ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ ДЛЯ ЭЛАСТОМЕРОВ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК. 531

ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ ДЛЯ ЭЛАСТОМЕРОВ

Высоцкая Н.Д., кандидат технических наук, доцент;

Красовский В.В., кандидат технических наук, доцент,

Институт «Агротехнологическая академия» ФГАОУ ВО «Крымский федеральный университет имени В.И. Вернадского».

Система уравнений, описывающих напряженно-днформированное состояние эластомеров является существенно нелинейной и строится на основании уравнений нелинейной теории вязкоупругости. В статье подробно рассмотрен способ линеаризации законов состояния Линдли, Пенга-Ландела, обобщенного закона Гука для использования в дальнейшем при решении нелинейных задач вязко-упругости в трехмерной постановке методом конечных элементов. Учитывается нелинейность двух типов: физическая и геометрическая

Ключевые слова: метод конечных элементов, эластомеры, нелинейные задачи, вязкоупругость.

LINEARIZATION OF NONLINEAR VISCOELASTICITY EQUATIONS FOR ELASTOMERS

Vysotskaya N.D., Candidate of Technical Sciences, Associate Professor; Krasovskiy V.V., Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Institute «Agrotechnological academy» of FSAEI HE «V.I. Vernadsky Crimean Federal University».

The system of equations describing the stress-induced state of elastomers is essentially non-linear and is based on the equations of the non-linear theory of viscoelasticity. The article considers in detail the method of linearizing the Lindley, Peng-Landel laws of state, the generalized Hooke's law for further use in solving nonlinear problems of viscoelasticity in a three-dimensional formulation by the finite element method. Nonlinearity of two types is taken into account: physical and geometric

Key words: finite element method, elastomers, nonlinear problems, viscoelasticity.

Введение. В настоящее время ни одна из отраслей современной техники не обходится без применения резинотехнических изделий. Наиболее крупными потребителями деталей из эластомеров являются автомобильная промышленность и сельскохозяйственное машиностроение, которые совместно потребляют до 50 % объема выпускаемых отраслью приводных ремней и формовых деталей. Степень насыщенности деталями подобного рода один из основных признаков совершенства, надежности и комфортабельности массовых видов машиностроительной продукции. В составе механизмов и агрегатов современ-

158

ных автомобиля, трактора или комбайна имеются сотни наименований и до тысячи штук резиновых или резинометаллических деталей. причем одновременно с увеличением производства машин возрастает их резиноемкость. Так, например, в тракторе ДТ-75 М имеется свыше 250 штук эластомерных деталей общим числом 879 и массой 143 кг, а в автомобиле KAMA3-5320 - свыше 400 наименований общим количеством 1174 штук и массой 106,7 кг (без шин).

В то же время, практика эксплуатации сельскохозяйственной техники показывает, что в большинстве случаев межремонтные ресурсы обусловлены обычно сроками службы эластомерных деталей. Широкое применение высокоэластичных полимерных материалов при создании новых типов сооружений и конструкций машин, агрегатов сельскохозяйственного назначения позволяет уменьшить их массу, стоимость и одновременно повысить производительность, динамичность и прочность.

Предотвращение отказов, связанных с эксплуатацией эластомерных деталей, возможно путем жесткого соблюдения технических требований, то устранение технологических и конструктивных причин отказов требует проведения глубоких научных исследований в области разработки методов теоретического обоснования, конструкторского и технологического обеспечения параметров эластомерных деталей, определяющих их безотказную и долговечную работу при действии температурных, силовых и временных факторов эксплуатации.

Большая вязкость, ярко выраженный релаксационный характер напряжений, геометрически и физически нелинейный характер деформирования эластомеров требует привлечения для их расчета математического аппарата нелинейной теории вязкоупругости.

Существенного сокращения стоимости и сроков создания более совершенных образцов эластомерных деталей и технологии их изготовления можно добиться заменой части натурных экспериментов математическим моделированием, обеспечивающим адекватное прогнозирование протекающих при изготовлении и эксплуатации изделий процессов. Общей чертой математических моделей, описывающих гидродинамические процессы формования изделий и деформационные процессы нагружения, является их существенная нелинейность, обусловленная конечностью деформаций и сложностью реологического поведения структурированных и неструктурированных эластомеров. Области интегрирования уравнений, как правило, имеют сложную форму, а положение свободных поверхностей деформируемого массива заранее неизвестно, если имеет место течение со свободными границами при конечности деформаций. Реализуемое решение (поля напряжений, деформаций, температур и степеней вулканизации) обладает существенной пространственно-временной неоднородностью. Если в области расчета несущей способности эластомерных деталей простой формы путем введения ряда упрощающих допущений (малости деформаций, линейности механического поведения, изотермичности процесса, несжимаемости массива и др.) во многих случаях удалось получить пригодные для практического использования аналитические решения, то область математиче-

159

ского описания процессов формования получила развитие только в последнее десятилетие с появлением мощных ЭВМ и распространением метода конечных элементов, позволяющим избегать чрезмерного упрощения задач, приводящем к таким расхождениям с экспериментом, что расчет теряет смысл. Тем не менее, несмотря на это, пока отсутствуют универсальные алгоритмы и программы, применимые для расчета любых типов деталей и процессов их изготовления.

Для правильного описания процессов деформирования эластомеров необходимо учитывать: нелинейную зависимостью компонент тензора деформаций £ и вектора перемещений ¡/(V) (геометрическая нелинейность); нелинейную связью компонент тензора напряжений & и тензора деформаций ё (физическая нелинейность).

Материал и методы исследований. Существует определенный ряд эластомеров, в которых нелинейные эффекты проявляются при малых деформациях, что позволяет учитывать в физически нелинейных материалах нелинейные члены лишь в физических соотношениях вязкоупругости, а уравнения равновесия и геометрические соотношения Коши остаются линейными. В этом случае совпадают метрики деформированных и недеформированных объемов. Однако в большинстве видов эластомеров участок малых деформаций невелик и нелинейные эффекты проявляются при больших деформациях. Тогда необходимо учитывать нелинейные члены во всех соотношениях (уравнения равновесия, Коши, соотношения вязкоупругости), а также различие в метрике деформированного и недеформированного объемов.

Все это говорит о том, что получение численных результатов в задачах нелинейной теории вязкоупругости связано со значительными математическими и вычислительными трудностями и, как правило, не может быть достигнуто без применения ЭВМ, т.к. основано на сочетании итерационных процессов и инкрементальных методов с линеаризацией основных соотношений теории вязко-упругости. Таким образом, получаемая система разрешающих уравнений является нелинейной и решить ее без линеаризации крайне трудно.

Реализацию нелинейных законов состояния для слабосжимаемых эластомеров будем проводить на основании линеаризации, используя метод конечных элементов и построив матрицу жесткости для линейного вязкоупругого материала. В зависимости от применяемых алгоритмов используют несколько способов линеаризации. Используем метод, предложенный Б.Е. Победрей [1]. Этот метод называется методом упругих решений и заключается в том, что тензор напряжений разбивается на две части, одна из которых представляется линейными слагаемыми, другая - нелинейными.

Результаты и обсуждение. Рассмотрим линеаризацию нелинейных уравнений для законов состояния Гука, Пенга-Ландела и Линдли [2, 3]. Если принять в рассмотрение базисную декартовую систему координат, то ковариантные компоненты тензора конечных деформаций £ будем определять с учетом геометрической нелинейности по формуле:

160

= 1/2 (Cfumli + С"

ит'j

(1)

где Ст', С™' - коэффициенты матрицы преобразования координатных систем, с помощью которых осуществляется переход от местной системы координат к базисной.

Выражение (1) можно представить в виде

'¿тп ~ '¿тп ^ ^тп> (2)

где етп - линейная составляющая, определяемая формулой

^тп ~ 1/2 (Сп' ^к'т ^т ^к'п) > £~тп - нелинейная составляющая тензора деформаций

^тп — 1 .

Первый инвариант тензора деформации Коши-Грина также представим в виде суммы линейной и нелинейной частей:

где

11 = = + ^22 + ^ЗЗ! ]1 = = ¿11 + ¿22 + ^33'

Используем принцип Вольтерра, который заключается в том, что решение задачи для вязкоупругого тела может быть получено так же, как решение аналогичной задачи для упругого тела, если в процессе решения с интегральными операторами обращаться как с упругими постоянными. В итоге закон деформирования вязкоупругого материала можно представить на основе обобщенного закона Гука [4] в операторной записи

дЧ = сУк1ек1,

где С':к1 - интегральный оператор тензора упругих постоянных, который согласно [4] представляется выражением

Ciikl<p = С

_ rlikl о

(4)

<p(t) - jl_mR(t - т)<рШт

где ф - функция, на которую воздействует оператор, R(t-r) - ядро релаксации,

Cjki - компоненты тензора упругих постоянных, которые обладают симметрией относительно индексов i,j, k, l:

pijkl _ pklij

pijkl _ pjikl L0 — L0 .

^ijkl _ ^ijlk pijkl _ pjilk

Учитывая (1), (2), (3), (4) обобщенный закон Гука для нелинейного вязко-упругого слабосжимаемого материала (зависимость между компонентами тензоров напряжений и деформаций) [5]

161

может быть представлен в виде:

^ = 2Ц (цт\с1пЬ~тп - У^) + 2/1 (.^Лп - + (5)

где 13 - третий инвариант тензора первой меры деформации G 'Лх (меры деформации Коши-Грина),

gnJ, g'J - компоненты метрических тензоров систем координат, В=Х+2/3 ¡л - модуль объемного сжатия, X и ц - коэффициенты Ляме,

Я^ Rb - разностные ядра сдвиговой и объемной релаксации соответственно. Первое слагаемое выражения (5) содержит линейные составляющие е и] второе слагаемое - нелинейные составляющие £~тп иа третье - представляет собой функцию объемной деформации нелинейного слабосжимаемого материала, состоящую из физически и геометрически линейных и нелинейных составляющих.

Необходимо линеаризовать функцию объемной деформации. Для этого разложим д/Тз в ряд Тейлора по /, в окрестности единицы, ограничиваясь в силу слабой сжимаемости материала членами второго порядка малости:

С/з - 1) -

1

/з = 1

(/з - I)2-

При / =7 получаем

^Г3 = 1 + -(13-1)--(13-1)2.

(6)

Выразим третий инвариант меры деформации Коши-Грина через инварианты тензора конечной деформации [6]

73 = 1 + 2д + 4/2 + 8у3. (7)

Подставляя (7) в (6), получаем:

Д = 1 + (2А + 4/2 + 8/з) -1 (2/а + 4/2 + 8/3)

1

= 1 + (¡1 + 2/2 + 4/з) --(/! + 2/2 + 4/з)2 = 1 + (/1 + 2/2 + 4/з) х

х (1 - 2 А - )2 ~ 2у3) = 1+А + 2/2 + 4/з - -А2 - 2/22 - 8/32 -

"2/1/2 - 4/1/3 - 8/2/3.

(8)

Представляя ] в виде суммы линейных и нелинейных слагаемых, согласно (3), получим

4Г3 = 1 + Н + )1 + 2)2 + 4/3 - - 2/22 - 8/з2 -

-/ 2 2

"2/172 - 4/1_/з - 8/2/з.

(9)

162

Подставляя (9) в (5), разделяем линейные и нелинейные слагаемые

^ = 2Д [дт1дп)£тп - -^я4) + Вн,д1> + 2Д [дт1дп^тп - ^д^ +

+Вд1} (А + 2)2 + 4/з - ^А2 - 2/22 - 8/32 - 2А/2 - 4Д/3 - 8/2./3) = (10)

1

= 2Д (¿Гя^тп - ттМ" + В}и(]1! +

+2^дт1д^£тп--з]1д^) + Ввд1'.

Здесь введено обозначение

Учитывая, что В=1+2/3л, выражение (10) можно представить в виде

<?г/ - 2Ддт1д^ётп + + 2Д (>^?тт1 - ^д'') + Йёд",

где 1 - интегральный оператор вида (4)

1ц = Я0

'7(0- ВЖ-тЫфт

'7(0 = 0(0-

Первые два слагаемых (10) представляют собой закон Гука для линейного слабосжимаемого вязкоупругого материала. Третье слагаемое характеризует нелинейную добавку при формоизменении конструкции, а последнее - оценивает вклад, который дает как физическая, так и геометрическая нелинейность при изменении объема и формы деформируемого тела.

Разделим вязкие и упругие составляющие тензора напряжений. Для этого распишем (10), учитывая интегральные операторы ¡¡, В

<*У = 2//,, (д™дп]ёшП - \ь9Ц - IДДГ - {ят1дп]ётп -

- з нд1]) лт ) + в01 к а1' - I ЪС*- 07а д1'^ ] +

1.

1.

или

163

д1' = 2^0£тп(д) + ВфцЧ + 2^0£тп(д) + В093ч -

с г

~21-10 | К^ - г) г^'Шт - В0 | ВД - Оп^т - (11)

— СО —00

- т)атпЫ\т)йт - В0 ¿ад -Здесь при определении девиаторов напряжений используется обозначение

г- (д) _ ат1ап)р _ 1 г, п1' стп У У стп ^ '

е (л) = ашап>е

стп У У стп 2 '

Обозначим первые два слагаемых (11) третье и четвертое слагаемые -а ] Они представляют собой соответственно линейную и нелинейную части упругой составляющей тензора напряжений

= 2ц0£тп<*> + ВфС^. &у1} = 2^тп(я) + Во§д1'. Последние четыре слагаемых - вязкая составляющая, которая тоже может быть представлена как сумма двух слагаемых а^ и а~В]:

где а~ ч - добавка, обусловленная геометрической и физической нелинейностью материала.

С учетом принятых обозначений, получаем

= + (12) Линеаризуем зависимость а~е для закона Пенга-Ландела [3]. Преобразуем формулу

используя операторы Вольтерра ¡л, В

164

(13)

Разложим 13 >■■. 13 6 и /Зз в ряд Тейлора по /, в окрестности единицы, ограничиваясь в силу слабой сжимаемости материала членами второго порядка малости:

_5 _5

и 6 = 1? 6

13 6 = /3 6

1 1 1о2 = 1п2

—1з~

¡3=1 6

1 , --

-7^3 6 /,=1 6

55 .

¿1=1

С/з" I)2

С/3-1) + -/Гв /3=1 72

/■5=1 72 Л,=1

3 , ±

+ -/Я2

/, = 1

/,=1

Уз-1) + -/з" С/з - 1)

/,=1

При/ =7 из (14) - (16), получаем

55 ,

72

4 = 1 а3 -1)+|а3 -1)2-

Подставим (7) в формулы (17) - (19), получим

5 5 55

"6 = 1-- (2Л + 4/2 + 873) + — (2А + 4у2 + 8;3)2

'5 55 " 55 110

= 1 -

V

/:■) ьь ьь ни \ (А + 2у2 + 47з) (3 " у^А " " Т■Ъ)

1 - - Л

3 М

"72

10 20 _ 55 2 110 2 440 2 у 7з + у^А + —72 + —7з +

110 . . 220 . . 440 . .

+ —7172 + — 717з + —/27з;

= 1 - I (2А + 4А + 8/з) + ^ (2А + '1/2 + 87з)2 =

/17 7 14 ч = 1 - 01 + 2А + 4;'з) (-- —А - 7))2 - —к) =

1 2 4 7 2 14 2 56 2 = 1-зА-з72-з7з+^А +-А +-7з +

, 14 . . 28 . . 56 . .

+ — 717г + — 717з +— 7г7з:

/31 = 1 + | (2А + 4/2 + 8;3) + ^ (2;, + 472 + 873)2 =

/ 3 \

= 1 + Ох + 2А + 4;'з) (3 + -А + ЗА + б7'з) =

з

= 1 + ЗА + 6А + 12А + -А2 + 6А2 + 24А2 +

+6/1/2 + 12/17 з + 24/2/3.

(14)

(15)

(16)

(17)

(18) (19)

(20)

(21)

(22)

165

Предварительно вычислим множитель 132 - входящий в формулу (13) воспользовавшись разложениями (22) и (8):

3

13 2-^Г3 = 2(Л + 2)2 + 4;3 + А2 + 4;22 + 16;32 +

+4А;2 + 8АА + 1б;2;3). Воспользуемся формулой 1=2]+3 [6], тогда множитель

24 - 3 = 2(2]1 + 3) - 3 = 4Д + 3. Подставляя (20), (21), (23), (24) в формулу (13), получим

(23)

(24)

i>] =

10

20

110

440

= figl][l--h-j)2--h+-h +—72 +—h +

110 220 440 \ ../12 4 +—iiii + —Jih + -yhh J " ßGl'\l - -A - -}2 - -j3 +

7 , 14 2 56 2 14 28 ° 56 \

+ +-h +-¡3 +Jhi2 + -kh+-i2hj +

+ ^ßGi}(7h2 + 20; J2 + 40w3 + 4A3 + I6jtj22 + б4ы32 + I6j12j2 + +32j12j3 + 64jlhj3 + 3h + 6 j2 + 12 ]3 + 12;22 + 48;32 + 48;2;3) + +BGi'(j1 + 2)2 + 4;3 +7l2 + 4j22 + 16j32 + 4;J2 + QjJ, + I6j2h). С учетом (3), группируем линейные и нелинейные составляющие j , в результате получаем

88 п

д1' =ßg"

1

-

11 , 22 , h + 2h + 4/3 " jh2 ~ у/2

22 44 88 \ ../ 1 \

~h

7

14

56

14

+ -ßGl> U, + 2)2 + 4j3 - -tf + —)2l ~ —h ~ -Rh ~

"28 .... ,......

-TWs "~Vhh + ,ßGl,h + TßG^Oh + 6j2 + 127s +

+7Л2 + 12j 2 2 + 48732 + 20] J2 + 40jJ3 + 48] 2)3 + M]J2j3 + +4A3 + I6W22 + 64/J32 + Щ2]2 + 32А27з) + + 2/2 +

+473 + А2 + 4/г2 + 1б;'з2 + 4А72 + 8ш'з + 1б727з) + ВС'^. Раскрываем скобки и приводим подобные:

(25)

166

Введем обозначения, пусть

= _ 11722т 88 9

«1 = к +к + 2 к + 4;3 - —к ~ у к ~ —к

22

44

3 К)1 з 717з з 7г/3'

49 44 136 Н2 = 5л + Бк + 10; 2 + 20;3 + — л2 + —]22 + —/32 +

136

256

16

+22)-и 2 + 44/1/з + —Ыз + ~Шъ + у Л +

64 256 64 128

+ у 7172 + "у А7з + у к к + -у Л к.

2 2 , Лг ; 2

Г = л + 2;2 + 4/3 + 4;/ + 167У + 4;1;2 + + 16;2;3. Тогда (25) будет иметь вид

либо

= 2Де°' + В^С^ + - 5Н1д'/) + Вв'С.

Из полученного соотношения выделим вязкие составляющие

^ = 2^0£у + /да17 + у (Н2су - 5Н15у) + В0ГСУ -? " t

-2ц0 У->'(т)с1т-В0 I Нь^-т)к(т)С/Чт-

-00 —со

(26)

(27)

Для упрощения записи и четкого разделения линейных и нелинейных, вяз-коупругих и упругих составляющих напряжений обозначим

СТу = и(1

= 2М0£°' + В олС'А

= 2^0

^В = А'о

J о - Т)Е'ЫТ + В0 I нь(í - т)/^а1'йт

-со —со

t

I А),а ~ фр> + (Н2СУ - БН^У)]^

т +

+7?П

Таким образом, с учетом принятых обозначений закон Пенга-Ландела (27) можно представить, как и закон Гука (12) в виде

167

где ау*4 и аВ*Н - добавки, обусловленные нелинейностью, &В*4 - вязкая составля-

* Н " "

ющая, оу'] - линейная часть тензора напряжений. Закон Линдли [3]

<т" =■

1

М

<

9Ч -/3СУ- I К,а-т)(дЧ-13С,ч)сЬ

■ 13 (/3 - 1)с" - I Яь(1-т)С--13 (/3 -

может быть представлен в виде

По аналогии с выше изложенным разложим ¡-Г- ряд Тейлора

(29)

1 1

/3 2 = 2

'3

1,=1

1 _3 -/, 2

2 3

(/3 - I)2..

/,=1

(/3 - 1) + -/3"2 /3=1 ь

При 13=1, ограничиваясь в силу слабой сжимаемости материала членами второго порядка малости, имеем

Выражая третий инвариант меры деформации Коши-Грина через инвариа-ниы тензора конечной деформации (7), получаем

(30)

Используя (30), а также ранее полученные разложения у'А (8) ¡з2 ~ л/^з (23), запишем формулу (29)

д1' = й

(зи (1 - А " 2А - 4А + ^А2 + бА2 + 24А2 + 6АА + 12АА +

1

+24АА) - с"Ц + А + 2А + 4А - 2А - 2А - 8А -|

-2АА-4АА - 8АА)) + + 2А + 4А + А2 + 4А2 + 1бА2 +

+4АА + 8АА + 16АА)' _

Учтя (3) и используя ранее принятое обозначение 9* (26), получим

168

& = Д (яу(1 -л)-СУ(1 +а)) + ВслСУ -

-д (а + 2;2 + 4/3 - 1-ь2 - 2)2 - 8/32 - 2А/2 - 4ы3 - 8/2/3) +

+5У (а + 272 + 47з " \к2 ~ Цг " 24]32 - 6А/2 - 12А/3 - 24/2/3)) +

+ВсГСу.

Введем обозначения

Н2* = Ъ + 2)г + 4/з - ^А2 - 2;22 - 8;32 - 2А/2 - 4А7з - 8/2/3,

= * = 3

Н: = А + 2/2 + 4/з - -А2 - бк2 - 24/32 - ~ ЩЛз ~ 24/2/3. Тогда, преобразовывая (31) с учетом (32), получаем

г?1' - р, - )Л (а1' + Су)) + Вс-

-д(н2*Су + + Вс0"Су. Расписывая интегральные операторы, будем иметь

<?У = А(0 (2е"У -А+ 6"')) + В0сАС'7 + До - ¡А V7 - Н2*С") +

г

+Вос0'Су - до | - т) (2^ - ]Л (//" + 6"')) с1т -

— со

С Г

—7?0 |дь^-т)сАС°'сгт-м0 |й^-т)(2Еу-Н1017-Н2Су')С*Т-

(31)

(32)

(33)

Ясно, что и выражение (33) также может быть представлено в виде (12), где линейной частью является зависимость:

а,/7 = + «0с7-г;". (34)

Все остальные слагаемые (33) можно рассматривать как добавки, обусловленные нелинейными и вязкими свойствами эластомеров. При с=1 формула (34) полностью совпадает с формулой (28), полученной при линеаризации закона Пенга-Ландела.

Для зависимостей Линдли и Пенга-Ландела предельным законом является закон Гука [3]. Это позволяет при линеаризации полученных зависимостей использовать линеаризованные соотношения теории вязкоупругости для сла-босжимаемых материалов. Уравнение (28) можно использовать для построения матрицы жесткости конечного элемента.

Выводы. В работе развита методика исследования напряженно-деформированного состояния конструкций из вязкоупругих слабосжимаемых материалов (эластомеров). Для решения нелинейных задач теории вязкоупругости в трехмерной постановке предлагается использовать метод конечных элементов и

169

нелинейную трехмерную теорию упруго-наследственного деформирования высокоэластичных тел. При этом применяется принцип Вольтерра и учитывается нелинейность двух типов: физическая и геометрическая. Физическая нелинейность учитывается с помощью законов состояния для нелинейных слабосжи-маемых материалов (Линдли, Пенга-Ланделя, обобщенного закона Гука), а геометрическая - применением в уравнениях нелинейного тензора деформаций.

Рассмотрена линеаризация нелинейных уравнений вязкоупругости эластомеров для построения матрицы жесткости конечного элемента.

Список использованных источников:

1. Победря Б.Е. Методы нелинейной вязкоупругости // Науч. тр. Ин-та Механики МГУ. - 1971. - № 8. -С. 47-74.

2. Высоцкая Н.Д. Построение линеаризованных соотношений вязкоупругости для расчета эластомеров. - В кн.: Материалы отчетной научно-технической юбилейной конференции, посвященной 75-летию ЛСХИ. Луганск, 1996. - с.108.

3. Киричевский В.В., Дох-няк Б.М., Высоцкая Н.Д. МКЭ для расчета нелинейных вязкоупругих тел в трехмерной постановке / Луганский с.х. ин-т. - Луганск, 1996. - 39 с. - Деп. В Укр НИИНТИ 24.10.96 № 2120 -Ук96.

4. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. - М.: Наука, 1966. - 752 с.

5. Киричевский В.В., Сахаров А.С. Нелинейные задачи термомеханики конструкций из слабосжимае-мых эластомеров. - К.: Будiвельник, 1992. - 216 с.

6. Лурье А.И. Теория упругости. - М.: Наука, 1970. - 940 с.

References:

1. Pobedrya B.E. Methods of Nonlinear Viscoelasticity //Scientific works of the Institute of Mechanics of Moscow State University. - № 8. - P. 4774.

2. Vysotskaya N.D. Construction of linearized viscoelasticity relations for the calculation of elastomers. - In the book: Materials of the reporting scientific and technical anniversary conference dedicated to the 75th anniversary of the LAI. Lugansk, 1996. - p.108.

3. Kirichevskiy V.V., Dokhnyak B.M., Vysotskaya N.D. FEM for the calculation of nonlinear viscoelastic bodies in a three-dimensional setting. Lugansk Agricultural Institute. -Lugansk, 1996. - 39 p. - Dep. In Ukr NIINTI 24.10.96 No. 2120 - Uk96.

4. Rabotnov Yu.N. Creep of structural elements. - Moskva: Nauka, 1966. - 752 p.

5. Kirichevskiy V.V., Sakharov A.S. Nonlinear problems of thermomechanics of structures from weakly compressible elastomers. Kiev: Budivelnik, 1992. -216 p.

6. Lurye A.I. Elasticity theory. -Moskva: Nauka, 1970. - 940 p.

170

Сведения об авторах:

Высоцкая Наталия Дмитриевна - кандидат технических наук, доцент кафедры общетехнических дисциплин Института «Агротехноло-гическая академия» ФГАОУ ВО «КФУ имени В.И. Вернадского», e-mail: natali.v-v@mail.ru, 295492, Россия, Республика Крым, г. Симферополь, п. Аграрное, Институт «Агротехнологи-ческая академия» ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского».

Красовский Виталий Викторович - кандидат технических наук, доцент кафедры общетехнических дисциплин Института «Агротехно-логическая академия» ФГАОУ ВО «КФУ имени В.И. Вернадского», e-mail: vitaliy-krasovskiy@mail.ru, 295492, Россия, Республика Крым, г. Симферополь, п. Аграрное, Институт «Агротехнологическая академия» ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского».

Information about the authors:

Vysotskaya Natalia Dmitrievna -Candidate of Technical Sciences, associate professor of the Department of General Technical Disciplines of the Institute "Agrotechnological Academy" FSAEI HE "V.I. Vernadsky Crimean Federal University", e-mail: natali.v-v@ mail.ru, Institute "Agrotechnological academy" of the FSAEI HE "V.I. Vernadsky Crimean Federal University", Agrarnoye v., Simferopol, Republic of Crimea, 295492, Russia.

Krasovskiy Vitaly Viktorovich -Candidate of Technical Sciences, associate professor of the Department of General Technical Disciplines of the Institute "Agrotechnological Academy" FSAEI HE "V.I. Vernadsky Crimean Federal University", e-mail: vitaliy-krasovskiy@mail.ru, Institute "Agrotechnological academy" of the FSAEI HE "V.I. Vernadsky Crimean Federal University", Agrarnoye v., Simferopol, Republic of Crimea, 295492, Russia.

171