CC BY
85
УДК 371.24+371.212 ГОРБАЧЕВ В.И.
доктор педагогических наук, профессор, Брянский государственный университет имени акад. И.Г Петровского, директор естественно-научного института.
Е- mail: enibgu@mail.ru
UDC 371.24+371.212 GORBACHEV V.I.
Doctor of Pedagogics, Professor, Bryansk State Academician I.G. Petrovsky University, Director of the
Institute of Natural Sciences. E- mail: enibgu@mail.ru
ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ, СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ НА ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВАХ В МЕТОДОЛОГИИ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ТИПА МЫШЛЕНИЯ
THEORY OF EQUATIONS, INEQUALITIES, SYSTEMS OF EQUATIONS ON NUMERICAL SETS IN THE METHODOLOGY OF THEORETICAL TYPE OF THINKING
В статье исследуется проектирование учебной деятельности в классах уравнении, неравенств, систем, направленной на становление теорети ческого типа .мышления. В качестве базовых выделены содержательно-алгоритмический, обобщенно-теоретический и конкретно-эвристический виды деятельности. В структуре учебной деятельности установлена система учебных задач.
Ключевые аова: общее .математическое образование, теоретический тип .мышления, .методика решения уравнений, неравенств, систем, общие способы решения .математических задач.
The article presents the designing of educational activity in classes of equations, inequalities, and systems aimed at the formation of a theoretical type of thinking is explored. As the basic, the content-algorithmic, generalized-theoretical and specifically-heuristic types of activity are distinguished. In the structure of educational activity, a system of educational tasks is established.
Keywords: general mathematical education, theoretical type of thinking, methodology for solving equations, inequalities, systems, general ways of solving mathematical problems.
В историко-математическом плане уравнения, числа, геометрические фигуры выступают первыми математическими объектами в формировании абстрактной познавательной человеческой деятельности. Возникновение и развитие теории уравнений, неравенств. систем в математике обосновано ее следующими основными функциями:
- уравнения, системы у равнений - математические модели естественнонаучных, технологических, социальных ситуаций равновесия величин, имеющих определенную общую основу, неравенства - математические модели процедур сравнения величин на базе условий их равновесия (мировоззренческая);
- во всякой целостной системе с установленными взаимными связями измеряемых ее компонент и определенной частью известных числовыххарактеристик уравнения. системы исследуют задачу поиска неизвестной характеристики, неравенств;! позволяют установить промежуток ее возможных значений (методологическая);
- в историческом развитии математики уравнения. неравенств;!, системы выступают содержанием значимых разделов математики (алгебра - наука о решении уравнений до XVIII века), математических теорий (расширений полей Галуа. дифференциальных уравнений). мощных методов исследования (аналитический метод исследования линий, поверхностей в евклидовом
пространстве), выдающихся в истории математики результатов (основная теорема алгебры Гаусса, теорема Ферма) (общекультурная):
- классы уравнений. неравенств. систем представляют универсальную среду для организации полноценной учебной математической деятельности. сочетающей содержательно-алгоритмические, обобщенно-теоретические и конкретно-эвристические действия интеллектуального и предметно-математического планов (личностная).
Отрефлексированные общекульту рная значимость, мировоззренческая и методологическая функции понятие уравнения характеризуют в качестве одной из важнейших математических абстракций (И. Ньютон: уравнения представляют собой собрания величин, либо равных между собой, либо равных все вместе нуль; Р. Декарт: уравнения - суммы, составленные из нескольких членов, которые частью известны, а частью не известны и из которых одни равны другим, или же. лучше. которые, рассматриваемые все вместе, равны ничему), помимо конкретных классов уравнений выделена общая идея их решения: «чтобы найти эту неизвестну ю величину, содержащее ее у равнение чаще всего необходимо подвергать различным преобразованиям, пока оно не примет возможно более простого для нее вида» [12. с.64]. Фундаментальные функции класса уравнений,
© Горбачев В.И. © Gorbachev V.I.
неравенств, систем какзначимого класса математических моделей описания и изучения разных процессов и явлений в современных представлениях содержания курса математики закреплены нормативно в виде требований «владения стандартными приемами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных. тригонометрических уравнений и неравенств, их систем» [14]. 118|.
Представление классов уравнений, неравенств, систем (уравнений, неравенств) в содержании целостной учебной математической теории обосновано фундаментальными фактами:
- классы уравнений, неравенств, систем (уравнений. неравенств), обладающие спецификой в постановке задач, методах решения, выступают разновидностями предикатов на числовых множествах с общей задачей поиска области истинности:
- определенные стандартными классами функций классы уравнений, неравенств, систем (уравнений, неравенств) вместе с их расширениями на операторно-функциональной основе образуют пространство предикатов - пространство объектов теории с фундаментальными деятельностью представливания и теоретико-предикатной деятельностью:
- классы уравнений, неравенств, систем характеризуются общими категориями «решение», «равносильность», имеют общую функциональную основу, закономерно исследуются в содержании либо функционально-аналитического, либо функционально-графического методов, составляющих предмет теории [10];
- в деятельности представливания как функционально-аналитический, так и функционально-графический методы решения уравнений, неравенств, систем уравнений помимо понятий, фактов, методов теорий числовых систем и теории числовых элементарных функцийопираются на закономерности теоретико-предикатной деятельности, подчиненной цели их формирования [4. с.285]. [5. с.49].
В учебной математической деятельности теория уравнений, неравенств, систем не выступает в качестве фундаментальной, она базируется на математических теориях числовых систем, теории числовых элементарных функций, наследует их аксиоматику, теоретические закономерности, расширяя в свою очередь прикладные аспекты, систему средств исследования фундаментальных теорий.
Пространственно-предикатный тип мышления теории у равнений, неравенств, систем востребует становление деятельности представливания в сочетании с теоретико-предикатной деятельностью в целостном (не фрагментарном) пространственно-теоретическом подходе, структурируемом последовательно развиваемыми обобщенно-теоретической. обобщенно-алгоритмической и конкретно-эвристической деятельностями.
В обобщенно-теоретической деятельности фор-мируетсяцелостное представление о базовых поняти-
ях. теоремах теории уравнений, неравенств, систем, высту пающих математическими моделями реальных ситуаций равновесия, сравнения, выделяется спектр классов уравнений, неравенств, систем, ограниченных классами числовых элементарных функций, их композиций, комбинаций, осуществляется формирование функционально-аналитического, функционально-графического методов. В содержании элективных учебных курсов, углубленного изучения математики уровня общего образования обобщенно-теоретическая деятельность расширяется выделением и обоснованием обобщенных методов исследования у равнений, неравенств с параметрами (М.И. Башмаков |1. с. 37. 51], Г.В. Дорофеев |6. с. 59]. В.И. Горбачев [2. с. 63]. [3. с. 61 ], А.И. Маркушевич [13. с. 25], А.Г. Мордкович [15. с. 21], [ 16. с. 25], Г.И. Саранцев 117. с. 38], М.И. Шабунин [20, с. 23]).
Обобщенно-алгоритмическая деятельность направлена на выделение как общих, так и соответствующих классу функций тождественных, равносильных преобразований, функционально-графических представлений в классах уравнений, неравенств, систем, способов их решения в форме обобщенных алгоритмических схем. модульную интеграцию функций, уравнений. неравенств в качестве промежу точного результата исследования.
В содержании конкретно-эвристической деятельности обобщенная схема решения подвергается модификации. исследовательский характер имеют анализ конкретного примера с позиции его принадлежности расширению стандартного класса уравнений, неравенств на базе композиции, комбинации, обращения функций, поиск способа сведения к уравнению, неравенству с ранее установленным общим способом решения.
Системно-структурное представление теории уравнений. неравенств, систем,конструируемая на базе фундаментальных теорий числовых систем, числовых элементарных функций теория уравнений, неравенств, систем исследует специфическое пространство объектов - пространство предикатов на числовых множествах. Структуру предикатно-числового пространства составляют абстрактные классы уравнений, неравенств, систем у равнений, систем неравенств - взаимосвязанные. но отдельные абстрактные классы объектов с соответствующими мировоззренческой, методологической основами, задачами личностного развития [6]. |8|. [9].
Базовым в пространстве числовых предикатов выступает класс всех уравнений, определенных формальной записью F(x) = 0 с системой характеристических свойств, уравнение F(x) = 0 - одноместный предикат равенства: предикат F(x) = 0 задан на определенном подмножествесистемы действительных чисел; поставлена задача поиска области истинности предиката (множества решений у равнения) выражение с переменной F(x)задает аналитическую форму функционального соответствия позволяющего по записи класса числовых элементарных функций выделять класс уравнений;
класс всех уравнений - абстрактный, бесконечный совокупностью подклассов, соответствующих либо стандартным классам функций, либо их композиции, комбинации, обращению: основными в решении (поиске множества решений) уравнений каждого из подклассов выступают дополняющие друг друга функционально-аналитический и функционально-графический методы.
С классом уравнений с одной переменной непосредственно связан класс неравенств, определенный формальной записью, обладающий характеристическими свойствами: неравенство - одноместный предикат сравнения: предикат задан на определенном подмножестве системы действительных чисел; поставлена задача поиска области истинности предиката (множеств;! решений неравенств;!): аналитическая форма функционального соответствия по классу числовых элементарных функцийпозволяет выделить как классы уравнений . так и классы соответствующих неравенства решении неравенств;! фундаментальное свойство непрерывности числовой элементарной функции приводит к оценке ее знакопостоянства на промежутках, выделенных решениями уравнения: решение неравенств каждого из классов предполагает решение исходного уравнения, осуществляется либо функционально-аналитическим, либо функционально-графическим методами 111]. 114].
Наличие в уравнении, неравенстве одной переменной не выступает закономерным фактом теории, в учебной математической деятельности исследуются у равнения, неравенств;! с двумя, тремя переменными [ 10]. Система характеристических свойств двухместных, трехместных числовых предикатов при этом пополняется новыми: множеством решений уравнения является определенная линия (совокупность линий) на координатной плоскости, все решения ура в не нияобра зу ют поверхность в трехмерном координатном пространстве; множество решений неравенств;! с двумя переменными охватывает определенную часть координатной плоскости. ограниченную линиями исходного уравнения, решения неравенства с тремя переменнымисоставля-ют часть трехмерного координатного пространства: в условиях слияния функционально-аналитического и функционально-графического методоврешение уравнений. неравенств с двумя и тремя переменными усложняется, приобретает вид аналитической исследовательской деятельности с опорой на визу альные геометрические представления.
Пространство числовых предикатов помимо уравнений. неравенств содержит и их конъюнкции: системы уравнений с двумя переменными и множеством решений в форме у порядоченных пар - точек координатной плоскости: системы неравенств с двумя переменными и ограниченной частью точек координатной плоскости в качестве множества решений.
Класс систем уравнений с двумя переменными за-
\F{x,y) = 0
дастся формальной записью < с характери-
стическими свойствами: система уравнений - предикат, составленный из двухместных предикатов равенств;! и .который обращается в истинное высказыванием множестве всех общих решений каждого из уравнений; пре-
\Р(х,у) = 0
дикат { задан на множестве упорядоченных
пар действительных чисел - множестве точек координатной плоскости; поставлена задача поиска области истинности предикатафункционально определенные уравнения и однозначно задают класс систем уравнений с соответствующим методом исследования, комбинации классов уравнений фиксируют спектр систем уравнений: основными в решении (поиске множеств;! решений) систем уравнений каждого из классов выступают взаимосвязанные функционально-аналитический и функционально-графический методы.
Класс систем неравенств с двумя переменными,
„ [К(х,у)<0'
представленный в форме < . востреоованныи в
|С?(.*:,у) > 0
учебной математической деятельности, задастся характеристическими свойствами: система неравенств - предикат. составленный из двухместных предикатов сравнения и. обращается в истинное высказывание на множестве всех общих решений каждого из неравенств; \Р{х,у)й 0
предикат I задан на множестве упорядочен-
ного
ных пар действительных чисел - определенной области координатной плоскости: поставлена задача поиска области истинности предикатафу нкционально определенные неравенств;! и однозначно задают класс систем неравенств с соответствующим методом исследования, комбинации классов неравенств фиксируют спектр систем неравенств; основаниемисследования (анализа множества решений) систем неравенств каждого из классов выступает интеграция функционально-аналитического и функционально-графического методов.
Выделение широкого спектраразнотипных функционально-определенных классов числовых предикатов с системой характеристических свойств составляет закономерность деятельности пред-ставливания формирующегося пространственно-предикатного типа мышления. Закономерностью теоретико-предикатной деятельности выступает процесс становления функционально-аналитического и функционально-графического методов исследования - как в обобщенной понятийной форме для целостного класса уравнений (неравенств, систем), так и в совокупности конкретных модификаций для каждого из подклассов, ограниченных классом функций [7]. |16|, |19|.Производный характер теории уравнений, неравенств. систем по отношению к теориям числовых систем. числовых элементарных функций предполагает опору на их категориально-понятийный аппарат, систему свойств, методы исследования.
Восхождение от абстрактного к конкретному в теории уравнений, неравенств, систем.
Пространство числовых предикатов в учебной математической деятельности в соответствии с мировоззренческой. методологической, личностной целями имеет такой же фундаментальный характер, как и числовое. функциональное, геометрическое пространства, обладает адекватными представлением, воображением. формирует пространственно-предикатный тип мышления.
В опосредованном теорией числовых элементарных функций сочетании деятельности представливания и теоретико-предикатной деятельности пространство числовых предикатов:
- выступает абстракцией аналитико-синтетической деятельности поиска неизвестных числовых .характеристик определенной системы по части известных на основе системных функционально-аналитических зависимостей:
- в условиях идеализации функциональных зависимостей числовых характеристик системы, общих и обусловленных классами функций равносильностей предикатов направлено на исследование условий равновесия. сравнения:
- обладает «трехмерной» структурой представленности - по типу числовых предикатов, по виду функциональной зависимости, по формируемому методу решения:
- представленобазовыми типами числовых предикатов в форме уравнений 1"\х) = 0. неравенств . систем
„ 1>(х,у) = 0 у) < О
уравнении I . систем неравенств <| ' ;
№Я = С> [С,(д:,у)>0
- типы числовых предикатов пространства классифицируются видами функциональной зависимости в форме стандартных классов функций, композиции стандартных классов.обратных для стандартных классов функций комбинаций стандартных классов:
- деятельность представливания структурируется обобщенно-алгоритмической деятельностью, направленной на формирование в каждом из стандартных классов пространства числовых предикатов функционально-аналитического и функционально-графического методов решения, а также конкретно-эвристической деятельностью исследования числовых предикатов в функциональных расширениях стандартных классов:
- теоретико-предикатная деятельность направлена на становление общих представлений о взаимной связи пространства предикатов с числовым, функциональным. геометрическим пространствами, представлений типов числовых предикатов в классе числовых элементарных функций с адекватными алгоритмическими схемами решения, обобшснно-тсорстичсской деятельности поиска теоретических закономерностей в форме равносильных преобразований, обусловленных числовыми и функциональными тождествами, общих способов решения в классе числовых предикатов.
Фу ндаментальной закономерностью деятельности представливания и теоретико-предикатной дсятсльно-стиисследования пространства числовых предикатов, являющегося исходной формальной целостностью в
процеду ре восхождения от абстрактного к конкретному. высту пает методологическая схема «класс числовых предикатов - функционально-аналитический и функционально-графический методы решения - теоретическое обоснование методов».
В методической реализации фундаментальной закономерности исследования пространства числовых предикатов понятие решения уравнения (число, упорядоченная пара, тройка чисел) - генетически исходная содержательная абстракция: фундаментальное понятие математических моделей условий равновесия, сравненияв абстрактной познавательной человеческой деятельности: базовое понятие общего способа исследования числовых элементарных функций, аналитического метода исследования геометрических фигур, исследования свойств непрерывности, разрешимости в числовых системах: понятие-категория пространства числовых предикатов, фиксирующая заданный компонент категорий «у равнение», «неравенство», «система у равнений», «система неравенств» неизвестная характеристика уравнений, неравенств, определяющая содержание познавательной деятельности в пространстве предикатов в форме функционально-аналитического и функционально-графического методов решения: средство выделения базовых равносильностей. функционально-определенных равносильных преобразований уравнений, неравенств как основы становления обобщенных способов их решения.
Представление понятия решения уравнения в качестве категории пространства числовых предикатов соответствует методологии системного формирования понятий в учебной математической деятельности:
- в интуитивном плане решение уравнения - такое значение переменной, при подстановке которого уравнение (предикат равенства) превращается в истинное числовое равенство (истинное высказывание);
- на образном уровне для аналитической функциональной зависимости решение уравнения - точка пересечения графиком функции оси абсцисс, разделяющая ее на промежу тки знакопостоянства фу нкции;
- в содержании логико-символического уровня множество решений уравнения выделяет как промежутки решений неравенства . так и множество реше-
„ [>•(*,у) = О нии системы уравнении < :
№у)=о
Методология восхождения от абстрактного к конкретному в пространстве числовых предикатов представлена системой закономерностей формирования пространственно-предикатного типа мышления в сочетании деятельности представливания и теоретико-предикатной деятельности:
- пространство числовых предикатов как исходная формальная целостность задастся в форме аналитической записи классов уравнений, неравенств, систем с одной, двумя переменными, интуитивными понятиями решений, постановкой задачи поиск] множества решений:
- в аналитическом представлении уравнений
Г у) = о
/•\х) = 0 .неравенств, систем ^ фиксируются
[О(.х,у) = 0
числовая основа с возможностью анализа области определения и множества значений, их функциональнаяза-висимостьсо свойствами знакопостоянства, монотонности, периодичности:
- в каждом из типов числовых предикатов (уравнений. неравенств, систем) на инту итивном, образном у ровнях осуществляется анализ возможногомножества решений, исследу ются свойства конечности, бесконечности. периодичности множества решений, предельные подклассы (пу стое множество решений, числовая прямая в качестве множества решений) у равнений, неравенств. систем;
- в постановке и исследовании задачи поиска множества решений уравнений /''(х) = 0. неравенств . си-
[7^с,у) = о" ,
стсм 1 формируется интуитивно-ооразное
|0(;с,у) = 0
представление функционально-графического метода в виде алгоритмической схемы, наглядный и приближенный характер множества решений, ограниченность применения в у чебной математической деятельности;
- в качестве основного в пространстве числовых предикатов рассматривается функционально-аналитический метод решения уравнений /•'(*) = 0. не-
1>х*, у) = 0
равенств, систем \ ' . его сущность, выраженная
|б(х,у) = 0
в понятии-категории равносильного преобразования, фиксируются теоретическая проблема обоснования равносильности и структурная проблема выбора направления преобразований:
- в теоретическом обосновании равносильных преобразований уравнений F(.v) = 0. неравенств , си-
\Р(х,у) = 0,
стем 1 функционально-аналитического мето-
№у) = 0 "
да в качестве его основы фиксиру ются и обосновываются типы равносильностей общего вида (общие равносильности). равносильностей на базе тождеств числовых систем (равносильности тождеств), равносильностей на базе свойств данного класса числовых элементарных функций (функциональные равносильности):
- в обобщенно-теоретической деятельности на базе классов числовых элементарных функций выделяются классы уравнений, неравенств, систем с фиксированными спектрами равносильностей тождеств и функциональных равносильностей;
- в обобщенно-алгоритмической деятельности в каждом из выделенных классов числовых предикатов функционально-аналитический метод решения конкретизируется в форме алгоритма либо алгоритмической схемы с эвристическими действиями:
- вконкретно-эвристической деятельности алгоритмическая схема модернизируется врасширении класса предикатов операциями композиции стандартных классов функций . обратных для стандартных классов функций комбинаций стандартных классов ;
- в анализе соответствия функционально-
аналитического метода решения в классе всех уравнений (неравенств, систем) и его алгоритмической конкретизации в функционально-определенном классе, в систематизации обосновывающих алгоритмические действия теоретических фактов формируется целостное су бъектное представление метода в пространстве числовых предикатов.
Учебная деятельность в теории уравнений, неравенств. систем.
Пространство числовых предикатов, как объект теории уравнений, неравенств, систем, в соответствии с методологией развертывания учебной математической теории исследуется в содержании деятельности предста вливания.
Деятельность представливания как учебную математическую деятельность характеризуют:
- направленность на формирование пространственно-предикатного типа мышления средствами функционально-аналитического и функционально-графического методов исследования классов уравнений, неравенств, систем, интегрируемых в единый метод, сочетающий приближенные образные и точные аналитические действия [8]. 116];
- проектирование в соответствии с закономерностями восхождения от абстрактного к конкретному - развертыванием категории решения уравнения через системы (общих, тождеств, функциональных) равносильностей к функционально-определенному спектру классов уравнений, неравенств, систем с адекватными методами исследования в содержании функционально-аналитического метода[1]. [9];
- понятийное выделение в обобщенно-алгоритмической деятельности обобщенных способов исследования в функционально-определенных классах уравнений, неравенств, систем в качестве конкретных проявлений функционально-аналитического и функционально-графического методов [2], [3], [13];
- планирование конкретно-эвристической деятельности в расширениях функционально-определенных классов числовых предикатов композицией. комбинацией, обращением функций в содержании функционально-аналитического и функционально-графического методов |7|. |2()|.
Функционально-аналитический метод как фундаментальный результат деятельности представливания. выступающий ее целью, определяющий методологию формирования обобщенных способов решения в функционально-определенных классах числовых предикатов. характеризуется системой действий закономерного плана.
Базовыми действиями в классе уравнений с одной переменной, формально объединенных записью F(x) = 0 для числовой элементарной функции , выступают:
- представление у равнения F(x) = 0 как одноместного предиката равенства с задачей поиска области истинности (множества решений) в конкретной числовой системе;
- формальное выделение классов уравнений, определенных функциональной зависимостью , разделение классов уравнений для стандартных классов функций и расширений классов уравнений композицией. комбинацией, обращением функций с соответствующими способами взаимных переходов;
- анализ функции в классе числовых элементарных функций, ее отнесение либо к стандартному классу функций, либо его расширению с помощью функциональных операций композиции, обращения, комбинации;
- «именование» уравнения F(x) = 0, т. е. отнесение уравнения к функционально-определенному классу с постановкой задачи его исследования в соответствии с методом решения всех уравнений класса;
- акту ализация фу ндаментальных свойств конечности. непрерывности.ограниченности. монотонности, периодичности функции, их отнесение к свойствам множества решений уравнения F(.*) = 0;
- постановка задачи сведения уравнения F(x) = О длярасширения функции операциями композиции, комбинации. обращения к уравнениюG(x) = 0 (совокупности у равнений), определенному стандартным классом элементарных функций, выбор способа сведения:
- актуализация понятия равносильности уравнений. анализ теорем о типах равносильностей общего вида, равносильностей на базе свойств класса элементарных функций.равносильностей на базе тождеств числовых систем с позиции их использования для равносильного преобразования уравнения F(x) = 0 к урав-нениюО(х) = 0 - определенному стандартным классом элементарных функций;
- эвристический выбор, планирование, выполнение равносильных преобразований уравнения F(x) = О к уравнению G(x) = 0. определенному стандартным классом элементарных функций;
- анализ теорем о типах равносильностей на базе свойств стандартного класса элементарных функций, равносильностей на базе тождеств числовых систем с позиции выделения общего способа решения в функционально-определенном классе уравнений G(x) = 0;
- выделение в классе, определенном стандартным классом функций, базового уравнения #(.г) = 0 (совокупности уравнений) - такого уравнения с установленным множеством решений, к которому сводятся равносильными преобразованиями все уравнения данного класса:
- эвристический выбор, планирование, выполнение равносильных преобразований уравнения G(x) = 0 к базовому уравнению Я(х) = 0 класса уравнений, определенного стандартным классом функций;
- выделение множества решений исходного уравнения F(x) = 0 на основе анализа множества решений равносильных уравнения G(x) = 0 и базового уравнения И(х) = 0 для стандартного класса функций:
- анализ выделенных действий с позиции общих закономерностей решения уравнений в форме
функционально-аналитического метода и его конкретного проявления в классе уравнений, определенном классом числовых элементарных функций.
Всякому функционально-определенному классу уравнений F(x) = 0 соответствует класс неравенств с формальной записью изадачей поиска областей знако-постоянства функции на промежутках числовой оси, выделенных множеством решений уравнения (нулей функции).
В деятельности представливания функционально-аналитический метод решения неравенств для числовых элементарных функций характеризуется закономерной системой действий:
- представление неравенства как одноместного предиката сравнения с задачей поиска области истинности (множества решений) в конкретной числовой системе в виде промежутков числовой оси. выделенных множеством решений уравнения F(x) = 0 (нулей функции;
- формальное выделение классов неравенств наряду с классами уравнений по виду функциональной зависимости . разделение классов неравенств по виду соответствующих классов уравнений для стандартных классов функций и расширений композицией, комбинацией. обращением функций с соответствующими способами взаимных переходов;
- анализ функции в классе числовых элементарных функций, ее отнесение либо к стандартному классу функций, либо его расширению с помощью функциональных операций композиции, обращения, комбинации;
- «именование» неравенства, т. е. отнесение неравенства к функционально-определенному классу с постановкой задачи его исследования в соответствии с методом решения всех неравенств класса:
- актуализация фундаментальных свойств определенности.конечности, непрерывности, ограниченности. монотонности, периодичности функции, их отнесение к свойствам множества решений неравенства:
- представление предполагаемого множества решений неравенства в виде промежу тков области определения функции . выделенных множеством решений у равнения F(x) = 0 (нулей функции );
- постановка задачи решения уравнения F(x) = 0 согласно общему способу решения функционально-определенного класса уравнений и задачи оценки знака функции на выделенных нулями функции промежутках:
- актуализация общего способа решения функционально-определенного класса уравнений, выделение особенностей уравнения F(x) = 0 ддЯ целей конкретизации общего способа:
- поиск множества решений уравненияF(x) = О (нулей функции ). представление решений, выделяемых ими промежутков на области определения функции :
- теоретическое обоснование и практическое установление знаков функции на промежутках области определения, выделенных решениями уравнения
F(x) = 0;
- отбор промежутков с отрицательными значениями функции в качестве множеств;! решений неравенства
- добавление решений уравнения F(x) = 0 к совокупности промежутков с отрицательным знаком функции в неравенстве F(x) < 0;
- анализ выделенных действий с позиции общих закономерностей решения неравенств в форме фу нкционально-аналитического метода и его конкретного проявления в классе уравнений, определенном классом числовых элементарных функций.
Деятельность прсдставливания в классе систем „ [F(x,y) = 0
уравнении j )-о° ДЕ^МЯ переменными оазирует-
ся на сформированном представлении класса уравнений/7^, у) = Ос двумя переменными, в котором функционально-аналитический и функционально-графический образы множества решений сливаются:
- класс уравнений представлен формальной записью F(x,y) = 0. то есть выступает двухместным предикатом равенства:
- решением уравнения является новый математический объект - упорядоченная пара действительных чисел, интерпретируемая точкой на координатной плоскости;
- задача поиска решений исследуется в содержании новой геометрической модели - координатной плоскости с заданными на ней точками (упорядоченными парами действительных чисел), линиями (произвольными множествами точек), не обладающей свойством линейной упорядоченности:
- множество всех решений уравнения задаст на геометрической модели определенную линию L. однозначно характеризующую класс уравнений, равносильных уравнению ^(х, у) = 0;
- линия L всех решений уравнения F(x,y) = 0 либо имеет аналитическое описание в форме функциональной зависимости координат точек (решений) для стандартного класса функций одной переменной, его расширения, либо принадлежит специальному, ранее изученному классу заданных неявно линий (окружность. пара параллельных, пересекающихся прямых, гипербола);
- в условиях функционального представления множестваЬ всех решений уравнение F(x,y) = 0 равносильными преобразованиями приводится к функциональному виду . определяется соответствующим классом функций, линия L называется графиком функции строится на функциональной основе:
- в условиях принадлежности уравнения специальному виду заданных неявно уравнений линия L строится на основе закономерностей выделенного класса с конкретизацией параметров уравнения:
- в каждом из условий на базе аналитического и графического представлений линии L всех решений уравнения F(x,y) = 0 для конкретных значений аргумента вычисляются, изображаются его частные решения - упорядоченные пары чисел, формируется
су бъектный образ множества решений.
Дтя уравнения F(x,y) = 0 с линией L всех решений и уравнения с линией Н всех решений исследование си-
\F(x,y) = 0
стемы < направлено на поиск общих решении
[G(.vr, v) = 0
уравнений F(x,y) = 0 и т.е. точек пересечения линий Ьи Н. Аналитическое исследование пересечений линий L и Н всех решений уравнений предполагает:
- выделение водном из уравнений F(x,y) = 0 функционального представления линии L всех решений:
- равносильное преобразование системы
\F{x,y) = 0
< к стандартному виду
\G{x,y) = 0
- последующий переход к решению уравнения с одной переменной в системе.
На базе выделенных закономерностей в деятельности прсдставливания формируется функционально-аналитический метод решения систем уравнений:
- анализ системы уравнений с двумя переменны-[F(x,y) = 0
ми i „, N как двухместного предиката с задачей
[G(x,y) = 0
поиска всех общих решений уравнений F(x,y) = 0 и на множестве точек координатной плоскости:
- акту ализация в спектре равносильных преобразований системы равносильных преобразований у равнений (общие, числовых тождеств, функциональные), обоснование базового равносильного преобразования системы - замена одного из уравнений системы линейной комбинацией у равнений:
- анализ уравнения F(x,y) = 0 системы с позиции установления либо функционального представления линии L всех решений, либо ее принадлежности определенному специальному' классу линий с уточнением значений параметров:
- анализ уравнения системы с позиции установления либо фу нкционального представления линии Н всех решений, либо ее принадлежности определенному специальному классу линий с уточнением значений параметров:
- в условиях принадтежности уравнений F(x,y) = 0 и специальным классам с неявно заданными линиями L и Н всех решений осу ществление базовых равносильных преобразований системы с целью выделения в одном из уравнений функционального представления линии всех решений:
- в условиях выделения равносильными преобразованиями в одном из уравнений F(x,y) = 0 функционального представления линии L всех решений переход
1>(х,у) = 0
от исходной системы ^ ' к равносильной систс-
{G(*,y) = 0
ме уравнений стандартного вида:
- анализ уравнения в системе уравнений стандартного вида с позиции его принадлежности функционально-определенному классу уравнений с установленным общим способом решения;
- поиск всех решений уравнения в соответ-
ствии с общим способом решения функционально-определенного класса уравнений;
- поиск множества всех решений исходной системы в форме для каждого из решений уравнения :
- анализ общих закономерностей и специфических особенностей решения системы уравнений с двумя переменными в конкретном функционально-определенном классе уравнений.
В различных типах предикатов (неравенств, систем уравнений) функционально-аналитический метод решения уравнений с одной переменнойвыступает обязательным действием, формирует понятийную основу, приводит к становлению обобщенных способов деятельности в каждом из функционально-определенных классов неравенств, систем. Содержательная абстракция «решение^ равнения» в виде точки числовой прямой. координатной плоскости с фундаментальным свойством обращения предиката равенства в истинное высказывание обосновывает равносильные преобразования в качестве базовых средств решения уравнений, неравенств, систем в содержании функционально-аналитического метода, превращает формально выделенные типы числовых предикатов в «конкретное».
Пространственно-предикатный тип мышления не ограничивается представлением и теоретическим обоснованием функционально-аналитического метода исследования всех типов числовых предикатов, выделением фу нкционально-определенных классов уравнений, неравенств, систем с соответствующими обобщенными способами решения. Также как и в геометрическом, числовом, функциональном пространствах важной составляющей учебной деятельности представливания выступает формирование адекватных уравнениям, неравенствам. системам функционально-графических образов в содержании функционально-графического метода решения.
Функционально-графический метод решения уравнений. неравенств, систем с одной переменной базируется на уже с<|юрмированных функционально-графических представлениях: графические представления класса функций, общая схема исследования функций и построение графика, связь аналитических и графических преобразований функции. Фундаментальные теоретико-функциональные виды деятельности, представленные в форме прикладных обобщенно-алгоритмических и конкретно-эвристических действий, в классах уравнений F(x) = 0. неравенств с одной пере-меннойопределяют каркас функционально-графического метода:
- выделение функции в аналитическом задании уравнения, неравенства, оценка ее принадлежности к определенному классу функций, анализ способа конструирования функции на основе базовой функции стандартного класса;
- актуализация свойств определенного класса функций, характеристических точек графиков, конкретизация общего способа исследования класса функций в форме алгоритмической схемы исследования функции;
- построение графика функции в соответствие с выделенной алгоритмической схемой исследования;
- визуализация нулей функции в качестве решений уравнения F(x) = 0. приближенная оценка решений с заданной точностью;
- визуализация промежутков с отрицательными значениями фу нкции в качестве множества решений неравенств;] . приближенное аналитическое описание решений:
- поиск функционально-аналитического способа решения уравнения F(x) = 0 на основе функционально-графических представлений, приближенных значений решений уравнения:
- решение уравнения F(x) = 0 функционально-аналитическим способом - в содержании обобщенного способа решения уравнений данного класса;
- поиск аналитического способа оценки знаков функции на промежутках значений, выделенных нулями. точное описание множества решений неравенства:
- сравнение функционально-графического и функционально-аналитического способов решения уравнения F(x) = 0. неравенствас позиции выделения структуры методов, их общности, построения целостного функционально-графического образа.
Функционально-графический метод решения си-(F(x,y) = О
стем уравнении < с двумя переменными, ба-
|G(x,jO=0
зирующийся на функционально-графических представлениях множеств решений уравнений F(x,y) = 0 и. высту пает вспомогательным средством функционально-аналитического метода с ведущей функцией формирования его функционально-графического образа. Составляющими метод действиями выступают:
- анализ уравнения F(x,y) = 0 системы с позиции установления либо функционального представления линии L всех решений, либо ее принадлежности определенному специальному классу линий с уточнением значений параметров:
- графическое изображение линии L всех решений у равнения F(x, у) = 0;
- анализ у равнения системы с позиции установления либо функционального представления линии Н всех решений, либо ее принадлежности определенному специальному классу линий с уточнением значений параметров;
- графическое изображение линии Н всех решений уравнения в общей системе координат с линией L;
- визуализация всех точек пересечения линий L и Нуравнений F(x,y) = 0 и . приближенная оценка координат точек пересечения в качестве множества решений
¡F(x,y) = О [G(x,y) = 0'
- поиск функционально-аналитического способа
(F(x,y) = О
рсшениясистемы < „ наоснове функционально-
го^)^
графических представлений, приближенных значений решений системы согласно обобщенному способу рс-
системы
шения класса систем;
- нтеграция функционально-графического и функционально-аналитического способов решения си-
Шх,у) = 0
стсмы < с позиции выделения структу ры ме-
тодов. их общности, построения целостного фу нкционально-графического образа.
Учебные задачи в теории уравнений, неравенств, систем.
Деятельность предста вливания в пространстве числовых предикатов, проектируемая гак учебная [5] в содержании восхождения от абстрактного к конкретному, направлена на формирование функционально-графического и функционально-аналитического методов решения, их конкретизацию в форме обобщенных способов решения в функционально-определенных классах уравнений, неравенств, систем. Типы числовых предикатов, их функционально-определенная классификация с фундаментальными функционально-аналитическим и функционально-графическим методами решения определяют систему учебных задач.
1. Становление математико-мировоззренческих представлений пространства числовых предикатов:
- математико-модельное исследование условий равновесия физических величин, процессов в схеме «физические величины, процессы - математические модели условий равновесия(у равнения, системы у равнений) -исследование математических моделей - интерпретация результатов внутримодсльного исследования»;
- математико-модельное исследование условий сравнения физических величин, процессов в схеме «физические величины, процессы - математические модели условий сравнения (неравенства, системы неравенств) на базе условий равновесия - исследование математических моделей - интерпретация резу льтатов внутримо-дельного исследования»:
- типология математических моделей равновесия, сравнения, функционально-определенный способ классификации. фундаментальные методы исследования предикатных моделей.
2. Логико-содержательный анализ пространства числовых предикатов:
- выделение понятий у равнения, неравенства, системы уравнений в качестве базовых типов числовых предикатов в их взаимной связи;
- введение понятий решений уравнений, неравенств. систем у равнений в содержании фу нкционально-аналитического и функционально-графического подходов:
- выделение функционально-определенных классов уравнений, неравенств, систем уравнений с позиции приложений свойств числовых элементарных функций в пространстве числовых предикатов;
- введение понятий равносильных преобразова-ний в классах уравнений, неравенств, систем уравнений. исследование задачи поиска множества решений, выделение типов равносильных преобразований.
3. Обобщенно-алгоритмическая деятельность
в классах уравнений, неравенств, соответствующих стандартным классам функций в содержании функционально-аналитического метода:
- выделение, обоснование обобщенных способов решения в базовых классах у равнений с одной пере-меннойдля стандартных классов функций в содержании фу нкционально-аналитического метода:
- выделение, обоснование обобщенных способов решения в базовых классах неравенств с одной переменной для стандартных классов функций в содержании функционально-аналитического метода.
4. Обобщенно-алгоритмическая деятельность в классах уравнений, неравенств, соответствующих стандартным классам функций в содержании фу нкционально-графического метода:
- анализ функции в аналитическом задании уравнения, неравенства, оценка ее принадлежности к определенному классу функций, анализ способа конструирования. актуализация свойств, характеристических точек графиков, конкретизация общего способа исследования;
- построение графика функции в соответствие с выделенной алгоритмической схемой исследования, визуализация нулей функции в качестве решений уравнения /'"(.*) = 0. приближенная оценка решений с заданной точностью:
- визуализация промежутков с отрицательными значениями функции в качестве множества решений неравенства, приближенное аналитическое описание решений:
- поиск функционально-аналитического способа решения уравнения, неравенств;) на основе функционально-графических представлений, приближенных значений решений у равнения:
- сравнение функционально-графического и функционально-аналитического способов решения уравнения ¡'"(х) = 0. неравенства с позиции выделения структуры методов, их общности, построения целостного функционально-графического образа.
5. Обобщенно-алгоритмическая деятельность в классах систем уравнений в содержании функционально-аналитического и функционально-графического методов:
- аналитическое описание множества решений уравнений с двумя переменными в форме функциональной зависимости координат точек (решений) для стандартного класса функций одной переменной, его расширения, либо в спектре специальных, ранее изученных классов неявно заданных линий:
- графическое изображение множеств;! решений уравнений с двумя переменными в форме функциональной зависимости координат точек, либо в форме неявно заданных линий специальных, ранее изученных классов уравнений;
- визуальное представление всех точек пересечения линий множеств;! решений уравнений с двумя переменными, приближенная оценка координат точек пересечения в качестве множеств;! решений системы:
- переход средствами равносильных преобразований к системе уравнений стандартного вида, исследование уравнения с одной переменной для функционально-определенного класса функций, выделение множества всех решений системы;
- анализ соответствия функционально-графического и функционально-аналитического методов решения, аналитического и образного представлений множества решений.
6. Конкретно-эвристическая деятельность в функционально-определенных классах уравнений, неравенств в содержании функционально-графического и фу нкционально-аналитического методов:
- планирование эвристической деятельности по расширению функционально-определенных классов числовых предикатов композицией, комбинацией, обращением функций с позиции выделения способов решения уравнений, неравенств, систем в содержании функционально-аналитического и функционально-графического методов:
- анализ конкретного примера с позиции его принадлежности расширению стандартного класса уравнений, неравенств, систем на базе композиции, комбинации, обращения функций, эвристический, творческий поиск способа сведения к уравнению, неравенству. системе для стандартного класса функций с ранее установленным общим способом решения;
- выделение обобщенного способа решения в новом функционально-определенном классе уравнений, неравенств, систем в форме конкретной модификации
функционально-аналитического и функционально-графического методов решения.
Основным содержанием теоретико-предикатной деятельности высту пает анализ и обоснование теоретических закономерностей решения уравнений, неравенств, систем в адекватной учебной задаче.
7. Обобщенно-теоретическая деятельность в пространстве числовых предикатов:
- становление целостных представлений о базо-вых понятиях, теоремах теории уравнений, неравенств, систем, выступающих математическими моделями реальных ситуаций равновесия, сравнения, формирующих методологию исследовательской деятельности;
- представление типов числовых предикатов в классе числовых элементарных функций с адекватными обобщенно-алгоритмическими схемами решения в форме функционально-аналитического и функционально-графического методов:
- понятийное выделение классов уравнений, неравенств. систем. ограниченных стандартными классами числовых элементарных функций, их композиций, комбинаций, обоснование в спектрах числовых, функциональных равносильных преобразованиях обобщенных способов решения в содержании функционально-аналитического и функционально-графического методов:
- становление общих представлений о взаимной связи пространства предикатов с числовым, функциональным. геометрическим пространствами.
Библиографический список
1. Башмаков XUI. Уравнения и неравенства. М.: Наука, 1976.96с.
2. ГорбачевВ.И. Общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами //Математика в школе. 1999. №6. С. 60-68.
3. Горбачев li.ll. Закономерности проектирования учебных математических теорий в методологии теоретического типа мышления // Фпико-математичпа оевгга: науковий журнал. 2016. Випуск 1(7). С. 49-60.
4. Дорофеев Г.В. Гуманитарно-ориентированный курс - основа учебного предмета математика в общеобразовательной школе // Математика в школе. 1997. №4. С. 59-66.
5. Концепция математического образования (в 12-летней школе) // Математика в школе. 2000. №2. С. 13-18.
6. Колмогоров А.Н.. ЯгломПМ. О содержании школьного курса математики // Математика в школе. 1965. №4. С.53-61.
7. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: В 2-х томах. Т. 1 .Арифметика, Алгебра, Анализ: Пер. с нем./ Под ред. В.Г. Болтянского. М.: Паука. Гл. ред. физ.-маг. лиг.,1987. 432с.
8. Ньютон II. Всеобщая арифметика или книга об арифметических синтезе и анализе. М.: Изд-во АН СССР, 1948. 448с.
9. Маркушевич Л.А., Черкасов Р.С. «Уравнения и неравенства» в заключительном повторении курса алгебры средней школы // Математика в школе. 1994. № 1. С. 24-32.
10. Мордкович А.Г. Новая концепция школьного курса алгебры // Математика в школе. 1996. №6. С. 28-33.
11. Мордкович А.Г. О некоторых методических вопросах, связатптых с решением уравнений// Математика в школе. 2006. № 3. С. 25-34.
12. Саранцев Г.И. Цели обучения математике в средней школе в современных условиях// Математика в школе. 1999. №6. С. 36-41.
13. Федеральный государственный образовательный стандарт среднего (полного) общего образования (утвержден приказом Минобрнауки России от 17 мая 2012 г. №4I3).[URL: http://минобрнауки.рф/документы/2365]. Дата обращения 22.03.2016.
14. Шабунин МП. Математика для поступающих в вузы. Уравнения и системы уравнений. М.: Аквариум, 1997. 272 с.
Rcfcrenccs
1. Bashmakov M.I. Equations and inequalities. Moscow: Nauka, 1976. 96 p.
2. Gorbachev V.I. General methods for solving equations and inequalities with parameters // Mathematics in school. 1999. № 6. Pp. 60-68.
3. Gorbachev V.I. Regularities in the design of educational mathematical theories in the methodology of the theoretical type of thinking // Physical and mathematical education: a scientific journal. 2016. Issue I (7). Pp. 49-60.
4. Dorofeev G. I.' The humanities-oriented course is the basis of the mathematics subject in the secondary school II Mathematics in the school. 1997. №4. Pp. 59-66.
5. The concept of mathematical education (in a 12-vear school) // Mathematics in school. 2000. № 2. Pp. 13-18.
6. Kolmogomv A.N., Yaglom I.M. On the content of the school course of mathematics II Mathematics in the school. 1965. № 4. Pp. 53-61.
7. Klein F. Elementary mathematics in terms of higher In 2 volumes. V. I. Arithmetic, Algebra, Analysis: translated from German. Lid. V.G. Boltyansky. Moscow:Nauka, 1987. 432 p.
8. Newton I. Universal arithmetic or book on arithmetic synthesis and analysis. Moscow: the USSR Academy of Sciences Publishing House, 1948. 448 p.
9. Markushevich L.A., Cherkasov R.S. "Equations ;ind inequalities" in the final repetition of the course of secondary school algebra. // Mathematics in school. 1994. № 1. Pp. 24-32.
10. Monikovich A.G. A New concept of the school course in algebra // Mathematics in School. 1996. № 6. Pp. 28-33.
11. Monikovich A.G. On some methodological questions connected with the solution of equations // Mathematics in school. 2006. № 3. Pp. 25-34.
12. Sarantsev G.I. Goals of teaching mathematics in secondary school in modem conditions // Mathematics in school. 1999. № 6. Pp. 36-41.
13. Federal state educational standard of secondary (complete) general education (approved by the order of the Ministry of Education and Science of Russia on May 17,2012, No. 413). [URL: http: //ininobniauki.rf/documents / 23365). Date of circulation 22.03.2016.
14. Shabunin M.I. Mathematics for students entering universities. Equations and systems of equations. Moscow: Aquarium, 1997. 272 p.
