ЛЕБЕГОВА ОГРАНИЧЕННОСТЬ ПОТЕНЦИАЛА РИССА ДЛЯ (K, 1)-ОБОБЩЕННОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ С РАДИАЛЬНЫМИ КУСОЧНО-СТЕПЕННЫМИ ВЕСАМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 23. Выпуск 4.

УДК 517.5 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-4-92-104

Лебегова ограниченность потенциала Рисса для (к, 1)-обобщенного преобразования Фурье с радиальными кусочно-степенными весами1

В. И. Иванов

Иванов Валерий Иванович — доктор физико-математических наук, профессор, Тульский государственный университет (г. Тула). e-mail: [email protected]

Аннотация

В пространствах с весом \x\-1Vk(ж), где vк(х) — вес Данкля, действует (к, 1)-обобщенное преобразование Фурье. Гармонический анализ в этих пространствах важен, в частности, в задачах квантовой механики. Недавно для (к, 1)-обобщенного преобразования Фурье был определен потенциал Рисса и для пего доказано (Lp, Lq)-неравенство с радиальными степенными весами, являющееся аналогом известного неравенства Стейна — Вейса для классического потенциала Рисса. В работе этот результат обобщается на случай радиальных кусочно-степенных весов. Ранее аналогичное неравенство было доказано для потенциала Данкля — Рисса.

Ключевые слова: (к, 1)-обобщенное преобразование Фурье, потенциал Рисса.

Библиография: 18 названий.

Для цитирования:

В. И. Иванов. Лебегова ограниченность потенциала Рисса для (к, 1)-обобщенного преобразования Фурье с радиальными кусочно-степенными весами // Чебышевский сборник, , т. 23, вып. 4, с. 92-104.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 23. No. 4.

UDC 517.5 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-4-92-104

Lebesgue boundedness of Riesz potential for (k, 1)-generalized Fourier transform with radial piecewise power weights2

V. I. Ivanov

Ivanov Valerii Ivanovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Tula State University (Tula). e-mail: [email protected]

1 Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 18-11-00199, https://rscf.ru/ project/18-11-00199/.

2The research was supported by a grant from the Russian Science Foundation № 18-11-00199, https://rscf.ru/ project/18-11-00199/.

Abstract

In spaces with weight (x), where Vk(x) is the Dunkl weight, there is the (k, 1)-

generalized Fourier transform. Harmonic analysis in these spaces is important, in particular, in problems of quantum mechanics. Recently, for the (k, 1)-generalized Fourier transform, the Riesz potential was defined and the (Lp, Lq)-inequality with radial power weights was proved for it, which is an analogue of the well-known Stein-Weiss inequality for the classical Riesz potential and the Dunkl-Riesz potential. In the paper, this result is generalized to the case of radial piecewise power weights. Previously, a similar inequality was proved for the Dunkl-Riesz potential.

Keywords: (k, 1)-generalized Fourier transform, Riesz potential.

Bibliography: 18 titles.

For citation:

V. I. Ivanov, 2022, "Lebesgue boundedness of Riesz potential for (k, 1)-generalized Fourier transform with radial piecewise power weights", Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 4, pp. 92-104.

1. Введение

Пусть М^ — действительное мерное евклидово пространство со скалярным произведением (х, у) и нормой \х\ = \/(х, х), — единичная евклидова сфера в М^, А — оператор Лапласа, йр(х) = (2к)-(1/2 йх — нормированная мера Лебега, Ьр(Ма), 1 < р < то,— пространство Лебега с нормой ||/||р = (/м |/\р ^)1/р, 5(М^) — пространство Шварца,

F(y) = {2n)-d/2 I f (x)e-i^x'y> dx

JRd

— преобразование Фурье.

Введем обозначение А < Л, если А < С В с константой С > 0, зависящей только от несущественных параметров, и А х если А < В и В < А Как обычно, для р > 1, р' =

— сопряженный гельдеров показатель, \Е(%) — характеристическая функция множества Е.

Потенциал Рисса или дробный интеграл 1а определяется как интегральный оператор

/«/(х) = Ы-1 [ /(у)\х — у\а— й^(у) = Ы-11 т-У/(х)\у\а— (Ыу), (1)

где 0 < а < ^ = 2а-Л/2Т(а/2)/Т((й — а)/2), и ту/(х) = /(х + у) — оператор сдвига. Формулы для преобразований Фурье

^(1*1) = V), ?((—АТ/21) = у ),

указывают, что потенциал Рисса (1) является обратным оператором для дробной степени оператора Лапласа.

(Ьр, Ьд^ограниченность потенциала Рисса с радиальными степенными весами записывается в виде неравенства Стейна-Вейса

||\ж|-71а/(х)\\д < с(а,^,^,р,д,й)\\\х\13/(х)\\р, 1 <р < д< то.

Необходимые и достаточные условия конечности константы с(а, известны.

Теорема А. Пусть й € N 1 < Р ^ 1 < ТО 0 < а < й. Константа с(а, 7,р, д, д) конечна тогда и только тогда, когда ^ < @ < а ^ 1 — 1) и а — 7 — @ = й(^ — 1).

Достаточность условий в теореме А была доказана Г.Х. Харди и Дж.И. Литтлвудом [1] для й = 1, С.Л. Соболевым [2] для й > 1 и 7 = @ = 0, Е.М. Стейном и Г. Вейсом [3] в общем случае. Необходимость условий в теореме А установлена в [4].

Одним из важных обобщений преобразования Фурье является преобразование Данкля (см. [5, 6]). Аналог потенциала Рисса для преобразования Данкля определили С. Тангавелу и Ю. Шу [7].

Пусть К С М^ \ {0} — система корней, К+ — положительная подсистема Д, О(В) С О(й) — группа отражений, образованная отражениями {&а : а е Д}, где аа — отражение относительно гиперплоскости (а,х) = 0, к: Д ^ М+ — функция кратности, инвариантная относительно группы С. Пусть

Ък (х) = Л 1{а,х)12к(а\ (х) = ск ук (х)(1х аеп+

— вес и мера Данкля, где с^к1 = \хХ2/2Ук(х) (1х — интеграл Макдональда-Мета-Сельберга,

(к) = £ аек+ к(а), \к = й/2 — 1 + (к^ г!к = 2Хк + 2 — обобщенная размерность пространства М^ с весом ук(х), Ьр(Мл,йц,к), 1 < р < то, — пространство Лебега с нормой ( \ 1/р \\f\\pAVk = (/к* |/|Р ¿»к) < ,

тз / (х) = Б, / (х) + £ к(а)(а, е3) 1 (х)~ ^аХ), 3 = 1,...,й, аеп+ ^Х)

—дифференциально-разностные операторы Данкля и А к = £^=1 Т2 — лапласиан Данкля.

Обобщенная экспонента или ядро Данкля ек(х,у) является единственным решением системы

Ъ / (х) = гу3 / (х), з = 1,...,й, / (0) = 1.

Ее свойства подобны свойствам классической экспоненты ег(х'у\

Для £ е Ь1(Ма ,й^к) преобразование Данкля определяется равенством

Fk(f)(y) = f (х)ек(х,у) d^k(х).

Если к = 0, то Fo совпадает с преобразованием Фурье F. Преобразование Данкля является изометрией в S(Rd) и L2(Rd,d^k)■

M. Реслер (см. [6]) определила оператор обобщенного сдвига ту, у G Rd, для преобразования Данкля равенством

Fk (ту f )(z) = ек (у, z)Fk (f )(z), f G L2(Rd, d^ ),

или

тУf (x) = / ek(y,z)ek(x,z)Fk(f )(z) d^k(z).

Если к = 0, то ту f (x) = f (x + y) совпадает с обычным сдвигом.

С. Тангавелу и Ю. Шу [7] определили потенциал Данкля-Рисса па S(Rd) как интегральный оператор

la f (X) = (1ка )~Ч Г-У f (х)\УГ^ d^k (У), (2)

JRd

>a-dk/2T(a/2)/T((dk — справедливо равенство Fk(1%f) = \ ■ \-aFk(f)•

где 0 < a < dk и = 2a dk/2T(a/2)/T((dk — ot)/2). Как и для потенциала Рисса для него

Неравенство Стейна-Вейса для потенциала Данкля-Рисса и / € 5 (М^) примет вид

ИМ-71к»/(*)Н^ < с(а,Р,1,р,д,(1,к)\\\х\^/(х)\\р^к.

Аналог теоремы А для потенциала (2) установлен в [8, 9]. Там же можно найти предшествующие результаты.

Теорема В. Пусть й € N 1 < Р ^ 1 < то, 0 < а < йк. Константа с(а, $,^,р,д,(1,к) конечна, при р = д или при р < д и а ^ ^ — 1 ^ тогда и только тогда, когда ^ < [3 < ^ и а — 7 — Р = (1к(I — 1 ).

Вопрос о необходимости условия а ^ йк^^ — при р < д и функции кратности к ф 0

ч

остается открытым

Как видим, в теореме В размерность с! заменяется на обобщенную размерность йк-Пусть В1 = [х € М^: \х\ ^ 1} В\ = М^ \ Въ 7 = (71,72) Р = (РиРъ),

и-у (х) = \х\-11 ХВг (х) + \х\-12 ХВ1 (х), и/3 (х) = \х\^ хв1 (х) + \х\^2 хв$ (х)

— кусочно-степенные весовые функции. Рассмотрим для / € 5(М^) неравенство

Ц«-7 (х)!а / ^ < c(a, Р, 1 ,Р,^,Л,к)\\ир (х^(х)\\р^к (3)

с константой с(а, 0, ^,р,д,(1,к) и 1 < р < д < то. В [4] доказано следующее утверждение.

Теорема С. Пусть й € N 1 < Р ^ 1 < то, 0 < а < ¿к. Константа с(а, Д 7,р,д,й,к) конечна, при р = д или при р < д и а ^ — ^ тогда и только тогда, когда

^^ йк йк а ¿к

71 <—, Р1 <~г, а — 72 <—г, « — Р2 <—, д р' д' р

71 + Д ^ а — (1к{- — ^^ 72 + $2 \р д/

Дальнейшее обобщение преобразования Фурье и Данкля получено в [10]. Бен Сайд, Коба-яши и Орстед [10] определили а-деформированный гармонический осциллятор Данкля

А к>а = \ж|2-аАк — \х\а, а > 0,

и двупараметрическое семейство унитарных операторов Тк,а в гильбертовом пространстве Ь2{МЛ,й^к,а) с нормой

11Р4»к,а = \Р ^к,а) Р, Р = 2,

названное (к, а)-обобщенным преобразованием Фурье. В спектральной форме

?к,а (2Хк + а))еЩ){2^ Ак,а) , (4)

где

й^к,а(х) = Ск,аУк,а(х) йх, Ук,а(х) = \х\а-2Ук(х), С^ = е-^/аЬк,а(х) (1х.

Jмd

Число (Iка = 2Хк + а = (I + 2{к) + а — 2 называют обобщенной размерностью пространства М^ с весом Ук,а(х).

Если а = 2, то (4) — преобразование Данкля. Если а = 2 и к = 0, то (4) — преобразование Фурье. Если а = 2, то (4) — деформированное преобразование Данкля и деформированное преобразование Фурье.

Важный случай обобщенного преобразования Фурье получается при а = 1. Оно может быть записано как интегральный оператор

Ла/(х) = / вк(х,у)/(у) йукл(у)

Jмd

с непрерывным симметричным ядром Вк(х,у).

Оператор сдвига ту для преобразования Лкд и / е Ь2(Маопределен Бен Саидом и Делеавалом [11] (см. также [12]) равенством:

ЛкЛ(ту / )(г) = Вк (у,г)ЛкА(/)(г).

Но он также как и оператор сдвига для преобразования Данкля не является положительным оператором и его .^-ограниченность известна только при р = 2.

В [13, 14] в качестве оператора сдвига предложен оператор среднего значения ту по сфере

ТV(х) = \ тЬу'/(х) йакЛ(уг), í е М+, (5)

где (1ок,1(уг) = ак,1Ук,г(у') (1у' — вероятностная мера на сфере. В [13] доказано, что оператор (5) положительный и ограниченный в пространствах £Р(М?1 ^ р ^ то. Здесь под Ь^(Ма, 1) понимается пространство Сь(^а) непрерывных ограниченных функций с нормой

II/11- = «ир |/(х)1

Потенциал Рисса для (к, 1)-обобщенного преобразования Фурье и / е £(М^) определен в [15] как интегральный оператор

#7(х) = №)-1 I ту/(хМ^1 ¿ЦккАУ), (6)

где 0 <а< 4,1 и ^1 = Г(а)/Г^к,1 - а).

Как для потенциалов Рисса и Данкля-Рисса для него справедливо соотношение

ЛкМ'Ч) = | ■ ГаЛкМ).

Потенциал (6) может быть записан с помощью оператора сдвига (5)

г <х

#7 (х) = (-Я1)-1 (х)Г-^1 (1»ХкЛ(1), (7)

где

,1(г) = ЬХк,1Г2Хк (1г, = ^ е-гг2Хк (1г = Г(2Ак + 1).

Из (7) следует положительность потенциала (6).

Неравенство Стейна-Вейса для потенциала (6) и / е £(М^) имеет вид

\\И-7#7 < с1(а,^,1,р,Ч,й,к)^1х1^/(х)\\р411к1. (8)

В [15] доказано утверждение, аналогичное теореме В, только обобщенная размерность г!к в нем заменяется на обобщенную размерность йк>1-

Теорема В. Пусть й € N ^кд > 11 < Р ^ д < <х>, 0< а < йк}1. Константа с±(а, 7,р, д, й, к) конечна при р = д или при р < д, а ^ ^кд ( 1 — 1 ) тогда и только тогда,

когда1< ^М р< иа — 7 — ¡3 = 4д( 1 — 1).

Наша цель — доказать аналог теоремы Б для кусочно-степенных весов. Запишем аналог неравенства (8) для / € 5(М^)

IIй—7 (х)!аг1 f (х) || — с1(а, А, 7 ,Р,Я, Л, к)^ир (Х)/. (9)

Теорема 1. Пусть й € N ^М > 1,1 < р ^ д < ос, 0 < а < ¿к,1. Константа с1(а, Р, 7,р, д, й, к) конечна при р = д или при р < д, а ^ (1к>1(^ 1 — 1 ^ тогда и только тогда, когда

„ Лк,1 0 „ ^к,1 ^ йк,1 а ^ йк,1

71 < —, Р1 <—Г, а — 72 < —Г, а — Р2 < —-, ЯР Я Р

(1 1 \

71 + Д ^ а — йк,1[---К 72 + Р2.

а/

Замечание. Теоремы Б и 1 справедливы и при йк,1 = 1, то есть в этих теоремах можно предполагать йк,1 ^ 12. Представление потенциала Рисса

для (к, 1)-обобщенного преобразования Фурье

Потенциал Рисса (6) для $ € Б(М^) можно записать в виде

1а'1 / (х)= / (у)Фа (х,у) йркЛ(у), (11)

Jмd

где

Фа (Х,У) = Тщ 0 8^—а—1ТХ(е—^)(у) ¿8 (12)

(см. [15]).

Лемма 1 [15]. Для ядра Ф а(х,у) выполняются следующие свойства:

1. Фа(х,у) = Фа(у,х)

2. Фа(гх', V) = га—Лк'1 Фа(х', ^/г)у');

3. ¡§а-1 Фа(гх'^у') (1(7кЛ(х') = (Фа)о(г^), где

Г'

(Фа)о(г,г) :=(7а,1)—1С2\к (Г + I — 2л/н ст ^Т-^1 8тмм—2

4. Фа(х,у) = (^) 1ту(| ■ |а Лк>1 )(х) или, эквивалентно,

^ка1Фа(х,у) = Ук (/^(\х1 + 1у1 — ^21хИ(1 + (х>, ■))иу—к'1 (ЩХк — 1/2(у))(у'),

О

где

СЛ = ^(Х^1!/2) ' d^Xk-1/2(и) = СХк-1/2(1 - и2)Хк 1 du'

Ук — положительный оператор сплетения в гармоническом анализе Данкля, имеющий пред-

Vк I (Х)=! ! (0 Фк (0

Jмd

с вероятностной мерой носитель которой лежит в выпуклой оболочке орбиты

Ох = [дх: д е С}

(см. [6]).

3. Лебегова ограниченность операторов Хардн и Беллмана с радиальными кусочно-степенными весами

Изучим (Ьр, Ьд^ограниченность с радиальными кусочно-степенными весами вспомогательных операторов Харди и Беллмана:

Н/(х)=\ /(у) d^к,l(У), В/(х)= / /(у) (1^к,1 (У). •ЛуКМ -у |у|^|х|

Нас интересуют неравенства для $ е Б(М^)

\\и-а(х)Н/^< сн(a,Ъ,р,д^,к)\\иъ(х)/(х)\р^кА,

\\и-а(х)В/(х) \\< св (а Ъ,p, ^ к)\иъ(х)/(х)\\р4^к1 с конечными константами с н (а, Ъ,р, д, й, к), св (а, Ъ,р,д^1,к) и 1 < р ^ д < то.

Теорема 2. Пусть 1 <р ^ д < то. Константа сн (а, Ъ,р,д,(1,к) конечна, тогда и только тогда, когда

Ь1 , а2 > , а1 + Ь1 ^ йкА ^ + ^ ^ а2 + Ь2. (13)

р' д \р' д/

Доказательство. Пусть г = 1хУ Радиальную функцию и-а(х) можно записать так и-а(х) = |ж|-а1 ХВ1 (х) + М-2 хв{ (х) = г-а1 хвдМ + г-а2 Х[1>те)(г) = (и-а)о(г).

В [4] установлено, что при доказательстве неравенств для оператора Харди с радиальными весами достаточно ограничиться радиальными функциями. На радиальных функциях мы приходим к эквивалентному неравенству

/ г™ / 2Ак r \q \ 1/д

[J (r^ (u-a)o(r) j0 № dt) dr)

f f™ f _2Ак \P \1/p

cH(a,b,p,g,d,k)^ (^r p (ub)o(r)fo(r)J drj .

<

H

¡0

Необходимое и достаточное условие конечности константы в последнем неравенстве известно (см., например, [16], [17, Section 1], [18, Introduction]):

, г 2Ак \д \ 1 /Г/ -2Ак \-Р' \ p-

sup A(r)= sup I ir« (u-a)0(r)j dry [ I ir p (ub)0(r)) dry < то.

0<r<™ 0<r<™^Jr ^ ' ' ^JO ^ ' '

Если 0 < г ^ 1, то

/ С1 С^ \1/q / Г , \ 1/Р

A(r) х ( J t-aiq+2Xk dt + J t-a2q+2Xk dt) (J t-bip +2Xk dt) .

Необходимо потребовать

t-a2q+2Xk dt< то, J t-b ipp+2Xk dt < TO,

или a2 > bi < ^,-. При выполнении этих условий

A(r) X Г-bi+dk,i/p' + r-ai+dk,i/q^ = r-bi+dkA/p' + r-ai-bi+dk,i(1/p'+1/q)

поэтому из конечности sup0<^ A(r) вытекает условие a1 + b1 ^ dky1{^p + ^ • Если r ^ 1, то

/ f ^ \1/q / i 1 , Г , \1/p'

A(r) x (J t-a2q+2Xk-1 dt) (J t-bip +2Xki dt + J t-b2P +2Xki dt)

X r-a2 +dk,i/q j i + r-b2 +dk,i

/p^ = r-i2+dk,i/q + r-a2-b2+dk ,i(1/p'+1/q).

Из конечности suprA(r) вытекает условие a2 + b2 ^ dk,^ 1 + 1 j •

Простой анализ полученных условий приводит к (13). □

Теорема 3. Пусть 1 < р ^ q < то. Конст,анта св(а, Ъ,р, q, d, к) конечна, тогда и только тогда, когда

b2 > ^, a1 < ^, a1 + h < dkJ^ + ^ < a2 + Ь2. (14)

Доказательство. Проводится аналогично. Необходимое и достаточное условие конечности константы в неравенстве для оператора Беллмана (см., например, [16], [17, Section 1], [18, Introduction]) будет выглядеть так

/Г/ 2hk \q \1/q /Г \-р' \1/Р'

sup J г ч (u-a)o(r)) dr) ^J [г p' (иъ)о(г)) dr) < то.

Если 0 < г ^ 1, то

/Г \ 1/q / f 1 f ^ \

A(r) x (J t-aiq+2Xk dt) (J t-bip +2Xk dt + J t-b2p +2Xk dt)

1/p

t-" "fc dt) [I tdt + I "fc dt;

Необходимо потребовать

/* 1

t-b2P'+2Xk dt< TO, J t-aiq+2Xk dt < TO,

то

1

или а1 < Ъ2 > • При выполнении этих условий

А(г) ^ r—(^l+dk,l/q + г—Ь1+йк^/р^ = г—а1+йк)1/р' + г—а,1—Ъ1+йк) 1(1/р'+1/д)

поэтому из конечности 8ир0<А(г) вытекает условие а1 + Ь1 ^ <1к(р +

Если г ^ 1, то

/Г 1 Г \ 1/а / Г ™ , \ 1/р'

A(r) х ( J t-aiд+2Лк'1 dt + J t-aiд+2Лк1 dt) (J t-b2P +2Лк1 dt)

X r-Ьь+йк^/р' + у-аь+йк^/д) = r-Ъь+йк^/я + r-a2-Ьь+йк^/р'+1/g)

Из конечности suprA(r) вытекает уеловие a2 + Ъ2 ^ dk>1{^ 1 + 1 j •

Простой анализ полученных условий приводит к (14). □

4. Доказательство теоремы 1

Доказательство теоремы 1. Пусть f £ S (Мй), f (х) ^ 0 1 < р ^ q < то, 0 < а < dky1 и выполнены условия (10) теоремы 1.

Разобъем оператор (11) с ядром (12) на сумму трех линейных операторов

la f (Х)= J1f (Х) + J2f (Х) + Jsf (X),

где

hf (x)=i f (у)фа(х,у) d^k,1(y), J2f (x) = f (у)фа(х,у) dpk,1(y),

АуКМ/2 АУ>21Х1

Jaf (x)= f (у)Фа(х,у) dpk,1 (y).

j |х|/2<1у1<2|х|

Оценка J1f. Так как

(>/Й -^1)2 < И2 + М2 -V21хИ(1+(х>, -))и < (у/Щ +лЖ)2, то при 1у1 ^ 1x1/2 из свойства 4 леммы1 Фа(х,у) х 1х1а-Лк'1. Следовательно,

31/(х) х ^Г^1 / /(у) d|J.к,l(y) = 1хГ-(1к1Н/(х/2). АуКМП

Кусочно-степенной вес обладает слабой однородностью

с1(Х)и-7(х) ^ и-7(Аж) ^ с2(Х)и-7(х), Х> 0,

поэтому по теореме 2

(хШИ\\х \\^(х)1хГ*к*н/№)\\

х \\и-7(х)1хГ^Н/(а0\\^ < Ь(х)1 (х)\\р^к

тогда и только тогда, когда

Р1 < -^т, а - 12 < -^т, 71 + Р1 ^ а - dк,l(1 - ^ ^ Ъ + @2. р' у \р д/

Оценка 32$■ Аналогично, при 1у1 ^ 21x1, Фа(х,у) х 1у1а-Лк,1. Следовательно,

J2f (X) х f (у)\у\а-Лк'1 d/j.k,1(y) = д(у) d/j.k,1(y) = Вд(2х),

Ау>21Х1 -лу^м

где д(у) = ¡(у)\у\а dk•1- Необходимо найти условия, когда имеет место неравенство

Кт(*)Вд(2Х)Ц^1 < Ь(хМ^1 —ад(х)1рА1к11.

По теореме 3

К1 (х)В9(2х)1 1 - Ь-1 (х)В9(ж)|д^к,1

< Цир(х)\х\Лк'1—ад(х)Цр^к, 1

тогда и только тогда, когда

а — 02 < —, <-к1, ^ + ^а — йкА1 — ^ ^72 +02.

р д \р д;

Оценка Jз/. Остается показать, что при выполнении условий (10) и при р < д условия а ^ Зк'^р — 0 справедливо неравенство

(х)^ ¡(х)1 д^к, 1 < Ь'р (Х)^(Х)11Р^к, 1 ■ (15)

Вначале докажем неравенство

Ьв1 (х)и_7^^/(х)1 1 < ^р(х)1(х)1р^ 1. (16)

Неравенство (16) эквивалентно неравенству

11ХВ1 (Х)и(х) Л(х)1 д^к,1 < Н/(х)1р4^к11.

Учитывая, что при \х\ ^ 1, и-^(х) — \х\—11, и-р(х) — \х\-'запишем последнее неравенство в виде

А := ||ХВ1 (х)\х\ И||^ 1 < Н1.

Так как

4^ + ^ >а — Пк1С- — шш 41 > а,

' \д рЧ ' \р д/

то существует пара (^О,0О) такая, что

1о < —, 00 < —т, 1О +00 = а — 4д(1 — ^ ^ Ъ +01. д р' \р д/

Поэтому, применяя теорему Б для пары (^о,0о), получим

А <(/ (\ж| ¡(у)Фа(х,у)й11к,1(у)Х (^(х))

V/и1<-1 V /иI/о<-и,1<-ои1 / /

<( / (\х\ —01л 1(у)\у\—[)0 Фа(х, у) <1Цк'1(х))

< ||¡(х)Ц d .

Мы воспользовались тем, что неравенство (8) может быть записано в эквивалентной форме

||И —71ка1(\Л—Р1 )И|| ^ 1 < С1(а,0,1,р,д,(1,к)Ц! (х)Цр^к 1.

Неравенство (16) доказано.

Докажем неравенство

\\хв{{х)и-1 (x)J3f(ж)IIq4ßki < \\uß(x)f{x)\\p4ßki. (17)

Оно эквивалентно неравенству

\\XBl (х)и-1 (X)Js(U-ß f X^W qAßki < \\f (x)\\Pidßki.

Из условия Ixl ^ 1 вытекает (х) х |ж|-72, u-ß(х) х |ж—2, поэтому последнее неравенство можно записать так

А := \\ХЩ (x)lx\-2-ß2 Jsf (а0\\^ < \\/(х)\\^кА.

Так как

dk'1 , dk,i А (11 \ ^ .

а--;—+ а--< а — аки---и ли а < ак1,

q р ' \р qJ

то существует пара (j0,ß0) такая, что

« — Ъ < , а — ßo < —, lo + ßo = а — dk i(1 — ^^ ъ + ß2. q' р \р qJ

Для нее также j0 < ß0 < и то теореме D для пары (j0,ß0)

А < ([ (ix—0-0 i f (у)Фа(х,у) dßkA(y))q dßkA(x))1/q

<(/ ИхП0 I f(y)M-P0Фп(х,у)duk,(y))qdßki(

\x\-0 [ f (y)\y\-ß0 Ф a(x,y) dßki(y)) qdßkA(x)\

JRd > >

< II/(x)\

Неравенство (17) также доказано. Из (16), (17) вытекает неравенство (15). Теорема 1 полностью доказана. □

5. Заключение

Для потенциалов Рисса в случаях (к, 1)-обобщенного преобразования Фурье и преобразования Данкля доказаны (ЬР,ЬЯ)-неравенства типа Стейна-Вейса с радиальными кусочно-степенными весами. Следующий шаг будет состоять в доказательстве неравенств Стейна-Вейса для произвольных радиальных и не радиальных весов, удовлетворяющих условиям Макенхаута. В случае (к, 1)-обобщенного преобразования Фурье остается также открытым вопрос о необходимости в неравенстве Стейна-Вейса условия а ^ dк,u - - - ) при р < q. Этот

^р я

вопрос открыт и для потенциала Данкля-Рисса.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hardy G.H., Littelwood J.E. Some properties of fractional integrals, I // Math. Zeit. 1928. Vol.27. P. 565-606.

2. Soboleff S. On a theorem in functional analysis // Rec. Math. [Mat. Sbornik] N.S. 1938. Vol. 4(46), no.3. P. 471-497.

3. Stein Е. \!.. Weiss G. Fractional integrals on n-dimensional Euclidean space //J. Math. Mech. 1958. Vol. 7, no. 4. P. 503-514.

4. Горбачев Д.В, Иванов В.И. Весовые неравенства для потенциала Данкля-Рисса // Чебы-шевский сборник. 2019. Т. 20, Вып. 1. С. 131-147.

5. Dunkl С. F. Hankel transforms associated to finite reflections groups // Contemp. Math. 1992. Vol. 138. P. 123-138.

6. Rosier M. Dunkl operators. Theory and applications, in Orthogonal Polynomials and Special Functions. Lecture Notes in Math. Springer-Verlag. 2003. Vol. 1817. P. 93-135.

7. Thangavelu S., Xu Y. Riesz transform and Riesz potentials for Dunkl transform //J. Comput. Appl. Math. 2007. Vol. 199. P. 181-195.

8. Gorbachev D. V., Ivanov V. I., Tikhonov S.Yu. Riesz potential and maximal function for Dunkl transform. Preprint CRM, Barcelona, 2018. № 1238. P. 1-28.

9. Gorbachev D. V., Ivanov V. I., Tikhonov S. Yu. Riesz potential and maximal function for Dunkl transform // Potential Analysis. 2021. Vol. 55, no. 5. P. 555-605.

10. Ben Said S., Kobavashi Т., Orsted B. Laguerre semigroup and Dunkl operators // Compos. Math. 2012. Vol. 148, no. 4. P. 1265-1336.

( к, 1)

Fourier transform // Journal of Functional Analysis. 2020. Vol. 279, no. 8. Article 108706.

12. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., Tikhonov S.Yu. Pitt's Inequalities and Uncertainty Principle for Generalized Fourier Transform // International Mathematics Research Notices. 2016. Vol. 2016, no. 23. P. 7179-7200.

( к, 1)

рье // Чебышевский сборник. 2020. Т. 21, вып. 4, с. 85-96.

( к, 1)

щепного преобразования Фурье // Чебышевский сборник. 2021. Т. 22, № 4. С. 136-152.

( к, 1)

ский сборник. 2021. Т. 22, вып. 4, С. 114-135.

16. Sinnamon G, Stepanov V. D. The weighted Hardy inequality: new proofs and the case р = 1 // J. London Math. Soc. 1996. Vol. 54, no 2. P. 89-101.

17. Kufner A., Opic B. Xardv-tvpe inequalities. Pitman Research Notes in Mathematics Series. Harlow: Longman Scientific and Technical, 1990. 333 p.

18. Kufner A., Persson L.E. Weighted inequalities of Xardv type. Singopure-London: World Scientific hrblishing Co. Pte. Ltd., 2003. 358 p.

REFERENCES

1. Hardy G.H., Littelwood J.E., 1928, "Some properties of fractional integrals, I", Math. Zeit., vol. 27, pp. 565-606.

2. Soboleff S., 1938, "On a theorem in functional analysis" , Rec. Math. [Mat. Sbornik] N.S., vol. 4(46), no. 3, pp. 471-497.

3. Stein Е.М., Weiss G., 1958, "Fractional integrals on n-dimensional Euclidean space" , J. Math. Mech., vol. 7, no. 4, pp. 503-514.

4. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., 2019, "Weighted inequalities for Dunkl-Riesz potential", Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 1, pp. 131-147.

5. Dunkl C. F., 1992, "Hankel transforms associated to finite reflections groups" , Contemp. Math., vol. 138, pp. 123-138.

6. Rosier M., 2003, "Dunkl operators. Theory and applications, in Orthogonal Polynomials and Special Functions" , Lecture Notes in Math. Springer-Verlag, vol. 1817, pp. 93-135.

7. Thangavelu S., Xu Y., 2007, "Riesz transform and Riesz potentials for Dunkl transform" , J. Com,put. Appl. Math., vol. 199, pp. 181-195.

8. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., Tikhonov S.Yu., 2018, "Riesz potential and maximal function for Dunkl transform" , Preprint CRM, Barcelona, no. 1238, pp. 1-28.

9. Gorbachev D. V., Ivanov V. I., Tikhonov S.Yu., 21, "Riesz potential and maximal function for Dunkl transform" , Potential Analysis, vol. 55, no. 5, pp. 555-605.

10. Ben Said S., Kobavashi Т., Orsted В., 2012, "Laguerre semigroup and Dunkl operators" , Compos. Math., vol. 148, no. 4, pp. 1265 1336.

( к, 1)

generalized Fourier transform" , Journal of Functional Analysis, vol. 279, no. 8, Article 108706.

12. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., Tikhonov S.Yu., 2016, "Pitt's Inequalities and Uncertainty Principle for Generalized Fourier Transform" , International Mathematics Research Notices, vol. 2016, no. 23, pp. 7179-7200.

13. Ivanov V. I., 2020, "Bounded translation operator for the (к, 1)-generalized Fourier transform" , Chebyshevskii Sbornik, vol. 21, no. 4, pp. 85-96. (In Russ.)

14. Ivanov V. I., 2021, "Properties and application of a positive translation operator for ( к, 1)-generalized Fourier transform" , Chebyshevskii Sbornik, vol. 22, no. 4, pp. 136-152. (In Russ.)

( к, 1)

Sbornik, vol. 22, no. 4, pp. 114-135. (In Russ.)

16. Sinnamon G, Stepanov V. D., 1996, "The weighted Hardy inequality: new proofs and the case р = 1" , J. London Math. Soc., vol. 54, no. 2, pp 89-101.

17. Kufner A., Opic В., 1990, "Xardv-tvpe inequalities" , Pitman Research Notes in Mathematics Series, Harlow: Longman Scientific and Technical, 333 p.

18. Kufner A., Persson L. E., 2003, "Weighted inequalities of Xardv type" , Singapore-London: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 358 p.

Получено: 15.09.2022 Принято в печать: 8.12.2022