CC BY
11
УДК 535.3: 681.75
ЛИНЕЙНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ТОПОГРАФИЧЕСКИХ ПОПРАВОК К АНОМАЛИЯМ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ ЗА ВЛИЯНИЕ МАСС ВНЕШНЕЙ ОБЛАСТИ
Артем Владимирович Мареев
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, аспирант кафедры инженерной геодезии и маркшейдерского дела, тел. (953)865-45-78, e-mail: Artemi2013@mail.ru
В статье приводятся результаты эксперимента по применению способа интегральных параметров для вычисления топографических поправок к аномалиям силы тяжести за гравитационное влияние масс рельефа внешней области. В результате эксперимента выявлено, что линейная интерполяция топографических поправок возможна внутри области размером 1' на 1' (3,2 км2), при радиусе центральной зоны равном десяти километрам. Это позволяет использовать параметрический способ интерполяции топографических поправок в оптимизации вычислений топографической редукции аномалий силы тяжести.
Ключевые слова: аномалия силы тяжести, топографическая редукция, топографическая поправка, параметрический способ интерполяции топографических поправок.
LINEAR INTERPOLATION OF TOPOGRAPHIC CORRECTIONS TO GRAVITY ANOMALIES
Artem V. Mareev
Siberian State University of Geosystems and Technologies, 10, Plakhotnogo St., Novosibirsk, 630108, Russia, Ph. D. Student, Department of Engineering Geodesy and Mine Surveying, phone: (923)865-45-78, e-mail: Artemi2013@mail.ru
In the paper experimental results of applying parametric interpolation of topographic corrections to external zone topographic corrections are presented. The experiment shows that linear interpolation of external zone's topographic correction is valid in area 1' x 1' (3,2 km2), if radius of the central zone is 10 km. It allows using parametric interpolation method for optimization of topographic reduction calculations.
Key words: gravity anomalies, topographic reduction, topographic correction, parametric method of topographic corrections interpolation.
Современное координатно-временное и навигационное обеспечение в полной мере неосуществимо без информации о внешнем гравитационном поле Земли. Для пользователя такая информация предоставляется в виде модели геопотенциала. Сама модель обычно представляет собой набор коэффициентов разложения потенциала силы тяжести Земли по сферическим функциям. Модель является готовым продуктом, прошедшим через несколько этапов сложной математической обработки. На пути превращения измеренных значений аномалий силы тяжести (АСТ) в модель геопотенциала одним из технологических этапов является топографическое редуцирование.
Топографическая редукция АСТ - это процедура учета гравитационного влияния масс промежуточного слоя вокруг результативной точки измерения АСТ. Она предполагает разделение зоны учета влияния рельефа на элементарные блоки, а также численное интегрирование по полученному разделению. Численный результат интегрирования называют топографической поправкой к
где xP, yP, zP - координаты результативной точки;
G - гравитационная постоянная;
o(x,y,z) - функция плотности распределения масс;
S - расстояние между текущим блоком интегрирования и результативной точкой;
dx - объемный элемент (блок) зоны учета гравитационного влияния рельефа.
В процессе подготовки данных при моделировании гравитационного поля Земли для каждого отдельного измерения АСТ выполняется численное интегрирование (1). Точность вычисления топографических поправок к АСТ напрямую зависит от точности используемой модели рельефа и размера объемного элемента. Чем меньше величина объемного элемента и чем лучше он представляет форму рельефа, тем точнее будет выполнен расчет топографической поправки. Однако это влечет за собой увеличение вычислительной нагрузки, что наряду с непрекращающимся ростом объема гравиметрической информации приводит к необходимости поиска решений по оптимизации процедуры вычислений топографической редукции АСТ. В качестве иллюстрации проблематики приведем следующий пример. Пусть в наличии имеются гравиметрические измерения с плотностью 10 точек на квадратный километр по всей территории России (площадь - 17 100 000 км ).
Согласно замерам, время расчета топографической поправки к АСТ за влияние масс внешней и дальних областей для одной точки численным способом составляет 1,5 минуты на процессоре Intel Core i7 4790 одним потоком (при использовании в дальней области 1-минутной модели рельефа, а во внешней области 3-секундной модели). Соответственно общее время расчета топографических поправок на всю территорию России составит 178125 суток одним интегральным потоком. Применение быстрого преобразования Фурье позволит сократить время расчетов до 890 суток. На практике данные числа могут быть значительно больше, поскольку в замерах не учитывались затраты времени на интегрирование во внутренней зоне (от 0 до 10 км). Важно отметить, что быстрые вычисления топографических поправок к аномалиям силы тяжести позволяют разработчикам моделей ГПЗ применять различные редукционные схемы (Буге, изостатические редукции, инверсионные редукции) в различных регионах Земного шара, что в свою очередь позволяет найти наиболее подходящие
АСТ:
(1)
т
способы редуцирования и получить наилучший результат моделирования гравитационного поля. Потому задача оптимизации расчетов топографической редукции АСТ довольно широко обсуждается в научной литературе [3]-[7].
Одним из подходов в оптимизации вычислений топографической редукции является расчет топографических поправок с помощью интегральных параметров [3]. Способ основан на возможности линейной интерполяции интегральных параметров внутри областей определенных размеров и предполагает, что вычисления топографических поправок производится путем интерполяции интегральных параметров в результативную точку, тогда как сами интегральные параметры рассчитываются каким-либо интегральным методом в узлах регулярной сетки. Оптимизация вычислений достигается за счет того, что шаг регулярной сетки значений топографических параметров может быть значительно шире шага измерительной гравиметрической информации. То есть, если интегральные параметры можно интерполировать в пределах сетки шагом 10 минут дуги, а на каждую 10-минутную трапецию приходится 10 измерений, то экономия в расчетах составит шесть точек, на которые не нужно выполнять численное интегрирование.
Топографические поправки меняются в пространстве нелинейно, и их непосредственная линейная интерполяция приводит к значительным ошибкам. В работе [1] приводится экспериментальное подтверждение возможности линейной интерполяции топографических поправок к АСТ за влияние топографических масс дальних областей (за 200-км зоной). Также в работе [1] было установлено, что топографические поправки за дальнюю область можно интерполировать в пределах 10-минутной регулярной сетки с допускаемой погрешностью в 1 мкГал. Открытым оставался вопрос о возможности интерполяции интегральных параметров топографических поправок во внешней области (от 10 до 200 км). В связи с чем возникает задача экспериментального определения размера области допустимой интерполяции интегральных параметров топографических поправок к АСТ за внешнюю область.
Первым интегральным параметром является топографической поправка к аномалии силы тяжести, вычисляемая в узлах регулярной сетки ЦМР с высотой, равной средней высоте ЦМР в области интерполяции. Второй интегральный параметр - вычисляемое значение вертикальной составляющей градиента топографической поправки между топографической поверхностью и поверхностью со средней высотой, полученной по высотам из выбранной ячейки сетки ЦМР.
Для определения области возможной линейной интерполяции топографических поправок был проведен эксперимент, аналогичный приведенному в статье [1]. Однако в новом эксперименте требовалась более детальная модель рельефа и более точные формулы расчета поправки (1).
В эксперименте была использована модель рельефа в 3-секундной детализации, разработанная на данных радарной съемки БЯТМ. Модель находится в свободном доступе по ссылке: Шр^/^^м^е^'йпёеграпогатав. о^/ёешЗ.Мш!.
Для проведения эксперимента были выбраны профили, которые находятся в области между меридианами L1=93°, L2=94° и параллелями S1=24°, B2=25°. Выбор профилей в данной области не случаен, так как 200-километровая окрестность области определения профилей характеризуется значительными перепадами высот (предгорье), в том числе значительны перепады высот внутри самих профилей.
На основе исходных 3 - секундных профилей путем разрежения получены профили результативных точек следующего дискретного ряда: 15", 30", 1' , 2' (первая группа профилей). Затем был смоделирован ряд профилей, координаты точек которых располагаются посередине сетки, задаваемой профилями первой группы. Для вычислений интегральных параметров использовался алгоритм численно-аналитического интегрирования [3]. Указанный алгоритм рекомендован для расчета поправок во внешней зоне.
В данном исследовании зона учета рельефа полагалась переменной. Моделирование влияние притяжения рельефа производилась в областях от 10 до 200 км и от 15 до 200 км. В первой группе профилей была выполнена линейная интерполяция интегральных параметров в середину, на основе которых затем вычислены поправки к АСТ. Именно эти значения поправок сравнивались со значениями, рассчитанными непосредственно численным интегрированием во второй (контрольной) группе профилей. Результаты эксперимента приведены в таблице.
Ошибки интерполяции топографических поправок внешней области
Интервал интерполяции (количество точек в профилях) 15 "(270) 30"(350) 1 '(220) 2'(100)
Центральная зона 10 км
Среднее значение разностей поправок, мкГал 0,005 -0,101 -0,251 -0,871
Стандартное отклонение разностей поправок, мкГал 0,174 1,208 4,136 14,053
Центральная зона 15 км
Среднее значение разностей поправок, мкГал 0,003 -0,014 0,018 -0,210
Стандартное отклонение разностей поправок, мкГал 0,067 0,428 1,654 4,769
Таким образом, считая достаточной точность интерполяции поправок на уровне 5 мкГал, можно положить допустимым интервал линейной интерполяции в 1 минуту дуги (через 1,8 км) при размере ближней зоны в 10 км. Соответственно имеется возможность разработки параметрической модели топогра-
фических поправок за внешнюю область дискретностью в 1 угловую минуту. Заранее просчитанная модель топографических поправок за внешнюю область позволит увеличить скорость обработки гравиметрической информации за счет исключения необходимости интегрирования для каждой отдельной результативной точки для площадных или профильных гравиметрических съемок. Очевидно, что при необходимости достижения более высокой точности вычислений и одновременно высоких скоростей обработки можно уверенно использовать 1- минутную дискретность задания интегральных параметров при 15 - километровом радиусе ближней зоны.
Однако наперед просчитанная глобальная модель интегральных параметров поправок не всегда может быть удобной на практике, поскольку она не даст возможность пользователю модифицировать параметры редуцирования. Потому для расчета топографических поправок внешней области предлагается использовать следующий оптимизированный алгоритм:
- по имеющейся совокупности измерений определить оптимальное расположение узлов сетки интегральных параметров, полностью покрывающих область задания данных, с шагом обеспечивающим требуемую точность вычисления поправок;
- на основе ЦМР определить значения средних высот в каждой из ячеек регулярной сетки, построенной на предыдущем шаге алгоритма, а также определить собственные значения высот в узлах образованной сетки;
- вычислить интегральные параметры в узлах регулярной сетки;
- путем линейной интерполяции полученных интегральных параметров выполнить вычисления топографических поправок в результативных точках.
Наиболее эффективно использовать преимущество параметрического способа интерполяции поправок позволит алгоритм, включающий в себя оценку оптимального интервала интерполяции и радиуса неучитываемой области (центральной зоны) на основе оценки степени изрезанности рельефа местности. Таким образом, алгоритм сможет автоматически увеличивать интервал интерполяции, уменьшать радиус центральной зоны в равнинных областях и действовать обратным образом в местности со сложным рельефом. Однако это требует дополнительного изучения влияния изрезанности рельефа на интервалы линейной интерполяции поправок.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Мареев А.В. О возможности расширения интервала линейной интерполяции поправок полной топографической редукции для обработки больших массивов гравиметрической информации [Электронный ресурс] / А.В. Мареев // Физика земли. - 2016. № 6, с. 1-5.
2. Дементьев Ю.В., Развитие теории и разработка технологии определения аномалий силы тяжести в полной топографической редукции [Текст] : диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук/ Ю.В. Дементьев // Новосибирск - 2012.
3. Casenave, Fabien, Laurent Metivier, Gwendoline Pajot-Metivier, and Isabelle Panet. "Fast Computation of General Forward Gravitation Problems." Journal of Geodesy 90, no. 7 (July 2016): 655-75.
4. Grombein, Thomas, Kurt Seitz, and Bernhard Heck. "Optimized Formulas for the Gravitational Field of a Tesseroid." Journal of Geodesy 87, no. 7 (July 2013): 645-60.
5. 48 Forsberg R (1985) Gravity field terrain effect computation by FFT. Bull G'eod 59:342-360
6. Heck, B., and K. Seitz. "A Comparison of the Tesseroid, Prism and Point-Mass Approaches for Mass Reductions in Gravity Field Modelling." Journal of Geodesy 81, no. 2 (January 25, 2007).
7. Nagy D (2006) The prism method for terrain corrections using digital computers. Pure Appl Geophys 63:31-39
© A. B. Mapeee, 2018
