Исследование теплообмена в наножидкостях в условиях вынужденной конвекции Текст научной статьи по специальности «Физика»

Х(y) = (k + У(y2 + ry) + P(Y + y), j(y) = y(y +1), y > 0; U =

2v

+Vv+1

> i if 2, _ _ th.t rt f > 1, c* =< I r I - the integer part of r.

W if у = 2,

References

1. Klevtsova Yu.Yu. On the existence of a stationary measure for the stochastic system of the Lorenz model describing a baroclinic atmosphere // Sb. Math., 204, No. 9. 1307-1331 (2013).

УДК 532.542:536.24

ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕПЛООБМЕНА В НАНОЖИДКОСТЯХ В УСЛОВИЯХ ВЫНУЖДЕННОЙ КОНВЕКЦИИ

Софья Владимировна Козлова, аспирант Тел.: 391 290 5134, e-mail: sonique@icm.krasn.ru Институт Вычислительного моделирования СО РАН Илья Игоревич Рыжков, к.ф.-м.н., с.н.с., Тел.: 391 290 7528, e-mail: rii@icm.krasn.ru Институт Вычислительного моделирования СО РАН http://icm.krasn.ru

В данной работе исследован теплообмен в жидкостях и наножидкостях в цилиндрической трубе. Построено точное решение для температуры однокомпонентной жидкости (вода). Выполнено численное моделирование вынужденной конвекции для воды и наножидкости вода/Al2O3, построено распределение температуры в трубе.

Исследована эффективность теплообмена в наножидкости вода/Al2O3 в зависимости от концентрации наночастиц и скорости течения.

Ключевые слова: теплообмен в жидкостях, наножидкость, задача Греца, самосопряжённый оператор, собственные функции, численное моделирование, вынужденная конвекция.

Исследование выполнено при поддержке КГАУ «Красноярский краевой фонд поддержки научной и научно-технической деятельности», соглашение № 02/13.

В последние десятилетия активно развиваются системы охлаждения и обогрева, основанные на жидких теплоносителях (вода, этиленгликоль, машинное масло, жидкие смеси). В настоящее время активно изучаются новые типы теплоносителей. К ним относятся наножидкости - двухфазные системы, состоящие из базовой жидкости и твёрдых наночастиц [1]. В данной работе представлены результаты численного моделирования вынужденной конвекции для воды и нано-жидкости вода/ AI2O3.

Цели исследования - определить распределение температуры в жидкости и оценить эффективность теплообмена. Нами рассмотрено установившееся ламинарное течение жидкости в цилиндрической трубе, конечный участок которой имеет постоянную тем-

пературу стенки, отличную от температуры на остальных участках. Построены точное и численное решение для температуры. Для наножидкости вычисления проведены при различных концентрациях и скоростях течения, заданных на входе.

Аналитическое решение задачи Греца для цилиндрической трубы

Рассмотрим установившееся ламинарное течение жидкости с постоянными физическими свойствами в круглой цилиндрической трубе. Жидкость движется с заданным

параболическим профилем скорости V(Я) = У0 (1 -(Я /Я) ), ось координат 2 совпадает с осью трубы (рис. 1).

На участке конечной длины 0 < 2 < I поддерживается постоянная температура

стенки Тм,, на остальной части трубы

к

То

То

г = о ¿=1

Рис. 1. Схема течения жидкости

при 2 < 0 и 2 > I температура стенки равна То. Физические свойства среды (плотность, динамическая вязкость, теплопроводность и теплоемкость жидкости) постоянны, профиль скорости симметричен относительно оси трубы. Уравнение переноса тепла в ци линдрических координатах и граничные условия заданы так

дТ к д ( дТ Л , д2Т — =--1 Я— 1 + к —

дЯ Я дЯ У дЯ) д2

PCPV(R) = Я дЯ Я 1 + , 0 < Я < Яо, 0 < 2 (1)

Я = Я0 : Т =

Т» 2 < 0, ЯадТ 2

Я = 0 : — = 0, для любого 2,

Т^, 0 < 2 < I, дЯ (2)

Т0 2 > I. 2 ^ : Т = Т0, для любого Я,

Ранее была решена задача для цилиндрической трубы, в которой на полубесконечном участке задана постоянная температура стенки, отличная от температуры в остальной части [2]. В данной работе рассмотрена труба, в которой участок с постоянной температурой имеет конечную длину.

Перепишем задачу (1), (2) безразмерной форме:

, ,д© 1 д ( д©Л 1 д20 , Л ...

у(г)-=--\г-1 + —-—г, 0 < г < 1, 0 < г <ю, (3)

дг г дг \ дг ) Ре2 дг

Г 1, г < 0, 0 д© 0 б

г = 0 : -= 0, для любого г,

г = 1: 0 = ^0, 0 < г < Ь, дг (4)

1, г > Ь. г ^ : 0 = 1, для любого г,

Безразмерные переменные задаются в виде

г, Т — Т 2 Я т I . . V (Я)

0 =-^, г =-, г = —, Ь =-, у(г) = ,

Т0 - ТК РеЯ, Я0 РеЯо Vо

рсГ0 Я0

Ре = —---число Пекле, V0 — характеристическая (максимальная) скорость.

к

Для решения поставленной задачи уравнение переноса тепла (3) преобразуется в систему дифференциальных уравнений первого порядка. Образованная система пред-ставима в операторном виде, и для полученного оператора можно поставить задачу Штурма-Лиувилля поиска собственных значений оператора.

Постановка задачи (1), (2) является расширенной, так как в ней учтена теплопроводность в осевом направлении. В классической постановке она не учитывается. Метод разделения переменных и представление функции температуры в виде ряда в случае расширенной постановки приводит к задаче с некоторым самосопряжённым оператором, пространство собственных функций которого может быть неполно. Преобразование уравнение переноса тепла в систему дифференциальных уравнений приводит к задаче с самосопряжённым оператором, собственных функции которого образуют ортогональный базис. Таким образом, искомая температура может быть представлена в виде ряда по собственным функциям этого оператора.

В результате произведённых вычислений были построены следующие выражения для температуры на трёх участках трубы:

0- (7, г) = 1 + ^ Л+еА (1 - е) р+ (г), 7 < 0,

з=1

0Ь (г) = ^ Л-е-^'р-, (г) - ^ Л+е(2-ЬЦ (г), 0 < 7 < Ь

}=1

з=1

0+ (2, г) = 1 + ^

= 1 + > Л-е~

А 2 1 А Ь

1 -е^ )р"(г), 2 >Ь.

з=1

Здесь коэффициенты Л+ и Л- задаются функциями

Л =-2

А

- ¿рз1(1)

-1

Л=2

Аз

р(1)

-1

, )2, Л+ = (А)2.

-Л 2

Собственные функции находятся в виде

А - Л

Рз = ехр

Аз 2 —— г

2

V

М (а- ,1, А-г 2),

а. =-з2

А (А >

/

р. = ехр

А+ 2Л ——г

2

2 2Ре'

М (а+ ,1,132),

а+ =

У

2

1 - а _ Ал

V

2Ре

У

из уравнения Куммера для собственных функций. Здесь М(а± ,1, а± ) - функции

оператора вычисляются из уравнения

Куммера. Собственные значения М (а ± ,1, А ) = 0.

г О -1

б)

1

Г О -1

Рис. 2. Распределение температуры в трубе для чисел Пекле: а) Ре = 10 , б) Ре = 50

Результаты решения задачи приведены на рис. 2 и 3. В безразмерных координатах длина обогреваемой секции Ь = 5. Рассмотрены случаи для чисел Пекле Ре=10, Ре=50. На рис. 2 темным участкам соответствуют области с более высокой температурой.

Можно отметить, что чем выше скорость течения, тем больше конвективный перенос тепла преобладает над теплопередачей за счёт теплопроводности в осевом направлении. Это подтверждает и рис. 3.

На нем изображены профили температуры (в безразмерных координатах) в продольном

1

1

сечении трубы для тех же чисел Пекле. Построенные кривые показывают интенсивность прогрева жидкости вдоль трубы при различном удалении от оси.

г — 1

г — 1

Рис. 3. Профили температуры в продольном сечении трубы для чисел Пекле:

а) Ре = 10, б) Ре = 50

При больших скоростях течения влиянием теплопроводности в осевом направлении можно пренебречь. При медленном течении тепло из обогреваемой секции проникает во входящий в секцию поток и изменяет его температуру, поэтому, как можно заметить из рис. 3 (а), температура жидкости отлична от нуля при 0. При увеличении скорости течения этот эффект снижается (рис. 3 (б)).

Численное моделирование вынужденной конвекции

Аналитическое описание физических процессов не всегда возможно. Другим способом описания является численное моделирование процесса. Рассмотрим осесиммет-ричную задачу теплообмена в круглой цилиндрической трубе для однокомпонентной среды. В качестве рабочей жидкости взята вода. Для данной задачи уравнения импульса, энергии и неразрывности имеют вид:

дг

дг

- (рУ) + V • (рУУ) = —Ур + У- п,

-(рИ ) + V • (рУИ ) = V(k VT),

орр) = 0,

дг

Т 2 Г

Здесь П = /(ЧУ + VУ — 3V•УI) - тензор вязких напряжений, И = IсрёТ

(5)

(6) (7)

эн-

тальпия, У - вектор скорости течения, / - динамическая вязкость, р - плотность, р -давление, П - тензор напряжений, УУ, V У - диадные произведения, I - единичный тензор, И - энтальпия, ср - теплоёмкость, к - коэффициент теплопроводности. Если

теплоемкость ср постоянна, то энтальпия И = ср (Т — Т0). В дальнейшем мы будем рассматривать уравнения (5)-(7) в цилиндрических координатах, в которых вектор скорости имеет вид У = (и, V), где и и V - радиальная и осевая компоненты.

Жидкость входит в трубу в постоянной осевой скоростью V) при температуре Т0. На участке 0 < 2 < I стенка труба нагрета до постоянной температуры ТК , на внешних участках при 0 < 2 и 2 > I её температура равна Т. Граничные условия для температуры и скорости течения можно записать так:

Я = 0: дТ =

дЯ дЯ

дV Л

= — = 0, Я = Я0 : и = V = 0, Т = дЯ

Т0, 2 < 0,

Т№, 0 < 2 < I, Т0, 2 > I,

Z = -/: U = 0, V = V0, T = 0, Z = -2/:

= 0.

ди ди дV

0, т = 0, 2 =—2/: -=-= —

0 д2 д2 д2

Физические свойства воды (динамическая вязкость, коэффициент теплопроводности, плотность, теплоёмкость) были представлены функциями, зависящими от температуры, с помощью экспериментальных данных из NISTChemistryWebBook [3]:

р„ = 999.86 + 6.1238 •10—2 Т — 8.3131 •10—3Т2 +

+6.4236-10—55Т3 — 3.9530-10—'7 Т4 +1.0808 -10—9Т5, / = 1.7825-10—33 — 5.8439 -10—5Т +1.2592 • 10—66 Т 2 —

-1.6986-10-8T3 +1.2480-10-10T4 -3.7458-10-13T5,

кк = 0.5609 + 1.9488-10"'Т—1.0133-10—6Т2 —1.2840-10"'Г + 6.2118•10~ШТ' ,

ср = 4218.79 — 3.1667Т + 9.5040-10—2 Т2 —1.3890-10—3 Т3 +1.0722-10—5 Т4 — 3.2042-10—8Т5. Необходимо построить распределение температуры в трубе и изучить характер теплообмена. Данные для расчёта приведены в таблице, схема трубы показана на рис. 4.

-7^3

-10^4

Z = -I

Z=0 2=1

Рис. 4. Схема движения жидкости

Таблица

Параметры численного расчета

Наименование параметра Величина

Плотность воды, 50° С, р 988.032 кг/м3

Динамическая вязкость, 50°С, / 0.000548 Па-c

Теплоёмкость воды, 50°С, ср 4181.429 Дж/кг-К

Коэффициент теплопроводности, 50° С, / 0.644 Вт/м-K

Температура стенки, Т 20o C

Температура обогреваемой стенки, 80o C

Начальная температура жидкости, Т 20° C

Скорость течения на входе, Vо 0.01 м/с

Число Пекле, Ре 641.518

Число Прандтля, Рг 3.558

Число Рейнольдса, Яе 180.297

Указанные в таблице числа Рейнольдса и Прандтля вычисляются так

Pr =

cpM к '

Re =

2Vq RqP

м

ъ - - о.5м г = о г=о.5м г = 1м

Рис. 5. Схема расчетной сетки (стрелками указаны направления сгущения ячеек)

(8)

Расчётная сетка (рис. 5) для нахождения численного решения была выполнена в программе Gambit, вычисления выполнены в программе ANSYSFLUENT 14.5.

70 60

Г,°с 30 40

R = 0 —"

/Е-

/ F

j / 3 M

/ /у^^и = ь

0,4 0.6

г, л!

Рис. 6. Профили температуры по результатам численного моделирования течения спеременными физическими свойствами (серые линии) и аналитического решения(черныелинии)

Стационарная задача решалась итерационным методом SIMPLEC (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations - Consistent) с использованием более 5000 итераций. Точное решение задачи Греца построено для воды при

температуре 50° C. Результат численного моделирования и построения точного решения показан на рис. 6. Из данного графика следует, что численное решение отклоняется от точного, и отклонение увеличивается ближе к оси трубы. Это можно пояснить с помощью рис. 7, где изображены профили скорости течения в обогреваемой секции и профили динамической вязкости. На входе в обогреваемую секцию (Z = 0) профиль скорости имеет параболическую форму.

Поступающее от стенки тепло нагревает жидкость и снижает ее вязкость, что приводит к повышению скорости течения в областях с более высокой температурой. Повышение (понижение) скорости течения у стенки и соответствующее снижение (повышение) объясняется постоянным массовым расходом через поперечное сечение.

Как следует из полиномиальной зависимости физических свойств среды от температуры, при нагревании жидкости повышается её теплопроводность, и тепло быстрее проникает во внутренние слои жидкости. Поэтому в численном решении температура на выходе трубы становится выше температуры в точном решении. Из данных соображений, а также вследствие ускорения течения из-за снижения вязкости можно заключить, что для детального изучения теплообмена в жидкостях необходимо учитывать зависимость физических свойств среды от температуры.

0,0010- —z=0 X!

0,0009 N^z-o.1 / f\

0,0008 /

0,0007 Па с iii-^X/ 1

0,0006 -= 0.4

0,0005 \

0,0004-

0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 R, M

_ 0,025 п 6) Z = 0.6 —1

0,020-

0,015- К -С 0,010- 7- Z = 0.4

0,005-

0-

0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 Я,м

Рис. 7. Эволюция профиля скорости течения (а) и эволюция динамической вязкости жидкости в обогреваемой секции трубы (б)

Численное моделирование вынужденной конвекции наножидкости

Эффективность теплообмена в жидкостях можно повысить благодаря использованию нано-жидкостей - теплоносителей, состоящих из базовой жидкости и наночастиц с более высокой теплопроводностью. На следующем этапе численного моделирования был выполнен расчет для на-ножидкости вода/ А^Оз. Для данной смеси была

рассмотрена осесимметрическая задача о теплообмене к круглой цилиндрической трубе, в которой жидкость движется по описанной выше схеме (рис. 4).

Свойства наножидкостей зависят не только от температуры, но и от концентрации наночастиц. Плотность и теплоёмкость используемой наножидкости описываются так: Р(Я>,т) = УРр +(1 - (Р)Рь/(т X 2.796-107

cp,p (T) = 1044.6 + 0.1742T - -

T2

Для описания вязкости и теплопроводности, а также теплоёмкости наночастиц алюминия из [4] взяты следующие выражения:

cv (p, T) =

<pppcpp p (T) + (1 -p) p (T )cpM (T)

a)

0,0016 0,0011 0,0012 |1,Па'с 0,0010 0,0008 0,0006 0,0004

6)

1140 1120 1100

P. —3 1060

M-

1040 1020 1000

cp p - теплоемкость на-cpf - теплоёмкость базовой

20 3 0 40 JO 60 70

Т.'С

В)

Вт

0,76 0,74 0,72 0,70

М'К W8 0,66 0,64 0,62 0,60

Г)

Р(9 T)

p(p, T) = pbf (T )(1 + 7.3p + 123p2 ), k (p, T) = kbf (T )(1 + 2.72p + 4.97p2). Введены обозначения: pp - плотность наночастиц, pb^- плотность базовой жидкости, p - объёмная доля твёрдых частиц в наножидкости ночастиц,

жидкости, pbf и kbf - динамическая вязкость и коэффициент теплопроводности базовой жидкости соответственно.

Параметры трубы, краевые условия, схема течения, расчётная сетки и полиномиальное приближение свойств базовой жидкости взяты из предыдущего расчёта. Плотность наночастиц pp = 3920 кг/м3.

Начальная скорость течения наножидко-сти была вычислена с помощью числа Рейнольдса (8), принимающего значения: 100, 200, 400, 600,8000 и 1000.

Рассмотрены концентрации наночастиц: 0%, 1%, 3% и 5%. Зависимости физических свойств наножидкости от концентрации наночастиц изображены на рис. 8.

Можно отметить повышение динамической вязкости, плотности и коэффициента теплопроводности наножидкости по отношению к параметрам базовой жидкости, а также снижение теплоемкости. Поскольку изменение теплоёмкости при изменении температуры незначительно, мы им пренебрегаем, учитывая лишь зависимость от концентрации нано-частиц.

Для каждого из набора начальных данных (число Рейнольдса - концентрация) было необходимо построить численное решение для температуры жидкости в трубе. Средняя температура T> по сечению трубы и коэффициент теплоотдачи h определяются так

20 30 40 30 7> С

4100 4000

сд 3900

кг■К

3800 3700 3600

20 30 40 30 6С Г,-С 70 80

<р = 0

41=0.01

Ф=п сз

ср=0. D5

20 30 40 30 6 7>С

Рис. 8. Зависимость физических свойств среды от температуры для наножидкостей: а)динамическая вязкость, б) плотность, в) коэффициент теплопроводности, г)теплоемкость

Tb (Z) =

rR

I T (Z, R)V (R) RdR

Jo_

(•Rq :

I V (R)RdR Jo

h = -

Tw Tb

где У - вычисленным тепловой поток на стенке, Т (г) - средняя температура жидкости в осевом направлении.

а)

гь.° с

0,2 0,3

г. м

Рис. 9. Средняя температура в обогреваемой секции трубы (а) и коэффициент теплоотдачи (б) в зависимости от числа Рейнольдса (вода)

Результаты численного моделирования для чистой воды иллюстрирует рис. 9. На нем

показана средняя температура жидкости в обогреваемой секции трубы в зависимости от

q

скорости течения жидкости. Как видно из графика, при увеличении числа Рейнольдса, определяющего начальную скорость течения, средняя температура жидкости в трубе снижается. Это означает, что меньшее количества тепла проникает к оси трубы, поскольку оно быстрее отводится конвективным потоком.Коэффициент теплоотдачи, напротив, возрастает с увеличением числа Рейнольдса, таким образом, максимальная эффективность теплопередачи в данном численном эксперименте для чистой воды достигается при числе Рейнольдса Яе=1000.

Взяв, далее, число Рейнольдса Яе=1000, проанализируем, как происходит теплопередача в наножидкости. На рис. 10 изображены графики зависимостей средней температуры наножидкости в и коэффициента теплоотдачи от концентрации наночастиц. Добавление наночастиц в жидкость приводит к увеличению её теплопроводности.

При повышении теплопроводности наножидкости тепло интенсивнее проникает от стенки трубы к оси и эффективнее переносится вниз по течению, поэтому средняя температура наножидкости в обогреваемой секции при увеличении концентрации наночастиц ниже, чем для чистой воды. При увеличении концентрации наночастиц наблюдается дальнейшее снижение средней температуры теплоностителя и дальнейшее повышение коэффициента теплоотдачи по сравнению с чистой водой. На основе проведённого исследования моделирования можно заключить, что теплоперенос с использованием наножидкостей осуществляется более эффективно, чем с помощью однокомпонентной жидкой среды, и его эффективность возрастает с увеличением концентрации наночастиц.

Рис. 10. Средняя температура наножидкости для Ке = 1000 (а) и коэффициент теплоотдачи наножидкости (б) при Ке = 1000

В данной работе концентрация наночастиц постоянна. В работе [5] исследуется случай переменной концентрации наночастиц. Неоднородность концентраций возникает под действием диффузии и термофореза.

Заключение

В данной работе решена задача о теплообмене жидкости в круглой цилиндрической трубе, где на конечном участке задана постоянная температура стенки, отличная от температуры на внешних участках трубы. При построении точного решения подтверждена необходимость учёта теплопроводности в осевом направлении трубы.

Выполнено численное моделирование вынужденной конвекции в цилиндрической трубе для воды. Анализ результатов показал, что для более детального изучения теплопередачи в жидкостях необходимо учитывать зависимость физических свойств среды от температуры.

Выполнено численное моделирование вынужденной конвекции в цилиндрической трубе для наножидкости вода/А^Оз. Исследован характер теплопередачи в наножидкости в зависимости от скорости течения и концентрации наночастиц. Подтверждено повышение эффективности теплообмена по сравнению с однокомпонентной жидкой средой.

Литература

1. S. K. Das, S.U.S. Choi, W.Yu, T. Pradeep Nanofluids: Science and Technology, John Wiley & Sons, Inc., 2008.

2. Eleftherios Papoutsakis, Doraiswami Ramkrashna and Henry C. Lim. Theextended Graetz problem with Dirichlet wall boundary conditions // Applied Scientific Research. 1980. №36. Р. 13-34.

3. Nist Chemistry Webbook. URL:http://webbook.nist.gov/chemistry/.

4. M. Nazififard, M. Nematollahi, K. Jafadpur and K. Y. Suh, Numerical simulation of water-based Alumina Nanofliud in Subchannel Geometry.

5. I.I. Ryzhkov. The extended Graetz problem with prescribed wall flux for multicomponent fluids with Soret and Dufour effects // International journal of heat and masstransfer. 2013.V. 66, p. 461-471.

Investigation of forced convective heat transfer of nanofluids in a cylindrical tube

Sofya Vladimirovna Kozlova, PhD student

Ilya Igorevich Ryzhkov,Institute of Computational Modeling SB RAS

PhD, Senior researcher

Institute of Computational Modeling SB RAS

In this paper, the heat transfer in liquids and nanofluids in a cylindrical tube is investigated. The exact solution for the temperature of one-component fluid (water) is obtained. Numerical simulation of forced convection of water and water/ Al2O3 nanofluid is performed and the temperature distribution

in the tube is found. As a re: sult, the efficiency of heat transfer in water/ Al^O3 nanofluid is investigated depending on nanoparticle concentration and flow velocity.

УДК 510.66; 004.83

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАССУЖДЕНИЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ

Борис Александрович Кулик, д.ф.-м.н., с.н.с., ведущий научный сотрудник Тел.:+7 812 321 9007, e-mail: ba-kulik@yandex.ru Институт проблем машиноведения РАН http://www.ipme.ru Александр Анатольевич Зуенко, к.т.н., научный сотрудник Тел.: 8 815 557 4050, e-mail: zuenko@iimm.kolasc.net.ru Александр Яковлевич Фридман,д.т.н., проф., ведущий научный сотрудник Тел.: 8 815 557 4050, e-mail: fridman@iimm.kolasc.net.ru Институт информатики и математического моделирования КНЦ РАН

http://www.iimm.kolasc.net.ru

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №№ 13-07-00318-а, 12-07-00689-a, 12-07-000550-a, 12-07-00302-а), Президиума РАН (проект 4.3 Программы № 16), ОНИТ РАН (проект 2.3 текущей Программы фундаментальных научных исследований).