Ламинарная конвекция вязкой и теплопроводной жидкости в замкнутом канале Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXIII 1992 № 3

УДК 532.542.011.6

ЛАМИНАРНАЯ КОНВЕКЦИЯ ВЯЗКОЙ И ТЕПЛОПРОВОДНОЙ жидкости В ЗАМКНУТОМ КАНАЛЕ

С. М. Дроздов

Рассмотрена ламинарная конвекция вязкой и теплопроводной жидкости в замкнутом канале произвольной формы. Приведены результаты расчета эволюции температуры жидкости и исследована динамика скорости конвективного движения в зависимости от параметров тепловой и механической диссипации. Численно получен режим хаотической конвекции.

Ламинарная конвекция жидкости в замкнутом канале исследуется давно. Анализ этой проблемы содержится, например, в работах [1, 2]. Кроме этого, Зальцманом и Лоренцем при исследовании конвекции Релея — Бенара были получены уравнения динамики конвекции, известные как уравнение Лоренца, которые приближенно описывают и конвекцию в канале с осью круговой формы [3, 4]. Приближенность этих уравнений связана с серьезными ограничениями, налагаемыми на физические процессы, определяющие ламинарную конвекцию при построении математической модели задачи. Так, жидкость, циркулирующая в канале, предполагается нетеплопроводной, и это, наряду с другими ограничениями, делает спорным вопрос применимости уравнений к реальным физическим моделям и объяснению экспериментальных результатов.

В настоящей статье сделана попытка учета основных физических эффектов ламинарной конвекции в канале. На основе полученных уравнений найдено решение для эволюции температуры и исследована динамика конвективного движения в канале.

1. Постановка задачи и вывод уравнений, описывающих конвекцию в канале. Рассмотрим замкнутый канал или трубку, ось которой образует плоский контур Г с однозначной зависимостью R{q>) (рис. 1, а). Канал расположен в вертикальной плоскости в поле тяжести в среде с температурой Г0. Он заполнен жидкостью, относительно которой сделаны следующие предположения:

1. Жидкость несжимаема ро = const.

2. Зависимость плотности от температуры учитывается только при расчете сил плавучести (приближение Обербека — Буссинеска):

р = ро (1 — а{Т — Го)), где коэффициент расширения о< 1.

Рис. 1

3. Вязкость ц, теплоемкость с и теплопроводность Я жидкости постоянны.

4. Тепло к жидкости проводится произвольно распределенными источниками ограниченной суммарной мощности Р (/):

PW==\0\\N(X’ г' *)dv •

где v — объем канала, х — координата вдоль оси канала.

5. Стенки трубки имеют погонную теплоемкость ст = const.

В этих предположениях уравнения Навье — Стокса имеют вид [5]

Po“J7‘= gradp + ро[ 1 — а(Т(х, г, г|>, t) — T0)]g + \iAV, div V = 0,

(1)

где / — время; V — вектор скорости; р — давление; Т (х, г, ф, /) — темпераутра частицы жидкости в канале.

Проинтегрируем первое уравнение системы (1) по площади поперечного сечения и по контуру вдоль оси канала:

dQ dt ’

(2)

Здесь А — площадь сечения канала, / — длина оси канала, I — единичный вектор вдоль оси канала. По определению С? = у (V -1)

С учетом второго уравнения (1) С? не зависит от х:

$gradpdi4 = J ^d/4^(igradp)dx = О,

(3)

FH=\dxi^p0ag[T{x,r,ty,t) — T0]dA = p0aA\T(x,t)(g,i)dx, (4) о л о

где FK — сила конвекции; g— ускорение свободного падения;

т (*’ ^ = ~т\ \ Т г’ ^ dA

— средняя температура в сечении трубки;

I

(цДУйМ = ^тр

0 А

— полная сила трения на внутренней поверхности трубки.

По закону Пуазейля для ламинарного течения в трубке сила сопротивления пропорциональна вязкости ц и объемному расходу (?:

/\р = - 1А1р<Э. №

В частности, для круглого поперечного сечения трубки

е* = -^г. (7)

для эллиптического сечения с полуосями а и Ь

Р —1,1 °2 + &2 — 8л^ д2 + &2 ^ ла3Ь3 А2 2 аЪ '

В общем случае для можно принять форму (7), где А — площадь равновеликого кругового сечения. Собрав вместе соотношения (2), (3), (4) и (6) получим:

Р1^Г= Р*а\ Цх, 0(g • 1) dx-lplAQ .

о

Здесь и далее р = р0.

Уравнение баланса тепла имеет вид [5].:

рс ХАГ(х, г, ip, t) + N(x, г, г|з, /).

Проинтегрируем это уравнение по площади А. Интеграл от левой части равен

" “А - К A-?I&±+ 0(0-^Д.] . '(8)

А

Выражение (8) приближенное. Для точного равенства в правой части (8) должен стоять дополнительный член:

е = t)(T(x, г, г|>, t) — Т(х, t))dA

где и (г, i) — распределение скорости жидкости в сечении трубки. Интеграл от первого слагаемого правой части уравнения баланса тепла равен

^ T(x,r,y, t) dA = А’к —j&l). + <7бок.

А

Для получения замкнутой задачи необходимо связать в последнем выражении поток тепла с периметра сечения q6oK со средней температурой в сечении (5). В качестве такой связи принимается, что

q6oK=-V[T(x,t)-T0]. (9)

Так же как и (8), выражение (9) приближенное.

Для оценки области применимости выражений (8) и (9) и определения коэффициента р была рассмотрена следующая задача: по бесконечной трубке радиусом гт и толщиной стенок Лт течет жидкость с заданным расходом 0 или средней скоростью II. Температура жидкости выше температуры окружающей среды, с которой трубка находится в тепловом контакте. Заданы все необходимые теплофизические параметры среды, трубки и жидкости в трубке. В предположении конвективного или чисто теплопроводного обмена теплом между трубкой и окружающей средой решена задача нахождения стационарного распределения температуры в жидкости, стенке трубки и окружающей среде. Распределение температуры получено в виде

Т(х, г) = !{г)е~Ьх. (10)

Безусловно, соотношение (10) выражает лишь один из возможных видов распределения температуры в трубке. Однако для оценки точности приближений (8) и (9) частный случай (10) вполне подходит. Ниже в таблице приведены результаты расчетов некоторых режимов теплоотдачи от жидкости в окружающую среду.

Услобия теплообмена II, см/с е'-Ю2 Р, Вт/(м-К)

1. Жидкость — вода, трубка — поли- 0,1 0,486 0,2417

хлорвинил, гт = 3,7 мм, кт = 1,5 мм, 0,925 0,486 0,2418

среда — воздух 5 0,486 0,2418

2. Жидкость — метиловый спирт, 0,1 12,02 4,935

трубка — полихлорвинил, гт = 4,0 мм, 1 11,7 9,504

Лт = 0,2 мм, среда — сталь 10 11,4 9,11

В таблице е' = е/^ф г))—относительная ошибка равенства (8).

Как видим, в случае 1 оба предположения (8) и (9) выполняются очень хорошо, а в случае 2 равенство (8) является плохим приближением. В целом расчеты показывают, что соотношения (8) и (9) удовлетворительны, когда

где кт — теплопроводность трубки, или когда

Лср

где А.ср — теплопроводность окружающей среды.

Величину р в выражении (9) можно определять и эмпирически. Так, для случая 1 в таблице экспериментальное значение р получено в пределах р = 0,317 -г- 0,426 Вт/(м-К), что близко к значению, полученному в расчетах Р = 0,2418 Вт/(м-К).

Если предположить, что процесс теплообмена между стенками трубки и жидкостью происходит мгновенно, то можно учесть и затраты тепла на изменение температуры стенок трубки </т: .

а =_с дТ(*'

Ч Т •'Эфф 01 >

где сэфф — эффективная погонная теплоемкость трубки. Обозначим интеграл от второго слагаемого правой части уравнения баланса тепла

Ы(х, /) = $ \М(х, г, яр, /) йА .

Если уравнение оси трубки /?(ф), то система уравнений процесса конвекции жидкости в трубке имеет вид:

2л

р1~Ж= Т(-х’ 0Ь*пф-Я(ф) — со5ф/?'(ф)Ыф—ър1А • <3(0,

. О

(11)

при начальных условиях С} (0) = <20; Т (х, 0) = / (х), Т (х, /) = Т {(х + /), /), условии замкнутости трубки

2. Конвекция в прямоугольном контуре. Пусть контур Г — прямоугольник L^(УV^^ (рис. 1,6). Предположим, что все источники тепла сосредоточены на некотором отрезке [а, Ь], принадлежащем [М, Ь]. В данном случае сила конвекции принимает следующий вид:

Введем безразмерные функции и переменные:

Т(х,() = МтТ-\-Т0\ (? = М(;ф; х = Мхх; 1 = М(Ь, с

эфф ■

р сА

(12)

После подстановки масштабов (12) и алгебраических преобразований система (11) принимает вид:

где

м

дТ_ _ д £]_ , (?(<) дТ

91 дх 1 + сэфф дх

В0Т = п{х, д ;

<Э{0) = ()0; т{х, о) = х(х);

Т(х, д = Т((х-\- т), I) ; т

м. ’

8лцМр

А2а£рМТ

(13)

Для определенности будем рассматривать эволюцию системы из состояния <? (0) = 0 и х (■*) = 0.

Рассмотрим класс задач, в которых перенос тепла посредством теплопроводности значительно меньше переноса тепла конвекцией. Строгое условие получается после введения масштабов и имеет вид

Л =

АХ

Л^рсО+Сзфф)

« 1 -

Если в качестве Мх взять длину контура /, а остальные масштабы Мя, Мт, М, найти из физических предположений, о которых будет сказано ниже, то значения А будут иметь порядок 10-4 — 10~6. Возникает соблазн пренебречь теплопроводностью. Однако задача имеет начальный этап, когда скорость конвекции отсутствует и все тепло передается теплопроводностью. Примем в качестве первого этапа промежуток времени, когда все тепло сосредоточено в пределах отрезка [М, Ц, и покажем, что в течение этого этапа решение для (/) можно получить в виде квадратуры, а при некоторых простых видах Р (/) — даже в элементарных функциях. Условия задачи не содержат характерных масштбов Мя, Мт, М*. Длина контура /, как будет показано ниже, тоже не является характерным масштабом на первом этапе. Для определения масштабов и коэффициентов в уравнениях системы (13) необходимы четыре физических соотношения:

м,А

м,

■=м0-

1МП

MxAga.Mj.Mt

шах

1)йх^ =

1;

рсМ(/Мт( 1 + с5фф)

АК

М1М<грс(1 + с5фф)

1 .

(14)

Обозначим далее Р = шах (Р (/)).

О последнем соотношении следует сказать особо. Смысл его состоит в том, что в масштабах первого этапа перенос тепла теплопроводностью одного порядка с конвекцией. Это позволяет определить первый этдп как малоскоростной или разгонный. Все это, однако, не исключает появления больших скоростей на этом этапе.

Разрешив соотношения (14) относительно масштабов, получим:

Мр =

М'=[

РА^ак2

[о +сафф)',р3с3/

Л2А,рс(1 + с‘>фф)/^1/5

а2е2Р2

У/5. м Г_________________А*?________11/5. 1

] ’ * [^р2с2(1+сэфф)2а^] ’ ^

Г; Мт= Г--Р--Г.

-I 1.(1 + сэфф) р2с2А*аёк2 \

(15)

Так, для трубки диаметром 7,4 мм и длиной / = 6,28 м при мощности Р = 3 Вт, когда рабочая жидкость — вода, масштабы (15) равны: М(/ = = 0,04 см/с, Мх = 0,23 см, М, = 0,91 с, Мт = 41°С.

В дальнейшем, если .не будет оговорено особо, штрихи над безразмерными величинами опущены.

Проинтегрируем второе уравнение системы (13) по стороне [М, £]:

а_

<и

Я(1)

1+с,

5фф

т\1 + вЛтйх^№.

\м £

По условию первого этапа течения проинтегрированные члены исчезают. Вместе с первым уравнением системы (13) получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

dQ

dt

dF,

dt

=f(t)-B0FK; Q(0) = 0; FK(0) = 0 .

(16)

Очевидно, что решение для <3(1) может быть получено, по крайней мере, в квадратурах. Приведем решение системы (16) для

«о-ко-ft '<*

ЧВо-1)

После того как найдено решение (}^), относительно Т(х, /) имеем задачу Коши для линейного уравнения:

дТ

dt

д2Т

Q(t)

дТ

дх2 ( 1 + С-,фф) дх

В0т = п{х, t).

(17)

Условие периодичности автоматически выполняется при х 1. Если дополнительно предположить, что крайние точки области подвода тепла а, Ь в переменных первого этапа отстоят далеко от угловых точек М и £, то для решения уравнения (17) можно использовать метод преобразования Фурье. Кратко приведем это решение в связи с тем, что переменный щэффи-циент С? (/) не позволяет воспользоваться классической формулой свертки.

Фундаментальное решение уравнения (17) имеет вид:

е(х, t) = 1 (t)

(18)

Как видим, подобно фундаментальному решению уравнения теплопроводности, решение (18) также представляет колоколообразную функцию. Однако этот «колокол» перемещается по х по закону 5(/). Интересно отметить, что в результате учета теплоемкости трубки сэфф>0 скорость переноса тепла

__=_£й_ меньше скорости жидкости (^У). Полное решение уравнения (17)

1 Т С9фф

найдем как свертку фундаментального решения (18) и правой части п(х, /):

Г ~Г°° II „ 1*— П— (5(0 —5(г))|2

= ------------------------------(19)

Особенностью свертки (19) является использование разности S(t) — S(z) вместо S (t — z) = Q (t — z), как этого требует формула свертки в случае Q{t) = const. Бесконечные пределы по Ti в интеграле (19) можно заменить на а, Ь, так как п (х, t) Ф 0 при х 6 [а, Ь].

Приведем еще одну форму решения (19):

Т(х, 0= — ^е~Во('~г^п(т|, z) dr]dz , (20)

0 а

где <р =

*-q-[S{f)-S(z)l

W-

■г)

ф(ф)

v&$e

о

jL

2 du,

здесь Ф(ф) — функция Гаусса.

Таким образом, на первом этапе течения решение задачи (13) дается решением системы (16), из которой находим Q{t) и S (/), эволюция температуры во времени t и вдоль х дается выражениями (19) или (20).

Рассмотрим два частных случая.

1. Равномерный нагрев на отрезке [а, Ь] :

Ь-а '

* = [а, Ь] ;

x — a — S(t) + S(z) V2(/-z)

2. Сосредоточенный нагрев:

п(х, /) = /(/) б(ж);

)-фЄ

V2 (t-z) )\

T (X, t) = [ exp - dz.

J 2л/л (/ - z) У Ці-г)

(21)

На рис. 2 показана эволюция температуры из нулевых начальных условий для случая f (t) = 1(0 в (21).

Как указывалось выше, полученное для Q(t)nT (х, t) решение справедливо до тех пор, пока тепло не доходит до точек L и М контура. Существует, однако, частный случай большой теплоотдачи, когда решение первого этапа справедливо при любом t. Условия существования такого режима конвекции следующие:

ВЦ xL>l,

в01 *м»1

:}

(22)

Второй этап начинается после того, как тепло достигает точки А контура, если не выполнено условие (22). Этот этап * характеризуется

тем, что перенос тепла конвекцией значительно больше переноса тепла теплопроводностью и тепло распространяется по всему контуру. На этом этапе характерной длиной является Мх = I. Для определения MQ, Мт и принимаются первое и третье соотношения (14), принятые для первого этапа. Так как на втором этапе течения характерным является стационарный режим, когда сила конвекции равна силе сопротивления, то последним условием принимается

_ 8 яцМд _

A2g<xpMT

Система уравнений (13) упрощается из-за пренебрежения теплопроводностью Л < 1. Однако в отличие от первого этапа для ($ (() уже нельзя получить систему типа (16), не зависящую от Т (х, *)• Становятся

несправедливыми и предположения, позволившие получить решение (19) для Т (х, і). Прямое численное решение системы (13) без учета теплопроводности с начальными данными, взятыми из первого этапа, видимо, не представляет большой сложности. Однако здесь ограничимся рассмотрением лишь стационарного случая, а все основные свойства нестационарной конвекции будут рассмотрены ниже на примере кругового контура. В стационарном случае система (13) принимает вид:

— Л

еРТ

Q = j| Tdx — J Tdx;

dT

d*? + (l+c,M) dx+B°T-nM-

(23)

Если п(х) таково, что второе уравнение системы (23) интегрируется до конца, то для ф можно получить алгебраическое уравнение. В качестве примера приведем решение системы (23) для случая п (х) = б (х) и Л< 1:

1 _е~‘л + е~*|Хл| - е-*1 - е_‘1‘*+е~*1'л'

Ч : В0( 1 — е~*') ’

где

*1 = -^0 + сэфф) ~1;

Т{х) _ <1^-;

*!=с+^.)л>|;

3. Конвекция в круговом контуре. В случае кругового контура (рис. 1,в) выражение для силы конвекции (4) принимает вид (х = ф):

2 п

Fк — AgapR^T(ip,t)sm<pd^f. (24)

О

За масштаб длины примем Мх = Я. Для определения масштабов Мя, МТ, и М, примем, подобно тому как это было сделано для прямоугольного контура (14), следующие^ физические соотношения:

М>А «А - М .

М, ~ М, ~МЧ'

1

мп

а AgaMтMт

1;

шах

^л(ф, і) <*ф^ =

рсМрЛ17-( 1 4* сэфф)

= 1 .

Решив (25), получим масштабы:

и коэффициенты:

А2а£ЯР \1/3_

А4 / АгсщКР \

^-(ЯГ+с^)

мт =

Л2Р2с2(*+с,ФФ) адЛ

)1/3

:

-(■

Л = А,

с

Р2 С2( 1 + сэфф) /^Р

Во — 01

(/?2 \1/3 Р*с*(1+с*(>ф)2л*0«/>/

^М1 +с»фф) \1/3 A2agp‘P )

(26)

В результате подстановки соотношений (24) и (26) в систему уравнений (11) получим безразмерную систему уравнений конвекции в круговом контуре:

сЩ_

сН

2л

Т{ф, /)8іпфгіф — |<2;

дт А д2т . <?(/) аг , вт , л-

аФ2 + (1 + 0 а<р + В°7 П(Я>.0.

где (2(0) = <?0; Т(ф, 0) = х(ф); Т(ф, /) = Г((ф + 2я), і).

Введем следующие обозначения:

2я 2л

= І 5 Г(ф’ Осо8фА(ф; /=•„(0 = ^ Дф, /)віпфгіф;

О о

2л 2я

Л(0“-5Г$я(ф. Осовф^ф; /2(0 = 5 "(Ф* Овіпфгіф.

(27)

Тогда эволюция (?(/), а(/) и /•',(*) во времени описывается следующей нелинейной системой трех обыкновенных дифференциальных уравнений:

/,(/)-я-в(/)-<г(0Л(0Д1 +с,фф); '

Ш - В . /\(/) + (?(/)«(/)/(1 + сэфф) ; .

(28)

У

где

<?(<>) = <?0; а(0) = ао; ^(0)=^0; В = Я0 + Л.

Отметим, что система уравнений (28) без каких-либо дополнительных предположений выводится из системы (27). Первое уравнение системы (28)

ванием по всему контуру. Аналогично получено второе уравнение (28)

системы (28) —первое в системе (27). Таким образом, скорость конвекции <3 (/) может быть получена в результате решения задачи Коши для системы (28). После этого Т(ф, /) находится решением смешанной задачи для второго уравнения системы (27), где ф(<) известно. Для случая с малой теплопроводностью (АС 1) здесь, как и в прямоугольном контуре, имеется начальный этап, когда тепло не охватывает весь контур:

На этом этапе полностью справедливо решение (19). Здесь также нужно перейти к микропеременным и масштабам первого этапа (15), заменив I на /?, а

колебаниях около устойчивого положения равновесия (ф0 = я — при подогреве, фо = 0 — при охлаждении). В этом случае формула (20) верна для всего процесса конвекции, если

На рис. 3 представлены результаты расчета эволюции температуры для случая (21) при /(0 = 1 (/). В момент включения сосредоточенного источника тепла, расположенного в верхней точке фо — я, жидкость имела начальную скорость С?0 > 0. Хорошо видно, как затухающие колебания скорости ф (/) генерируют волнообразное распределение температуры.

Вернемся к рассмотрению свойств решений системы (28). Конвекция в круговом контуре исследовалась многими авторами [1] — [4]. В указанных работах без учета теплопроводности жидкости, теплоемкости трубки и при узком наборе способов подвода тепла получена система уравнений динамики процесса конвекции, известная под названием «системы Лоренца»:

получается умножением второго уравнения (27) на совф и интегриро-

с тем отличием, что умножение производится на Третье уравнение

15 (/)| < л.

(29)

х — Условие (29) всегда выполняется при не слишком больших

Если Л = 0, сэфф=0 и /,(/) = const, /2(/) = const, то между системами (28) и (30) имеется следующая связь:

(«-/,)/flo .

T==~R~t’

”о

V= —F •

ifio K’

w.

Проведем исследование решений системы (28) для случая /1 = const и /2 = const. Несмотря на то что система. (28) сравнительно проста, она обнаруживает свойства, характерные для многих, значительно более сложных, нелинейных физических систем с диссипацией.

Неединственность стационарных решений. Если распределение источников тепла п (ф) задано, то стационарные решения системы (28) зависят от параметра 1В2. На рис. 4 представлена эта зависимость для п (ф) = б (ф — фо) при различных углах ф0 подвода тепла. Видно, что при большой диссипации IB2 > d\ имеется одно решение с конвекцией в сторону точки подвода тепла. При некотором (зависящем от фо и сэфф значении d\ = (£B2)i про-

исходит бифуркация и появляется еще одно решение с конвекцией в противоестественном направлении, которое при дальнейшем уменьшении £В2 распадается на два'решения: одно с большой (ф2). другое с малой (С?з) отрицательной скоростью (см. рис. 1,в). Если фо = 0 (подогрев в нижней точке, рис. 1, в), то

= 2я(1+0 = (|52)‘ = 14Р® Л*?**{1+с^Т’

Потеря устойчивости стационарных решений при уменьшении диссипации. До точки первой бифуркации единственное стационарное решение <?1 устойчиво. После того как Ь,В2 становится меньше Ли появляются еще два решения: ($2 — устойчивое — с большой отрицательной скоростью и (?з — неустойчивое—с малой. Поведение решений автономной системы удобно исследовать в фазовой плоскости. В данном случае следует говорить о фазовом пространстве а, ф, В фазовом пространстве устойчивые

стационарные решения представляют собой точки, к которым спирально сходятся все траектории. Каждая точка — аттрактор — имеет свою область притяжения. При дальнейшем уменьшении £ и В происходит последовательная потеря устойчивости сначала второго решения, а потом и первого.

На рис. 5 в плоскости параметров В, ^ (1 /£) даны области различного поведения решений (28) при <р0 = 10°, с,фф = 0. Кривая 1 на этом рисунке — кривая первой бифуркации. Она разделяет области, где существуют одно и три стационарных решения. Кривая 2 является линией потери устойчивости решения <?2 по отношению к милым возмущениям. Крйвая 3 есть линия, на которой теряет устойчивость Q^. В области между кривыми 2 и 3 устойчиво только решение ф|. В области под кривой 3 устойчивых стационарных решений нет.

Наличие нестационарных и даже случайных решений при стационарных внешних условиях и силах — важнейшее свойство решений системы (28). Оно было обнаружено Зальцманом [4] и Лоренцем [3] для системы (30). Как показывают численные решения задачи Коши для системы (28) в области под кривой 3 (см. рис. 5), после разрушения стационарных решений система выходит на хаотическое незатухающее во времени решение. Характерное свойство таких решений — крайняя чувствительность их к изменению начальных условий и любых других параметров задачи.

Рис. 5. Точка Р|—периодическое по времени решение (£=0,2, В = 0,07); точка Рг — хаотическое решение (| = 0,4, В = 0,07)

Существование хаотических решений указывает на появление в фазовом пространстве системы (28) притягивающего множества типа «странный аттрактор». Проекция следа фазовой точки системы (28), движущейся по странному аттрактору, на плоскость ф представлена на рис. 6

(| = 0,4; В = 0,07 — точка Яг, см. рис. 5).

Однако было бы ошибкой рассматривать всю область под кривой 3 на рис. 5 как область хаотических решений. Еще Лоренцем [3] и Зальцманом [4] при численном исследовании системы (30) были обнаружены решения, похожие на периодические. Автором данной работы при численном интегрировании системы * (28) тоже получены нелинейные устойчивые периодические решения (например,- в точке Р\ на рис. 5). Хаотические решения обнаружены в области между кривыми 2 и 3 на рис. 5.-Здесь при одних и тех же параметрах £ и В задача имеет и хаотическое, и устойчивое стационарное решения.

В заключение несколько слов о влиянии теплоемкости трубки сэфф на решение (28). Учет сэфф приводит к смещению кривых / — 3 на рис. 5 в сторону меньших значений коэффициентов диссипации |, В.

Автор благодарит Ю. Н. Ермака за помощь и поддержку во время написания статьи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Walander P. On the oscillatory instability of a differentially heated fluid loop//J. Fluid Mech.—1967. Vol. 29.

2. С у и н н и, Д ж. Г о л л а б. Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. — М.: Мир, 1984.

3. L о г е n z Е. N. Deterministic nonperiodic flow//J. Atmos. Sci. — 1963. Vol. 20.

4. Z a 11 z m a n B. Finite amplitude free convection as an initial value problem//J. Atmos. Sci. — 1962. Vol. 19.

5. Лойцянский Jl. Г. Механика жидкости и газа.— М.: Наука, 1987.

Руколись поступила 26/ХИ 1990 г.