Функции многих переменных и системы уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

И. И. ЧУЧАЕВ, кандидат физико-математических наук, С. И. МЕЩЕРЯКОВА, кандидат педагогических наук

Нами уже были рассмотрены уравнения, позволяющие использовать при их решении изучаемые в курсе математического анализа функции многих переменных и свойства этих функций по одной из переменных [2]. Методы решения, о которых говорится в [2], могут быть перенесены и на системы уравнений. С этой целью понятия, определенные в [2] для функций двух переменных, обобщим для функции п переменных (п > 2).

Пусть дана функция Fix, y9z9...9u)n переменных с областью определения D(F). Упорядоченный набор п - 1 чисел Cr, z,..., и) назовем допустимым для F(x, г/, z,..., и), если найдется число у такое, что упорядоченный набор (х, у у 2,..., и) е D(F).

Функцию F(x, у} z,..., и) назовем строго возрастающей (строго убывающей, взаимно однозначной, четной, нечетной, периодической с основным периодом Т(х, z,..., и)) по переменной у на множестве Y, если для любого допустимого фиксированного набора (х, z,..., и) функция f(y) = F(x, у, z,..., и) будет строго возрастающей на Y r\D(f) (соответственно строго убывающей на Y n £>(/), взаимно однозначной на У n D(f), четной, нечетной, периодической с основным периодом Т(х, г,..., и)), где D(f) — область определения функции f(y).

Пусть одно из уравнений некоторой системы может быть записано как

F(xig(xiyfzJ...1u)fzy...tu) = = F(xyh(x, y,z,...,w),z,...,w), (1)

где F(xy у, Zy...y и)у g (xf y} z,..., u)t h (xf у у Zy...y и) — функции n переменных. Ясно, что оно является следствием уравнения

g (ху уу zf...y и) = h (х, у у Zy...y и).

Очевидно также, что если Fixj, у7 Z\,..., U\) = const, то любой упорядоченный набор Gtj, у у Za ,..., Wj), содержащийся в ОДЗ уравнения (l), будет его решением.

Пусть (х0у у0у z0,..., Uq) — решение уравнения (1). Тогда оно будет решением уравнения

F(x0yg(XyyyZy...yu)yZ0y...yU0) =

= F(xQyh(xfyyZy...yU)yZQy...yUQ). (2)

Справедливо следующее утверждение.

Если функция F(xt г/, z,..., и):

а) взаимно однозначна по переменной

У'>

б) четна и взаимно однозначна по переменной у на [0; <*>);

в) периодична по у с основным периодом Т(ху z,..., и) и для любого допустимого набора (xyZy...f и) найдется число а(хг z,..., и) такое, что или на (а (х, z,..., и); а (Ху z,..., и) + Т(ху z,..., м)] , или на [а(х} z,..., и); а (Ху z,..., и) + ГСг, z,..., и)) функция F(xy у у z,..., и) является взаимно однозначной по у \

г) четна и периодична по у с основным периодом Т(х} z,..., и) и взаимно однозначна по у либо на [0; Т(х9 z,..., и) / 2), либо на (0; Т(х9 z,..., м) / 2],

то уравнение (1) на своей ОДЗ равносильно соответственно:

© И. И. Чучаев, С. И. Мещерякова, 2004

а) уравнению д (х, у} г,..., и) = h (х, у,

Z J • • • у

б) совокупности двух уравнений д (х, у, z,..., и) = ±h (х, у у z,..., и)\

в) бесконечному семейству уравнений д (х, у, г,..., и) = /г (х, у, z,..., и) + яГ (х, 2,..., и), где п е Z;

г) бесконечной совокупности уравнений д (х, г/, z,..., u) = ± h (ху у} z,..., и) + + яГ(я, z,..., г/), где п е Z.

Действительно, пусть, например, функция F(*, у, z,..., г/) является четной и взаимно однозначной по переменной у. Очевидно, что уравнение (1) на ОДЗ будет следствием совокупности уравнений

g(x,y,z,...,u) = ±h(x,y,z,...,u). (3)

Пусть (хл, у0> и0) -

уравнения (1). Тогда оно является решением уравнения (2). Поскольку функция

/Xу) = М^о» У, ¿о*--* и0) четная и взаимно однозначная^ то уравнение (2) равносильно совокупности уравнений (3). Поэтому (х0, у0, ,..., и0) есть решение совокупности уравнений (3). Тем самым доказано, что уравнение (1) и совокупность уравнений (3) равносильны на ОДЗ уравнения

со.

Аналогично доказываются и остальные пункты утверждения.

Пример 1. Решите систему уравнений

22*+* - 22"* = 1 -х-у,

Решение. Если положим

F(jc, у). = х т Зу + 22х ~ У

д(х, у) = х + у, h(x, у) = и(х, у) = х - у, v (х, у) = -

1,

2,

то система может быть записана в виде

F(g(x,y),y) =

F(x,u(x,y)) = F (x ,v(x, y)) •

(4)

Функция FG^:, у) является строго возрастающей по переменной х и строго убывающей по у. Поэтому система эквивалентна системе уравнений

х +у = 1, х-у = - 2.

Решая ее, получаем х = - 1/2, у = 3/2. Пример 2. Решите систему уравнений

%/х + Зу +%]х-3у = л12х +1 -1. Решение. Если считать, что

F(x, у) = $х + у + Цх-у, д(х,у) = х, А(х,у) = 2у + 1,

иОс, у) = Зг/, аОс, у) = * + 1,

решение хо система запишется в виде системы (4).

Очевидно, что функция FGt, у) строго возрастает по переменной х и является четной по у. Так как F(0,z/) = 0, то пары

(О, у) будут решениями второго уравнения системы при любом у. Подставив их

уравнение, получим: и = 0. По-,0)

в первое уравнение, получим: у этому (0,0; — решение системы.

Пусть далее х Ф 0. Ясно, что F(x, у)

непрерывна по переменной у и

Fy(x,y) =

1 3

1

1

V

Х + у)

2

fc - у)2

при х Ф ± у. Если х

ТО X + у > X - у,

0, у > 0 и х Ф у,

х + у > у - х.

Тогда \х + у\ > \х - у\ и, значит, (х + у)2

(х - у)2. Поэтому

же х х -

0,

У

У

(х + у)

Оидг^-у, то х + у >

у\>\х

(х - у)2 Отсюда

х - у. Тогда

вытекает, что

у

Поэтому, если

функ-

ция F(x, у) строго убывает по переменной у на [0; оо); если же х < 0, то F(x, у) строго возрастает по у на [0; «>). Следовательно, функция F\x, у) является взаимно однозначной по переменной у на [0; оо) при х Ф 0 и, значит, при х Ф 0 система равносильна совокупности двух систем

х = 2у +1, 3 у = ±(х + 1).

Решениями этой совокупности будут

пары (5, 2) и (1/5, -2/5).

В итоге получаем, что решения заданной системы уравнений — пары (0, 0),

(5, 2) и (1/5,-2/5).

Пример 3. Решите систему уравнений

2(l + tg(x-y)) = = (cos 2 у + sin 2х) cos 2 у, 2 (tg(x + у) - ctg х) = = (cos 2 у + cos4x)sin2x.

Решение. ОДЗ системы — множество всех пар (х, у) таких, что х + у Фл/ 2 + + як, х Ф тип, у - х Фл/2 + 7Ш, где к, т, п ^ 1. Если примем

F(x, у)

д(х, у)

м(х, г/)

2tg(x + у) -я/4 - г/, h У, о (х, г/)

sin2xcos2z/, (х, у) = - х,

= л /2 — 2х,

то систему можно записать в виде системы (4). Функция /Чх, г/) является периодической с основным периодом я как по переменной х, так и по переменной у. Поскольку

F'(x,y)

2

о

COS (X + у)

сех

при

X Ф -у и любом у и

2 cos 2х cos 2г/ > 0 хе(-г/-я/2; -г/+я/2),

Fy(x,y)

2

л

cos (х + г/)

+

+ 2sin2xsin2# > 0

/2)

при всех г/ е (-х - я/2; -х + ъ

ф-х и каждом х, то функция F(x, г/) строго возрастает по переменной х на интервале (-у - я / 2; -у + я /2) и строго возрастает по у на интервале (~х -~л /2; -х + я /2). Поэтому система на ОДЗ равносильна бесконечному семейству уравнений

Г х- у = -я / 4 + 71 /,

2х + г/ = я/2 + яр,

где /, е 2. Решив эти системы, находим, что х = я/12 + (р + 1)л/3, у = я/3 + + (р - 21) я/3, где I, р ^ 1 Легко проверить, что такие пары (х, у) входят в ОДЗ системы, и, следовательно, они составляют множество ее решений.

Пример 4. Решите систему уравнений

2(cos2у cos(x + 2у) -

а

- 2cos(x + 2у)) = cos у -2,

о

cos х cos (2х + Зг/) + 3 cos(2x + 3у) = = cos х -3.

Решение. Если положим

F(x, г/) = cos2// cosx + 3cosz/ - 2cosx, д(ху у) = х + 2у, h(x, у) = л / 3, гДх, г/) = 2х + Зг/, а(х, г/) = я,

то система запишется в виде системы (4).

Функция F(x, у) является четной и периодической с основным периодом 2 я

как по переменной х, так и по переменной у. Поскольку

F'x (х, у) = sin х(2 - cos 2у), Fy(x,y) = - sin г/(2 cos г/ cos х + 3),

то F'x(x, г/) > 0 при всех х е (0; я) и любом у к F'y (х, у) < 0 при каждом у е

е (0; я) и всех х. Поэтому функция F(x, у) строго возрастает по переменной х на [0; я] и строго убывает по у на этом же сегменте. Отсюда следует, что система равносильна бесконечному семейству систем линейных уравнений

Гх + 2г/ = ±я/3 + 2 тип, 2х + Зг/ = ±я + 2 7Ш,

где m, n е Z. Таким образом, решениями исходной системы уравнений будут пары

(я+ 2я (2и - 3т)), (±я/3 + 2л(2m - п)), т, п е Z.

В построении предыдущих систем уравнений использовалась одна функция F. Приведем пример системы, в составлении которой участвуют две функ-

ции.

Пример 5. Решите систему уравнений

^2х2 + у + у = 2(х2 + \х\), J20 + 2х + у + 720 - у =

= л/30

+ х +

Vio

+ х.

Решение. Пусть

Fxixfy) = у!

2

2х + у + у, h(x, у) = у} д(х, у) = 2х2,

F2(x,y) = у/20 + х + у + д/20 + л: - у ,

мОс, у) = х + у, v(x, у) = 10. Тогда система запишется в виде

Р\(х,д(х}у)) = ^ у)),

Р2(х,и(х,у)) = Р2(х^(х,у)).

Функция (х, у) строго возрастает по переменной у, а функция (х> У) яв~ ляется четной и строго убывающей по у на [0;+ Поэтому система уравнений на ОДЗ эквивалентна совокупности двух систем

2х

2

х + у = ±10.

Решениями этой совокупности систем

будут пары (2; 8) и (- 5/2; 25/2). Легко заметить, что они входят в ОДЗ исходной системы и, значит, являются ее решениями.

Рассмотренные методы обобщают изученные ранее в [1] и [2] методы решения уравнений и их систем, придают теории уравнений необходимую целостность, выявляют внутрипредметные и межпредметные связи.

Для студентов-математиков знакомство с этим материалом целесообразно по многим причинам. Во-первых, после изучения функций многих переменных понятие «свойство функции по переменной» не вызывает у них затруднений, так же как и понятие «частная производная». Во-вторых , благодаря указанным понятиям происходит осознанное использование уже известных понятий (монотонности, четности, периодичности и т. д.). В-третьих, специфика рассмотренных уравнений и систем позволяет быстро освоить технологию их конструирования, что очень важно для учителя математики. В-четвертых, данные понятия и методы решения формируют основу для последующей профессиональной деятельности, вооружая современными научными трактовками школьного курса и методами изложения школьной математики.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Чучаев И. И. Нестандартные (функциональные) приемы решения уравнений: Учеб. пособие. Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2001. 168 с.

2. Чучаев И. И. Уравнения вида F(xf д(х)) = Fix, h(x)) и нестандартные методы решения / И. И. Чучаев, С. И. Мещерякова // Вестн. Морд, ун-та. 2003. № 3 - 4. С. 123 - 127.

Поступила 10.03.04.