О бутылке Клейна Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

М.А. Чешкова О бутылке Клейна

M.A.Cheshkova About Klein Bottle

В евклидовом пространстве рассматривается бутылка Клейна. В процессе исследования используется система компьютерной математики.

Ключевые слова: бутылка Клейна, лист Мебиуса, лемниската Бернулли.

The Klein bottle is studied in the Euclidean space. Computer mathematics system is used in the study.

Key words: Klein bottle, Mobius band,lemniscate Bernoull.

Бутылку Клейна рассматриваем как склейку двух листов Мебиуса вдоль края.

В евклидовом пространстве Е3 зададим линейчатую поверхность М:

г(и,у) = р(и) + Ув* (и), (1)

где р(и) = ав(и) = а(соз(и); згп(и), 0) — направляющая окружность радиуса а; в* (и) — орт образующей прямой.

Будем предполагать, что прямые ортогонально пересекают окружность. Обозначим через <^(и)

— угол между плоскостью окружности и прямой. Тогда

в*(и) = соз(р(и))в(и) + згп(у>(и))к,

где к = (0, 0,1).

Если при этом р(и) = и/2, то в*(0) =

—в*(2п), прямые г(у, 0),г(у, 2п) «склеиваются». Имеем лист Мебиуса [1] М С Е3. Итак,

ии е*(и) = соз( — )е(и) + зт{ — )к, (2)

22

ии

г (и, у) = (а + усоз( — ))е(и) + г?5т( —)&, (3)

или

и

г(и,у) = ((а + г?со5( — ))со5(г/), (4)

2

ии (а + усоз( — ))зт(и), узт( — )).

Пусть в переменной плоскости (в(и), к) задана кривая типа восьмерки, осью которой является в*(и), причем кратная точка лежит на окружности.

Рассмотрим поверхность

г(и,у) = р(и) + /1(у)в*(и) + /2 (у)к* (и), (5)

ии к* (и) = —зт( — )е(и) + сов( 2 )к, к = (0, 0, 1),

образованную кривыми типа восьмерки, кратные точки кривых расположены на окружности

р(и) = ав(и),в(и) = (соз(и), згп(и), 0), радиуса а, а оси в* (и) ортогонально секут окружность. Тогда при повороте на угол 2п кривые также «склеиваются».

Итак, уравнение поверхности запишется в виде

г(и, у) = ав(и) + /\(у)(соз(и/2))в(и) + згп(и/2)к)+

(6)

/2(у)(-згп(и/2))в(и) + соз(и/2))к).

Если уо есть решение уравнения /2(у) = 0, и /1(уо) = 0, то кривая г(и,Уо) есть край листа Мебиуса, где V = /1(уо). Если /1(уо) = 0,/2(уо) = 0, то кривая г(и, уо) есть средняя окружность на листе Мебиуса

Будем называть эти линии на бутылке Клейна как среднюю линию и линию края соответственно.

Определим вектор нормали N = [ги,гу] вдоль средней окружности.

Имеем

N (и, уо) == а(-А(и, Уо)к + В(и, Уо)в(и)), где уо есть решение системы

(/1(у) = 0,/2(у) = 0,

а

А(и, у) = /1 (у)соз(и/2) — /2(У)згп(и/2),

В (и, у) = /1 (у)згп(и/2) + /2 (у)соз(и/2).

Так как

А(0, у) = /1 (у), В(0, у) = /2(у),

а(2п,у) = —/1 (у),В(2п,у) = —/2(v), в(0) = в(2п) = (1, 0,0),

получаем N(0,уо) = —N(2п,уо). Откуда следует, что поверхность неориентируемая, односторонняя.

Зададим кривую в виде

/1(у) = згп(у), /2(у) = згп(2у).

Тогда уравнение (6) бутылки Клейна запишется в виде

г(и,у) = (а+згп(у)соз(и/2) — згп(и/2)згп(2у))соз(и),

(7)

(а + згп(у)соз(и/2) — згп(и/2) згп(2у)) згп(и),

згп(у) згп(и/2) + згп(2у)соз(и/2).

Построим поверхность (4), полагая а = 4, и = —п,..., п,у = —п, ..п (рис. 1, 2).

Найдем линию края. Решая згп(2у) =

0, згп(у) = 0, получим V = п/2.Разрежем бутылку Клейна вдоль линии V = п/2 . Для этого полагаем V = п/2,..., 3п/2 и V = 3рг/2,..., 3п/2 + 2п, (рис. 3). Если кривая лемнтската Бернулли [2, с. 155 ],

то

/1 (г>) = Ь\]2соя(2л}')соя(у\ /2(11) = Ьу^2соб(2у)8гп(у).

Получаем другое погружение бутылки Клейна.

г(и,у) = (а + Ъ\/2со8(2у)со8(у)сов(и/2)— (8)

—Ъ \/2соз{2у) в т (и / 2) в т (V)) со в (и),

(а + Ь-\/2соз(2у)соз(у)соз(и/2) —

—Ъ \/2соз{2/и} в т (и / 2) в т (V)) в гп (и),

Ъ \/2соз(2/и) сов (у) в т (и/2)+

6+ \/2соз(2у)зт(у)соз(и/2).

Используя математический пакет, построим поверхность (5) , полагая а = 4, Ь = 1. Так как соз(2у) > 0, то V = —п/4,..., п/4 (рис. 3).

Найдем линию края. Решая згп(у) =

0,соз(у) = 0, получим V = 0.Разрежем бу-

тылку Клейна вдоль линии V = 0. Для этого полагаем V = —п/4,..., 0 и V = 0,..., п/4 (рис. 4).

Рис. 3. Бутылка Клейна / (у) = з1и(у),/2 (V) = sin(2v)a = 4, восьмерка

Рис. 4. Бутылка Клейна /1 (V) = з1п(у),/2 (V) = з1п(2у)а = 4, линия края

Рис. 5. Бутылка Клейна, разрезанная по краю, /1 (V) = згп(у),/2(у) = sin(2v),a = 4, и = — 2п,., 2п^ =

0, ...,п

Рис. 6. Бутылка Клейна, разрезанная по краю, /1 (V) = sin(v),/2(у) = sin(2v),a = 4, и = — 2п,..., 2п^ =

— П, .,П

Рис. 7. Бутылка Клейна fl(.v) =

^/2сов(2г>)сов(г>), /2(г;) = ^/2сов(2г>)вгте(г>), а = 4и

край

Рис. 8. Бутылка Клейна, разрезанная по краю, Д (г>) = ^/2сов(2и)сов(г>), /2(10 = ^/2сов(2г>)вгте(г>), а = 4,и = — 2п,..., 2п^ = —п,...,п

Рис. 9. Бутылка Клейна, разрезанная по краю, Д (г>) = ^/2сов(2г>)сов(г>), /2(г;) = ^/2сов(2г>)вгте(г>), а = 4, и = — 2п, ..., 2п, V = 0, ...,п

Библиографический список

1. Чешкова М.А. О листе Мебиуса. Вестник университета. Вып. 6. 2006.

Барнаульского государственного педагогического 2. Савелов А.А. Плоские кривые. - М., 1960.