CC BY
3
Abriyev N. T Assistent, Jizzax politexnika institute
LI ALGEBRASINING DIFFERENSIALLASHLARI
Annotatsiya: Bu ishda Li algebrasi haqida tushunchalar keltirilgan. Barcha uch o 'lchamli kompleks Li algebralari biriga izomorf bo 'lishi keltirilgan. Li algebrasining differensiallanishini ko 'rib chiqamiz.
Kalit so 'zlar: Li algebrasi, ichki differensiallash, vektor, operator, gomomorfizm, maydon.
Abriyev Nematillo Assistant Jizzakh Polytechnic Institute
LI ALGEBRA DIFFERENTIALS
Abstract: This work gives an idea of lie algebra. It is shown that all three-dimensional complex Lei algebras are isomorphic to one. Consider the differentiation of the Lei algebra.
Keywords: Lie algebra, internal differentiation, vector, operator, homomorphism, field.
Algebralarning differensiallanishilarini ko'rib chiqishda ba'zi bir chiziqli Li algebralari tabiiy ravishda paydo bo'ladi. Qism F- algebralari ( assotsativ bo'lishi shartmas ) biz shunchaki F maydon ustidagi D vektor fazoni tushunamiz, D X D —> D, belgilanish odatda olinadi, (to'rtburchakli qavs ishlatilganda Li algebraning holati bundan mustasno). D —algebra bo'yicha differensiallash deganda S : D —> D chiziqli xarakterlashni tushunamiz, differensiallash qoidasi quyidagi S(ab) = aS(b) + S(a)b qoidani bajaradi. D —algebra barcha differensiallarning DerD to'plamini EndD vektorning qism fazo ekanini tekshirish oson. U holda DerD — algebra gl(D) da qism algebra.
Li algebra L ko'rsatilgan ma'noda F —algebra bo'lgani uchun ta'rif bo'yicha DerL algebra. Ba'zi bir farqli differensiallash quyidagicha paydo bo'ladi. Agar x EL, L fazoda quyidagi y ^ [x, y] akslantirishda endomorfizm bo'ladi, u holda uni adx deb belgilaymiz. Bu haqiqatdan ham adx E DerL, chunki biz Yakobi identifikatorini ( (L2)' hisobga olgan holda) quyidagi shaklda qayta yozishimiz mumkin:
[x, [y, z]] = [[x,y],z + [y, [x, z]]. Bunday ko'rinish ichki, qolganlari esa tashqi differensiallash deb ataladi. Albatta, x ^ 0 uchun x = 0 bo'lishi mumkin: Masalan, har qanday bir o'lchovli Li algebrasida shunday bo'ladi. x ^ adx shaklga ega bo'lgan L —> DerL akslantirilsa L algebrasining qo'shma tasviri deb ataladi. Keyingi barcha holatlarda u hal qiluvchi ro'l o'ynaydi.
Ba'zan biz x ni bir vaqtning o'zida L algebra va uning K qism algebra elementi deb hisoblashimiz kerak. Chalg'imaslik uchun adLx va adKx yozuvlari x elementining navbati bilan L va K da ishlashi uchun ishlatiladi. Masalan, agar x diagonal matritsa bo'lsa, u holda ad0çniF)(x) = 0 bo'ladi va adgl(nF)(x) = 0 nol bo'lish shart emas.
Yuqorida chiziqli Li algebralarining ba'zi bir asosiy misollarini ko'rib chiqdik. Ma'lumki, har qanday (chekli o'lchovli) algebra ba'zi bir chiziqli Li algebralar uchun izomorfdir (Ado va Ivasavi teoremalari). Bu yerda bu so 'z isbotlanmagan; shunday bo'lsa-da, bu bizni qiziqtirgan barcha holatlarda o'zgarmas natija ekanligi dastlabki bosqichda aniq bo'ldi.
Biroq, ba'zida Li algebralarini abstrak holda ko'rib chiqish maqsadga muofiqdir. Masalan, agar L, F ning ustida ixtiyoriy chekli o'lchovli vektor maydoni bo'lsa, u holda uni hamma x,y E L uchun [x,y] = 0 deb, Li algebrasiga aylantirish mumkin. Trivial ko'paytmali bunday Li algebrasi abeliyan deb nomlanadi (chunki chiziqli holatda [x, y] = 0 tenglik x va y kommutativlikni bildiradi). Agar asosli L -Li algebra bo'lsa, unda uning butun ko'paytma jadvali [xi,Xj] =Yk=iaïj xk algebra ifodalarida paydo bo'ladigan afj o'zgarmasdan tuzilishi mumkinligi aniq. Qolaversa L1, (L2)' xossalari tufayli qolganlari uchun tiklanadigan i > j konstantalari. Aksincha, abstrak Li algebrasini tuzilish konstantalari to'plami bilan boshidanoq aniqlash mumkin. Tabiiyki, har bir shkalalar to'plami [a^] mos emas, u holda quyidagi identifikatorlar orqali (L2) va (L3) dan kelib chiqadigan matritsalarni qo'yish kifoya ekanligini ko'rsatadi: afj = 0= afj + afo %k( of; a% + aft a%) = 0 (1)
Yuqoridagi Li algebralarini bunday sun'iy usulda qurishimiz shart emas. Ammo abstrak yondashuvni qo'llash sifatida biz eng katta o'lchamdagi barcha ikki o'lchovli Li algebralarini (izomorfizmgacha) topishimiz mumkin.
1-o'lchov ko'paytirish jadvali [x,x] = 0 bo'lgan bitta asosli vektor x ga ega (qarang (L2)). 2-o'lchovli bo'lsa, L — da x,y bazisini tanlang. L algebradagi barcha hosilalar [x, y] ga mutanosib ekanligi aniq. Agar ularning barchasi 0 ga teng bo'lsa, u holda L algebrasi abeliviy bo'ladi, aks holda x ning asosini oldingi [x, y] ning ko'paytmasi bo'lgan har qanday vektor bilan almashtirish mumkin va y sifatida biz yangi x vektordan mustaqil har qanday vektorni olishimiz mumkin. Quyidagi [x, y] = ax (a ^ 0) y ni a1y bilan almashtirsak, [x, y] = x hosil bo'ladi. Shunday qilib, eng ko'p abel bo'lmagan ikki o'lchovli Li algebrasi mavjud.
Ta'rif.1. (A,+,\X) Li algebrasi, d:A —> A chiziqli almashtirish bo'lsin. Agar V x,y E A elementlar uchun quyidagi shartni qanoatlantirsa
d([x,y]) = [d(x),y] + [x,d(y)] (2)
u holda bu chiziqli almashtirishga differensiallash deyiladi.
Ta'rif.2. Agar (A , + , • ,X) Li algebrasi bo'lsa adx : A^ A, adx (y) = yx operatori differensiallash bo'ladi.
Haqiqatdan ham
adx(y + z) = (y + z)x = yx + zx = adx(y) + adx(z)
adx(Ay) = (Xy)x = Л(ух) = Aadx(y) adx(yz) = (yz)x = -(xy)z — (zx)y = (yx)z + y(zx) = = [adx(y),z] + [y,adx(z)] A algebraning barcha differensiallashlari to'plami Der(A) kabi belgilanadi. adx ko'rinishidagi differensiallashlar ichki differensiallashlar deyilib, barcha ichki differensiallashlar to'plami Inn(A) kabi belgilanadi. Ma'lumki, Li algebrasining barcha differensiallashlar to'plami algebraning 1-kosikllarini, ichki differensiallashlar to'plami esa 1-kochegaralarini beradi.
Ma'lumki, agar Di, D2 operatorlar A algebraning differensiallashlari bo'lsa, u holda DiD2 — D2Di ham A algebrada differensiallash bo'ladi. U holda Der(A) to'plam kommutator amaliga nisbatan Li algebrasini tashkil qiladi.
Bizga A Li algebrasi va qandaydir V chiziqli fazo berilgan bo'lsin. Ta'rif. 3. G algebraning tasviri deb <p : A ^ gl(V) gomomorfizmga aytiladi. Agar <p gomomorfizmning yadrosi nolga teng bo'lsa, u holda u aniq tasvir deyiladi. Ta'kidlash joyizki, berilgan ф tasvir orqali, V a EV, V x E A uchun
<!• x = ф(х)а
kabi amal aniqlasak V chiziqli fazoda A — modul strukturasi aniqlanadi.
Teorema.1. Barcha uch o'lchamli kompleks Li algebralari quyidagi algebralardan biriga izomorf bo'ladi: A0 : Abel A : №1,22] = £3; A: [ei,e2] = ei; Л3 : [ei, e2] = в2, [ei, ез] = e2 + A4 : [e1,62] = ?2, [e1, ез] = Лез Д E С*, \Л\ < 1; А5 : [ei, е{] = ез, [е^ вз) = —lei, [е2, ез] = —2е2,
Lemma.1. Ai : [ei, е2] = ез differensiallash bo'lishligini ko'rsatib o'tamiz. d(ei) = aiei + a2e2 + азез, d(e2) = Piei+ №2 + №з.
d{e3) = d([ei,e2]) = [d(ei),e2] + [еъ d^M^i + ^2 + азвз)в2 + +ei(fiiei + №2 + Рзез) = ^ез + faз = (^i + $2)ез = 0 d(e3) = ( ai+ @2)ез,
A algebra differensiallashining matritsaviy ko'rinishi quyidagicha bo'ladi. / ai a2 аз
Der(A) = ( Pi P2 Рз
\ 0 0 ai+02
^ A , adx (y) = [y,x], InnD (L) = { adx ,x E L }. A •■= [ei,e2] = ез ichki differensiallash bo'lishlikka tekshiramiz.
adei(ei) = 0, adei(e2) = —ез, adei(e3) = 0 ade2(ei) = ез, ade2(e2) = 0, ade2(eз) = 0 ade(ei) = 0, ade(e2) = 0, adе(вз) = 0
^1 ^2 ^3
ßl ß2 ß3
0 0 a1 + ß2
Inn(A) =2.
Foydalanilgan adabiyotlar
1. Jibladze, M., Pirashvili,T. Leibniz algebras and ^-groups (In preparation).
2. Jibladze, M., Pirashvili,T. Cohomology of algebraic theories. J. Algebra 137, 253-296 (1991).
3. Loday J. L. Cyclic Homology. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 301, p. xviii+454. Springer, Berlin (1992). (ISBN:3-540-53339).
