CC BY
26
Лист Мебиуса в Е4
УДК 514.75
М.А. Чешкова Лист Мебиуса в
В евклидовом пространстве Е4 рассмотрим линейчатую поверхность [1, с. 140] М:
r(u, v) = e(v) + ul(v),
(1)
где е(ю) = (соз(у),згп(у),0,0) - направляющая окружность Б, 1(у) - орт образующей прямой.
Будем предполагать, что прямые ортогонально пересекают окружность. Обозначим через угол между плоскостью окружности и прямой. Тогда
¡(V) = сов(^)е(у) + зт(р)а(у),
где а(у) - орт проекции вектора I па 2-плоскость, дополнительную к 2-плоскости окружности. Полагаем
а(ю) = (0,0,соз(у),згп(у)).
Если М С Е3, то а = (0,0, 1). Этот случай рассмотрен в [2]. Если при этом р = Ы/2,к ф 0 - целое число, то прямые г(и, 0),г(и, 2п) ’’склеиваются”. Имеем [2] лист Мебиуса, перекручен-к
МСЕ
Ек
V V
1(п) = + 8т(-)а(у); (2)
V
г (и, у) = ((1 + псов( — )е(у)+
V
+пвт( — )а(у) (3)
или
г(и, у) =
V V
= ((1 + исо^^)со^^^ + сов^^вт^),
V V
пвг^-фсов^), ивт{ — ) вт^У). (4)
Так как 1(0) = — /(2п), то прямые г(и,0), г(и,2п)
МСЕ
Исследуем эту поверхность. Наряду с ортобазисом
е^) = (сов^^вт^), 0, 0); е V = ( —вт^^сов^), 0, 0);
а^) = (0,0,coв(v),вin(v)); а'V = (0, 0, —втV, сов^))
E4
рассмотрим ортобазис
V . V
т(^) = со^^)^^ + вг^^а^);
V V
т(^) = + coв{—)а{v);
V V
Шз^) = сов(-)е'(V) + вт(-)а'(V);
V V
т(^) = —вги(—)е'( V) + сов(—)а' V. Имеем
п(п,^ = ти( и,^ = ¡(V) = ш^);
1\V) = + т^У,
Т2(п, V) = Ту( и, V) = е'( V) + п1' (V) = п
= + {сов^/Ъ) + п^Шз^) —
—вin(v/2)ш^(v). Выполняются соотношения
V . V
е^) = сов^шг^) — вin( — )ш2(v);
V . V
а^) = сов( —^2^) + вг^^Шх^);
V V
е' V = сов^шз^) — вт^ш^У
а^) = вг^^т^Н сов(—)ш4.
Определим метрический тензор дг^ = (гг,г^) поверхности. Имеем
ди = 1; ^ = д21 = 0;
дт = ¡jU + 2ucos(—) + 1;
дг/ 4- . -----v2,
(5)
д = det(g/) = — u2 + 2ucos(—) + 1.
Теорема 1. Скалярная кривизна К листа Мебиуса М с Е4 равна
K =
—5 + 4cos2( |)
W2 ""
(6)
Доказательство. Символы Кристофеля Гк [3, с. 156] определим из формулы
= \gk4 digsj + dj gis-
-dsgij) ,gisgsj = Sj,
где 6? - символ Кронекера.
Ненулевые символы Г? равны
1 -V 5и
г22 = —со— ;
2 2 _4сов(|) + 5—
*-12 — *21 — "
Г2 —
1 99 —
4д
—2 —віп( V)
4д
Д-ы = дкГ, — дггг,
і тпттп рт тлг
I, кт к, 1т
тензор кривизны [3, с. 142; 5, с. 27], і,і = 1,2, 5і = ди,д2 = ду.
Тензор Риччи равен
—5 + 4сов2(у/2)
Дц =----------; Й12 = 0;
4д2
Д21 — 0, Д22 —
—5 + 4сов2(у/2) 4д '
Так как д11 = 1, д12 = д21 = 0, д22 = ^, то
ь-_______11 о I _22о _ -5+4со^( |)
К — д Ки + д К22 —------2р------.
Рассмотрим два ортогональных единичных нормальных вектора
1 и
щ = —((сов^/2) + и)ш2 — - Шз);
1
т =
(віп(у/2) (сов (у/2) + п)шз +
-зт(у/2) — ш2 + ^^4),
где
находим
Скалярная кривизна К поверхности равна К = дг?К? [3, с. 269; 5, с. 37], где Кг? = Щ8? - тензор Риччи [5, с. 37],
ш'А(у) = — — шз(у) — т2(у)
Пі = Гии = 0;
Г12 = Гиу = -т2 + т3 = Г21;
Г22 = — (сов(у/2) + ——)т± + +віп(у/2)т2 + —т4.
Определим аЧ. Имеем
1 2 п
Лі і — С^і і — и!
а12 =< П2,т >=
= ^сов(у/2) = <;
2 . 2 ^12 —< Гі2, П >— ^21 —
1 5
———віп(у /2)(сов(у /2) + -—) Ау/д у 1 м ч / ' 4 '
а22 =< Г22, п >=
= —віп(у/2)(сов(у/2) + —);
2 . — (д+А
а22 =< Г22, п2 > =
(8)
Пусть Ь = Ьг г г € ТрМ,р € М - касательный вектор, длина которого равна единице. Рассмотрим вектор нормальной кривизны
а(і, і) = ак,- пк.
(9)
(сов(у /2) + ^ + — =
д — віп / А , и формулы Гаусса-Вейнгартена [4, с. 23]
(7)
Зафиксируем точку р, а вектор Ь будем менять. Тогда концы вектора нормальной кривизны с началом в р опишут в ТрМ^ кривую, называемую индикатрисой нормальной кривизны. Определим ее. Обозначим через ю1,ю2 координаты точки индикатрисы в базисе (р, щ,щ) Имеем
ю1 = аЧ ЬгЬЧ ,ю2 = а2? ЬгЬЧ.
Ч 1
Так как Ь орт, то координаты его равны
Гг, = Гк,Гк + ак,пк, і, і, к= 1, 2.
Используя
і = (сов(т')
віп(7),
Уд '
т^ (у) = т;т2{у) + т3(у);
т'2(у) = ——ті(у) + т^У; т'зУ = \т±{у) — тгУ;
Используя (7), (9), имеем
2
т1 = --а\9втМсовМ+
Vхд "
+—а^вт2 (7); д
Е
т2 = а^9вт(7)сов(7)+
у/Э "
+—а29вт2(7).
д
Делая замену вт2(ч) = (1 — сов(2^))/2, получим параметрическое уравнение индикатрисы, где параметром является 7:
т1 —
1
Тд
а
(П)
= ----а\2вги(27)-------а^сов^/);
у/9
2 д
т — 7Г~ а22 _
2 д
= а19вт( 27)--------а99сов(2^Л.
у/д " 2} "
Это уравнение эллипса или отрезка прямой.
Исследуем индикатрису нормальной кривизны в точках направляющей окружности Б : г = г(0, V, V € [0, п].
Теорема 2. Индикатриса нормальной кривизны в точках окружности Б есть эллипс
т1 = 1/26+ вт(27) — Ьсов(27); (12)
т2 = Ьвт( 2^),Ь = вт^/2),
либо отрезок прямой N = (р, щ),р = (0,0) Доказательство. В (5), (7), (8) полагаем
и
д=1,Л = сов^/Я); а^ 1 — 0, а^2 = а2-^ —
1
= — ,а22 = вт^/!^)',
а^1 — 0, а^2 — а21 —
= вт^/2.) ,^2 = 0.
Уравнения индикатрисы примут вид
1
1
— — вт^/Я) = —вт( 27) —
^2 вт^/^сов^^)', т2 = вт^/^вт^/).
Если вin(v/2) = 0, что соответствует точке г , т
мой N = (р,П1). Если вin(v/2) ф 0, положим Ь = ±вin(v/2) и получим (12) (рис. 1-3).
Исследуем индикатрису нормальной кривизны вдоль образующей прямой Ь : г = г (и, 0). Теорема 3. Индикатриса нормальной кри-Ь
т1 = —-¡- вт( 27); (13)
2 3
ии
т — 2^ ~ ^2дсо^ад’
либо отрезок прямой N = (р,щ),^= (0,0).
Доказательство. В (5), (7), (8) полагаем V = 0. Имеем
Л = л/9;
а^^ = 0, са 9 = а91 =
Х21
^99 — 0, 2 п 2 2
2/д,(
— 0, а^2 — а21 — 0^
а и.
Уравнения индикатрисы примут вид (13). В точке и = 0, V = 0 имеем т2 = 0, д = 1. Индика-трнса вырождается в отрезок [—§■, прямой N (рис. 4-6).
т
1- Ь=1
»2 0.5
-0.2 У 0.2 0.4 0.6 0.8 / 1.2 »1 /
¿0.5
Ь=1/2 ^ )
0.4
»2
0.2
-0.2 У 0.2 0.4 0.6 0.8
/ -0.2
/ -0.4.1
Рис. 1 Рис. 2
Рис. 3
U: = 1
/ 0.15
I w2 1 0.1-
\ 0.05
-0.1 -0.05 0.05 0.1
w1
Рис. 5
Рис. 4 Рис. 6
Литература
1.Погорелов A.B. Дифференциальная геометрия. - М., 1969.
2. Пешкова М.А. О листе Мебиуса // МАК-2006: Материалы девятой региональной конференции по математике. - Барнаул, 2006.
3. Кобаяси Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси, К. Номидзу. - М.,
1981. - Т. 1.
4. Кобаяси Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси, К. Номидзу. - М., 1981. - Т. 2.
5.Yano К. Structures on manifolds / К. Yano, М. Коп. - Singapore, 1984.
