CC BY
24
М. Ю. ТАБАЧКОВА, асси стент кафедры математи чсского анализа МГУ им. Н. П. Огарева
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИММЕТРИИ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Углубленное изучение математики в школе предусматривает помимо получения учащимися расширенного объема знаний и техники владения предметом формирование у них устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, выработку ориентации на профессии, существенным образом связанные в перспективе с математи кой.
В последнее время наряду с увеличением в России количества классов с углубленным изучением математики и, как это ни парадоксально, заметным сокращением потребности в соответствующих специалистах, отсутствием достаточного количества хорошо подготовленных учительских кадров объективно стало наблюдаться снижение уровня математической подготовки выпускников данных классов. Об этом говорят итоги независимых экзаменов в ряде городов страны.
Принятая в соответствии с образовательной программой большинства школ (классов) данного профиля система обучения оправдывает себя в основном через решение систем задач. Однако, во-пер-вых, времени для реализации такой системы должно быть достаточно, а во-вто-рых, при этом должна реализоваться методика обобщений. Однако личный опыт работы в университете, подкрепленный анализом современной педагогической и методической литературы, показывает, что многие студенты-первокурсники
естественно-научных, и особенно математического, факультетов университета, в том числе и выпускники математических школ и классов, испытывают серьезные трудности, прежде всего на первых этапах обучения в высшей школе, при изучении математических теорий высокого уровня абстракции. Поскольку в классы с углубленным изучением математики поступают, как правило, те дети, которые связывают свое будущее если не с математикой, то с естественно-научным циклом дисциплин, постольку еще в средней школе следует готовить их к преодолению упомянутых трудностей.
Таким образом, выявляются проблемы поиска альтернатив, учитывающих современную российскую реальность, вариантов обучения математике в школах (классах) с углубленным ее изучением и разработки содержания учебного материала.
Материал нашей статьи (см.: Чуча-ев И. И., Табачкова М. Ю. Симметрии графиков функций и уравнения // Математика в школе. 1997. № 6. С. 77 — 80), в которой уравнения решались приемами, использующими симметричность (инвариантность, неизменность) графика функции Пх) относительно некоторых преобразований области определения, может быть использован учителями математических школ и классов с углубленным изучением математики. Эти приемы могут быть перенесены и на системы уравнений специального вида.
© М. Ю. Табачкова, 1999
Рассмотрим системы ни да
^(ё(х)) = ^И(х)), 1(х, у) = О,
(1)
где f> g, И — функции одной переменной, а 1 — функция двух переменных.
Если (р — инвариант функции f> то решения системы
<р(ё(х)) = И(у),
1(х, у) = О,
(2)
содержащиеся в ОДЗ системы уравнений (1), являются решениями системы (1).
Заметим, что системы вида (1) стали появляться среди олимпиадных и конкурсных задач (см., например: Третья Со-ровская олимпиада школьников 1996 — 1997 гг. М., 1997; Горнштейн П. И.
и др. Задачи с параметрами. М., Харьков,
1998).
Приведем примеры решения систем. Пример 1. Решите систему урав-
нении
2
х - 4х 4- 2 2-х
2
2
4- 4 = 9у -I- 6 у
х - бху = 0.
Решение. Система уравнений имеет
вид (1), где
ГЮ = I2 + 2 И
2
g(x) = 2 - X ,
Ь(у) = Зу.
Функция НО четная и возрастающая при I > 0. Поэтому первое уравнение системы равносильно совокупности уравнений 2-х = ±3у, а система равносильна
совокупности систем уравнении
2-х
2
2
ЗУ,
2-х
2
-Зу,
х - бху = 0, х - бху = 0.
ь
Решая их, получаем следующие решения исходной системы: (0; ±2/3),
((-1±^33)/4; (-1±Л1)/24), ((1±\Ш)/4; (-1 ±-/ЗТ)/24).
П р и м е р 2. Решите систему урав-
I/
нении
>/4~-
X
10 - 2х + уГ4 - х
2у - 2 + Уу -Т ’
уравнения:
х
ху + 2х = 1.
Решение. ОДЗ первого < 4, у > 2. Положим
Ш) = г/(212 + 1 + 2), g(x)=\/г4-x
И (у) = Уу -Т
Тогда система записывается в виде (1). Так как при всех I ^ 0
/1\ 1 ,/2 . 1 I
V'/
I
/
\
I
4-—4-2 2 І ^
/
2 + \+ 2і2
Щ,
то функция <р(Х) = 1/\ — инвариант функции НО. Поскольку каждое свое значение функция НО принимает не более двух раз, то первое уравнение системы равносильно совокупности уравнений
уГ4
у/у -Т, у/~4 -х = 1 /у/у -2,
а система равносильна совокупности систем уравнений
\Г4 -
уГу-^7, уГ4-
ху 4- 2х = 1,
Решая их, находим стемы: (4 ± у/Т5; 2
(1 ±
х
= 1 /уГ\ -
ху + 2х = 1.
і,
Ш)/4).
решения исходной си-
± \П5), (4/(9 ± 755);
Пример 3. Решите систему урав-
и
НСНИИ
2
2
х -Зх +2-у -у
2
2\ 4- 1
■к
з
3 - 2х2
Зх 4- ух - х -2 = 0.
Решение. Перепишем первое уравне-
ние в виде
(1 -
х2)2 + 1 - х2 + I 2(1- X2) + 1 = у2 + у+ І 2у + 1
Тогда
2
НО =14 1+ 2\ 4 1
И(у) = у,
2
g(x) = 1 - X ,
и система примет вид (1). Графики функций Г + 1, | 2[ 4 1 | симметричны относительно прямой I = -1/2, поэтому <) =-1-1 является инвариантом функции НО. Функция НО возрастает при I > -1/2. Поэтому первое уравнение
системы эквивалентно совокупности
уравнении
2
2
у = 1-Х , -1 - у = 1 - х%
а исходная система равносильна совокуп ности систем уравнений
У
1 - X
2
Зх2
4- ху - 2 - х
3
0,
-1-у
1 - X
2
2
Зх 4- ху - 2 - х
3
0.
Решая их, находим решения входной системы: (1; 0), ((1 ± \ЛТ)/4;
(-1 ±\П7)/8), ((1 ±\ЛТ)/3: (-10±2уТ)9).
Г1 р и м е р 4. Решите систему уравнений
х -4
х + 2
4
г
у - 1 - 4
у - 2 у + 1
2х,
У+1
4
где
— целая часть числа х. Решение. Система уравнений имеет
вид (1), причем
f(t)
t - 4
t + 2 4
g(x)
x, h(y) = у - 1.
Так как
f(t + 4) =
t + 4 -4
t4-2
~4~
\
4- 1
f(t).
/
то функция f(t) периодическая, T = 4.
Если
t < 2, то
t + 2 4
= 0, значит,
f(t) = | t | При этом f(2) = 2, f(-2) = 2. Отсюда следует, что функция f(t) четная и на |0; 2] строго возрастающая. Поэтому первое уравнение системы равносильно совокупности уравнений
х = у - 1 + 4п, -х = у - 1 + 4n, n Е Z,
а исходная система равносильна совокупности систем
1 + 4п,
2
У — 2v -f- 1
-х 2
у - 1 + 4п,
2х, у - 2у + 1
2х.
Решая их традиционным способом, получаем решения: (1 ± \Л 4- 8n + 4п;
2±\П + 8п ), где п >0, n Е Z и (1-\П-^п-4п; VT- 8п), где п < 0, n Е Z.
Квазиинварианты функции f(t) могут быть использованы при решении систем, в которых первое уравнение имеет вид
f(g(x)) + f (h (у)) = 0. (3)
Рассмотрим примеры.
Пример 5. Решите систему
1У
нении
In
2 + 2 . у2 + 6у + 11
2х2 +1
+ In
2у2 + 12у + 19
0,
2 + Зх
ух + у Решение. Допустим
5.
f(t) = In
t2 + 2 2t2 + 1
g(x) = x, h(y) = y + 3.
Тогда первое вид (3). Так
/
уравнение системы примет как
In
2t2 + 1 t2 + 2
f(0,
то функция y?(t) = l/t — квазиинвариант
f(t). Если x = 0, то система не имеет решений. Поэтому далее будем считать, что х ^ 0. Тогда первое уравнение системы равносильно уравнению
f (h (у) ) = f(l / g(x)).
Функция f(t) четная. Так как
2
2\L + 1 2t(2l2 + 1 ) - 4l(tz + 2)
2
f'(t)
t2 + 2
(2t2 + l)2
-6t
2
(И + 2) (212 + 1)
то функция Ш) убывающая при I > 0. Отсюда следует, что первое уравнение системы равносильно совокупности уравнений у + 3 = ±1/х, а исходная система
равносильна совокупности систем уравнений
у + 3 = 1 /х,
2
У + 3
1 /х,
2
ух + у -h Зх = 5, ух 4- у 4- Зх = 5.
к
Отсюда получаем решения системы:
2), (1/5; 2). ((-3 ± '/5)/3: ± VE).
(1;
Пример 6. Решите систему уравнений
xz+ 1
•g
, 9v2-6y + 2 , ,,
+ 3v — 1 lg 1 Зу
ш/
x + ху - у2 = 0.
- 1
0,
Решение. ОДЗ уравнения: х ^ 0,
у * 1/3. Первое уравнение системы имеет вид (3). Положим
f(t)
I2 + 1 1
lg I t , g(x) = X, h(y) =3y-l.
УР‘1В Поскольку функция f(t) нечетная, то
первое уравнение системы можно записать как f(-g(x)) = f (h (у) ). Функция <р(I) = -l/t — инвариант f(t). Так как
f'(t) = (I - l/t2)lgt + (I + 1 /t2)lge > 0
при t > 0, то функция f(t) является возрастающей при t>0 и, следовательно, каждое свое значение может принимать не более двух раз. Поэтому на ОДЗ пер-
вое уравнение системы равносильно со-
вокупности двух уравнении
-х = Зу - 1, 1 /х = Зу - 1,
а исходная система равносильна совокупности систем уравнений
-X = Зу - 1, х + ху - у2 =
О,
1/х = Зу- 1, х + ху - у2 = 0.
Решая их, получим, что стема имеет решения:
(-1 + VT)/4), (1/2; 1).
исходная си-
((7 ± 3 V5)/4;
Т. А. ПЕВЦОВА, доцент кафедры И ВТ МГУ им. Н. П. Огарева
О МЕТОДИКЕ ИЗУЧЕНИЯ ЯЗЫКА ПРОГРАММИРОВАНИЯ TURBO PASCAL НА ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЯХ
ПО ИНФОРМАТИКЕ
Основным понятием информатики является понятие информации. Почти полвека тому назад американский ученый, отец кибернетики Норберт Винер дал та-
V
кое определение информации: „Информация есть информация, не материя и не энергия'1 Но несмотря на свою нематериальную сущность, информация служит определяющим фактором развития экономической, технической, научной и других сфер человеческой деятельности. Информация обладает замечательным свойством: если ее аккумулировать и обрабатывать, то она дает новые сведения и приводит к новым знаниям. Она также позволяет человеку ориентироваться в окружающем мире, обеспечивает его жизнедеятельность.
Последняя четверть нашего столетия отличается мощным информационным взрывом. Ежегодно в мире публикуется около 100 тыс. журналов на 60 языках, выходит более 5 млн научных ста-
тей, книг, брошюр, защищается более 250 тыс. диссертаций. Ежеминутно в мире публикуется около 2 тыс. печатных страниц научных текстов: каждые
1,5 — 2 мин предлагается новое техни-
ческос решение; каждый час регистрируется 15 — 20 научных изобретений и открытии. Невозможность своевременно аналитически охватить все научные достижения может привести к частичному дублированию исследований, увеличению сроков разработок, отставанию в системе образования и т. д. Материалы американской статистики свидетельствуют о том, что каждая десятая исследовательская работа является излишней, так как была проделана ранее и результаты се где-то были опубликованы. И это в одной из самых компьютеризованных стран мира!
По данным ЮНЕСКО, каждый уче-
т/
ный, разработчик или исследователь половину своего времени расходует на по-
\
©ТА. Певцова, 1999
