Интеграция содержательных линии уравнений и неравенств и функции как основа совершенствования подготовки учителя математики Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

ИНТЕГРАЦИЯ СОДЕРЖАТЕЛЬНЫХ ЛИНИИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ И ФУНКЦИИ КАК ОСНОВА СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ПОДГОТОВКИ УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ

И.И. Чучаев, декан математического факультета МГУ им. Н.П. Огарева,

доцент,

М.Ю. Табачкова, доцент кафедры математического анализа МГУ им. Н.П. Огарева

В работе показано, каким образом может быть реализован принцип преемственности между вузовским и школьным математическим образованием в процессе подготовки учителей математики. Основой реализации является интеграция содержательных линий. Для этого исследуется специальный класс уравнений. Он может быть рассмотрен как в курсе математического анализа, так и в спецкурсах.

It is shown how the principle of continuity between higher school and secondary school mathematical education can be realized by preparation of mathematics teachers.The basis of realization is integration of substantial lines. For this purpose a special class of the equations is investigated. It can be considered both in a course of the mathematical analysis and in special courses.

На современном этапе развития общества, в условиях усиливающейся глобализации всех сфер социальной действительности, имеется настоятельная потребность в развитии, становлении и формировании человека с ясным видением целостной картины мира. Происходит универсальная математизация науки. Математические методы проникают не только в физику, технику, где они господствовали с давних времен, но и в экономику, биологию, социологию, психологию, литературу, эстетику. Математические методы, не применяемые прежде в гуманитарных областях, нередко оказываются весьма плодотворными, помогают глубже осмыслить явление, обнаружить в нем важные закономерности. Очевидно, что с развитием науки сложность материала, изучаемого в школе, возрастает, увеличивается объем информации. Поэтому все более необходимой становится идея интеграции среднего математического образования, направленная на формирование целостности знаний учащихся, их естественно-научного миропонимания.

В рамках действующих учебных курсов математики возможны интеграция методов, содержательных линий, использование методов одной дисциплины в другой (например, интеграция алгебраических и геометрических методов при решении задач) и т.д.

Так как идея функции относится к основным идеям математики, то необходимо усвоение учащимися функциональных подходов при решении задач. Вопросам методики изучения в средней школе функциональной зависимости и геометрических преобразований посвящено большое число исследований. Многие ученые: В.Г. Болтянский, Н.Я. Виленкин, Ю.М. Колягин, Н.Н. Рогановский, Н.Х. Розов и др. — отмечают важность использования функционального подхода при решении задач элементарной математики, в частности уравнений. Трудности, возникающие в практике преподавания геометрических преобразований, могут быть эффективно разрешены при использовании функциональной точки зрения. Линия уравнений и неравенств тесно связана с функциональной линией. В свою очередь, функциональная линия оказывает существенное влияние на содержание линии уравнений и неравенств, на стиль ее изучения. Однако задачи, решение которых основано на использовании свойств функции и преобразований, до сих пор считаются трудными.

В настоящее время в углубленном курсе алгебры и начал анализа встречаются понятия симметрии графика функции относительно оси и относительно точки, симметрического многочлена одной переменной и симметрического мно-

© И.И. Чучаев, М.Ю. Табачкова, 2003

№ 3, 2003

гочлена многих переменных. Мы предлагаем рассматривать функцию как преобразование числовой прямой (в этом случае взаимно-однозначные функции выступают как аналитические способы задания преобразований). Тогда возможно изучение симметрий в курсе алгебры и начал анализа как симметрий графиков функций.

Авторами ранее (см.: Чучаев И.И., Табачкова М.Ю. Симметрии графиков функций и уравнения // Математика в школе. 1997. № 6. С. 77—80) методами, основанными на симметричности (инвариантности, неизменности) графика функции /(х) относительно некоторых преобразований области определения, решались уравнения вида

Лё(х)) = АКх)), (1)

где/(х), g(x), Н(х) — некоторые функции.

Выделен обобщенный прием решения уравнений, основанный на использовании симметрий, составляющих эти уравнения.

1) Определить тип уравнения.

2) Найти все инварианты функции /х).

3) Решить уравнение вида у(§(х)) = К(х).

4) Отыскать (если они есть) потерянные решения.

Этот прием может быть перенесен и на уравнения специального вида, где вместо функции одной переменной используется функция двух переменных.

На наш взгляд, наибольшего эффекта в реализации принципа преемственности между вузовским и школьным математическим образованием, в повышении уровня интеллектуального развития будущих специалистов, в формировании у них творческой активности, профессиональных умений и навыков можно достичь на основе интеграции содержательных линий. Далее покажем, как могут быть связаны линия уравнений и неравенств и функциональная линия с понятием симметрии при изучении функций двух переменных, например в курсе математического анализа или в научных основах школьного курса математики.

Будем исследовать уравнения вида р(х> g(x)) = р(х> К(х)) (2)

где Г(х, у) — функция двух переменных, g(x) и К(х) — функции одной перемен-

ной. Класс таких уравнений более широк, чем класс уравнений (1). Если Г(х, у) °/(у), где /(у) — функция одной переменной, то уравнение (2) запишется в виде (1). Однако изучение уравнений (2) сводится к изучению уравнений (1) .

Введем необходимые понятия.

Пусть дана функция Г(х, у) и дробно-линейная по переменной у функция у(х, у) такая, что любое допустимое х для Р(х, у) является допустимым для у(х, у). Функцию у(х, у) назовем инвариантом Г(х, у) по переменной у, если для каждого фиксированного х функция у(у) = у(х, у) будет инвариантом функции /(у) = Г(х, у), т.е. если у е О(у) п О(/), то у(у) е В/ и справедливо равенство /(у(у)) = /(у) (относительно функции Р(х, у) это означает, что Г(х, у(х, у)) = Г(х, у)).

Очевидно, что функция у(у) = у является инвариантом любой функции Г(х, у) по переменной у. Ее мы будем называть тривиальной. Ясно, что если у1(х, у) и у2(х, у) — инварианты Г(х, у) по у, то и функция у1(х, у2(х, у)) — инвариант Е(х, у) по у. Если функция Е(х, у) является четной по переменной у, то функция у(у) = - у — инвариант Е(х, у) по у; если же Г(х, у) является периодической по ус периодом Т(х), то функция у(х, у) = у + Т(х) — инвариант Г(х, у) по у.

Использование инвариантов функции по переменной при решении уравнения (2) подобно использованию свойств четности и периодичности по переменной и основано на следующем очевидном факте.

Если функция у(х, у) является инвариантом функции Е(х, у), то уравнение (2) является следствием уравнения

У(х> g(x)) = К(х) (3)

на ОДЗ уравнения (2).

Рассмотрим примеры.

П р и м е р 1. Решите уравнение (х2 + 2х - 4)(2х2 - 2х + 1) =

= (х -1)((х2 + 2х - 4)2 + х2).

Р е ш е н и е. Ясно, что х = 1, х = -1 ± 75 не являются решениями уравнения. Поэтому оно равносильно уравнению 2х2 - 2х + 1 (х2 + 2х - 4)2 + х2

х -1

2х - 4

ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

которое имеет вид уравнения (2), причем

у2 + X2

Р(х, у) =--, ^х) = х - 1, к(х) = х2 + 2х - 4.

у

Поскольку при всех х Ф 0 и у Ф 0

Г

X 4 + X 2 у2 X 2у

= Г (х, у ),

то

функция у(х, у) =

у

является нетри-

виальным инвариантом функции F(x, у) по переменной у. Тогда уравнение на ОДЗ является следствием совокупности уравнений

х - 1 = х2 + 2х - 4,

= х

х -1

Решениями первого уравнения совокупности будут ~ 1 ± Л'13. Второе уравне-

2

ние сводится к решению кубического уравнения

- 6х + 4 = 0.

Так как

не являющееся решением совокупности уравнений

У(х> g(x)) = Нх), (4)

где г = 1, 2, п, то либо g(x0) не принадлежит ОДЗ совокупности уравнений (4), либо найдутся номера г и у, г Ф ], такие, что у.(хо, g(xo)) = У](хо, g(xo))•

Действительно, пусть х0 — «потерянное» решение при переходе от уравнения (2) к совокупности уравнений (4) и g(x0) принадлежит ОДЗ совокупности уравнений (4). Предположим, что Уг.(х0, g(x0)) Ф

Ф g(xo)) при всех г Ф

Поскольку

F(xo, Уг(х0> g(xo))) = F(xo, А(х0)) при всех г = 1, 2, . , п, то функция

/(у) = F(x0, у) значение F(x0, Н(х0)) принимает п + 1 раз. Следовательно, найдутся г и у такие, что г Фу и g(Xo)) =

= УДу g(xo))•

П р и м е р 2. Решите уравнение

х - 4

(х2 - 4)х - 4)1п

= 16(2 - х)1п

х3 - 6х + 4 = х3 - 8 - 6(х - 2) =

= (х - 2)(х2 + 2х - 2),

то его решениями будут 2 и -1 ± У3. Отсюда следует, что 2, -1 ± У3, - 1 ± и

будут решениями исходного уравнения. Других решений оно не имеет, поскольку является алгебраическим уравнением пятой степени.

Пусть известны все инварианты функции F(x, у) по переменной у. Тогда, как и в предыдущем примере, уравнение (2) является следствием совокупности уравнений вида (3) на ОДЗ уравнения (2). При переходе от уравнения (2) к семейству уравнений вида (3) может произойти потеря решений. В некоторых случаях можно указать процедуру, позволяющую определить «потерянные» решения.

Пусть функция F(x, у) такова, что при любом допустимом фиксированном х функция /(у) = F(x, у) принимает каждое свое значение не более п раз и

У1(х> у). У2(х> у)> ■■■> Уп(х' у) —

совокупность различных ее инвариантов по у. Если х0 — решение уравнения (2),

Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения — х Ф 0, х Ф 4. Переписав уравнение как

1п-

2 16 - 8х, = 1п 4 - к

х х 1 4 х

4 - х2 2

замечаем, что его можно представить в виде (2), если принять

Г (х, у )= у 2 - х 2 1п У У х

, g(x) = 2, Н(х) = х - 4. Нетрудно проверить, что функция

У(-ху)= является инвариантом функции

F(x, у) по переменной у. Поэтому уравнение на ОДЗ является следствием совокупности уравнений

х2

2 = х - 4, — = х - 4 .

2

Получаем, что х = 6 является решением совокупности и, следовательно, заданного уравнения.

Выясним, есть ли «потерянные» решения. Если у > 0, то

гу (х, у)=

.,2 Л

1 + -

У

1 у 1 х 1п Л +1---------------о

у2

Поэтому F'y(x, у) > 0, если у > |х|, и F/у(х, у) < 0, если 0 < у < |х|. Отсюда вытекает, что функция F(x, у) строго убы-

№ 3, 2003

вает по у на (0; |х|] и строго возрастает по у на [|х|; ¥), причем Е(х, |х|) = 0. Тогда при любом допустимом фиксированном х функция /(у) = Е(х, у) принимает каждое свое значение на (0; ¥ не более двух раз. Поскольку функция/у) является нечетной, то и на (-¥; 0) и (0; ¥ каждое свое значение она принимает не более двух раз. Отсюда следует, что «потерянными» решениями заданного уравнения при переходе к семейству (4) могут быть только решения уравнения х2 - = 2,

2

т. е. ±2. Подставляя эти значения в уравнение, убеждаемся, что 2 является его решением, а -2 — нет. В итоге имеем, что данное уравнение имеет два решения: 2 и 6.

П р и м е р 3. Решите уравнение 3(х4 - |х(х2 - 2)| - 3х2 + 4) =

= (х2 - 3|х| + 9)|х2 - 2].

Р е ш е н и е. Поскольку ±72 не являются решениями уравнения, то, определив

Е(х, у) = -

у2 - |хЛ

, ^(х) = х2 - 2, Н(х) = 3,

| у|

2 Л

для всех х Ф 0 И у Ф

ем совокупности уравнений

х2 - 2 = 3, х2 - 2 = -3, — = х2 - 2, —— = х2 3 3

Решения совокупности уравнений и,

следовательно, исходного уравнения:

±75, ±73, ±/—.

2

Выясним, есть ли «потерянные» решения. Так как

т-.'! У (2У - |х|у -(2--Их| + х2) у2 - х2 Ру(х> -У у=---------2----------=-----

У У2 У2

при у > 0, то Е' (х, у) > 0 для у > |х| и Е'(х, у) < 0 для 0 < у < |х|. Следовательно, при любом допустимом фиксированном х функция /(у) = Е(х, у) строго убывает по у на (0; |х|] и строго возрастает на [|х|; ¥). Поэтому /(у) каждое свое значение на (0; ¥) принимает не более двух раз, а на (-»; 0) и (0; ¥ — не более четырех раз. Тогда «потерянными» решениями могут быть только решения совокупности уравнений У(х, 2) = у(х, 2), I Фу, I, ] = 1, 2, 3,

т.е. уравнений

2 2 2 2 2 = х 2 = -х х =-х

= 2 ’ = 2 ’ 2 = 2 ' Решения данной совокупности: ± 2 и 0. Проверкой убеждаемся, что эти числа не являются решениями заданного уравнения. В итоге получаем, что его реше-

ниями

будут ± , ±73 ±75.

Утверждение. Если функция у (х, у) = 2а(х) - у является инвариантом функции Е(х, у) по переменной у и Е(х, у) взаимно-однозначная по у на [а(х); ¥ (периодическая по у, с основным периодом Т(х)) и взаимно-однозначная либо на

замечаем, что уравнение можно записать в виде (2). Функция Е(х, у) является четной по переменной у. Кроме того,

= Р (х, У )

0. Поэтому функция

а(х); а(х ) +

Т (х

либо на

а(хУ а(х) +

Т (х

то

у(х> У у= — будет инвариантом Е(х, у) по у

и Е(х, у) имеет четыре инварианта: 2

у0(х, у) = у,у (х, у) = -у, у2(х,У У = —, У(х,Уу=-^--

У У

Значит, уравнение является следстви-

2 о .

=х -2

уравнение (2) на ОДЗ равносильно совокупности уравнений

g(x) = к(х), 2а(х) - g(x) = Н(х) (5)

(соответственно

g(x) = к(х) + пТ(х), (6)

2а (х) - g(x) = Н(х) + пТ(х), где п е Z).

Действительно, пусть у(х, у) = 2а(х) -у — инвариант Е(х, у) по у, функция Е(х, у) взаимно-однозначная по у на[а(х); ¥ и х0 — решение уравнения (2). Тогда функция у(у) = 2а(х0) - у — инвариант функции /(у) = Е(х0, у), которая является взаимно-однозначной на [а(х); ¥) П £(/), и х0 будет решением уравнения /^(х)) = /Н(х)). Поэтому х0 — решение совокупности уравнений

g(x) = h(x), 2а(х0) - g(x) = к(х) и, следовательно, совокупности (5).

Аналогично доказывается вторая часть утверждения.

Обратимся к примерам.

ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

П р и м е р 4. Решите уравнение (cos2x + sin2x)3 + |cosx + sinx| + sin6x = 0.

Р е ш е н и е. Уравнение можно записать в виде (2), если считать, что

F(x, y) = (y2 + 2ysinx)3 + |y + sin x|, g(x) = cosx, h(x) = -sinx.

Нетрудно заметить, что при всех x и y F(x, -2sinx - y) = F(x, y) и, следовательно, функция y(x, y) = = -2sinx - y является инвариантом F(x, y) по переменной y. Поскольку функция F(x, y) строго возрастает по y на [-sinx; ¥), то уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

cosx = -sinx, -2 sinx - cosx = -sinx. Отсюда следует, что решениями заданно-_ p

го уравнения будут — + kp, где k е Z.

П р и м е р 5. При любом четном натуральном n решите уравнение

х (x2+(k _ 2)_ з)и=х(kx+2)n.

k=0 k=0

Р е ш е н и е. Уравнение имеет вид (2), причем

Р (х, у) - Х(у + кх)", g(x) = х2 - 2х -3, Н(х) =2.

к-0

Так как при всех х и у

Р(х, - их - У) - £ (- У - (и - к)х)” - Р(х, У), (7)

к-0

то функция у (х, у) = -пх - у является инвариантом функции Е(х, у) по переменной у. Из тождества (7) следует, что Г' у(х, у) = - Г' у(х, -пх - у) и, значит,

получаем, что F(x, y) строго возрастает

и поэтому уравнение рав-

поy на I —

носильно совокупности двух уравнений: х2 - 2х - 3 = 2, х2 - 2х - 3 = -пх - 2. Решениями этой совокупности и, следовательно, уравнения будут 1 ± 76 и

2 - и ± Vи2 - 4и + 8

2 .

П р и м е р 6. При любом четном натуральном п решите уравнение (х - 4)п + (х2 - х -3)п = (х - 1)2п.

Р е ш е н и е. Если примем Г(х, у) = (у - х)п + (у - х2 + х - 1)п, g(x) = х, Н(х) = 4, то уравнение запишется в виде (2). Пусть у(х, у) = х2 - х + 1 + х - у = х2 + 1 - у. Тогда при всех х и у Гх, У(х, у)) = (х2 -х + 1 - у? + (х - у? = Гх, у).

Значит, у(х, у) является инвариантом функции Г(х, у) по переменной у. Теперь, как и при решении предыдущего примера, нетрудно убедиться, что Г(х, у) стро-

V +1

го возрастает по y на

. Поэтому

_ / nx _

Fy =0. Поскольку функция

V 0

F'(x,y) строго возрастает по y, то

F'y(x, y) > 0 при любых y . Отсюда

уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

х = 4, х2 - х + 1 = 4.

Отсюда следует, что заданное уравнение при любом четном натуральном п

. 1 ±-Лз

имеет три решения: 4 и —2—.

Анализ результатов занятий, проведенных на математическом факультете Мордовского университета, показал, что данный материал вызывает интерес, позволяет систематизировать знания и способствует улучшению качества подготовки учителя математики.

Поступила 26.06.03.