Научная статья на тему 'Кванты коэффициентов Эттингсгаузена и магнитотермоэлектрического эффекта'

Кванты коэффициентов Эттингсгаузена и магнитотермоэлектрического эффекта Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

CC BY
18
3
Читать
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
графеновые наноленты / эффект Эттингсгаузена / магнитоэлектротермический эффект / размерное квантование / магнитное квантование / grapheme nanoribbons / Ettingshausen effect / magnetothermoelectric effect / dimensional quantization / magnetic quantization

Аннотация научной статьи по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям, автор научной работы — Рудольф Александрович Браже, Алена Александровна Гришина

Актуальность и цели. В узких электропроводящих нанопроводниках, например в графеновых нанолентах (ГНЛ), имеют место два вида квантования электронных состояний: размерное и магнитное (квантование Ландау). Первое обусловлено тем, что на ширине наноленты должно укладываться, как в прямоугольной потенциальной яме, целое число электронных полуволн де Бройля. Второе связано с тем, что на циклотронных орбитах электронов должно укладываться целое число длин таких волн. В связи с этим актуальным является вопрос о влиянии данных видов квантования на характеристики явлений переноса в наномасштабных проводниках. Целью настоящей работы является исследование возможности существования квантового эффекта Эттингсгаузена и сопутствующего ему магнитотермоэлектического эффекта. Материалы и методы. Объектами исследования являются металлические графеновые наноленты шириной менее 100 нм и длиной, не превышающей баллистической длины электрона в графене, т.е. менее 1 мкм. В работе использованы известные методы квантовой физики, кристаллофизики и теории двумерного электронного газа. Результаты. Получены явные выражения для квантов коэффициентов Эттингсгаузена и продольной магнитоэлектротермической разности температур. Результаты работы могут быть использованы для создания наномасштабных термомагнитоэлектрических приборов нового поколения. Выводы. Показано, что совместное размерное и магнитное квантование в узких графеновых нанолентах приводит к появлению квантового эффекта Эттингсгаузена. При этом появляются кванты погонного значения коэффициентов Эттингсгаузена и абсолютной магнитотермоэлетрической разности температур.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям , автор научной работы — Рудольф Александрович Браже, Алена Александровна Гришина

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Предварительный просмотрDOI: 10.21685/2072-3040-2024-2-8
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Quanta of Ettingshausen and magnetothermoelectric coefficients

Background. In narrow electrically conductive nanoribbons, for example, in graphene nanoribbons (GNR), two types of quantization of electronic states take place: dimensional quantization and magnetic quantization (Landau quantization). The first is due to the fact that the width of the nanoribbon must fit, as in a rectangular potential pit, an integer number of de Broglie electron waves. The second is due to the fact that an integer number of wavelengths of such waves must fit into the cyclotron orbits of electrons. In this regard, the issue of the influence of these quantization types on the characteristics of transport phenomena in nanoscale conductors is relevant. The purpose of this study is to investigate the possibility of the Ettingshausen quantum effect existence and the accompanying magnetothermoelectric effect. Materials and methods. The objects of research are metallic graphene nanoribbons with a width of less than 100 nm and a length not exeeding the ballistic lengh of an electron in graphene, i. e. less than 1 μm. The work uses well-known methods of guantum physics, crystallophysics and the theory of two-dimensional electron gas. Results. Explicit expressions are obtained for the quanta of the Ettingshausen coefficient and the longitudinal magnetothermoelectric temperature difference. The results of the work can be used to create nanoscale magnetothermoelectric devices of a new generation. Conclusions. It is shown that the combined dimensional and magnetic quantization in narrow graphene nanoribbons leads to the appearance of the Ettingshausen quantum effect. At the same time, quanta of the linear value of the Ettingshausen coefficient and the absolute magnetothermoelectric temperature difference appear.

Текст научной работы на тему «Кванты коэффициентов Эттингсгаузена и магнитотермоэлектрического эффекта»

УДК 620.3:537.639.9

doi: 10.21685/2072-3040-2024-2-8

Кванты коэффициентов Эттингсгаузена и магнитотермоэлектрического эффекта

Р. А. Браже1, А. А. Гришина2

1,2Ульяновский государственный технический университет, Ульяновск, Россия 1brazhe@ulstu.ru, 2a.grishina@ulstu.m

Аннотация. Актуальность и цели. В узких электропроводящих нанопроводниках, например в графеновых нанолентах (ГНЛ), имеют место два вида квантования электронных состояний: размерное и магнитное (квантование Ландау). Первое обусловлено тем, что на ширине наноленты должно укладываться, как в прямоугольной потенциальной яме, целое число электронных полуволн де Бройля. Второе связано с тем, что на циклотронных орбитах электронов должно укладываться целое число длин таких волн. В связи с этим актуальным является вопрос о влиянии данных видов квантования на характеристики явлений переноса в наномасштабных проводниках. Целью настоящей работы является исследование возможности существования квантового эффекта Эттингсгаузена и сопутствующего ему магнитотермоэлектиче-ского эффекта. Материалы и методы. Объектами исследования являются металлические графеновые наноленты шириной менее 100 нм и длиной, не превышающей баллистической длины электрона в графене, т.е. менее 1 мкм. В работе использованы известные методы квантовой физики, кристаллофизики и теории двумерного электронного газа. Результаты. Получены явные выражения для квантов коэффициентов Эттингсгаузена и продольной магнитоэлектротермической разности температур. Результаты работы могут быть использованы для создания наномасштабных термомагнитоэлектрических приборов нового поколения. Выводы. Показано, что совместное размерное и магнитное квантование в узких графеновых нанолентах приводит к появлению квантового эффекта Эттингсгаузена. При этом появляются кванты погонного значения коэффициентов Эттингсгаузена и абсолютной магнитотермоэлетриче-ской разности температур.

Ключевые слова: графеновые наноленты, эффект Эттингсгаузена, магнитоэлектро-термический эффект, размерное квантование, магнитное квантование

Для цитирования: Браже Р. А., Гришина А. А. Кванты коэффициентов Эттингсгаузена и магнитотермоэлектрического эффекта // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2024. № 2. С. 83-90. doi: 10.21685/2072-3040-2024-2-8

Quanta of Ettingshausen and magnetothermoelectric coefficients R.A. Brazhe1, A.A. Grishina2

^Ulyanovsk State Technical University, Ulyanovsk, Russia 1brazhe@ulstu.ru, 2a.grishina@ulstu.ru

Abstract. Background. In narrow electrically conductive nanoribbons, for example, in gra-phene nanoribbons (GNR), two types of quantization of electronic states take place: dimensional quantization and magnetic quantization (Landau quantization). The first is due to the fact that the width of the nanoribbon must fit, as in a rectangular potential pit, an integer

© Браже Р. А., Гришина А. А., 2024. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

number of de Broglie electron waves. The second is due to the fact that an integer number of wavelengths of such waves must fit into the cyclotron orbits of electrons. In this regard, the issue of the influence of these quantization types on the characteristics of transport phenomena in nanoscale conductors is relevant. The purpose of this study is to investigate the possibility of the Ettingshausen quantum effect existence and the accompanying magne-tothermoelectric effect. Materials and methods. The objects of research are metallic gra-phene nanoribbons with a width of less than 100 nm and a length not exeeding the ballistic lengh of an electron in graphene, i. e. less than 1 ^m. The work uses well-known methods of guantum physics, crystallophysics and the theory of two-dimensional electron gas. Results. Explicit expressions are obtained for the quanta of the Ettingshausen coefficient and the longitudinal magnetothermoelectric temperature difference. The results of the work can be used to create nanoscale magnetothermoelectric devices of a new generation. Conclusions. It is shown that the combined dimensional and magnetic quantization in narrow graphene nanoribbons leads to the appearance of the Ettingshausen quantum effect. At the same time, quanta of the linear value of the Ettingshausen coefficient and the absolute magnetothermoelectric temperature difference appear.

Keywords: grapheme nanoribbons, Ettingshausen effect, magnetothermoelectric effect, dimensional quantization, magnetic quantization

For citation: Brazhe R.A., Grishina A.A. Quanta of Ettingshausen and magnetothermoelectric coefficients. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2024;(2):83-90. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3040-2024-2-8

Введение

Как было показано в [1], если квантовый эффект Холла наблюдается в узких электропроводящих нанолентах, то наличие дополнительного к магнитному квантованию размерного квантования приводит к тому, что кроме квантования холловского сопротивления в таких нанопроводниках происходит также квантование коэффициентов Холла и магнитосопротивления. В связи с этим актуальным является исследование влияния совместного размерного и магнитного квантования на характеристики и других явлений переноса в нанопроводниках, в частности, на характеристики магнитотермо-электрических эффектов.

Один из них — эффект Эттингсгаузена — состоит в появлении поперечной разности температур в помещенной в магнитное поле электропроводящей пластинке при прохождении через нее электрического тока. Возникающая разность температур пропорциональна первой степени индукции приложенного к проводнику магнитного поля. Наряду с поперечным эффектом Эт-тингсгаузена в проводнике возникает изменение и продольной разности температур, обусловленной термоэлектрическим эффектом Пельтье, которая пропорциональна квадрату индукции магнитного поля — так называемый магнитотермоэлектричсекий эффект.

Эффекту Эттингсгаузена в физике уделено значительно меньше внимания, чем эффекту Нернста, называемому часто эффектом Нернста — Эттингс-гаузена и состоящему в возникновении поперечной разности электрических потенциалов в проводнике с продольным градиентом температуры, помещенном в поперечное магнитное поле. Авторам не удалось найти недавних публикаций по этому эффекту, тем более в двумерных проводниках с учетом влияния квантово-размерных эффектов. В связи с этим наше исследование,

целью которого является изучение квантовых проявлений в эффекте Эттингс-гаузена, представляется новым и актуальным.

Материалы и методы

В работе рассматриваются металлические графеновые наноленты шириной, не превышающей 100 нм, и длиной, не превышающей 1 мкм, т.е. меньшей, чем длина баллистического пробега электрона в графене.

В качестве основных методов исследования используются известные теоретические представления квантовой физики, кристаллофизики и физики двумерного электронного газа.

Результаты

Уравнение для поперечной 2D-плотности теплового потока dQi =(]В)/ ) в зависимости от плотности продольного электрического

тока j и индукции поперечного магнитного поля В запишем в виде [2, 3]:

^ (В ) = —(в^ ВВ ). (1)

Здесь Ь — длина ГНЛ; в(0) — симметричный тензор второго ранга коэффициентов Пельтье, определяющий величину теплового потока в зависимости от тока в отсутствие магнитного поля; в^к — антисимметричный тензор третьего ранга коэффициентов Эттингсгаузена; в^Ы — симметричный

тензор четвертого ранга коэффициентов магнитотермоэлектрического эффекта. Знак «минус» в (1) выражает тот факт, что возникающий поперечный току и магнитному полю тепловой поток направлен противоположно направлению векторного произведения векторов В и j .

Согласно уравнению теплопроводности плотность этого теплового потока пропорциональна градиенту температуры и направлена в противоположную ему сторону:

dQL=—к

Мг 1 dxi 2 Ж '

где К2 — двумерный коэффициент теплопроводности; Ж — ширина ГНЛ.

Уравнение (1) можно привести к виду

щ =—(р(0) + в *кВк + вЦкЫ)). (2)

к2 ^ '

Расположение ГНЛ относительно кристаллофизических осей Х1, Х2 , Х3, ориентация магнитного поля и электрического тока показаны на рис. 1.

Эффект Эттингсгаузена

Эффект Эттингсгаузена описывается антисимметричной частью выражения (2). Используя рис. 1, представим его в виде

дт=ЛЕ]БЖ,

(3)

где Ле = в>Ек / К2 - коэффициент Эттингсгаузена, определяющий поперечную разность температур в образце.

х з А Б

Рис. 1. Ориентация ГНЛ, магнитного поля и электрического тока (стрелкой показано направление бокового отклонения электронов)

Эффект Эттингсгаузена в некотором смысле обратен эффекту Нернста: в первом продольный градиент температуры в проводнике, находящемся в магнитном поле, вызывает появление в нем поперечной разности электрических потенциалов, а во втором продольный электрический ток вызывает появление поперечной разности температур.

Подобно коэффициентам Пельтье и Зеебека в термоэлектрических эфЕ

фектах [4], в данных эффектах коэффициент Ргу- и коэффициент Нернста ЛN

связаны между собой соотношением Бриджмена: рЕ- / ЛN = Т . В отсутствие

рассеивания электронов на фононах коэффициент Нернста [5] можно записать в виде

Л« = ()2 ^ ©2 «я,

где -б - постоянная Больцмана; е — элементарный заряд; Е; — энергия Ферми; ©2 — коэффициент двумерной электропроводности; Ян = (п2е) 1 —

коэффициент Холла. Используя закон Видемана — Франца для электронной

2

теплопроводности [6]: К2 / ©2 =(-б / е) Т, выражение для Ле можно переписать в виде

Ле =

еТ

Я

и-

(4)

Так как входящий в (4) коэффициент Холла пропорционален кванту его погонного значения Р20 = Ь / (2ет Ур) [1], то квант погонного значения коэффициента Эттингсгаузена равен

еТ_

ЕР

(AE )20 = ETр20'

(5)

В выражении для р20 Ь — постоянная Планка, т - эффективная масса

электрона, а Ур — его скорость Ферми.

Как следует из (3)—(5), коэффициент Эттингсгаузена и его погонное значение измеряются соответственно в следующих единицах:

[ ЛЕ ] = К/(А-Тл), [(ЛЕ )20 ] = К/(А-Тл-м).

Магнитоэлектротермический эффект

Магнитоэлектротермический эффект описывается симметричной частью выражения (2), и в допущениях, принятых на рис. 1, соответствующее уравнение имеет вид

AT} _ — p^w + — Pii33 B jiW. к2 к2

(6)

Абсолютное изменение продольной магнитоэлектротермической разности температур согласно (6) имеет вид

А (А?1) = ATI - — pffjiW = ^ B32 jiW, К2 ii К2

ее относительное изменение:

A (ATi)

(i/ к 2 )P(i^.7iW e(i

Pii33 B2 _ K B2 (0) B3 _ KmnB3 ,

(7)

(8)

здесь Ктп - не зависящий от магнитного поля универсальный тензор коэффициентов относительных изменений сопротивлений, напряжений и разностей температур [1], записываемый в виде

' Kii Ki2 Ki3 ' ' Kii Ki2 Ki3 '

((Kmn ) K2i K22 K23 = Ki2 Kii Ki3

v K3i K32 K33 v v Ki3 Ki3 K33 v

Для принятой геометрии задачи и симметрии графена Кв = К = g (Ь / Ж ) [1], а g (Ь / Ж) — безразмерная функция, явный вид которой приведен в [7].

Абсолютное изменение продольной магнитоэлектротермической разности температур (7) с учетом (8) и сделанных уточнений тогда принимает вид

А (Д71 ) = — в(0)^Вз2 ЛЖ, (9)

к2

где в(1) пропорционально кванту коэффициента Пельтье: в(?) ^ -20 =

= квТ / е [4], а К2 пропорционально кванту коэффициента теплопроводно-

2

сти: К2 ^ К20 = квТ / к [6]. Таким образом, квант абсолютной магнитоэлек-тротермической разности температур [ К / (А • Тл2) ]

имеет вид

(Т>20 =

вТ

к2

екВ 20

-К. (10)

Обсуждение

Произведем теперь некоторые численные оценки для ГНЛ.

При Т = 300 К энергия Ферми в предположении линейной дисперсии

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

* 2 — 2 * — 31

в графене Ер = НкрУр = т Ур ~ 1,08 • 10 эВ, здесь т ~ 2,7 -10 кг,

Ур ~ 0,8 105м/с [1]. Величина кванта погонного значения коэффициента Холла Р20 ~ 9,6 109 м/Кл [1]. Тогда при Т = 300 К величина кванта погонного значения коэффициента Эттингсгаузена (е )20 ~ 2,66 • 1014 (А • Тл • м).

Значение входящей в (10) величины К = 33,8 Тл—2 [1], откуда величина кванта абсолютной магнитоэлектротермической разности температур у20 ® 1,0110—2К/(А• Тл2).

Заключение

Показано, что совместное размерное и магнитное квантование в узких графеновых нанолентах приводит к появлению квантового эффекта Эттингс-гаузена. При этом появляются кванты погонного значения коэффициентов Эттингсгаузена и абсолютной магнитоэлектротермической разности температур. Первый определяет величину поперечной разности температур, а второй - продольной.

Результаты работы представляют интерес для понимания природы квантования кинетических коэффициентов в магнитотермоэлектических явлениях и могут быть использованы при создании соответствующих приборов нового поколения.

Список литературы

1. Браже Р. А., Гришина А. А. Кванты коэффициентов Холла и магнитосопротивле-ния в электропроводящих нанолентах // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2023. № 4. С. 59-67.

2. Шувалов Л. А., Урусовская А. А., Желудев И. С. [и др.]. Современная кристаллография. Т. 4. Физические свойства кристаллов. М. : Наука, 1981. 496 с.

3. Гришина А. А. Математические модели явлений переноса в инверсных средах : дис. ... канд. физ.-мат. наук : 05.13.18. Ульяновск, 2009. 139 с.

4. Браже Р. А., Гришина А. А. Кванты коэффициентов Зеебека, Пельтье и Томсона в наномасштабных проводниках // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2023. № 2. С. 59-67. doi: 10.21685/2072-3040-2023-2-6

5. Немов С. А., Прошин В. И., Тарантасов Г. Л., Парфеньев Р. В., Шамшур Д. В., Черняев А. В. Поперечный эффект Нернста - Эттингсгаузена, резонансное рассеивание и сверхпроводимость в SnTe // Физика твердого тела. 2009. Т. 51, № 3. С. 461-464.

6. Браже Р. А. Соотношение электронной и фононной теплопроводностей в нано-масштабных проводниках // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2023. № 2. С. 68-76. doi: 10.21685/20723040-2023-2-7

7. Vorob'ev V. N., Sokolov Yu. F. Determination of the mobility in small sample of gallium arsenide from magnetoresistive effects // Soviet Physics Semiconductors. 1971. Vol. 5. P. 616.

References

1. Brazhe R.A., Grishina A.A. Quanta of Hall and magnetoresistance coefficients in electrically conductive nanoribbons. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2023;(4):59-67. (In Russ.)

2. Shuvalov L.A., Urusovskaya A.A., Zheludev I.S. et al. Sovremennaya kristallografiya. T. 4. Fizicheskie svoystva kristallov = Modern crystallography. Volume 4. Physical properties of crystals. Moscow: Nauka, 1981:496. (In Russ.)

3. Grishina A.A. Mathematical models of transport phenomena in inverse media. PhD dissertation: 05.13.18. Ul'yanovsk, 2009:139. (In Russ.)

4. Brazhe R.A., Grishina A.A. Seebeck, Peltier and Thomson coefficient quanta in na-noscale conductors. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fizi-ko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2023;(2):59-67. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3040-2023-2-6

5. Nemov S.A., Proshin V.I., Tarantasov G.L., Parfen'ev R.V., Shamshur D.V., Cher-nyaev A.V. Transverse Nernst - Ettingshausen effect, resonant scattering and superconductivity in SnTe. Fizika tverdogo tela = Solid state physics. 2009;51(3):461-464. (In Russ.)

6. Brazhe R.A. The ratio of electron and phonon thermal conductivity in nanoscale conductors. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2023;(2):68-76. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3040-2023-2-7

7. Vorob'ev V.N., Sokolov Yu.F. Determination of the mobility in small sample of gallium arsenide from magnetoresistive effects. Soviet Physics Semiconductors. 1971;5:616.

Информация об авторах / Information about the authors

Рудольф Александрович Браже

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой физики, Ульяновский государственный технический университет (Россия, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32)

E-mail: brazhe@ulstu.ru

Rudolf A. Brazhe Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the subdepartment of physics, Ulyanovsk State Technical University (32 Severniy Venets street, Ulyanovsk, Russia)

Алена Александровна Гришина

кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры физики, Ульяновский государственный технический университет (Россия, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32)

E-mail: a.grishina@ulstu.ru

Alena A. Grishina

Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, associate professor of the sub-department of physics, Ulyanovsk State Technical University (32 Severniy Venets street, Ulyanovsk, Russia)

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.

Поступила в редакцию / Received 05.02.2024

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 30.03.2024 Принята к публикации / Accepted i9.04.2024

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.