Линия уравнений в школьном курсе алгебры основной школы Текст научной статьи по специальности «Математика»

5. Фридман, Л.М. Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика. Учеб. пос. для учителя и студентов педвузов и колледжей. - М.: Школьная Пресса, 2002. - 208 с.

6. Региональный центр мониторинга в образовании. Статистика ЕГЭ 2014. URL: http://rcmo.ru (дата обращения 20.10.2015).

7. Макарченко, М.Г. Контекстуальный анализ учебных текстов по математике / Известия Российского государственного педагогического университета имени А.И. Герцена. - 2008. - № 11 (71). С. 268-276.

УДК 372.016:51 ББК 74.262.21

А.А. Сафарян

ЛИНИЯ УРАВНЕНИЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ АЛГЕБРЫ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ

Аннотация. В работе показаны основные направления анализа уравнений в школьном курсе алгебры основной школы, в частности через выделение понятийного аппарата линии.

Ключевые слова: уравнение, линии уравнений, равносильность уравнений.

A.A. Safaryan

LINE EQUATIONS IN THE SCHOOL COURSE OF ALGEBRA OF THE BASIC

SCHOOL

Abstract. This paper shows the main areas of analysis equations in a school course of algebra of the basic school, in particular through the provision of conceptual apparatus line.

Keywords: equation, line equations equivalent to the equation.

В школьном курсе математики выделяют различные содержательно-методические линии. Строгого определения понятия «содержательно-методическая линия» не существует. Считается, что осмысление реализации математической линии связано с анализом школьных учебников, отбором «ядерного» материала линии, его логической организацией, математическими трактовками этого материала и его связями с другим учебным материалом [3]. В статье С.И.Дяченко [2] отмечается, что анализ реализации линии связан с выделением понятийного аппарата линии и трактовками основных понятий, с классификацией математических задач линии и методов их решения, с выделением основных этапов формирования данной линии. «Реализация содержательно-методической линии требует:

- определение целей изучения линии в каждом классе;

- выделение понятийного аппарата линии;

- выделение математических методов реализации линии, логических и содержательных обоснований применения того или иного метода;

- раскрытие сферы применения изученного материала;

- подбор средств формирования понятийного аппарата линии и методов применения этого аппарата для математики и ее приложений;

- разработку системы оценок достигнутых результатов по изучению линии;

- установку содержательных связей по реализации линии между материалом разных классов» [1, с.57].

Линия уравнений является важной содержательно-методической линией в курсе алгебры. Она богата по содержанию, по способам и приемам решения уравнений, по возможностям ее применения при изучении ряда других тем школьного курса алгебры. Это объясняется тем, что уравнения широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.

Анализ школьных учебников и методических пособий, посвященных методике изучения темы "Уравнения" в основной школе показал, что в отдельные вопросы методики обучения понятию уравнения и решению конкретных уравнений в школьном курсе математики освещены достаточно полно. Одним из сложных разделов линии уравнений являются иррациональные уравнения и неравенства, так как в школе им уделяют достаточно мало внимания. Учащиеся в недостаточной степени овладевают умением решать уравнения, часто допускают ошибки при их решении. Решение уравнений является обязательным элементом на ГИА в 9 классе и на ЕГЭ в 11 классе как на базовом, так и на профильном уровнях, и они довольно часто становятся «камнем преткновения». Поэтому освоение умения различать основные виды уравнений, умения применять необходимые приемы и методы их решения позволяет учащимся решать уравнения на сознательной основе, вы-

бирать наиболее рациональный способ решения, применять разные способы решения, в том числе те, которые не рассмотрены в школьных учебниках.

Анализ линии уравнений начинается с выделения разных трактовок понятия «уравнение» и возможностями их использования в конкретных действующих учебниках алгебры.

Логико-математическое определение уравнения представлено в [4]: «Пусть на множестве М зафиксирован набор алгебраических операций, х — переменная на М; тогда уравнением на множестве М относительно х называется предикат вида а(х) = Ь(х), где а(х) и Ь(х) — термы относительно заданных операций, в запись которых входит символ х» [4, с.107]. В этом определении выделяется два компонента: смысловой и знаковый. Данное формальное определение можно конкретизировать следующим образом: «Предложение с переменной, имеющее вид равенства между двумя выражениями с этой переменной, называется уравнением» [4, а108]. Представленный подход к определению понятия «уравнение» можно назвать предикатным (через высказывательную форму):

• Равенство, содержащее неизвестное число или букву, называется уравнением.

• Значение неизвестного числа, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство, называется корнем уравнения.

Здесь важным являются такие понятия как буква, равенство.

Два выражения, числовые или буквенные, соединенные знаком "=", образуют числовое или буквенное равенство. Любое верное числовое равенство, а также любое буквенное равенство, справедливое при всех числовых значениях входящих в него букв, называется тождеством.

Пример 1. Числовое тождество: 5x7-6 = 20 + 9.

Пример 2. Буквенное тождество: (а + Ь)3 = а3 + 3а2Ь + 3аЬ2 + Ь3.

Равенство, содержащее неизвестные буквенные величины и не являющееся тождеством, называется уравнением. Уравнение называется буквенным, если некоторые известные величины, входящие в него, выражены буквами, в противном случае уравнение называется числовым.

Неизвестные величины принято обозначать последними буквами латинского алфавита: x, у, z, t, u,v,w. По числу неизвестных уравнений разделяются на уравнения с одним, двумя, тремя и т.д. неизвестными.

Решением уравнения называется такой буквенный или числовой набор неизвестных, который обращает его в тождество (соответственно, числовое или буквенное). Часто решение уравнения называют также его корнем.

Пример 3. Решение числового уравнения 3х3 + 2х2 — 4х — 1 = 0 является число 1.

Решением буквенного уравнения х3 — ах2 + ах — а2 =0 является выражение a.

Решить уравнение - значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Существуют другие подходы к определению понятия уравнения - функциональный подход, при котором уравнение трактуется как равенство двух функций:

• Уравнением с одним неизвестным называется равенство вида /(х) = д(х).

• Число х 0 называется корнем уравнения, если это число принадлежит области допустимых значений неизвестного и справедливо числовое равенство /(х0) = д(х0).

При любом из подходов к определению уравнения суть действий решения уравнения трактуется одинаково: решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Важна связь понятия «уравнение» с понятием «тождество»:

• Уравнение называется тождеством, если любое число является его решением (отражен первый подход к определению тождества);

• Уравнение вида /(х) = д(х) называется тождеством, если множество решений этого уравнения совпадает с областью определения данного уравнения (отражен второй подход к определению тождества).

В определении понятия уравнения используется один из терминов: «переменная» или «неизвестное». Выбор того или иного термина для использования в школьном практике влечет за собой определенные различия и особенности в развертывании содержания линии и ее практической реализации. что мы можем наблюдать в школьных учебниках алгебры разных авторов. Термин «переменная» тесно связан с функциональным подходом, термин «неизвестная» - с алгебраическим методом решения сюжетных задач и прикладной направленностью линии уравнений.

Следующее важное понятие линии уравнений является понятие равносильности.

Два уравнения Р± (х) = (х) и Р2 (х) = (х) называются равносильными, если совпадают множества их решений.

Обозначение: Рх(х) = Q1(x) <=> Р2(х) = @2(х).

Пример 1. Уравнения х2 + 2х — 3 = 0 <=> х2 + 3 = 0 - равносильны, поскольку имеют одинаковые корни х = 1 и х = —3.

Пример 2. Уравнения х2 + 1 = 0 и х2 + х = 3 — х , так как оба они не имеют решения на множестве действительных чисел.

Равносильные уравнения иногда называют эквивалентными.

Если уравнения Р1 (х) = (¿^ (х) и Р2 (х) = (х) имеют одинаковые решения на некотором числовом множестве Х, то они называются равносильными на множестве Х.

Пример 3. Уравнения х2 — 5х + 6 = 0 и х2 + 2х— 15 = 0 равносильны на числовом множестве х > 2, поскольку имеют на этом множестве один корень х = 3. На множестве всех действительных чисел эти уравнения неравносильны, так как корнями первого уравнения являются числа 2 и 3, а второго - числа 3 и -5.

К равносильным уравнениям приводят равносильные преобразования. Например, такие:

1) перенос любого члена уравнения из одной части уравнения в другую с противоположным знаком;

2) умножение и деление обеих частей уравнения на одно и то же, отличное от нуля, число;

3) умножение и деление уравнения на одно и то же алгебраическое выражение, определенное при любых значениях входящих в него букв, которое не обращается в нуль.

Равносильных (как и неравносильных) преобразований существует великое множество.

Пример 1. 3ах2 + Ьх = сх — й <=> 3ах2 + (Ъ — с)х + d = 0.

Пример 2. 4х2 + 2х — 2 = 0 <=> 2х2 + х — 1 = 0 <=> х2 + ^х — ^ =0.

Пример 3. х3 + 2х — х2 — 2 = 3х2 + 6 <=> х2 (х — 1) + 2(х — 1) = 3(х2 + 2) <=> (х2 + 2)(х — 1) = 3(х2 +2) <=> х — 1 = 3.

В последнем примере обе части уравнения, разложенного на множители, разделены на выражение х2 + 2 , которое определено для любого действительного числа и ни при каком значении х не обращается в нуль (более того, х2 + 2 > 2 для любого числового значения х).

При анализе линии уравнений рассматриваются вопросы формирования понятия уравнения, общих и частных методов их решения, взаимосвязи изучения уравнений и неравенств с числовой, функциональной и другими линиями школьного курса математики.

В учебной и методической литературе выделяют три основных направления развертывания линии уравнений в школьном курсе математики:

1) Прикладная направленность линии уравнений и неравенств раскрывается главным образом при реализации алгебраического метода решения сюжетных задач. Поскольку уравнение можно рассматривать как математическую модель некоторого реального процесса, то в настоящее время ведущее положение занимает математическое моделирование не только в приложениях математики, но и в изучении математики в школе, где метод математического моделирования стал не только средством решения сюжетных задач, но целью изучения. Поэтому прикладное значение уравнений и их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании.

2) Теоретико-математическая направленность линии уравнений и неравенств раскрывается в двух аспектах: во-первых, в изучении наиболее важных классов уравнений и их систем и, во-вторых, в изучении обобщенных понятий и методов, относящихся к линии в целом. Оба эти аспекта находят реализацию в курсе школьной математики. Основные классы уравнений связаны с простейшими и одновременно наиболее важными математическими моделями. Использование обобщенных понятий и методов логически выстраивает изучение линии в целом, поскольку они описывают то общее, что имеется в процедурах и приемах решения, относящихся к отдельным классам уравнений и их систем. В свою очередь, эти общие понятия и методы опираются на основные логические понятия: буква (неизвестное или переменное), равенство, равносильность, логическое следование.

3) Внутри математические связи содержания школьного курса математики ярко проявляются в реализации линии уравнений. Эта линия тесно связана с числовой линией. Основная идея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этих линий, - это идея последовательного расширения числовой системы. Все числовые области, рассматриваемые в школьной алгебре, за исключением области всех действительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо уравнений. Например, области иррациональных и логарифмических выражений связаны соответственно с уравнениями хк = Ь (к-натуральное число, большее 1) и ах = Ь .

С другой стороны наблюдается обратное влияние уравнений на развертывание числовой системы. Обратное влияние проявляется в том, что каждая вновь введенная числовая область расширяет возможности составления и решения различных классов и видов уравнений.

Линия уравнений тесно связана также и с функциональной линией. С одной стороны, линия уравнений помогает в аналитическом исследовании функции, с другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений, так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений и их систем.

Важным в анализе линии уравнений является выделение основных обобщенных приемов решения уравнений, формируемые в школьном курсе математики 7- 9 классов:

• Обобщенный прием решения линейных уравнений и их систем.

• Обобщенный прием решения квадратных уравнений.

• Обобщенный прием решения рациональных уравнений с одной переменной.

• Обобщенный прием решения дробно-рациональных уравнений с одной переменной.

• Обобщенный прием решения иррациональных уравнений с одной переменной. Основными методами решения уравнения являются: разложение на множители; замена переменных; сведение к системе уравнений и неравенств; функциональный; графический.

Основными процессами, сопровождающими обучение, являются:

1) постепенное возрастание классов уравнений, приемов их решения, преобразований, применяемых при решении;

2) установление разнообразных связей между различными классами уравнений, выявление все более общих классов, закрепление все более общих приемов преобразований, упрощение описания и обоснования решения.

В результате взаимодействия этих процессов изученный материал должен представляться учащимся в сравнительно компактном виде, не затрудняющем, а, наоборот, облегчающем усвоение нового. Необходимость установления такого взаимодействия обусловливает применяемые в линии уравнений методические приемы, в частности, распределение материала по ступеням обучения. Одним из важных профессиональных умений учителя является умение устанавливать содержательные связи по реализации линии между учебным материалом разных классов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Дяченко, С.И. Задачи с параметрами в контексте содержательно-методической линии // Актуальные проблемы обучения математике, физике и информатике в школе и вузе. Материалы 2-ой межрегиональной научно-практической конференции учителей. Пенза, 2011. - С. 115-120.

2. Дяченко, С.И. Линия задач с параметрами в школьном курсе математики // Вестник ТГПИ. - 2010. - № 1. С. 72-77.

3. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики / Под ред. Е.И.Лященко. -М.: Просвещение, 1988. - 223 с.

4. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика / Сост. В.И.Мишин. - М.: Просвещение, 1987. - 416 с.

УДК 372.8 ББК 74.262

Е.С. Столбцова

ОБУЧЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАМ СТОХАСТИКИ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА ПРЕЕМСТВЕННОСТИ МЕЖДУ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛОЙ

Аннотация. В статье рассмотрены вопросы совершенствования математического образования при обучении стохастике на основе принципа преемственности. Выявлены основные аспекты принципа преемственности при обучении математике между начальной и средней школой.

Ключевые слова: принцип преемственности, стохастика, аспекты преемственности.

E.S. Stolbtsova

ELEMENTS OF TRAINING ON THE BASIS OF THE PRINCIPLE STOCHASTIC CONTINUITY BETWEEN PRIMARY AND SECONDARY SCHOOLS

Abstract. The paper contains the improvement of mathematics education in teaching stochastics based on the principle of continuity. The basic aspects of the principle of continuity in teaching mathematics between an elementary and middle school.

Key words: the principle of continuity, the stochastic aspects of continuity.

Одним из аспектов модернизации содержания математического образования является включение в школьные программы элементов комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики, что обусловлено ролью вероятностно-статистических знаний в общеобразовательной подготовке современного человека. Цель изучения элементов комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики в средней школе была определена академиком Б.В. Гнеденко: «ознакомление школьников с закономерностями более широкого типа, чем классический детер-