CC BY
30
ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЕ ОПИСАНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ДЕФОРМИРОВАНИЮ ВЫСОКОНАПОЛНЕННЫХ ЭЛАСТОМЕРНЫХ (НАНО) КОМПОЗИТОВ. Часть 2. Конечные деформации
УДК 539.2:544.2:678.01:519.7:539.3:517.958
ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЕ ОПИСАНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ДЕФОРМИРОВАНИЮ ВЫСОКОНАПОЛНЕННЫХ ЭЛАСТОМЕРНЫХ (НАНО) КОМПОЗИТОВ. Часть 2. Конечные деформации
АЛЬЕС М.Ю.
Институт прикладной механики УрО РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34
АННОТАЦИЯ. Деформирование наполненных эластомерных (нано) композитов сопровождается изменением микроструктуры материала, особенно в межфазной зоне, и приводит к нелинейности их механического поведения: нелинейной зависимости напряжений от деформаций; необратимости свойств в форме эффекта размягчения Маллинза; порообразованию и падению объемной упругости; влиянию среднего напряжения на сопротивление сдвигу. Рассматриваются феноменологические описания, отражающие особенности механического поведения высоконаполненных эластомеров при малых и конечных деформациях в условиях сложных режимов квазистатического нагружения с учетом разрыва макромолекулярных цепей и эффектов межфазного взаимодействия.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: эластомерные (нано) композиты, микроструктура материала, межфазное взаимодействие, нелинейное механическое поведение.
При больших (конечных) деформациях наибольшие успехи в описании свойств высокоэластичных материалов достигнуты при рассмотрении упругих несжимаемых или почти несжимаемых сред [1-7]. Известная модель Муни-Ривлина, например, дает удовлетворительный результат для натуральных резин при деформациях, достигающих 400 %. Однако содержание в эластомерной матрице твердых (нано)частиц наполнителя существенно изменяет свойства материала. Известные упругие модели для несжимаемых и сжимаемых сред не описывают механическое поведение высоконаполненных эластомеров.
Для изотропной вязкоупругой среды в случае конечных деформаций справедливы следующие соотношения [8]
со I t
р*() = р...¡Г*()екл(£,, (1)
П=1 0 0
где р,р - плотность материала в отсчетной р и актуальной р конфигурациях; ст. - тензор напряжений Коши, определяемый в р - базисе на единицу площади в деформированном теле; е* - тензор деформаций Грина, определяемый в р -базисе. В дальнейшем, компоненты тензоров, векторных дифференциальных операторов в базисе актуальной конфигурации р будем отмечать сверху "крышкой".
О трудностях идентификации параметров моделей, содержащих многократные интегралы, отмечалось выше. При конечных деформациях проблемы возрастают [9-12]. Экспериментальные трудности часто обуславливают перенос результатов теории малых деформаций на конечные с последующей проверкой их пригодности [12].
В [13, 14] различные виды уравнений записываются путем замены констант в уравнениях состояния упругих материалов на интегральные операторы. Определяющие соотношения наследственного типа получены в [14] относительно отсчетной конфигурации
0У =- к (/ 3-0-5(а) -1)^ +1 (?(/,(£)£, - Зgklglkg]l Х-7/б(С), (2)
где Qjj - "энергетический" тензор напряжений; gij, ,§■ * - метрические тензоры в р и р конфигурациях; 1г(0), 13(0) - первый и третий инварианты тензора меры деформации Коши-Грина Gij; К - константа объемного сжатия; С () - интегральный оператор с разностным ядром.
Другая модель вязкоупругой среды предложена в [11]:
й« =м[1-51б^1] - 3/1(G) О, + К(/^(О) - , (3)
-1
где О« - тензор обратный тензору О« [4]; //() - интегральный оператор с разностным ядром.
Нелинейное соотношение для несжимаемых резиноподобных материалов при конечных деформациях предложено в [15]
С t л
'к Т7 А
аг] = г] + FЖF
g0#ш Щ (£) , (4)
>05 к1 + ^ ^^ Ь ^"И
V о J
где Fгk - тензор градиента деформаций; g0 - константа; р - гидростатическое давление; Я^) - функция релаксации.
Приведенные выше модели, основанные на положениях наследственной механики, не описывают обусловленное расслоением полимерной матрицы необратимое изменение свойств наполненных эластомеров.
Для описания механического поведения резин при больших деформациях В.В. Мошевым [16] предложен упругий потенциал, учитывающий эффект размягчения
^(Ят, /Е) = /Е + В(Ят )/Ет(Лт), (5)
п(Лт)
где О(Лт) = 14 -1,828^ , В(Лт) = (4,75 - 0,58^)(17,75 - 5,33^ + 5,78 -10-2(Лт -1)4), т, п -
Т т ^ (Л"т - 1)
константы; 1Е - инвариант вида / Е = У-.
п=1 п
Модель, описывающая механическое поведение высоконаполненных эластомеров типа твердых ракетных топлив в условиях больших деформаций и в широком диапазоне программ нагружения предложена Свансоном [17] (см. также [18, 19])
„ „ г дЭг1 (£)
я « = 1(1 и,||1 Л„)/Я«(6)
о д
(
I(1 и , 1 и ш ) /0( 1 и ш )
1
1 - С 1 и
lll.ll
V V и и" шJJ
(7)
где Я« - девиатор второго (симметричного) тензора напряжений Пиола-Кирхгоффа Р«; Э« - девиатор тензора деформаций Грина а«; Я^) - функция сдвиговой релаксации; /(I и ,|К Л ш) - функция размягчения; С1 - константа. Различные аппроксимации для материальной функции /0(|| IЛ ш ) рассмотрены в работах [18, 19].
Замыкаются соотношения (6) моделью объемных изменений, сопровождающих деформирование. Проблемы дилатации эластомеров в условиях больших деформаций рассмотрены в [5, 20, 21]. В простейшем случае гидростатическое напряжение в актуальной конфигурации связано с относительным изменением объема
в.^ (8)
dV
соотношением [4]
Л(^) = —, (9)
1 1 + в
где dV, dV - элементарные объемы в р и р конфигурациях; /1 ((г) - первый инвариант тензора напряжений Коши.
Когда различия между лагранжевым и эйлеровым описанием нет (|еу | << 1), напряженное состояние определяется единственным тензором ст у и соотношение (9) в линейном приближении в(1 + в)~в (в << 1) принимает вид /1(ст) = 3Кв, где 8 определяется первым инвариантом тензора малых деформаций в = /1 (г) .
При конечных деформациях необходимо использовать соотношения (9), относительное же изменение объема (8), при этом, определяется третьим инвариантом тензора деформации Коши-Грина /3 (О)
в = л//3(С)-1. (10)
Случай в = -1 в (9), очевидно, не реализуется никогда, иначе dV = 0, что в рассматриваемых задачах механики деформирования невозможно по определению.
Как отмечалось выше объемные изменения в высоконаполненных эластомерах в существенной степени определяются микроструктурными нарушениями сплошности материала. Выразим в из (9)
в = (г(К -(г)-1, где 3(г = /1((г). (11)
Заметим, что при ограниченном |в| < М имеем |сг| < М(1 + М)-1 К и правая часть (11)
лишена каких-либо особенностей. Соотношение (11) определяет объемную сжимаемость материала не содержащего вакуолей (пор). Обозначив через у приращение объема, связанное с порообразованием, запишем
в = (г(К -(г)-1 + у. (12)
Аппроксимации для функции у можно принять исходя из моделей Фарриса (соотношение (17) в [22])
у(£ и ,(Г) = Б(£ и )"е*, (13)
или В.В.Мошева (соотношение (14) в [22])
у{ея ,(г) = С (ея )ае*&, (14)
отражающих закономерности объемных изменений в общем виде и не связанных по своей структуре (в части вкладов (13), (14)) с понятиями "малые" или "конечные" деформации. Выразим из (12) первый инвариант тензора напряжений Коши
в-у
/Да) = 3К- в—, (15)
1 + в-у
где К теперь имеет смысл модуля объемного расширения-сжатия материала в отсутствие пористости. Заметим, что при К ^ 0 условие 1 + в-у = 0 не реализуется никогда и правая часть (15) лишена каких-либо особенностей.
Соотношение, связывающее первые инварианты тензоров Пиола-Кирхгоффа р и
Коши ст у можно записать следующим образом [4]
/ (p) = 3/- (G)^V73(G)i1 (¿) - ),
(16)
где £гу - девиатор тензора Рц.
Заметим, что тензор меры деформации Коши-Грина определенно - положителен [4], поэтому положительны и не равны нулю его главные значения и инварианты I . Правая
часть в (41) лишена каких-либо особенностей.
Соотношения (16) с учетом (6) и (15), таким образом, полностью замыкают модель деформирования Свансона.
В заключение отметим, что соотношения Свансона (6), (7) по своей структуре во многом похожи на соотношения Фарриса (соотношения (16) в [22]). Основу моделей
Фарриса составляют следующее исходные разложения (одноосный случай) [23]
~ ( \
о
i=1
S
V" "р У
Л.
(17)
где А, р - параметры, Р^ (а /||а|| ) - полиномы степени I.
В (17) не вводится ограничений, связанных с малостью деформаций. Приведенная в [22] модель для случая малых деформаций (соотношения (15), (16) в [22]), является частным случаем теории. При рассмотрении конечных деформаций, таким образом, воспользовавшись тем же членом разложения, который был принят Фаррисом в линейной модели, запишем
Sj = e
f
2ß
I,
Y
f
Э +
I p
1 -
1.
t
J R(t -Z)d3j (£)
(18)
Замыкаются соотношения (18) моделью объемных изменений (13), (15), (16).
s
в
B
I
u
I
I
0
u
u да
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кожевникова Л.Л., Кузнецов Г.Б., Роговой А.А. Равновесие тел вращения под действием массовых сил. М. : Наука. 1983. 102 с.
2. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М. : Мир. 1965. 456 с.
3. Лурье А.И. Теория упругости. М. : Наука, 1970. 939 с.
4. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М. : Наука, 1980. 515 с.
5. Ogden R.W. Nonlinear Elastic Deformation. Ellis Horwood Lmt., 1984. 532 p.
6. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М. : Мир, 1976. 464 с.
7. Прикладные методы расчета изделий из высокоэластичных материалов / под ред. Э.Э. Лавендела. Рига : Зинатне, 1980. 238 с.
8. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М. : Наука, 1970. 280 с.
9. Бартенев Г.М., Валишин А.А., Зуев Ю.А. и др. Расчет релаксационных спектров эластомеров // Механика полимеров. Краснодар, 1978. С. 73-82.
10. Адамов А.А. О неединственности определения параметров в интегральных уравнениях вязкоупругости по данным квазистатических испытаний // Исслед. по мех. полим. и систем. Свердловск : Изд-во УНЦ АН СССР, 1978. С. 16-20.
11. Адамов А.А. Об идентификации модели наследственной вязкоупругости при конечных деформациях // Структурная механика неоднородных сред. Свердловск : Изд-во УНЦ АН СССР, 1982. С. 8-11.
12. Громов В.Г. Метод построения определяющих соотношений вязкоупругих тел при конечных деформациях // ДАН СССР. 1985. Т. 285, № 1. С. 77-81.
13. Колтунов М.А., Трояновский И.Е. Геометрически нелинейная задача теории вязкоупругости // Механика эластомеров. Краснодар, 1977. Т. 1, вып. 97. С. 36-46.
14. Суюншкалиев Н.Х. Некоторые задачи теории конечных упругих деформаций. Ташкент : Фан, 1988. 128 с.
15. Christensen R.M. Nonlinear Theory of Viscoelasticity for Application to Elastomers // J. Appr. Mech. 1980. V. 47, № 10. Р. 12-16.
16. Мошев В.В. Особенности механического поведения резины как конструкционного материала в условиях конечных деформаций при одновременном накоплении в ней поврежденности // Деформирование и разрушение композитов. Свердловск : Изд-во УНЦ АН СССР, 1985. С.46-52.
17. Swanson S.R., Christensen L.W. A Constitutive Formulation for High-Elongation Propellants // J. Spacecraft. 1983. V. 20, № 6. P. 559-566.
18. Francis E.C., Thompson R.E. Nonlinear Structure Modeling of Solid Propellants // AIAA Pap. 1984. № 1290. Р. 1-5.
19. Finne S., Futsaеther C., Batnan J.I. et al. ThreeDimensional Analysis of Solid Propellant Grains Using a nonLinear Viscoelastic Model // AIAA Pap. 1990. № 2090. Р. 1-8.
20. Черных К.Ф., Шубина И.М. Об учете сжимаемости резины // Механика эластомеров. Краснодар, 1978. Т. 2, вып. 268. С. 56-62.
21. Черных К.Ф., Литвиненкова З.Н. Теория больших упругих деформаций. Л. : Изд-во ЛГУ, 1988. 256 с.
22. Альес М.Ю. Феноменологические описания нелинейного сопротивления деформированию высоконаполненных эластомерных (нано) композитов. Часть 1. Малые деформации // Химическая физика и мезоскопия. 2010. Т. 12, № 1. С. 69-77.
23. Farris R.J. Homogeneous Constitutive Equations for Materials with Permanent Memory // Dissertaion Doctor Philosophy, Ph. Dept. of Civil Eng., Univ. of Utah. 1970. P. 143.
PHENOMENOLOGICAL DESCRIPTIONS OF NON-LINEAR RESISTANCE A HIGHREINFORCED ELASTOMERIC (NANO-) COMPOSITE FIELD WARPING. PART 2. ULTIMATE DEFORMATIONS
Alies M.Yu.
Institute of Applied Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Izhevsk, Russia
SUMMARY. The warping of highreinforced elastomeric (nano-)composite field is accompany with considerable material's microstructure changes and bring to considerable nonlinearity of their mechanical behaviour: nonlinear dependence between stress and deformation, characteristics irreversibility (Mullius softening effect), pore-formation and the bulk elasticity drop, mean stress influence on the shearing strength. In this article are consider the phenomenological descriptions, which are reflect mechanical behaviour of elastomers characteristics in small and ultimate deformations by quasistatic loading with macromolecular chains rupture and interfacial interaction effects.
KEYWORDS: elastomeric (nano) composite, material's microstructure, interfacial interaction, nonlinear mechanical behaviour.
Альес Михаил Юрьевич, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник ИПМ УрО РАН, тел. 89128563824, e-mail: my_alies@mail.ru
