиями на ее входах; 2) работоспособность системы в любой текущий момент времени может зависеть от работоспособности блоков и входных воздействий не только в этот, но и в предшествующие моменты (и, возможно, от предшествующих значений работоспособности системы).

11. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

С математической точки зрения введенная надежностная модель системы управления в виде операторной зависимости (41) замечательна тем, что ее структурным воплощением оказывается некоторый динамический автомат (типа рис. 1.), входные процессы которого связаны с его выходными процессами указанной зависимостью.

Таким образом, вычисление НП на выходах системы по уже известным НП в ее блоках и на входах сводится к хорошо известным и детально разработанным в теории автоматов методам вычисления выходных процессов динамических автоматов по их входным процессам.

Поскольку в статике в любой фиксированный момент времени выходные значения автомата связаны с его входными значениями суперпозицией операций двузначной логики, а в динамике выходные процессы автомата связаны с его входными процессами суперпозицией операций непрерывной логики, можно говорить о том, что предложенная модель и вытекающие из нее теория и методы расчета надежности систем являются логическими.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Левин В. И. Динамика конечных автоматов и надежность сложных систем // Автоматика и вычислительная техника. 1976. № 6. С. 17-24.

2. Левин В. И. Введение в динамическую теорию конечных автоматов. Рига: Зинатне, 1975. 376 с.