Линейные обратные задачи для псевдогиперболических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Проведены вычислительные эксперименты, моделирующие движение сыпучей среды в сходящемся канале, которые подтверждают наличие линейных зон локализации деформаций.

Литература

1. Лавриков С.В., Ревуженко А.Ф. О расчете локализованных течений супучей среды в радиальных каналах // ФТПРПИ. 1990. № 1. С. 3-9.

2. Ревуженко А.Ф., Стажевский С.Б., Шемякин Е.И. Несимметрия пластического течения в сходящихся осесимметричных каналах // ДАН СССР. 1979. Т. 246. № 3. С. 572-574.

3. Мясников В.П., Садовский В.М. Вариационные принципы теории предельного равновесия разнопрочных сред // Прикладная математика и механика. 2004. Т. 68. Вып. 3. С. 488-499.

4. Садовская О.В., Садовский В.М. Математическое моделирование в задачах механики сыпучих сред. М.: Физматлит. 2008. 368 с.

5. Гвоздев А.А. Расчет несущей способности конструкций по методу предельного равновесия. Вып. 1. Сущность метода и его обоснование. М.: Стройиздат. 1949. 280 с.

6. Кузоватова О.И., Садовский В.М. О локализации деформаций при движении сыпучей среды в сходящемся канале // Численные методы задач теории упругости и пластичности: материалы XXIV Всерос. конф. (Омск, 2-4 июня 2015 г.) / Рос. фонд фундамент. исслед. [и др.]; [науч. ред. В.М. Фомин] Омск: Изд-во ОмГУ, 2015. С. 126-129.

7. Друккер Д., Прагер В. Механика грунтов и пластический анализ или предельное проектирование // Определяющие законы механики грунтов. Сер. "Новое в зарубежной науке". Вып. 2. М.: Мир, 1975. С. 166-177.

8. Кузоватова О.И., Садовский В.М. Моделирование локализации деформации в разно-прочной среде // Журнал СФУ: Математика и физика. 2008. Т. 1 № 3. С. 272-283.

Modeling of slow motion of a granular medium in converging channels

Olga Igorevna Kuzovatova, PhD, Associate Professor, Siberian federal university

The aim of this work is to find approximate analytical solution of the problem of loose medium motion in a converging channel, to develop computational algorithm based on the finite element method, and to carry out numerical calculations of the problem.

Keywords - variational inequality, materials with different strengths, strains localization.

УДК 517.956

ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПСЕВДОГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Айнура Кудайбергеновна Курманбаева зав.каф.,к.ф.-м.н.,доцент, Е-та11:атига1971@тай.ги Кыргызский государственный технический университет им.И.Раззакова

http://www.kstu.kg

В данной работе рассматриваются линейные обратные задачи для псевдо гиперболического уравнения. Доказываются соответствующие теоремы об однозначной разрешимости рассматриваемых обратных задач.

Ключевые слова: обратная задача, псевдогиперболическое уравнение, уравнение Вольтерра, условия переопределения

Иурманбаева

Введение

Обратные задачи возникают в различных областях науки, таких как геофизика, разведка полезных ископаемых, биология, медицина, и т.д., что ставит ряд актуальных проблем современной математики.

Теория обратных задач для дифференциальных уравнений и различные методы их решения, а также современное состояние теории обратных задач с обширной библиографией отражено в монографиях Б.С.Аблабекова [1]. А.Л.Бухгейма [2], С.И.Кабанихина [3], М.М.Лаврентьева, В.Г.Романова, С.П. Шишатского [4], В.Г.Романова [5] , Ю.Я.Белова [7] и других. ^

Обратные задачи для псевдогиперболических уравнений развиты слабее, чем для уравнений второго порядка. Объясняется это тем, что исследование обратных задач для дифференциальных уравнений тесно связано с решением соответствующей прямой задачи. А теория прямых задач для псевдогиперболических уравнений еще далека от завершения.

С другой стороны, псевдогиперболическими уравнениями описываются многие процессы, например, [6] уравнение вида

2

Dt u(х, t) - Au(x, t) - t Aut (x, t) = 0, t = const > 0 ,

описывает процесс распространения возмущений в упруго-вязком стержне, где t = const > 0 - параметр, а t Aut - малая вязкость.

Целью данной работы является доказательство существования и единственности решения обратных задач для псевдогиперболического уравнения третьего порядка с переопределениями во внутренней точке и с интегральным переопределениям.

В данной статье устанавливаются условия существования и единственности решения обратных задач отыскания неизвестного источника f = f (t) в псевдогиперболическом уравнении по переопределению во внутренней точке и по интегральному переопределению.

Исследование проводится в два этапа. Первый этап включает в себя приведение обратных задач к интегральному уравнению типа Вольтерра с применением предварительных результатов соответствующих прямых задач. На втором этапе доказана теорема существования и единственности решения соответствующих обратных задач. Обратные задачи в аналогичных постановках для параболических уравнений исследовались в работах [7,8].

Основные результаты

Задача 1. Найти пару функций {u(x,t)f(t)}, которые удовлетворяют уравнению

Ы = utt - ux - uxx = f (t)h(xt) + g(xtX (x,t) e П начальным условиям

u(x,0) = ф(x), ut (x,0) = x), x e R,

(1)

(2)

и дополнительному условию

и(0,X) = У(/), X е[0,Т], (3)

где ОТ = {(х, X)| х е Я, 0 < X < Т}, и V - некоторые заданные функции, причем

И(0,Х)т0.

Определим следующие пространства непрерывных функций, производные которых удовлетворяют условию Гельдера:

На (О) (0 <а< 1) - пространство функций из С (О), удовлетворяющих условию Гельдера с показателем а, т.е. функций из С (О), для которых конечна норма

,. .. ,. .. |u(x') - u(x")| ' ..

U eta = U \ + SUD , X Ф X ,

Il Ш (Q) Il IIC (Q) r

x',x"eQ X — X I

H a,0(Qr ) - пространство функций из C (QT ), удовлетворяющих условию Гель-дера по х с показателем a ;

H1+a,0(Qr ) - пространство функций из С1,0(QT ), все производные которых по х

до порядка l принадлежат Ha,0(Qr )

u

Hl+a,°(QT) " h''u(Qt)

u

J ,0,

+ E

DXk )

x u

a 0 H ' (QT )

И <1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1

Пару функций {и,/} назовем решением задачи (1)-(3), если

1) и(х,^-классическое решение задачи (1)-(3);

2) и(0, t) = v(t), t е [0, Т].

ТЕОРЕМА 1. Пусть h е Н2+а,а/2(ОТ),g е На,а/2(ОТ), а функции

ф,уе Н2+а(Я), уе Н2+а([0,Т]) и выполнены условия согласования ф(0) = у(0), у(0) = у'(0). Тогда решение задачи (1)-(3) существует и единственно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как задача (1)-(3) линейна, то ее решение можно искать в виде (и, /) = (и1,0) + (и 2, /), где и1(х, {) является решением задачи

Ьи1 = g (х, t), и1( х,0) = ф( х), и}( х,0) = у (х), (4)

а пара функций (и2, /) удовлетворяет задаче

Ьи2 = /(ф(х, t), и2(х,0) = 0, и2(х,0) = 0, и2(0, t) = у (t) - ^(0, t). (5)

Отсюда следует, что для доказательства теоремы 1 достаточно доказать существование и единственность определения пары функций (и, /) е Q из условий

Ьи = Д (х, t) еОТ, (6)

и(х,0) = 0, щ (х,0) = 0, х е Я, (7)

и(0, t) = у (0, 0 < t < Т. (8)

Для доказательства разрешимости задачи (6)-(8) рассмотрим задачу определения тройки функций (и, V, /) удовлетворяющих условиям

щ + и = V, (х, t) е ОТ , (9)

V - Vxx - V + | е-т)V(х, х)ёх = /(t)h(х, t), (х, t) е От , (10)

0

V (х,0) = 0, х е Я, (11) V(0, t) = у'^) + у(t), 0 < t < Т. (12)

Задачи (6)-(8) и (9)-(12) связывает следующая лемма.

ЛЕММА 1

1) Если (и, /) - решение задачи (6)-(8), тогда (и^, /) - решение задачи (9)-(12).

2) Пусть (и^, /)- решение задачи (9)-(12), тогда (и, /)- решение задачи (6)-(8),

при этом V = щ + и.

Доказательство леммы проводится непосредственно проверкой. Известно, что (см. [1]) любое решение задачи (10)-(11) имеет вид

V(x, t) = J f (т) J Z (x, t, y, x)h(y, x)dy dx, 0 R

где Z (x, t, y, т) - фундаментальное решение оператора t -(t-x)

L\u = ut - uxx - u + J e v 'u (x, x)dx.

(13)

Так как

Vt = Vxx + V-J e 0

- Je-(t-x)

V (x, x)dx + f (t )h( x, t),

то из (13) получаем Vx = I f (х)И(у, х) | (2хх + ^ - Iе"(т"Х1)2)(x, х, у, ^ ^х^х + f (Х)И(x,Х) .

(14)

0

R

Положив в (14) х=0, и пользуясь дополнительной информацией (12), получим линейное интегральное уравнение Вольтерра второго рода

f(X) + IК(X, х)f (х)ёх = gl(X), 0 < X < Т, (15)

0

где

K (t, т) =

J (Zxx + Z-J e R т

-(т-т1)

Z )(x, x У, x1 )dx1 )h(y, x)dy x=0

h(0, t)

(16)

(X) = (Vм (X) + })• И-1(0, X). (17)

Так как И е Н2+а,а 2, то из (16) следует, что ядро К(X,х) удовлетворяет неравенствам

К(X, т) < С1,

К(Xl, х) - Кх) < С21X1 - X21а/2.

Отсюда следует, что решение интегрального уравнения (15) существует, единственно и имеет вид

f (X) = [V" (X) + V' (X )]И-1 (0, X) + IЩ, х)[" (X) + V' (х)]И-1 (0, х^х,

0

где функция Щ, х) -разрешающее ядро для К(X, х) .

(18)

Покажем, что функция у^), определенная формулой (18), принадлежит пространству На/2([0,Т]). Для этого рассмотрим разность У^)-/^). Тогда из (15) получаем

h(0, t )f (t) - h(0,10)f (t0) =

v"(t) -v"(t0) + v'(t) - v'(t0)

-J K1(t, x)f (x)dx + J K1(t0, x)f (x)dx = | v"(t) -v"(t0)) + 00 t

+ 1 v'(t) -v'(t 0))-J

K1(t, x) - K1(t0, x)

f (x)dx,

где ^.^^О^уЩ-х).

Из (16)-(19) и предположений теоремы получаем неравенство

f (t) - f (t0)

< Cx

t-t

a/2

+ C2

t-t

a/2

+ C3

t-t

a/2

(19)

(20)

t

0

t t

0

Из (20) получим, что Х0еНа/2[0,Т].

Теперь покажем, что пара функций V(x,t), //), где /7) определенная формулой (18), а

t

V(х, t) = | /(т) 17(х, t, у,т)й(утУуйт (21)

0 Я

является решением задачи (9)-(12). Функция V (х, t), заданная формулой (21) является единственным решением задачи (10)-(11). Проверим, что условие (12) также выполнено. Пусть функция V (0, t) = у1'(? ) + ) удовлетворяет равенству

у"1 (t) + у'(/) = |Кх($, т)/(т)Л + /(t)h(0, t) . (22)

0

Так как /^)-решение уравнения (15), то из (15) и (22) относительно функции у"2 ^) = у^) — у^) получим обыкновенное дифференциальное уравнение с нулевыми начальными данными

) + у 2(0 = 0, у 2(0) = у 2(0) = 0.

Следовательно, у^) = у1(t) и условие (12) выполнено.

Единственность решения задачи (9)-(12) следует из (13) и (15).

ТЕОРЕМА 2. Пусть (У1,/1) и (У2,/2) любые две пары функций, удовлетворяющие условиям (9)-(12), а У1(t) и у ) отвечающие им данные (12) обратной задачи. Тогда для любого конечного Т>0 существует такая постоянная, что имеют место оценки устойчивости

1К - Н2+а,1+а/2(0Т) < - МН2+а,а/2(0Т),

||/1 -/21На/2([0,Т]) <С\ 1у1 -у21Н2+а([0,Т]).

Доказательство этой теоремы следует непосредственно из соотношений (13),(15).

ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогичным образом можно исследовать обратную задачу для случае краевой задачи.

Пусть Т>0 - фиксированное число, QT = {(х, t)| 0 < х < 1, 0 < t < Т}.

Задача 2. На множестве QT рассмотрим первую начально-краевую задачу

ип - Uxxt - ихх = /К)h(х, t) + (х, t), х е (0,1) t е (0,Т], (23)

и(х,0) = ф(х), щ (х,0) = у(х), 0 < х < 1, (24)

и(хI, t) = цI (г), 0 < t < Т, I = 1,2, хх = 0, х2 = 1. (25)

Требуется определить пару функций {и,/}, если известно дополнительное условие 1

| и(х, t)ш(х)^х = у(t), 0 < t < Т, (26)

0

называемое интегральным переопределением.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Предположим, что функция и(х^) является функцией из класса С2+1,2^Т) если существуют непрерывные частные производные их, ut, ихх, ип, uxt, uxxt.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Решением задачи (23)-(26) называется пара функций (и, /) е Q = С 2+1,2^Т ) х С^Т ) х С ([0,Т ]), удовлетворяющая условиям (23)-(26).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Будем говорить, что для обратной задачи (23)-(26) выполнены условия согласования, если

ф( XI) = ц (0), V (х) = ц-(0), I = 1,2, (27)

1 1

| ф( х)ш( х)—х = у(0), | у ( х)ш( х)—х = у' (0). (28)

0 0

Имеет место следующая

ТЕОРЕМА 3. Пусть к, g е С(£>Т), ф, уе С2 ([0,1]), цI (I) е С 1([0, Т]), уе С 2([0,Т ]) и выполнены условия согласования (27)-(28). Кроме того, |< к,® >| > к0 > 0 при всех 1е[0,Т]. Тогда существует единственное решение обратной задачи (23)-(26).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Как и в задаче 1, в силу линейности обратной задачи 2 и однозначной разрешимости прямой задачи (23)-(25), для доказательства теоремы разрешимости задачи (23)-(26) достаточно доказать существование и единственность решения обратной задачи определения пары функций (и,/) из условий

% " иххг - ихх = /0)к(X *), (29)

и( х,0) = щ (х,0) = 0, (30)

и( х1,1) = 0, (31)

1

| и (х, г)®{х)йх = у(*) . (32)

0

Умножая обе части (29) скалярно на ш(х) в Ь2 (0,1), получим

(% "иххг "ихх,ю(х)) = /(*Хк(х'0'ю(х)), (33)

где через , обозначим скалярное произведение в £2(0,1). Так как

— 2

(%, ®) = —у {и, ®) = у"0), —

" {иххГ + ихх, ®(х)) = Чщ + и> (х)), то из (33) получим 1

/ (*) = к-1^ )|ш"(5)(щ + и )($, I — + у"(* ), (34)

0

где

к0(*) = (к(х, *), ш(х).

Подставляя (34) в (29), имеем 1

и# " ихх* " ихх = |К(X 5 *)(и + и)(^ *— + ~(X *). (3 5)

0

где

К(х, 5, г) = -ш"(5)к(х, г)/ к0(*) ,

~(х, *) = к(х, I)у" (*) /к0 (*) .

Для решения задачи (30)-(31),(35) введем в рассмотрение две вспомогательные функции

щ + и = V, V = е-гУ . (36)

Тогда функция V (х, t) будет удовлетворять условиям

~ ~ 1 ~ г ~

VI - V.хх =|К(х,5,t)еt)Ж е-2(/-т¥(х,т)ёт + е-г<~(х,t), (37)

0 0 V х,0) = 0, (38)

У(х,, t) = 0. (39)

Хорошо известно, что функция Грина для краевой задачи

щ - ихх = g(х, t), и(х,0) = 0, и(хI, t) = 0, I = 1,2 представимо в виде О(х, t, т) = (t - т)-1/2 О0 (х, t, т),

где О0( х, t, т)- достаточно гладкая функция. Принимая во внимание свойства

функции Грина, нетрудно убедиться, что любое решение V (х, t) задачи (37)-(39) является решением интегрального уравнения

~ *1 1 ~

Г( х, t) = II ^ - т)-1/2 О0 (х, t, т)йВД IК (£, 5, т)К(5, т№ -00 0

т

-1 е-2(т-т1)К(;, тх)^Г1 - е-^ & т)], (40)

0

или, используя теорему Фубини, и меняя порядок интегрирования, из (40) получим

~ (1 ~

V ( х, t) = ЛКДх,^ ,т)V (£,т)^+^ ( х,* ), (41)

00

где

1

К (х, t, т) = (t - т)-1/21О0 (х, t, т) К (5, т^ -

0

"I (t-т!)-1/2 О0( х, t, т:)е-2(т-т1^ь

т

/1

^ (х, t) = -т)-1/2 О0( х, t, т)е-т g & т)й^т 00

В дальнейшем нам понадобится следующая лемма, аналогичная лемме Гронуол-ла-Белмана.

ЛЕММА 2. Пусть у(*) и z(t)- непрерывные неотрицательные функции. Если

;} (1 + (^ т)-1/2 )),

0 < у(*) < z(t) + С11 + ^ - т) )у(т)^т, 0 < t < Т. (42)

0

то справедлива оценка

-Г 1 ^

0 < у(*) < С z(t) + { (t -т)-1/2 z(т)dт

I 0

где С -положительная константа, зависящая от С,Т и ж .

(43)

— 1 / 2

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Умножая обе части (42) на — т) и интегрируя по (0,*), получим

/ / / |(* — т)—1/2у(т)—т < |(* — т)—1/2г(т)—т + Сл{у(т)—т .

0

(44)

0 0 Здесь мы использовали неравенство

(1 + (* — т)—1/2)< 2Т 1/2(* — т)—1/2. (45)

Подставляя (44) в (42),и применяя леммы Гронуолла, получим (43). Продолжим доказательство теоремы 3. Докажем разрешимость интегрального уравнения (41) с помощью метода последовательных приближений

(1

Vп = Г(х,*) + ЦКх{х,*,т)Vп—т)—I—т. 00

Из (46) в силу условий теоремы и неравенства (43), имеем г

—1/2

(46)

Vп—1(-, т) —т.

V'7 < С: + С2|(* — т) 0

Отсюда, в силу леммы 1 следует, что

V7

< С.

Это означает, что последовательность ¡~п} сходится равномерно к функции V(х, *). Возвратившись к последовательности (46), и найдя предел при п ^да, мы видим, что функция V (х, *) удовлетворяет уравнению (41).

Чтобы установить единственность найденного решения, допустим, что V1 является другим решением. Тогда

/ 1

V{ х, *) — х, *) = ЯК:( х, *, т) 00

откуда получаем

V (£, т) — V Ч^, т) —I—т

V (•, *)—V 4-, *)

< С|(1 + (* — т)—1/2)т) — кЧ,т) —т . 0

Хорошо известно, что решение этого неравенства может быть только одно:

К — V1 = 0 и, следовательно, V = V1, (х, *) е Qт .

Таким образом, мы доказали однозначную разрешимость интегрального уравнения (41). Тогда по формулам (36),(34) последовательно находим V, и и /. Теорема 3 доказана.

ТЕОРЕМА 4. Пусть (щ, /) (I = 1,2) два решения обратной задачи (23)-(26) с данными у ) соответственно. Тогда имеет место оценка

||и1 — и2||

С (От)

<

С|| у1 — у 2|

С 2 ([0,Т ])

константа С зависит от функции к,® и Т.

Доказательство теоремы можно получить непосредственно из соотношений (36),(34),(41) с применением леммы 2.

Заключение

Автор статьи считает, что в данной работе новыми являются доказательства теорем существования и единственности решения различных линейных обратных задач для псевдогиперболического уравнения с различными условиями переопределения.

Литература

1. Аблабеков Б.С. Обратные задачи для дифференциальных уравнений третьего порядка. - LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013. 291 с.

2. Бухгейм А.Л. Введение в теорию обратных задач [Текст] /А.Л.Бухгейм. Новосибирск: Наука, 1988. 183 с.

3. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи [Текст] / С.И. Кабанихин.-Новосибирск: Сиб. науч. изд-во, 2009. 457 с.

4. Лаврентьев М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа [Текст] /М.М.Лаврентьев, В.Г.Романов, С.П.Шишатский. М.: Наука, 1980. 288 с.

5. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики [Текст] / В.Г. Романов. М.: Наука, 1984. 254 с.

6. ЧудновскийА.Ф. Теплофизика почвы. М.: Наука, 1976. 352 с.

7. Yu.Ya.Belov, Inverse Problems for Partial Differential Equations, Utrecht, VSP, 2002.

8. Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin U.A. Methods for solving inverse problems in mathematical fhysics. New York; Basel: Marcelker, 1999. 709 p.

Linear inverse problem for the pseudo hyperbolic equations

Kurmanbaeva Ainura Kudaibergenovna, Candidate's (Ph.D) in Physics-Mathematics, head of Department, Kirgyz State Technical University named after I.Razzakov

In this paper linear inverse problems for pseudo hyperbolic equations is considered. We prove the corresponding theorem on the unique solvability of the inverse problem.

Keywords: inverse problem of pseudo hyperbolic equation, Volterra equation, conditions override

УДК 330.43. /330.34

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОРРЕЛЯЦИОННОЙ АДАПТОМЕТРИИ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ СТРАХОВЫХ РЫНКОВ

Анна Борисовна Лейнартене, магистр экономики Тел.: 8 908 214 09 65, E-mail: [email protected] Сибирский федеральный университет http://www.sfu-kras.ru

В статье предложен метод корреляционной адаптометрии для выявления предкризисных и кризисных ситуаций на страховых рынках. Применимость метода исследована на данных статистики некоторых региональных страховых рынков Российской Федерации.

Ключевые слова: корреляционная адаптометрия, эффект группового стресса, дисперсия, корреляции, экономический кризис, страховой рынок.

В 1985 году Е.В.Смирновой и А.Н.Горбанем был обнаружен эффект, проявляющийся в группах и популяциях, находящихся в тяжелых условиях существования. Наблюдаемый эффект состоит в росте корреляционных связей между параметрами системы при увеличении адаптационного напряжения в этой системе, а именно уменьше-